16.3.2.1 完全平方公式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

16.3.2.1 完全平方公式 第十六章　整式的乘法（第 5 课时） 学科：数学（人教版·八年级上册） 主讲人：____________ 学校：____________ 开场用教材'试验田边长增加'的情境：一块 a 米的正方形，边长增加 b 米，总面积怎么表示？学生自然会写 (a+b)²，今天学习如何展开它——完全平方公式。 学习目标 1. 理解两个完全平方公式： ， 2. 能用几何图形（面积模型）说明公式，体会数形结合； 3. 会用公式进行计算与简便运算（如 102²、99²），并说清结构特征； 4. 体会从一般到特殊的数学思想。 重点：公式本身及运用。难点：分清 (a+b)² 与 a²+b²、(a−b)² 与 a²−b² 的天壤之别——这是学生最爱混淆的一组。 复习引入：乘方的意义你会用吗？ 回忆：。根据多项式乘法，算一算： 观察：结果都是三项——首平方、尾平方，中间是 '首尾乘积的 2 倍'。 从乘方意义出发，把平方写成两个相同括号相乘再展开。这既复习多项式乘法，又自然引出公式的'三项'结构。 一 情境引入 试验田的面积怎么算？ 情境：一块边长为 a m 的正方形试验田，每边增加 b m，形成四块新试验田。 问题：增加后的总面积是多少？ 学生：总面积。那么 该怎么展开呢？ 这就是今天要探讨的——完全平方公式。 这是教材原情境，贴近农业（厦门同安、翔安多试验田），学生有生活经验。顺势把 (a+b)² 抛出来，激发'如何展开'的需求。 二 探究新知 探究：展开后，结果有什么规律？ 用多项式乘法把带平方的式子展开： 规律：首尾两项是平方，中间一项是 '首尾乘积的 2 倍'，符号跟着中间项的符号走。 让学生自己展开得三项，再抽象成公式。强调：中间的 2ab 来自两组 ab 相加（或相减），绝不是 a²+b²。 完全平方公式 法则（符号语言）： 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）积的 2 倍。 口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央。 板书把两个公式并列框出，用彩色粉笔点出 a²、2ab、b² 的位置。追问：(a−b)² 与 (b−a)² 相等吗？与 a²−b² 相等吗？为易错页埋伏笔。 三 几何解释 用面积说明完全平方公式 图①： 图②： 让学生用两种方法表示大正方形面积，得到 (a+b)²=a²+2ab+b²；图② 用'去掉两带、补回 b²'得到 (a−b)²。数形结合，厦门学生动手拼图效果尤佳。 怎么不写错？——抓住结构特征 两个公式的左边都是 一个二项式的完全平方，只是符号不同； 右边都是 二次三项式： · 首尾两项 = 左边二项式中各项的平方； · 中间一项 = 左边两项乘积的2倍，符号与左边二项式一致。 易混提醒：，中间少了 2ab！ 结构特征是运用公式的关键。让学生对比 '首平方尾平方，2倍乘积在中央'，把口诀贴在公式旁边背诵。 四 例题示范 例1：直接套公式 例1　运用完全平方公式计算： (1) = = (2) = = 要领：把二项式的每一项当 a、b，再写 '首尾²'。 第(2)小题含分数，强调 (½)²=¼ 别写成 ½² 或漏平方。板书中间步骤 '2·y·½' 再化简，学生才看得清来源。 五 简便运算 例2：巧算平方数 例2　运用完全平方公式计算： (1) = = = 10404 (2) = = = 9801 要点：把底数拆成'整十整百 ± 小量'，再用完全平方，避免硬乘。 这类题让学生体会公式的'巧'。厦门中考、会考中 102²、99² 是高频巧算题，练熟能省大量时间。 六 巩固练习 巩固练习（一）：直接运用 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = = 6. = = 第5、6题是符号变化：(-a-b)²=(a+b)²，(b-a)²=(a-b)²，因为平方消去了负号。当堂抢答并说依据。 巩固练习（二）：简便计算 1. = = 9604 2. = = 4970.25 3. = = 10201 4. 若 ，当 、 时原式 = 49 要点：底数接近整十整百时优先用完全平方巧算。 第2题 70.5² 含小数，提醒学生 (0.5)²=0.25 别漏。第4题代入检验，巩固 '公式结果 = 直接代入结果' 的一致性。 易错辨析：这些写法错在哪？ 错1：　正：少了 2ab 错2：　正：应为 （与平方差混淆） 错3：　正：（中间项 ） 错4：　正：（平方消负号） 口诀：完全平方三项齐，2倍乘积莫忘记；平方消去负号，差的平方不是平方差。 错2、错3 是最高频丢分点：把完全平方和平方差搞混。让学生先找错再纠正，比直接讲印象深。 课堂检测 1. 计算 。（答案：） 2. 计算 。（答案：） 3. 简便计算 ≈ 9980.01。（答案：） 4. 判断：。（　）（答案：√） 5. 判断：。（　）（答案：×） 第4题考符号：平方使 (a-b)²=(b-a)²；第5题考与平方差的区分。当堂批改，错得多的题下节课再练。 方法归纳：运用公式三步走 第一步：看——是不是 '二项式的完全平方'？ 第二步：定——把两项分别当 a、b（含符号）。 第三步：写——，中间项符号跟着二项式走。 巧算：底数 = 整十整百 ± 小量时，先拆再套公式。 把方法程序化，更像一线教师板书总结。提醒：a、b 若为多项式，要整体加括号再平方，如 (x+y)² 中 a=x+y。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 两个公式：、 一个结构：首平方，尾平方，2倍乘积在中央。 两种说明：多项式乘法推导 + 面积模型几何解释。 一类巧算：接近整十整百的数的平方和差。 请一名学生复述口诀并举例。预告：下节课学'添括号'，因为有些整式相乘要先变形才能用今天这两个公式。 课后作业 1. 基础题：教材习题 16.3 第 2、4、6、7 题——直接运用与简便运算； 2. 变式题：用完全平方说明 展开后首项、末项、交叉项各有几项； 3. 应用题：厦门一幢楼高约 99 m，若以 1 m 为基准写成 ，用完全平方求 ； 4. 思考题：已知 、，求 （提示：用 ）。 基础题面向全体；变式题为下节课'添括号/(a+b+c)²'铺垫；应用题联系厦门高楼（如思明、湖里的高层）；思考题训练公式变形，是中考常客。 $