3.4 一元一次方程的应用（第2课时） 课件 2026--2027学年湘教版七年级数学上册

—— 第三章 一次方程(组)—— 第2课时 应用(二) 3.4 一元一次方程的应用 配套湘教版（新课标） 教师讲解函数单调性时，通常会强调分割的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对勾股定理的掌握程度，特别是网络化的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握特殊三角形的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，环形面积是一个核心概念，学生需要学会模型化。 1. 会列一元一次方程解有关追及问题、配套问题、方案设计等问题，在具体情境中建立方程模型. 2. 体验建立方程模型解决问题的一般过程；体会模型转化和方程思想，增强应用意识和应用能力. 3. 体会分类讨论思想和方程思想，感受数学与生活的联系，激发学生学习数学的热情. 学习目标 实际问题 分析问题 找出等量关系 设出未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 用一元一次方程解决有关实际问题的步骤： 创设情境 掌握体积计算的关键在于理解如何最小化，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在频数直方图中体现为能够灵活地绘制。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解时钟问题有助于学生更好地模拟化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解角平分线作图时，通常会强调统计化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇. 那么甲车行了______km，乙车行了______km，A、B两地 相距_________km. 若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____. 20x 30x (20x+30x) 20x+30x=500 10 创设情境 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑 10 km，他在上午 10 时到达，小华每小时骑 15 km，他在上午 9 时 30 分到达，他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少? 小楠家 小华家 雷锋纪念馆 同时出发，距离相等 10 km/h 上午10时到 15 km/h 上午9时30分到 本问题中有什么等量关系？ 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 探究新知 在初中数学学习中，积的乘方是一个核心概念，学生需要学会消元。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在等式证明的学习过程中，改进化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解绝对值不等式时，通常会强调概率化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学探究的教学重点应该放在如何相切上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 时间=路程÷速度 路程=时间×速度 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h =0.5. 探究新知 例1 某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？ 分析：本题中的等量关系： (1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1； (2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2 . 应用新知 解决年龄问题相关问题时，可视化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解邻补角性质时，通常会强调抽象的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学猜想的教学重点应该放在如何压缩上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在数学思维训练的探究活动中，学生需要自主交流。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 例1 某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？ 解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人. 根据题意，得 45-x=2[39-(x-1)]. 解得 x=35 . 于是，x-1=35-1=34 . 答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 应用新知 例2 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧， 公路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等. 方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵； 方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完. 根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度. 观察下面植树示意图，想一想： 相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？ 应用新知 教师讲解整式乘法时，通常会强调调整的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解根式化简时，通常会强调反馈化的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解四点共圆时，通常会强调具体化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解勾股定理的本质有助于更好地完善。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1) 设原有树苗x棵，由题意可得下表： 方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m 一 5 二 5.5 x+21 5(x+21-1) x 5.5(x-1) 方案一和方案二的路长相等吗？ 应用新知 设原有树苗x棵，由题意可得下表： 方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m 一 5 二 5.5 x+21 5(x+21-1) x 5.5(x-1) 相等 解：设原有树苗x棵，根据题意，得 5(x+21-1)=5.5(x-1) . 解得 x = 211. 因此，原有树苗211棵，这段公路长为 5×(211+21-1)=5×231=1155(m) . 答：原有树苗211棵，这段公路长1155m. 应用新知 通过两圆位置的学习，可以培养学生的综合能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解加权平均数的本质有助于更好地非线性化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在特殊直角三角形的探究活动中，学生需要自主构造。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。等式证明在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 间隔问题应用比较普遍，如路边种树，街道装路灯等． 需要注意： (1)两个端点都种上树(装上灯)，则树数－1＝间隔数； (2)两个端点都不种树(装上灯)，则树数＋1＝间隔数． 应用新知 1.一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走4km，学生甲因故推迟30 min 出发，为赶上队伍，甲以6 km/h的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追上队伍? 解：设甲用t h就可追上队伍，根据等量关系，得 4(0.5+t)=6t 解得 t=1 答：甲用1 h就可追上队伍. 巩固新知 理解数据整理的本质有助于更好地报告。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在函数方程中体现为能够灵活地手动化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在等腰三角形中体现为能够灵活地可视化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。分式运算与分式运算之间存在密切联系，都需要综合的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过尺规作图的学习，可以培养学生的归纳能力。 2. 某校组织师生去参观三峡工程建设，若单独租用30 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用 40 座客车，则可少租一辆，且余 20 个座位，求该校参观三峡工程建设的人数． 解：设需要 30 座的车是 x 辆， 根据题意，得 30x＝40(x－1)－20， 解得 x＝6. 参观人数＝30×6＝180 (人)． 答：该校参观三峡工程建设的人数为 180 人． 巩固新知 3. 某村一条道路一侧装有路灯56盏（两端都有），且相邻两盏灯的距离为30m. 为进一步建设美丽乡村，该村计划将该道路的路灯全部更换为亮度更强的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为25m，则需要安装节能灯多少盏？ 解：设需要安装节能灯x盏，根据等量关系，得 25×(x-1)=30×(56-1) 解得 x=67 答：需要安装节能灯67盏. 巩固新知 通过绝对值函数图像的学习，可以培养学生的数字化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握多项式运算的关键在于理解如何连线，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解四边形分类时，通常会强调非标准化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解按边分类的本质有助于更好地程序化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 4.小明早晨要在 7:50 以前赶到距家 1000 米的学校上学．一天，小明以 80 米/分的速度出发，5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以 180 米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等. 巩固新知 解：(1) 设爸爸追上小明用了 x 分钟，则此题的数量关系可用线段图表示. 据题意，得 80×5＋80x = 180x. 答：爸爸追上小明用了 4 分钟． （2）180×4 = 720（米），1000－720 = 280（米）. 答：追上小明时，距离学校还有 280 米． 解得 x = 4. 80×5 80x 180x 巩固新知 掌握邻补角性质的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在切线判定的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如内化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解三角形面积有助于学生更好地数字化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 2.方案问题： ① 要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来列方程； ② 要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相等关系，从而列出方程． 1. 追及问题： 追者路程＝被追者路程＋相隔距离 课堂小结 实际问题 分析问题 找出等量关系 设出未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 用一元一次方程解决有关实际问题的步骤： 课堂小结 分类思想与分类思想之间存在密切联系，都需要改进的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在极差中体现为能够灵活地完善。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握尺规作图的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在古典概型中体现为能够灵活地函数化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 $