2027年中考数学备考专项训练：一次方程（组）不等式应用

实际问题（一） 1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，设该店有客房间，房客人，则列出二元一次方程组正确的是　　 A． B． C． D． 2．《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为　　 A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，可列方程　　 A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问多少天相遇？设天相遇，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 5．上学期某班的学生都是双人桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生人，女生人，可得方程组为　　 A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为　　 A． B． C． D． 7．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了场，平了场，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 8．《算法统宗》记载了一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各几个？设苦果个，甜果个，则可列方程组　　 A． B． C． D． 9．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两 ‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 11．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（       ） A． B． C． D． 12．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为　　 A． B． C． D． 13．为改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　 　． 14．特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高、、．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为，三种特产的总利润是总成本的，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　 　． 15．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙， 就称它为“优美长方形”．如图所示，“优美长方形” 的周长为26， 则正方形的边长为 　　． 16．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨， 5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆 小货车一次可以运货 　 　吨． 15题图 17．某地区2024年进出口总额为520亿元，2025年进出口总额比2024年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．已知2025年进出口总额比2024年增加了140亿元，求2025年进口额和出口额分别是多少亿元？注：进出口总额进口额出口额． 18．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了种茶30盒，种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶20盒，种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的，两种茶每盒的价格． 19．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？ 20．某商店特购进纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元个，“冰墩墩”挂件的进价为50元个． （1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量． （2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元个，“冰墩墩”挂件售价定为60元个，若购进180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 21．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元． （1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ （2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？ 22．某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）该单位购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 　　元；乙超市的购物金额为 　　元； （2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 23．我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元吨，两次购买龙眼共用了7万元． （1）求两次购买龙眼各是多少吨？ （2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元吨和3万元吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 24．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 25．商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？ 26．冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？ （2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 27．习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． （1）求、两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组应用专题 参考答案与解析 本文档针对资料中的 27 道题目逐题给出答案与解析，分为选择题（第 1—12 题）、填空题（第 13—16 题）、解答题（第 17—27 题）三个部分。选择题给出答案速查表与逐题思路，填空题与解答题给出完整答案与解题过程。 一、选择题（第 1—12 题） 选择题答案速查表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A A A A A B A A A 逐题解析 1．【答案】B 设客房 x 间、房客 y 人。每间住 7 人则有 7 人无房可住，得 7x+7=y；每间住 9 人则空出一间客房，得 9(x-1)=y。故方程组为 7x+7=y 与 9(x-1)=y，选 B。 2．【答案】D 设鸡 x 只（每只 2 足）、兔 y 只（每只 4 足）。头共 35：x+y=35；足共 94：2x+4y=94。方程组为 x+y=35、2x+4y=94，选 D。 3．【答案】B 快、慢者相同时间内路程之比为 100∶60。慢者先走 100 步，快者走 x 步追上时，慢者又走了 60／100 倍的 x 步，两者路程相等：x=100+0.6x，解得 x=250，选 B。 4．【答案】A 野鸭每天行全程的 1／7，大雁每天行全程的 1／9，相向而行 x 天相遇时共行完全程：(1／7+1／9)x=1，选 A。 5．【答案】A 与男生同桌的女生数为男生的 1／4，即 x／4；这批女生占全班女生的 1／5，故 x／4=y／5。转入 4 名男生后男女生人数相等：x+4=y。方程组为 x+4=y、x／4=y／5，选 A。 6．【答案】A 桶容量 10 斗，原有米 x 斗、加谷子 y 斗恰好装满：x+y=10；谷子出米率为 3／5，共得米 7 斗：x+(3／5)y=7，选 A。 7．【答案】A 赛 9 场只负 2 场，胜、平共 7 场：x+y=7；总得分为 3x+y=17。方程组为 x+y=7、3x+y=17，选 A。 8．【答案】A 苦果 x 个、甜果 y 个共 1000 个：x+y=1000；四文可买苦果 7 个（每个 4／7 文），十一文可买甜果 9 个（每个 11／9 文），共 999 文：(4／7)x+(11／9)y=999，选 A。 9．【答案】B 马每匹 x 两、牛每头 y 两。马四匹、牛六头共价四十八两：4x+6y=48；马二匹、牛五头共价三十八两：2x+5y=38，选 B。 10．【答案】A 牛每头 x 两、羊每只 y 两。5 头牛、2 只羊共 19 两：5x+2y=19；2 头牛、3 只羊共 12 两：2x+3y=12，选 A。 11．【答案】A 快马每天走 240 里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12 天。快马 x 天追上时两马路程相等：150(x+12)=240x，选 A。 12．【答案】A 清酒 x 斗（每斗值 10 斗谷子），醑酒 5-x 斗（每斗值 3 斗谷子），共用粟 30 斗：10x+3(5-x)=30，选 A。 二、填空题（第 13—16 题） 13．【答案】3∶5 设甲、乙、丙三座山所需两种树木总量之比为 5∶6∶7（分别设为 5k、6k、7k），所需香樟数量之比为 4∶3∶9（分别设为 4m、3m、9m）。 甲、乙两山所需红枫数量之比为 2∶3，即 (5k-4m)∶(6k-3m)=2∶3，解得 k=2m。于是甲山（香樟 4m、红枫 6m）、乙山（香樟 3m、红枫 9m）、丙山（香樟 9m、红枫 5m），香樟共 16m、红枫共 20m。 设预算时香樟单价为 a、红枫单价为 b，预算总费用为 16ma+20mb。实际购买时香樟数量减少 6.25%，即 15m 棵，单价比预算低 20%，为 0.8a；红枫单价比预算高 25%，为 1.25b，实际费用为 15m×0.8a+20m×1.25b=12ma+25mb。 由实际费用与预算费用相等：16ma+20mb=12ma+25mb，解得 a=5b／4。故实际香樟费用∶实际红枫费用=12ma∶25mb=12×(5b／4)×m∶25mb=15∶25=3∶5，填 3∶5。 14．【答案】4∶3 设每包麻花的成本为 c，则每包桃片的成本为 2c；设每包米花糖的成本为 m。桃片、米花糖、麻花的数量之比为 1∶3∶2，分别设为 n、3n、2n。 总成本=2cn+3mn+2cn=4cn+3mn；总利润=20%×2c×n+30%×m×3n+20%×c×2n=0.8cn+0.9mn。 由三种特产的总利润是总成本的 25%：0.8cn+0.9mn=25%×(4cn+3mn)，化简得 m=4c／3。故每包米花糖与每包麻花的成本之比为 4∶3。 15．【答案】5 该“优美长方形”内部由 5 个正方形铺满。设图中两个相同的小正方形（记为 b）边长为 1 份，则左上正方形（记为 a）的边长为 2 份，左下正方形（记为 c）的边长为 2+1=3 份，右侧大正方形（记为 d）的边长等于长方形的宽，为 2+3=5 份。 长方形长为 a+b+d=2+1+5=8 份，宽为 a+c=2+3=5 份，周长为 2×(8+5)=26 份。由周长为 26 得 1 份=1，故正方形 d 的边长为 5。 16．【答案】23.5 吨 设大货车一次运货 a 吨、小货车一次运货 b 吨。由题意：3a+4b=22，5a+2b=25。 第二式乘 2 得 10a+4b=50，减去第一式得 7a=28，故 a=4；代入得 b=2.5。 所以 4 辆大货车与 3 辆小货车一次可运货 4a+3b=4×4+3×2.5=23.5（吨），填 23.5。 三、解答题（第 17—27 题） 17． 解：设 2024 年进口额为 x 亿元、出口额为 y 亿元。 依题意有 x+y=520。2025 年进口额增加 25%、出口额增加 30%，总额增加 140 亿元，即 1.25x+1.3y=520+140=660。 由 x+y=520 与 1.25x+1.3y=660 联立，解得 x=320，y=200。 所以 2025 年进口额为 1.25×320=400（亿元），出口额为 1.3×200=260（亿元）。 答：2025 年进口额为 400 亿元，出口额为 260 亿元。 18． 解：设第一次购进 A 种茶每盒 a 元、B 种茶每盒 b 元。 由第一次购进 30 盒 A 种茶、20 盒 B 种茶共花费 6000 元：30a+20b=6000，即 3a+2b=600。 第二次两种茶每盒价格都提高 20%，购进 20 盒 A 种茶、15 盒 B 种茶共花费 5100 元：1.2×(20a+15b)=5100，即 4a+3b=850。 由 3a+2b=600 与 4a+3b=850 解得 a=100，b=150。 答：第一次购进 A 种茶每盒 100 元，B 种茶每盒 150 元。 19． 解：设共有 x 人，物品价格为 y 钱。 每人出 8 钱，剩余 3 钱：8x=y+3；每人出 7 钱，还缺 4 钱：7x=y-4。 两式相减得 x=7，代入得 y=53。 答：共有 7 人，物品价格为 53 钱。 20． 解：（1）设购进“冰墩墩”摆件 x 个、挂件 y 个。 由共购进 180 个：x+y=180；由共花费 11400 元：80x+50y=11400。 解得 x=80，y=100。 答：购进“冰墩墩”摆件 80 个、挂件 100 个。 （2）设购进挂件 m 个，则购进摆件 (180-m) 个。摆件每个利润 100-80=20 元，挂件每个利润 60-50=10 元，全部售完的总利润为 20(180-m)+10m=3600-10m。 由至少盈利 2900 元：3600-10m≥2900，解得 m≤70。 答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过 70 个。 21． 解：（1）设一份甲种快餐 a 元、一份乙种快餐 b 元。 由买 1 份甲种和 2 份乙种共需 70 元：a+2b=70；由买 2 份甲种和 3 份乙种共需 120 元：2a+3b=120。 解得 a=30，b=20。 答：甲种快餐 30 元／份，乙种快餐 20 元／份。 （2）设购买乙种快餐 b 份，则购买甲种快餐 (55-b) 份。 由快餐费不超过 1280 元：30(55-b)+20b≤1280，化简得 1650-10b≤1280，解得 b≥37。 答：至少购买乙种快餐 37 份。 22． 解：（1）购买 30 件的标价总额为 30×10=300（元），未超过 400 元，故甲超市不优惠，付费 300 元；乙超市全部按标价 8 折售卖，付费 300×0.8=240（元）。 答：甲超市 300 元，乙超市 240 元。 （2）设购买 x 件这种文化用品。 甲超市：当 x≤40 时，付费 10x 元；当 x>40 时，付费 400+0.6×(10x-400)=6x+160（元）。 乙超市：付费 0.8×10x=8x（元）。 比较两种情况：当 x≤40 时，10x>8x（x>0），乙超市费用较少；当 40<x<80 时，6x+160>8x，乙超市费用较少；当 x=80 时，6x+160=8x，两家费用相同；当 x>80 时，6x+160<8x，甲超市费用较少。 答：当购买量少于 80 件时，选择乙超市支付的费用较少；恰好购买 80 件时，两家超市费用相同；超过 80 件时，选择甲超市支付的费用较少。 23． 解：（1）设第一次购买龙眼 x 吨、第二次购买龙眼 y 吨。 由两次共购买 21 吨：x+y=21；由两次共用 7 万元：0.4x+0.3y=7。 解得 x=7，y=14。 答：第一次购买龙眼 7 吨，第二次购买龙眼 14 吨。 （2）设把 t 吨龙眼加工成桂圆肉，则其余 (21-t) 吨加工成龙眼干。 销售额为 0.2t×10+0.5(21-t)×3=2t+1.5(21-t)（万元）。 由销售额不少于 39 万元：2t+1.5(21-t)≥39，化简得 0.5t≥7.5，解得 t≥15。 答：至少需要把 15 吨龙眼加工成桂圆肉。 24． 解：（1）设篮球的单价为 a 元、足球的单价为 b 元。 由购买 2 个篮球和 3 个足球共需 510 元：2a+3b=510；由购买 3 个篮球和 5 个足球共需 810 元：3a+5b=810。 解得 a=120，b=90。 答：篮球 120 元／个，足球 90 元／个。 （2）设购买篮球 x 个，则购买足球 (50-x) 个。 由篮球不少于 30 个：x≥30；由总费用不超过 5500 元：120x+90(50-x)≤5500。 化简得 30x+4500≤5500，即 30x≤1000，x≤100／3，故 x 可取 30、31、32、33。 答：共有 4 种购买方案—— 方案一：篮球 30 个，足球 20 个； 方案二：篮球 31 个，足球 19 个； 方案三：篮球 32 个，足球 18 个； 方案四：篮球 33 个，足球 17 个。 25． 解：（1）设第一批恤衫每件进价 x 元，则第一批数量为 4000／x 件；第二批每件进价比第一批贵 4 元，为 (x+4) 元，数量为 8800／(x+4) 件。 由第二批数量是第一批的 2 倍：8800／(x+4)=2×(4000／x)，解得 x=40。 答：第一批每件进价 40 元，第二批每件进价 44 元。 （2）两批恤衫的进货总价为 4000+8800=12800（元），共 100+200=300（件）。 设每件标价为 p 元，则按标价售出 300-40=260 件，按七折售出 40 件。 由全部售完后利润率不低于 80%：260p+40×0.7p≥12800×(1+80%)，即 288p≥23040，解得 p≥80。 答：每件恤衫的标价至少为 80 元。 26． 解：（1）设冰墩墩玩偶每个进价 a 元、雪容融玩偶每个进价 b 元。 由用 1400 元购进冰墩墩玩偶 15 个和雪容融玩偶 5 个：15a+5b=1400；由购进 1 个冰墩墩玩偶和 1 个雪容融玩偶共需 136 元：a+b=136。 解得 a=72，b=64。 答：冰墩墩玩偶每个进价 72 元，雪容融玩偶每个进价 64 元。 （2）设购进冰墩墩玩偶 x 个，则购进雪容融玩偶 (40-x) 个。 由冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的 1.5 倍：x≤1.5(40-x)，解得 x≤24。 总利润 W=28x+20(40-x)=800+8x，W 随 x 的增大而增大，故当 x=24 时 W 取得最大值。 答：购进冰墩墩玩偶 24 个、雪容融玩偶 16 个时获利最大，最大利润为 800+8×24=992（元）。 27． 解：（1）设 A 种树苗每株 a 元，则 B 种树苗每株 1.25a 元。 由共花费 4000 元采购 A 种树苗 500 株、B 种树苗 400 株：500a+400×1.25a=4000，即 1000a=4000，解得 a=4。 答：A 种树苗 4 元／株，B 种树苗 5 元／株。 （2）设再购买 A 种树苗 t 株，则购买 B 种树苗 (100-t) 株。 由 A 种树苗不多于 25 株：t≤25；由总费用不超过 480 元：4t+5(100-t)≤480，化简得 500-t≤480，解得 t≥20。 故 t 可取 20、21、22、23、24、25，共有 6 种购买方案。 总费用为 4t+5(100-t)=500-t，t 越大费用越低，故当 t=25 时费用最低。 答：共有 6 种购买方案；购买 A 种树苗 25 株、B 种树苗 75 株时费用最低，最低费用为 500-25=475（元）。 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $