江苏省启东中学2026-2027学年高三上学期数学周练七

启东中学高三数学周练七 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若集合P={x-3<x-2<3},Q={-1,0,1,2,4,则P∩9=() A.{-1,0,1,2,4 B.{1,0,1,2} C.{0,1,2,4} D.{L,2,4} 2.复数z满足z(2-)=5-10i,则z=() A.V15 B.5 C.15 D.25 3.为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin2x的图象上所有的点() A.向右平移个单位长度 B.向左平移严个单位长度 4 C.向右平移”个单位长度 D.向左平移”个单位长度 4.函数f(x)=ln(x2-5x-6)的单调增区间是() A.（-2,+oo) （+ B. C.(3,+o) D.（(6,+o) 5.若正四面体S-ABC的棱AC,SB的中点分别为M,N,则直线SM与AN所成角的正弦值为() A B. 2W2 3 D. 3 6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+l)为偶函数，f(-l)=-1,当x∈[l,2]时，f(x)=x2+ax+b, 则() A.a=-4,b=4B.a=4,b=0 C.a=2,b=-2 D.a=-3,b=3 7.已知函数f(x)=e-e-2lnVx2+1-x,若不等式f(2nx)+f(b-ax)≤0对任意x>0恒成立，其中 a>0,beR,则b的最大值为() A.2 B.1 D.2 8.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=1AB+4AD, 则2+“的最大值为() A.2 B.5 C.2√2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 试卷第1页（共4页） 9.设复数z=-1+V3i,则() A.=2 B.zi的虚部为-V3 C.z2+z∈R D.在复平面内，2+！对应的点在第一象限 z+2 10.己知函数f(x)=(x-c)2(x-2)的极大值为4，则下列说法正确的是() A.c=5 B.函数f(x)有3个零点 C.若3<x<5,则f(x3)>f(x2) D.过点(2,0)有且仅有2条直线与函数f(x)的图象相切 11.已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=4,圆N:(x+2+-)2=4,直线1：y=x+b与圆M、圆N均相交， 且截两圆所得的弦长分别为m,n,则() A.圆M与圆N的公共弦所在直线方程为x=0 B.若直线I过点(0,1)，则m=n恒成立 C.满足m+n=4√3的直线I恰有2条 D.当b=1时，m+n的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知一个正三棱台的上底边长为2，下底边长为8，侧棱长为5，则该三棱台的体积为 13.已知同=2，=l,a-6<0,当a+2(2eR)的最小值为1时，ā在6上的投影向量为 14.已知4siaa=sn(a+20),Be(（5 则tana的最小值为 四、解答题：本大题共5小题77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足2 ccos B-bc0sA=acos B. (1)求角B的大小： (2)若a+c=2,求b的取值范围。 试卷第2页（共4页） 16.如图1，己知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.福佑崇文阁将AABD沿 直线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近 点C,B),平面EGH与CD交于点F H 图1 图2 (1)证明：BC/EF: (2)求点B到平面EFG的距离. 17.已知函数f(x)=(a2-4a-4)logx(a>0,a≠1)是对数函数 (1)解方程f(2x+1)=f(x2-2): B对于在交的5，k0+o.正明：)s色产到 2 试卷第3页（共4页） 18设函数f(创=lhr是aeR (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数f(x)有两个不同零点x,x2. (i)求实数a的取值范围： )证明：+正 19.如图，将直角坐标系一般化可得到斜坐标系，设∠xOy=a,0<a<π，记此坐标系为a一坐标系.设Ox,Oy 正向的单位向量分别为e,e,若OP=xe+ye,则OP=(xy). B D A衣 坐标系中，设d=-1,2,b=(2,1),若cosa,b)=-Y°，事 ②在弩坐标系中，AB分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的动点，码=2,4C-CB,0D=2DB, DE=2EA,OC与AD交于点F. (①)设△OMF和四边形BCFD的面积分别为S,S,求 (i)求OE.OF的最大值， 试卷第4页（共4页）启东中学高三数学周练七 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若集合P={x-3<x-2<3},Q={-1,0,1,2,4,则P∩9=() A.{-1,01,2,4 B.{1,0,1,2} C.{0,1,2,4} D.{1,2,4 【答案】C 【详解】集合P={x3<x-2<3}={x-1<x<5},又9={-1,0,1,2,4}，所以P∩2={0,1,2,4 2.复数z满足z(2-i)=5-10i,则z=() A.V15 B.5 C.15 D.25 【答案】B 【详解】因为z 5-10i5-10i)2+1_10+5i-20i-10=4-31,所以Z=F+(-3y=5 2-i (2-i)(2+i) 5 3.为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin2x的图象上所有的点() A.向右平移”个单位长度 B.向左平移个单位长度 C。向右平移号个单位长度 D。向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】由cos2x + 利用三角函数图象变换规律可得出结论 【详1om2xm2x+引2+到 所以，为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sn2x的图象向左平移7个单位长度， 故选：B 4.函数f(x)=ln(x2-5x-6)的单调增区间是() A.（-2,+o0) B ,+0 C.(3,+∞) D.(6,+o∞） 【答案】D 【分析】先求对数函数的定义域，再依据复合函数“同增异减'的单调性规则，结合内层二次函数的单调性取 试卷第1页（共16页） 交集得到结果。 【详解】由题得，x2-5x-6=(x-6)(x+1)>0→x∈(-o,-1)U(6,+∞)， 因为对数函数y=nx在(0，+o)单调递增，二次函数y=x2-5x-6在(-o,-1)单调递减，在(6，+∞)单调递增， 所以函数f(x)=In(x2-5x-6)的单调增区间是(6，+o). 5.若正四面体S-ABC的棱AC,SB的中点分别为M,N,则直线SM与AN所成角的正弦值为() 1 A.3 B. 2W2 2 3 C.3 D. 3 【答案】D 【分析】取，Sa,0为基底，不纺设网=网=小SC=1,用基底表示出SW-网+0， N=W-=)亚-。录后利用空间向量的数量积求得到直线SM与N所成角的正弦位 【详解】以风须G为基长，不纺设网-网=C-1,则击超意知小叫-因-9 ∠AB=∠ASC=∠BC=,SM.S8=Sc.S8-M.c=) 又SM=1+sG,N=SW-M=号8-m, 所以w.而=+o}丽-报.亚-+c丽-.c= 设直线SM与AW所成角为0(0<0≤)， SM·AW 则cos0=cos(SM,AN= SM AN 3 直线SM与AN所成角的正弦值为sin0 6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，f(-1)=-1,当x∈[l,2]时，f(x)=x2+am+b, 则() A.a=-4,b=4 B.a=4,b=0 C.a=2,b=-2 D.a=-3,b=3 【答案】A 【详解】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,因为f(-)=-1,所以 f)=1①， f(x+1)为偶函数台f1-x)=fI+x)台f(2-x)=f(x),所以f(2)=0②， 当x∈[l,2]时，f(x)=x2+ax+b,由①②得1+a+b=1,4+2a+b=0, 试卷第2页（共16页） 解得a=4,b=4. 7.已知函数f(x)=e-e-2n(V2+1-x,若不等式f(2x)+f(b-a)≤0对任意x>0恒成立，其中 a>0,bER, 则的最大值为() A. B.1 c.2 D.2 【答案】B 【分析】先考虑函数∫(d)是否具有奇偶性、单调性：再根据函数的性质将题中条件等价为r≤x-b对 a a 任意x>0恒成立，因而将求的最大值转换为先求x-2x的最小值，再求该最小值的最大值 【详解】对x∈R,2+1+x>d+x≥0，故函数f(x)的定义域为R, 8--+小-e-he-t4-小- 因此函数f(x)是奇函数， 2x --1 对xeR,(y)=e+e-2.2+1=c+e+2 2+1-x >0； x2+1-x x2+12+1-x 所以函数f(x)在(-o,+o)上单调递增， 对x>0,不等式f(2lnx)+f(b-ax)≤0恒成立， 即f(2lnx)≤-f(b-ax)=f(ar-b), 由于f(x)单调递增，所以2lnx≤a-b对任意x>0恒成立， 因为a>0,所以2nxSx-b对任意x>0恒成立，所以2sx-2nx, 0 a 设函数g(x)=x-2nx,则g(y)=1-2-=2 axax 所以当xe0引时，gk0,当xe后+r时.ge0. 所以局豪8（创在(0引上单调速减，在侣上单调适锦。 因t&(在x名时取最小值，8)孔-b 使x-子x=8对>0恒成立，价于)-孔-n引面成立， a a 试卷第3页（共16页） 设名-，h0=0-n0.则0=1-h+1月》=-h, a 则当1∈(0,1)时，(t)>0,当t∈(L,o)时，(t)<0, 所以函数h(t)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以当t=1时，h(t)取最大值h()=1, 所以引-}1，当且仅当名1时等号成立， d 所以b≤1，当且仅当a=2,b=2时等号成立 8.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=1AB+uAD, 则2+“的最大值为() A.2 B.5 C.2√2 D.3 【答案】D 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系 y D A B 设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(xy), 2 易得圆的半径r= 即圆c的方程是(：-2八+2-号 AP=(x,y-1),AB=(0,-I),AD=(2,0),若满足AP=AB+4AD, 则/x=2u AA-登=1-y,所以+a=1, 设z=分y+1,即氵y+1-2=-0.点P(,川在图(c-2+-上. s 2 所以圆心2,0)到直线y+1-z=0的距离d≤r,即 +1 V5,解得1≤z<3, V4 所以z的最大值是3，即九+4的最大值是3，故选D. 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数 乘运算. 试卷第4页（共16页） (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的 形式，再通过向量的运算来解决. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设复数z=-1+V3i,则() A.2=2 B.i的虚部为-√3 C.z2+z∈R D.在复平面内， 2+1对应的点在第一象限 z+2 【答案】AD 【详解】因为z=-1+√3i,所以z=V(-)2+(32=2,A正确： zi=(1+V3ii=-V3-i,所以zi的虚部为-1，B错误： z2+z=(-1+V3i2+(-1-V3i=-3-3V3iR,C错误； +163,在复平面内中》应的点在第象限，确 z+21+V3i4"4 10.已知函数f(x)=(x-c)(x-2)的极大值为4，则下列说法正确的是() A.c=5 B.函数f(x)有3个零点 C.若3<x<5,则f(x3)>f(x2) D.过点(2,0)有且仅有2条直线与函数f(x)的图象相切 【答案】ACD 【分析】对于A,求导，分c<2,c=2,c>2三种情况求函数的极大值点，根据极大值为4求出c的值： 对于B,根据零点定义，令f(x)=0求解判断零点的个数；对于C,根据函数的单调性判断大小；对于D, 设切点，列切线方程，根据(2,0)在切线上求出切点的个数， 【详解】对干A因为/闭=-gP-2.所以f=-ox-牛. 当c<2时，x=c为极大值点，而f(c)=0≠4，不合题意； 当c=2时，f(x)没有极值，不合题意： 当c>2时，x=号为极大值点，所以5=4，解得c=5,A正确： 3 对于B,由A选项可知f(x)=(x-5)(x-2) 试卷第5页（共16页） 令f(x)=0,则x=2或x=5,所以f(x)有且仅有2个零点，B错误； 对于C,f'(x)=3(x-5)x-3), 当x>5时，f'(x)>0,f(x)在(5，+o)上单调递增， 因为3<x<5,则x3>x2>9,所以f(x)>f(x),C正确： 对于D,f(x)=(x-5)2(x-2),所以f'(x)=3(x-3)x-5), 设切点为(x,f(x),则切线方程为y-(x,-5)(x-2)=3(x。-3)(x。-5x-x), 又点(2,0)在切线上，所以0-(x。-5)'(x-2)=3(x-3)x-5)2-), 所以x。=2或x=5,所以过点(2,0)有且仅有2条直线与函数f(x)的图象相切，D正确 11.已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=4,圆N:(x+2+-)2=4,直线1：y=x+b与圆M、圆N均相交， 且截两圆所得的弦长分别为m,n,则() A.圆M与圆N的公共弦所在直线方程为x=0 B.若直线I过点(0,1)，则m=n恒成立 C.满足m+n=4√3的直线I恰有2条 D.当b=1时，m+n的最大值为8 【答案】BD 【分析】对于A,根据两圆外切判断；对于B,结合dM=dw,半径相等即可判断；对于C,根据图象，当 直线过点@，测m=n,直线方程为y=土+1时，满足m+=45:当=0和y=2.m+n45 满足，进面判断C:对于D.结合题态得m+n=4W4-=4十】 4Γ 8 再求最值即可判断. 【详解】己知圆M:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心M(2,),半径R=2; 圆N:(x+22+0y-02=4,圆心N(-2,1),半径r=2, 弦长公式：L=2√2-d=2√4-d平，其中d为圆心到直线的距离， 对于A选项，MW=4=R+r,故圆M与圆N外切，没有公共弦，故A选项错误： 对于B选项，直线：y=kc+b过点(0,1)，代入得b=1,直线方程：x-y+1=0, 圆心M2,)到直线1距离：d,-2k-1+1_21 Vk2+1Vk2+1 试卷第6页（共16页） 圆心(-2，)到直线1距离：d,=-2-1+1-21 Vk2+1 Vk2+1 所以dM=dw,又两圆半径相等，故弦长m=n恒成立，B选项正确： 对于C选项，由B知，当直线I过点(0,1)，则m=n, 因为m+n=45,故m=n=25,又d,=d,=21 Vk2+1 所以由弦长公式。a==2-G-24-吸-24-25，解得长=± 4k2 3 所以，当y=t5 +1时，m+n=4V3 3 当直线为水平线y=t时，dM=dwt-l1, 因为m+n=4V5,即V4-d+V4-d=23,即22V4-t-102=45, 整理得(t-1)2=1,解得1=0或t=2 所以，当y=0和y=2时，m+n=4V3, 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误： 对于D选项，当b=1,直线：y=c+l,即x-y+1=0,d=du=d,? 所以，m=n=24-d,m+n=4W4-d=44 8 Vk2+1V2+1 因为Vk2+1≥1，当k=0时取得等号， 所以，m+n= 8≤8，当k=0时取得等号，即m+n取得最大值8， Vk2+1 此时直线y=1,截两圆弦长均为直径4，m=n=4,m+n=8,故D选项正确. 3 x+1 -x+1 3 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知一个正三棱台的上底边长为2，下底边长为8，侧棱长为5，则该三棱台的体积为 【答案】739 【分析】先计算正三棱台上下底面的面积，再结合侧棱长与上下底面外接圆半径的差，通过勾股定理求出 试卷第7页（共16页） 棱台的高，最后代入棱台体积公式计算结果， 【详解】由思意可知上底面面积S=5×2=5,下底面面积S=5x8=165, 4 4 上底面的外技网的丰轻为5×225。下底面外接颗的半径为：58-85，何装长15 ×2= 3 -×8= 3 3 3 85232 =13,即h=V13 所以三棱台的体积为/-(S+S,+SS)h=3+163+3x16万xV=739 13.已知d=2,=l,a-b<0,当a+2(2eR)的最小值为1时，a在6上的投影向量为 【答案】-√3b 【详解】因为(a+=d+2ā-6+6=2+2a.6+4=(2+a-b-(a-b+4, 所以当=-a.6时，a+取到最小值4-(a-), 所以4-(a-6}=1, 因为ab<0,所以a.b=-3, a-b.6=-36 所以ā在6上的投影向量为 14.已奥na=m(a+2pmB(后 则tana的最小值为 【答案】-5/-↓5 1515 【分析】本题核心是角的配凑，将a+2B拆成（α+）+B,α拆成(a+)-B,利用两角和差正弦公式展 开化简，得到tan(a+B)与tanB的关系式： 再用正切和角公式，把tana表示成关于t=tanB的函数，结合B范围确定t<0,换元后用基本不等式求函 数最小值 试卷第8页（共16页） 【详解】sina=sin(a+B)-B=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB; sin(a+2B)=sin[(a+B)+B=sin(a+B)cosB+cos(@+B)sinB; 代入4sina=sin(a+2p)可得：4sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB=sin(au+B)cosB+cos(a+B)sinB, 整理得：3sin(a+B)cosB=5cos(au+B)sinp 验证os(a+叭wsB≠0：若os月=0，则B-或子但B径 故cosB≠0： 若cos(a+)=0,则sin(a+B)=±1，代入上式左边为0，右边为±5sinB≠0，矛盾，故cos(a+B)≠0. 所以os(c+p)cos/≠0，两边同时除以cos(e+叭op得ame+)-了mB B在第二象限，t<0 5 tana+tan B 入上式：am(a+E,正切和角公式：am(a+例月nng'所以ana+什5》 t 1-tanat 3 整理得：3(tana+t)=5t(1-Itan),3tana+3t=5t-5t2tana, 3310,令u=,所以u>0.则ma=3,因为3+5≥25，所以35≤店 2t -2u 2u 所以有tana= 所以ama之- 15 【点睛】三角条件最值，优先考虑配凑角；把目标量转化为单变量函数后，要留意变量正负，负数不能直 接套用均值不等式，需要换元转为正数再计算， 四、解答题：本大题共5小题77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足2 ccos B-bcosA=acos B. (1)求角B的大小： (2)若a+c=2,求b的取值范围， 【答案】06=子 (2)[1,2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再由三角形内角和以及诱导公式化简即可求解： (2)由正弦定理以及基本不等式即可求解， 【详解】(1)因为2 ccos B-bcos A=acos B, 所以由正弦定理得2 sin Ccos B-sin Bcos A=sin Acos B, sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos B, 试卷第9页（共16页） 所以sin(A+B)=2 sin Ccos B, 因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC, 又0<C<元，所以sinC≠0， 1 所以2cosB=1,即cosB=。 2 因为0<B<π，所以B= 3 2)因为a+c=2,cosB=) -2acc0-aca+e-3ac-4-3acz4-3x(31. 当且仅当a=c=1时，取等号， 所以b≥1，又b<a+c=2, 所以实数b的取值范围为[1,2) 16.如图1，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.福佑崇文阁将AABD沿 直线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近 点C,B),平面EGH与CD交于点F. H E B 图1 图2 (1)证明：BCI∥EF; (2)求点B到平面EFG的距离. 【答案】(I)证明：因为G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近点C,B), 所以GHI∥BC, 又BC丈平面EFGH,GHc平面EFGH,所以BC∥平面EFGH, 又BCC平面BCD,平面BCD∩平面EFGH=EF, 所以BCIIEF 236 4 试卷第10页（共16页) 【分析】(1)先证明GHBC,利用线面平行的判定定理推得BC∥平面EFGH,再由线面平行的性质定理 即可证明BC∥EF; (2)根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得： 【详解】(1)略： (2)因为菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E, 所以E为BD的中点，且EA⊥BD,EC⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AEC平面ABD, 所以AE⊥平面BCD, 又ECC平面BCD,所以EA⊥EC. 故可以E为原点，EB,EC,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA y 则E(0,0,0),B(3,0,0),D(-3,0,0),A0,0,3V3),C0,3V3,0), BCIEF,则点F为CD的中点，故F(-),3),0 又G是AC的三等分点，则G0,2V3,V3), 以B6.00F2330,G=0,23, 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), EFn=-3x+33 2 2 y=0 则 ，故可取n=（3,l,-2) EG·i=2W3y+V3z=0 所以点B到平面EFG的距离为 EB.3336 V3+1+44 17.已知函数f(x)=(a2-4a-4logx(a>0,a≠1)是对数函数。 (1)解方程f(2x+1)=f(x2-2)； 试卷第11页（共16页) a时f任高的，气0+o.证明：1飞y6s色兰 【答案】(1)x=3 (2)证明： f()+)log+g=log, 2 2 (e(） 所us-(5)-g-e()- 2V5 2 x+x2 对任意x,x2∈(0，+o),由基本不等式得x1+x2≥2Vxx2,当且仅当x=x2时等号成立， 故0< 2Wx≤1， x+x2 又y=log5x在(0，+o)上单调递增， 因此log; 2x五 ≤log31=0, x+x2 当且仅当x=x2时等号成立，原不等式得证 【分析】(1)根据对数函数定义求得a值，从而得函数fx)=log,x,根据f(2x+)=f(x2-2)即可求解. 2分别球出片，（任生）解折式，利阳作若法即可求证 【详解】(1)由对数函数定义得a2-4a-4=1, 整理得a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1, 又a>0,a≠1，故a=5,即f(x)=log5x,定义域为(0，+oo). 由f(2x+1)=fx2-2)得： [2x+1>0 x2-2>0 2x+1=x2-2 解方程x2-2x-3=0,得x=3或x=-1, 经检验x=-1不符合定义域要求，舍去，故方程的解为x=3. (2)略 x2,a∈R 18.设函数f(x)=lnr-?, 试卷第12页（共16页) (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数f(x)有两个不同零点x,x2· (i)求实数a的取值范围： (ii)证明： +发， 【答案1(1)当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增：当a<0时，f(x)在(0，N-2a上单调递减，在(N-2a,+o） 上单调递增 (2) (i) （i)由题意知，名是()=n-是的两个不同零点， 令r=1,则4,6是方程-号=0，即1h1-2a=0的两个不等实根. 令g(t)=tnt-2a,t>0,则g(t)=nt+1, 由8'0<0得0<1日，由8'0>0得1> 所以g0在Q)上单调港减，在仁上单调造容 不妨令0<4<二<2， e 要证明+戈>，只需证4+4，>名，即证4> 2 1 2 世g6)>8g-←g)>8民-j小←&6)a民-小o, s0=a0&-小e 可0=-（仔-n任-小因为0=h任-小2.当o》时.由蓬本不等元湘侣-小日 因此h0<h三+2=0.所以0在0，上单调递减。 所以a>得)=0，放g)小s民-小0， 故4+5>2，即+发 21 e 【分析】(1)求导后分类讨论求出函数单调区间即可； (2)()根据函数存在两个零点利用函数的单调性及零点存在定理求参数的取值范围即可； 试卷第13页（共16页） （们)利用西数单洞性及换元法可转化为证明g6)一8任-小0，再由号数证明0)=80-8名-在 t∈0，上单调递减即可得证 【详解】(1)函数f(y)=mr-的定义域为0+∞，)1+20=+2a, x3 当a≥0时，x∈(0，+∞)，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)单调递增： 当a<0时，由f(x)>0得x∈(N-2a,+∞)，由f'(x)<0得x∈(0，N-2a, 所以f(x)在(0，√-2a上单调递减，在(V-2a,+∞上单调递增： 综上，当a≥0时，f(x)在(0，+o)上单调递增：当a<0时，f(x)在(0，V-2a上单调递减，在V-2a,+∞上 单调递增 (2)(i)由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，+o)上单调递增，f(x)至多有1个零点，不符合题意： 当a<0时，要使得f(x)有两个不同零点x,x2, 西装f-f小2回)-=ava-易2hn(-2a+号0，解得石a<0 2e 又f(0)=-a>0,V-2a<l,所以f(x)在(N-2a,+∞)上存在唯一零点2： 由于m>10<x<.所以e=号>1是-a, x x2 x2 取=m、a1 则当xE(0,x)时，f(x)>0,所以f(x)在(0，N-2@存在唯一零点x: (i)略 19.如图，将直角坐标系一般化可得到斜坐标系，设∠xOy=a,0<α<π，记此坐标系为a一坐标系.设Ox,Oy 正向的单位向量分别为e,2,若OP=xg+ye,则OP=(xy). 试卷第14页（共16页） B 1)在a-坐标系中，设ā=(-l2)6=(2,1）,若cosa.)=-6 求cosa: 16 ②准弩坐标系中，4B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的动点，码=2,4C-CB,0D=2DB, DE=2EA,OC与AD交于点F. (①)设△OAF和四边形BCFD的面积分别为S,S,求 S (i)求OE.OF的最大值. 【答案】()4 ②号m10雨 135 【分析】(1)利用向量夹角的余弦公式，将向量用基底展开，计算数量积与模长，建立方程解cosα： (2)()利用向量共线定理，用两种线性组合表示同一向量OF,由基底系数唯一解出比例，再根据“同 高三角形面积比等于底边长之比”计算面积比； (i)先将数量积用OA,OB展开，结合余弦定理化简表达式：再用正弦定理将边长转化为三角函数，通过辅 助角公式求最大值， 【详解】(1)由题意d=-e+2e,b=2e+e2, 计算得a.b=3cosa,a=5-4cosa,b=V5+4cosa, 所以cos<a,b≥d.b 3cosa 3cosa 6 lab5-4cosa5+4cosa V25-16cos2a16, 所以cosa<0,cos2a=, 6,所以cosa= 1 4 (20设0F=0c=oi+00, 又因为4，R,D共线，可设0F=x01+1-x)0D=x0A+2-0B, 试卷第15页（共16页） x=2 因为OA,OB不共线，所以 21-)2:解 40C, 九= 3 2 5 设△04B的面积为S,则S=亏×2 2s, _SS1 S,=SAm-S4e=32530 S, 所u空号 (ii)不妨设A(m,0),B(0,n),m>0,n>0, 由DE=2EA,则E在AD上， 则0E=-01+46=oi+4D=0a+(oi-00)-o1+号oB-号(30i+0), oF-O1+08, 所以oE.0F=4g30i+0moi+0）-5（m++2mn, 在AOAB中， 由余弦定理得，4=m2+n2-mn,所以mn=m2+n2-4, 所以o死.0F-名5m+3n-8. m n 、=24 在aOAB中，由正弦定理得，sinB sin 2zB, 3 4 所以m= 所y。，2880snB+16iB+8=×g2+16x3P 38 32 2 +4V3sin2B-28 40 3 cos2B, 由辅助角公式，43sin2B-28 Cos2B=819 3 sin(2B+), 3不取p(0 其中tanp= 2 由题意知， B0 所以当28+0=号时.(5m+3-8-0+， 3 所以(O.0F)=45 .40+8V19160+32W19 3 135 试卷第16页（共16页)