江苏省南通中学2026-2027学年高三上学期数学周测（9.24）

南通中学高三试卷9.24 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分 1.样本数据0.12,0.09,0.15,0.08,0.11,0.18,0.14的中位数是() A.0.08 B.0.14 C.0.12 D.0.13 2.若集合P={x-3<x-2<3},Q={-1,0,1,2,4},则P∩Q=() A.{-1,0,1,2,4} B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2,4} D.{L,2,4 3.复数z满足z(2-i)=5-10i,则z=() A.V15 B.5 C.15 D.25 4.已知(0-2x)226=a,+ax+a,x2++aosx226，则4，+a,+…+426=() A.0 B.32026 C.3 D.326-1 2 2 5.已知曲线C:r+ =1,设p:2<m<6,q曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆，则p是9的() m-2'6-m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6设函数田42则下列函数中为奇函数的是(】 Ae月 B.+ n.月 7.已知正数x,y,z满足3x2+y2+2=1,则y+ 的最小值为() A.2W5 B.43 C.83 D.16√3 8.若函数)-式-方2-2m+3在区同(-3,3到上有最小值，则正整数m的值有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知复数z=1-i,则() A.Z=1+i B.z4>0 C.z3+(z)为实数 D.z+>2-Z 10.已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=4,圆N:(x+2)2+0y-)2=4,直线1：y=x+b与圆M、圆N均相交， 试卷第1页（共4页） 且截两圆所得的弦长分别为m,n,则() A.圆M与圆N的公共弦所在直线方程为x=0 B.若直线I过点(0,1)，则m=n恒成立 C.满足m+n=4V3的直线l恰有2条 D.当b=1时，m+n的最大值为8 11.在正方体ABCD-AB,CD中，AB=2,E为AD的中点，F是正方形BB,CC内部及边界上一动点， 则下列说法正确的是() A.平面FBD⊥平面ACD B.当EF=V6时，点F的轨迹长度为V2π C.存在直线EF与平面BB,CC内的直线成30°角 D.若G,H分别为4C的三等分点，则GF+HF的最小值为2 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线f(x)=x-3nx+3在点A处的切线与直线2x+y-1=0平行，则点A的坐标为 13.已知椭圆C和双曲线C有相同的焦点R,乃，M是它们的一个公共点，且∠FM=号，若椭圆C的 离心率为 ,则双曲线C,的离心率为 2 14.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA=PB=PC=PD=AB=2.E为侧棱PC的中点， 三棱锥E-PAB的外接球球心为G,则平面EAB与平面GBD夹角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图1，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.将△ABD沿直线BD折 叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近点C,B), 平面EGH与CD交于点F. 图1 图2 (1)证明：BC∥EF;(2)求点B到平面EFG的距离. 试卷第2页（共4页） 16已知双曲线C号若=a>6>0)的左、右顶点分别为A,B,P22.)在C上，满足女如-日 (1)求C的方程： ②过点(3,0)的直线I(与x轴不重合)交C于M,N两点.若MN=8y5 求直线1的方程. 3 17.某校为参加“全国人工智能创新挑战赛成立了专项培训营.培训营分设“算法优化和“智能感知两个小 组，每位学生需选择一个小组参加培训“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历 ,5人无相关获奖经历：“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖 经历. (1)若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次 ()求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率； (ⅱ)已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历 的概率 (2)若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到智能感知”小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1 名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率， 试卷第3页（共4页） 18.己知函数f(x)=lnr+x+1-are(aeR)】 (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)若函数f(x)在[山，+oo)上单调递减，求实数a的取值范围： (3)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 19.若函数 在区间[m,n](m<n)上的最大值与最小值之差为定值k(k>0),则称函数 是在区间 [m,n上的“k距函数. (1)判断函数f(x)=x2-2x是否是区间[0,3)]上的2距函数”，并说明理由： ②足加话数g)-护是定义在-川上的奇量数。且 子，正明：8()是区同-川上的k距函 数”，并求出k的值： (3)若对任意x∈(-l,+o),关于x的不等式1+ln(x+1)≤ce+nc恒成立且实数c的最小值为d. (i)求d的值： (i)已知函数n()=x+16是在区间[m,m+d小上的1距函数，求实数m的值 试卷第4页（共4页）南通中学高三试卷9.24 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分 1.样本数据0.12,0.09,0.15,0.08,0.11,0.18,0.14的中位数是() A.0.08 B.0.14 C.0.12 D.0.13 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的计算方法求解即可， 【详解】将数据从小到大排列为：0.08,0.09,0.11,0.12,0.14,0.15,0.18，共7个数据， 235,所以中位数为第4个数据0,12 2.若集合P={x-3<x-2<3},Q={-1,0,1,2,4},则P∩9=() A.{-1,0,1,2,4 B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2,4} D.{1,2,4} 【答案】C 【详解】集合P={x3<x-2<3}={x-1<x<5},又9={-1,0,1,2,4，所以P∩2={0,1,2,4 3.复数z满足z(2-)=5-10i,则z=() A.V15 B.5 C.15 D.25 【答案】B 【详解】因为2=5,10-502+_=10+51-20i-10-4-3i,所以4-军+3=5 2-i(2-i)(2+i) 5 4.已知0-2x)2m6=a,+ax+a,.x2++a06x2m6，则a2+a4++a26=（) A.0 B.32026 32026 D. 32026-1 C. 2 【答案】D 【详解】令x=0,则126=a,即a。=1, 令x=1,则(-1)026=1=a,+a,+4,+…+a6 令x=-1,则326=a。-4+a,-a3+…+a406, 将1=a+a+a2+…+a6与32026=a,-a,+a2-a,++ao6相加， 得32026+1=2a+2(a2+a,+…+a26),解得a2+a4+…+a2026 32026-1 2 试卷第1页（共21页） 5.已知曲线C:二+广1，设p:2<m<6,9:曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆，则P是9的《） m-2'6-m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出m的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进 行判定即可 【详解】因为2+2 =1是焦点在坐标轴上的椭圆， m-2'6-m m-2≠6-m 所以 m-2>0,解得：2<m<6且m≠4， 6-m>0 所以“p:2<m<6”是“曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆的必要不充分条件。 故选：B 6.设西数()=军2则下列居数中为奇西数的是() A.f) B.+ C + n 【答案】C 【分析】根据选项构造函数g(x),利用g(O)判断A、B、D,根据奇函数的定义判断C 【详解1对于A:令8的=了()-多则闪定义城为R,因为g0)-=了O)子1}0， 31 所以8(x)不是奇函数，A错误： 对于B:令g()=f)+),则g()定义域为R,因为g0)=f@)+=1+ 3 3_5 22 ≠0， 所以g(x)不是奇函数，B错误； 对TC:令g=+》则g网定义该为R, 六a: 2}华10，即8列8所以8d是奇函流，c正 试卷第2页（共21页） 对于D:令创=》子则g)定义城为R, ≠0 ,所以g(x)不是奇函数，D错误， +2 454 7.已知正数x,y,z满足3x2+2+子=1，则y+ 的最小值为() z A.2W5 B.4V5 c.85 D.163 【答案】C 【分析】利用3x2+y2+z2=1,结合基本不等式对3x2+z进行放缩，得到x2关于y的不等式，将目标式转 化为只关于y的单变量函数，对单变量函数求最值，可利用基本不等式求解，同时验证等号成立条件 【详解】根据基本不等式3x2+z2≥2√3x2.z2=25xz,结合已知得1-y2=3x2+z2≥2V3xz, 23,当且仅当V3x=z时等号成立 整理得z≤- y+1≥y+1=230y+D。23 把如的上界代入目标式，可得22，“0-月0产-列， 23 对正数y,由基本不等式yI-y)≤ y+0-少=，当且仅当y=1-y即y=时等号成立. 、24 25≥25 入得0m士=8N3,当y=7时，由3x2=2和3x+2=113 441 4 解得x=巨V6 42 ,均为正数。清足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为83 8.若函数f)-，x2-2m+3在区间(-3,3)上有最小值，则正整数m的值有(） 31 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A -3<x2<3 【分析】利用导数求出函数f(x)的极小值点为x=x2,分析可知f(x2)≤f(-3),据此可求出符合条件的 m∈N 正整数m的值，即可得解， 【详解1因为f(创-兮--2n+3,则/心)=2--2m 因为meN,则△=1+8m>0, 试卷第3页（共21页） 由f'(x)=0可得x= 1-√1+8m 2 1++8m,列表如下： 2 (-0,x) x (x,x2) X2 (x2,+00) '(x) + 0 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f()在x++8m处取得极小值， 2 因为函数f)在区间(-3,3)上有最小值，则++8m∈(3,3)， 2 易知1++8m>0,所以++8m<3且m≥1，解得1≤m<3, 2 2 还需(-3.即写-5-2m+3s(3到-×(3-2m×3到+3. 聚即回得6+3到-3%+9)6-)20，时-+号2ms0, 由题意可知f"(x)=号-x3-2m=0,所以2m=号-x, 整理可得4+3x-2720,解得x≤-3或x24 9 因为5=1++8m>0,故5-1+1+8m≥？，解得m≥ 45 2 2 32 结合1≤m<3,可得5 m<3,又因为meN,所以m=2. 2 综上所述，符合条件的正整数m的取值有且只有1个 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知复数z=1-i,则() A.Z=1+i B.z4>0 C.z3+(z)为实数 D.2+>2- 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的概念，复数的乘方运算及模长公式一一判定选项即可. 【详解】对于A,由共轭复数的概念可知z=1+i,故A正确： 对于B,易知z2=(1-}-2i,z4=(-2=-4<0,故B错误： 试卷第4页（共21页） 对于C,由上可知z3--2i(1-i)=-2i-2,(z)2=(（1+i=2i,(z)°=2i-2, 所以z2+()=4是实数，故C正确： 对于D,由上可知z+z=2,z-z=-2i,2+=2=2-=V(-2)}, 故D错误 10.已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=4,圆N:(x+2)2+0y-)2=4,直线1：y=kc+b与圆M、圆N均相交， 且截两圆所得的弦长分别为m,n,则() A.圆M与圆N的公共弦所在直线方程为x=0 B.若直线I过点(0,1)，则m=n恒成立 C.满足m+n=4√3的直线I恰有2条 D.当b=1时，m+n的最大值为8 【答案】BD 【分析】对于A,根据两圆外切判断：对于B,结合dM=dw,半径相等即可判断：对于C,根据图象，当 直线过点(0，》，则m=m,直线1方程为y= 2x+1时，满足m+n=4v3;当y=0和y=2时，m+n=4V3 3 满足，进而判断C;对于D,结合题意得m+n=4V4-d=4 4 8 k2+1√k2+1 再求最值即可判断： 【详解】己知圆M:(x-2)2+y-1)2=4,圆心M(2,1),半径R=2: 圆N:(x+2)2+0y-)2=4,圆心N(-2,1),半径r=2, 弦长公式：L=2√r2-d2=2V4-d,其中d为圆心到直线的距离， 对于A选项，MW=4=R+r,故圆M与圆N外切，没有公共弦，故A选项错误： 对于B选项，直线：y=+b过点(0,1)，代入得b=1,直线方程：x-y+1=0, 圆心M2,)到直线1距离：d,=12-1+112k1 Vk2+1Vk2+1 圆心N-2,)到直线1距离：dw=-2k-1+_2L Vk2+1Vk2+1 所以dM=dw,又两圆半径相等，故弦长m=n恒成立，B选项正确： 对于C选项，由B知，当直线l过点(0,1)，则m=n, 因为m+n=4v3,故m=n=2√5，又dM=dw= I2k1 Vk2+1 试卷第5页（共21页） 防出孩长公或a=a-24成-24-店-3-25，解得=±9 所以当，=±51时，m+n45 当直线为水平线y=t时，dM=dwt-l川， 因为m+n=43,即4-d+V4-dk=23,即224--1=43， 整理得(t-1)2=1,解得1=0或t=2 所以，当y=0和y=2时，m+n=4√3， 综上，满足条件的直线多于2条，故C错误： 对于D选项，当b=1,直线：y=c+1,即：-y+1=0,d=dw=d,=21 Vk2+1 所以，m=n=2W4-d2，m+n=4V4-d2=4 4Γ8 42+12+1 因为√2+1≥1，当k=0时取得等号， 8 所以，m+n= Vk2+1 ≤8，当k=0时取得等号，即m+n取得最大值8， 此时直线y=1,截两圆弦长均为直径4，m=n=4,m+n=8,故D选项正确. 3 x+1 3 =2 2 11.在正方体ABCD-AB,CD中，AB=2,E为AD的中点，F是正方形BB,CC内部及边界上一动点， 则下列说法正确的是() A.平面FBD⊥平面ACD B.当EF=6时，点F的轨迹长度为2π 2 C.存在直线EF与平面BB,CC内的直线成30°角 D.若G,H分别为4G的三等分点，则GF+HF的最小值为2 3 【答案】ABD 试卷第6页（共21页） 【分析】对于A,先证明BD⊥平面ACD,再利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B,确定点F在以 H为圆心，半径为√2的圆上运动，结合弧长公式即可判断；对于C,求出EF与平面BCCB,所成角的最小 值，即可判断；对于D,建立空间直角坐标系，求出G关于平面BCCB,的对称点为G',再由空间两点间距 离公式可得. 【详解】对于A,连接B,D,则BD⊥4C, D A B 又BB⊥平面ABCD,ACC平面AB,CD,故BB⊥AC, BD∩BB,=B,B,D,BBC平面BB,D,故AC⊥平面BBD, BDC平面BBD,故AC⊥BD,同理AD⊥BD, DA∩AC=A,DA,ACc平面ACD,故BD⊥平面ACD, BDC平面FBD,故平面FBD⊥平面ACD,A正确： 对于B,取B,C的中点为H,连接EH,HF, 则EH⊥平面BCCB,HFc平面BCCB,故EH⊥HF, D E B 由于EF=V6,EH=2,故HF=VEF2-EH=√2， 即点F在以H为圆心，半径为√2的圆上运动， 试卷第7页（共21页） 结合题意知F轨迹为该圆在平面BCCB内的圆弧，如图圆弧， 则H=LL=点AL=,则∠L-管n=x子受 故P轨迹长度为2，B正确： 对于C,从正方体中分离出四棱锥E-B,CCB,B,C的中点为H, E B EH⊥平面BCCB,则EH<EF≤EB=EC,EH=2, ☑B(F) EB=V(N5+2=3,:2<EF≤3， 则EF与平面BCCB所成角的最小值为∠EBH,sim∠EBH=E班-2>1 =EB3>2 即∠EBH>30°，故平面BBCC内不存在一条直线与直线EF成30角，C错误： 对于D,以D为原点建立空间直角坐标系，如图： ZA D H B D A 则A(2,0,0),C(0,2,2) 因为G,H分测为4G的等公，两以c得号引仔) 设G关于平面BCCB,的对称点为G',则G 4102 3’33 由三点共线可知GF+HF的最小值为GH +4+ 211 故D正确 3 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线f(x)=x-3lnx+3在点A处的切线与直线2x+y-1=0平行，则点A的坐标为 试卷第8页（共21页） 【答案】1,4) 【详解】设点A的横坐标为0，由f)=1-3,可得点A处的切线斜率为k=1- Xo 由切线与直线2x+y-1=0平行，可得1-3-2，解得x=1, 又f(1)=4,所以点A的坐标为(1,4). 13.已知椭圆G和双曲线C,有相同的焦点F,F,M是它们的一个公共点，且∠FME,=?, 3 若椭圆C的 离心率为V3 则双曲线C2的离心率为 2 【答案】3V2 【分析】设椭圆C。+=(a>b>0),双曲线℃：女y 凉片=1(m>0n>0),设点M在第一象限，且 M=4,M=2,根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【饼1如图。设张G荐*岁=如>6>0叭双线G话君=烟>0a>0) .x2,y2 因为它们有相同的焦点，所以a2-b2=m2+n2=c2, 不妨设点M在第象限，且M=4,M=42, 因为点M在椭圆C上，所以 +6-24,cosT=4c2 3 4+l2=2a 即 +-42=4c2 4+t2=2a ，又因为(6+22=+号+2442=4a2, 所以3=4a2-4c2,所以4=4a24c 3 因为=3 a 2 所以6-， 又因为点M在双画线G上，所以+号-24cos5=42 3 4-42=2m 即 ∫？+号-442=4c2 又因为(4-52)}=+号-242=4m2, 4-t2=2m 所以华，=4c2-4m,所以c2=4c2-4m2,可得2c=4m, 0 所以双曲线的离心率为 9_3W2 V4×2 4 试卷第9页（共21页） 14.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA=PB=PC=PD=AB=2.E为侧棱PC的中点， 三棱锥E-PAB的外接球球心为G,则平面EAB与平面GBD夹角的正弦值为 【答案】 而3而 1111 【分析】设底面中心为O,以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角 坐标系，设点G(xy,z),根据GA=|GB=GP=GE列方程组解出球心G的坐标，然后利用空间向量法结 合同角三角函数的基本关系可求出平面EAB与平面GBD夹角的正弦值， 【详解】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD=AB=2, 则该四棱锥为正四棱锥，设底面中心为O,则PO⊥平面ABCD,且AC⊥BD, 因为ACc平面ABCD,所以PO⊥AC, 由勾股定理可得AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2， 易知0为AC的中点，所以0A=AC=V2,则P0=√P-OA=N22-2=√2， 2 以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 别4小z.o0)-o(o.0.小c-ao叭pa-回、-号a9) 设三棱锥E-PAB的外接球球心的坐标为G(x,y,z), GA=GB (x-2+y+z2=2+-2+2 由GA=GP得 (x-2+y2+z=x2+y2+2-2月 GA=GE 可p 试卷第10页（共21页) √2 (V22V2 解得x=y=z= 即球心为G 4 44’4 亚Y面的个法有为=2.丽-（区.0小，正-兰a马 m·AB=-V2x+√2y=0 则 mE=32x+22=0’取=1，可得m=(仙，1,3)， 2+ 220 段平G0的-个法的为-小.愿-Q2点0，G-(停5华） [i.DB=2√2y2=0 则 n.DGx+v2 ,取x2=1,可得i=(1,0,-1), 4戈+ 43÷0 2 所以cosm,n= m.n V22 m V11x√2- 11 2 故sinm,n=√l-cos2m,n 22 311 11 11 所以平面EAB与平面GBD夹角的正弦值为3而 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图1，己知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.将△ABD沿直线BD折 叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近点C,B), 平面EGH与CD交于点F. H E B C 图1 图2 (1)证明：BC∥EF: (2)求点B到平面EFG的距离， 【答案】(I)证明：因为G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近点C,B), 试卷第11页（共21页) 所以GHIBC, 又BC丈平面EFGH,GHc平面EFGH,所以BCI∥平面EFGH, 又BCc平面BCD,平面BCD∩平面EFGH=EF, 所以BCI∥EF 236 4 【分析】(I)先证明GH/BC,利用线面平行的判定定理推得BC∥平面EFGH,再由线面平行的性质定理 即可证明BCIEF; (2)根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】(1)略： (2)因为菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E, 所以E为BD的中点，且EA⊥BD,EC⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AEC平面ABD, 所以AE⊥平面BCD, 又ECC平面BCD,所以EA⊥EC 故可以E为原点，EB,EC,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA H D 则E(0,0,0),B3,0,0),D(-3,0,0),A0,0,3v3),C(0,3V3,0), 因0CP,则点F为D的中点，故F多3O 又G是AC的三等分点，则G0,2√3，V3) 所=a.序-(90：G-2w周. 设平面EFG的法向量为i=(x,y,z), 试卷第12页（共21页) EF.=-333 一x+ 则 =0 ,故可取i=(3,l,-2), EG·n=2v3y+V3z=0 所以点B到平面EFG的距离为 EB-n 33 36 V3+1+44 16已知双自线C:号茶-o>0b>0的本、右顶点分别为A,8,P22列在C上，满足k,大。号 (1)求C的方程： (2过点(3.0)的直线1（与x轴不重合）交C于M,N两点.若Mw-8 ,求直线1的方程. 3 【答案】①片-=1 (2)x±y-3=0或x±7y-3=0. 【分析】(1)根据斜率乘积得a2=4,再代入P(2√2,1)即可得其曲线方程： (2)设直线：x=my+3,联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到MW的表达式即可得到方程，解 出即可 111 【详解】1)由题意A-a0,Ba0),故knkm-2N2+a2N2-a4解得d=4. 将ARE)f代A号若=得管=1.所以=1 做双曲线C的方程为，y= (2)过点Q3,0)的直线l(与x轴不重合)，故设直线1：x=my+3. -y=1 4 设M(x,),N(x2,2),联立 ,整理得：（m2-4)y2+6my+5=0, x=my+3 △=36m2-20(m2-4)=16(m2+5)>0且m2-4≠0， 乃+h=-6m 故 m2-4 5 0h= m2-4 故1WF1+mx+}-45 8V3 3 即v+mxi6m+与8w5 m2-4 3 试卷第13页（共21页） 则3(m+6m2+5)=4(m2-4), 即m-50m2+49=0, 解得m2=1或m2=49,即m=±1或m=±7： 故I的方程为：：x±y-3=0或x±7y-3=0. M 17.某校为参加全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营.培训营分设算法优化”和“智能感知两个小 组，每位学生需选择一个小组参加培训“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历 ,5人无相关获奖经历：“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖 经历 (1)若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次. ()求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率： (ⅱ)已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历 的概率 (2)若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到智能感知小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1 名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率 【答案】(1)(i) 28 33 a号 5 02 【分析】(1)()根据给定条件，利用古典概率公式及对立事件的概率公式求解： (ii)结合(i)的结论，利用条件概率公式求解. (2)利用古典概率公式及全概率公式求解 【详解】(1)()设事件A为抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”， 则其对立事件A为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历” 则P(团= 2x13所以P0=1P闭 5×45 28 33 试卷第14页（共21页) (i)设事件B为第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历'， 事件C为2次抽到的学生均有获奖经历，事件D为“第2次抽到的学生有获奖经历”. PB)=5x7=35 2,PC三7文6=面)知P(D, P(BUC)=P(B)+P(C)=35+427 13212 所以PDL0=PDA0_PBUQ=2=山 P(A)P(A) 2816 33 (2)设事件F为“从算法优化'小组抽取的2名学生中， 恰有k人有编程竞赛获奖经历”(k=0,1,2), 事件G为“从‘智能感知'小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”， 依题意，P()= C-5 33’此时智能感知小组有3人有获奖经历，共10人，P(G p(R)-cc_35 266,此时“智能感知”小组有4人有获奖经历，共10人，P(G)=0=二 2，此时智能感知小组有5人有获奖经所，共10人，PG5)=。=, C PE)= 7 1021 由全概率公式得PG=PE,)PG)+P)PGF)+P)PGP,)=5x3+35x2+7x{5 331066^522212 所以从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率为 12 18.已知函数f(x)=lnx+x+1-are(a∈R) (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)若函数f(x)在1，+)上单调递减，求实数a的取值范围： (3)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)y=2x 1 2。+ (3)[1,+o) 【分析】(1)由导数的几何意义求切线斜率，由点斜式求切线方程： 试卷第15页（共21页) (2)方法一，由f()s0分参得到a≥这在L,+四)上恒成立，利用导数求g()=是的最大位，得到a的 范围；方法二，设t=lnx+x,构造函数g()=t+1-ae'(t21),由g'()=1-ae'≤0在[，+oo)上恒成立，转化 为a≥(e)m求解； (3)方法一，分a≤0和a>0讨论f(x)≤0恒成立时a的范围；方法二，由t=lnx+x(x>0),将问题转化 为a≥ 求解， 【详解】(1)当a=0时，f(x)=lnx+x+1,此时f(1)=2, f()=+1,所以f)=2. 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. (2)方法一：因为f(x)=nx+x+1-are在[，+o)上单调递减， 所以了)=1-ax+e=(c+e0在+)上恒成立. 因为x+1>0,所以上a心≤0在+o)上恒成立，印a≥记在+o)上恒废立. 令名田上则田)=0，所以名（因）在儿+四)上单遇递减 (e)2 片以a以=g0=日 所以a≥。时a的取位寇用是 方法二：设t=lnx+x,易知t=lnx+x在[l,+oo)上单调递增，所以t=lnx+x≥l. f(x)=lnr+x+l-ae=lnx+x+1-aenr+,令函数g(t)=t+1-ae'(t≥1)， 由复合函数的单调性法则及f(x)在[山，+o)上单调递减，得g()在l,+o)上单调递减，即g()=1-ae'≤0在 [,+o)上恒成立， 所以对1≥1，a≥e',即a≥(e)nx’ 又当21时，y=e单润递波故(e=e-。所以a≥。即a的取位范是+ 3》方法-网的定义城为0+o-之1-a+0e_+-am】， 试卷第16页（共21页） 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，+o)上单调递增. 又f(e)=ne+e+l-ae=e+2-ae>0,所以f(x)s0不恒成立，故a≤0不符合题意. 当a>0时，令f'(x)=0,得1-axe'=0. 令h(x)=1-are(x≥0)，则h(x)=-a(x+l)e<0在[0，+oo)上恒成立，所以h(x)在[0，+oo)上单调递减， 所以存在x,∈ 使得h(x)=1-ae=0,即ax,e=l,变形得lna+lnx+x=0. 当x∈(0，)时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(x,+o)时，h(x)<0,即f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以[f(x)]x=f()=ln,+o+l-ae=-lna. 因为f(x)≤0恒成立，所以-lna≤0，解得a≥1（符合条件a>0), 所以a的取值范围是[L,+o). 方法二：由(2)，得f(x)=lnx+x+1-aer+“≤0即g(=t+1-ae≤0，其中1=lnx+xx>0), 因为t=lnr+x在(0，+oo)上单调递增，所以teR, 因为f(x)≤0恒成立，即g(t)≤0恒成立，所以a≥ t+ e 令A=u∈R),则N0=忌，令0=0，得1=0， 当t∈(-oo,0)时，H(t)>0,h(t)单调递增；当t∈(0，+o)时，h(t)<0,h(t)单调递减. 所以[h()]=h(0)=1. 所以a≥1，即a的取值范围是[l,+∞). I9.若函数f(x)在区间[m,n(m<n)上的最大值与最小值之差为定值k(k>0),则称函数f(x)是在区间 [m,n上的“k距函数”。 (1)判断函数f()=2-2x是否是区间[0,3)]上的2距函数”，并说明理由： ②已知函数g(-你护是完义在-川上的奇西数，且 1 正明：8()是区间[-川上的距西 2 2 试卷第17页（共21页) 数”，并求出k的值； (3)若对任意x∈(-l,+oo),关于x的不等式1+ln(x+)≤ce+nc恒成立且实数c的最小值为d. (i)求d的值： （D已知国数4()x+兰是在区同风m+小上1距函数，案实致m的值 【答案】(1)不是，理由如下： x2-2x(2<x≤3)(x-1)2-1(2<x≤3) f)=r-2=-2+2x0≤xs2){6x-1y+i(0sx≤2) 当0≤x≤2时，f(x)=-(x-1)2+1, .(x)在[0，上单调递增，在[，2]上单调递减： ∴f(x)x=f(0)=1,f(x)n=f(0)=f(2)=0; 当2<x≤3时，f(x)=(x-1)2-1,.f(x)在(2,3]上单调递增； .f(x)>f(2)=0,f(x)x=f(3)=3: ∴.f(x)在区间[0,3]上f(x)s=3,f(x)=0: ∴.k=f(x)x-f(x)n=3-0=3≠2： ∴函数fx)=x2-2x不是区间[0,3)上的2距函数 (2)k=1 “年护是定义补川上的商两数 g0=b=0.得g创=4经 1 1) 20 2 1+ 5,解得a=l: 4 86-1421sxs0 xe[-l,], g()1+-2-1-2 (1+x2)1+x2 ≥0，即g(x)在区间[-1，]上单调递增。 试卷第18页（共21页） gx)=g0=7g(xm=g(-=-7: ∴k=g(x)-g(x)n=1: ∴g(x)是区间[-1,1上的“k距函数”，且k=1 (3)(i)d=1 (i)-1+3或1-33 2 2 【分析】(1)分析f(x)=x2-2x的分段形式以及单调性，求出其在[0,3]的最大值和最小值，计算两者的差 值与2比较即可； (2)由8()是[-1,1的奇函数，结合82厅 12 求出a,b,再求出g(x)在[-1，]上的单调性，求出g(x)的 最大值和最小值，最后计算最值的差值得到k (3)(i)将不等式变形为x+1+ln(c+)≤ce+h(ce）,构造函数利用其单调性转化为+ ≤c,求出左侧 函数的最大值即可得到c的最小值d: .16 (ii)先确定h(x)=x+'的单调性与极值点，再根据区间[m,m+d与极值点的位置关系分类讨论，分别求 出区间内的最大值与最小值，令最值差值为1求解m 【详解】(1)略 (2)略 (3)(i):l+ln(x+l)≤ce+lnc,则x+l+ln(x+l)≤ce+ln(ce) 令p)=1+ln(>0),则p)=1+>0,即p0在(0，+o)上单调递增 ~x+1+ln(x+)≤ce+ln(ce),即p(x+l)≤p(ce),则x+1≤ce. 对任意x∈L+o,关于x的不等式1+hx+山sce+hc恒成立，等价于Sc对任意x∈山+o)恒 成立 。e(1小，则=专 令4()=x+ 当x∈(0，+o)时，W(x)<0,则u(x)在(0，+o)上单调递减：当xe(-1,0)时，'(x)>0,则u(x)在(-1,0)上单 调递增； ∴.u(x)max=u(0)=l; ∴.c≥1，即c的最小值d=1. 试卷第19页（共21页) 《角d=1得西数(-x+白是在区间mm+刊上的1距函数，即区间内放大值与小值的差为1 :h(x)=x+16,hx)的定义域为(-m,0u(0,+o) x =19 令h(x)=0,解得x=±4. 当x∈（o,-4)时，h(x)>0,则h(x)在(-o,-4上单调递增；当x∈(-4,0)时，h(x)<0,则h(x)在(-4,0) 上单调递减；当x∈(0,4)时，h(x)<0,则h(x)在(0,4)上单调递减：当x∈(4，+o)时，H(x)>0,则h(x) 在(4，+o)上单调递增. ①当m+lS-4,即m≤-5，此时h()在[mm+刊上单调递增，h()=h(m+)）=m+1+16 +11 =b)=m+,则hm+）-hm=m+116 2 =1，方程无解，舍去； m ②当m<4<m+1,即-5<m<-4时，h(x)x=h(4)=-8,则h(x)=-9: x+16-9,解得x=9±厅，不符合题意，舍去： 2 ③当 m4,即-4<m<-1时，此时()在[mm+刊上单调递减， m+1<0 Ae以==m+he=w+=1+1则oa(a-a1+ 16 二1 m+1 得m心+m-8=0·解得m=1历，m=1+5(不符合题高，舍去为 2 2 ④当 m>0，即0<m<3时，此时h()在[m,m+上单调递减， m+1<4 则 h)=Am)=m+16,h=am+1）=mt1+16 m (m)-hm+=m+n++,得m+m-8=0,解复 m=1,3丽（不符合题意，含去）.%=+因 2 2 ⑤当m<4<m+l,即3<m<4时，h(x)m=h(4)=8,则h(x)mx=9: x+6=9,解得x=9生7，不符合题意，舍去： 2 @当m>4时，此时在mm+门上单调递增，=hm+)=m++6(☒=(=m+ m 试卷第20页（共21页) 厕(m+-hm=m+1士m一m-，方程无解，舍玉 m 综上，m=1+33或-1-V33 2 2 试卷第21页（共21页）