重难点专题 正多边形与圆+圆内综合压轴（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 正多边形与圆+圆内综合压轴（本章终极难点） 重难点一 正多边形与圆基础计算 固定解题模型：等腰三角形拆分直角三角形. 解题步骤： ① 连接圆心与正多边形相邻两顶点（得半径R）； ② 作边心距（垂直边长），把等腰三角形切成两个全等直角三角形； ③ 在直角三角形中，用三角函数、勾股定理，求边长、边心距、周长、面积. 核心数据：正n边形中心角=，所有计算围绕中心角展开. 1.边长为6的正三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2.如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A． B． C． D． 3.如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（    ） A．8 B． C． D． 4.如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5.正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（　　）    A． B． C． D． 6.如图，正六边形，P点在EF上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（    ） A． B． C． D． 7.如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形．若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点对应的数是（   ） A． B． C． D． 8.半径为4的正八边形的面积为 ． 9.如图，正五边形内接于，连接，则为 °    10.如图，边长为的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为 . 11.如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为 . 12.如图，点为半径为的正六边形的中心，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连结，则的长是 .    13.图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ． 盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ． 14.如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 15.如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 16.用一批全长为的篱笆围出一块草地，分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形和圆时的面积（精确到），并比较它们的大小． 17.如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，求周长的最小值. 18.平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 (1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 (2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 (3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 (4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 重难点二 本章圆内综合压轴（无切线、无位置关系） 综合考点：垂径定理+圆周角+圆内接四边形+面积计算结合 通用解题流程： ① 识图找基础模型（直径直角、垂径直角、圆内接四边形）； ② 用角度定理转化未知角，用勾股/三角函数求边长； ③ 结合面积公式求解周长、面积、比值问题. 核心技巧：所有综合题，拆解为前三个专题的基础模型，分步突破. 本章专属辅助线口诀： 1. 遇弦必作弦心距，勾股定理解边长； 2. 遇直径必连端点，快速构造直角角； 3. 遇圆内接四边形，优先对角互补、外角代换； 4. 遇正多边形，连半径、作边心距、拆直角三角形； 5. 遇阴影面积，优先割补转化、等积替换. 1.已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C．8 D． 2.如图，内接于，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4.如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（　　） A．一直不变 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 6.如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 7.如图，在中，，，，相交于点，那么的度数为 . 8.如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是 ． 9.如图，，O为的中点，的半径为1，点P是上一动点，以为边作等边三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），连接，则线段长的最大值为 ．    10.如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为点、点，则下列结论正确的是 ．①；②；③与相切；④若，，则． 11.[发现] 如图（1），为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数 （填“变”或“不变”）；若，则 ．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某一个确定的圆上运动呢？ [研究] 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若，直线上方一点满足，为了画出点所在的圆，小明以为底边构造了一个等腰，再以为圆心，为半径画圆，则点在上．请根据小明的思路在图中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． [应用] （1）如图（3），，平面内一点满足，则面积的最大值为 ． （2）如图（4），已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，点是的内心． ① ； ②连接，若正方形的边长为2，求的最小值． 12.已知：四边形内接于，点E在弧上，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)若经过圆心O，如图2，求证：； (3)在（2）的条件下，点G在弧上，连接与AC交于F，的延长线与交于点H，，连接、，当，，时，如图3，求长． 13.【实验操作】 已知线段，用量角器作，兴趣小组通过操作、观察、讨论后发现：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小明同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）． (1)请你帮助解决小明同学提出的问题： ①该弧所在圆的半径长为_____；②面积的最大值为______； (2)小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请证明； (3)如图2，在平面直角坐标系第一象限内有一点，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），使得的位置有两个，则的取值范围是______． 14.如图（），是的直径，点、在上，，，． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)如图（），是半圆的中点，连接，求的长． 15.如图，内接于，是的直径，交于点，    (1)求证：： (2)如图，连接，点在弧上，连接，，求证：；    (3)在（2）的条件下，连接，与交于点，， ，的面积为，求的半径．    16.阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 正多边形与圆+圆内综合压轴（本章终极难点） 重难点一 正多边形与圆基础计算 固定解题模型：等腰三角形拆分直角三角形. 解题步骤： ① 连接圆心与正多边形相邻两顶点（得半径R）； ② 作边心距（垂直边长），把等腰三角形切成两个全等直角三角形； ③ 在直角三角形中，用三角函数、勾股定理，求边长、边心距、周长、面积. 核心数据：正n边形中心角=，所有计算围绕中心角展开. 1.边长为6的正三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【分析】如图，连接，作，求解，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，作， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故选：A． 2.如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出是解答本题的关键． 连接，，证明是等边三角形，得到，由垂径定理求出，在利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 故选：． 3.如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（    ） A．8 B． C． D． 【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键． 【详解】如图所示：将三角形分割为，补到位置． ， 故选：C． 4.如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积公式，先根据正多边形的性质求出即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：A． 5.正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（　　）    A． B． C． D． 【分析】本题主要考查的是圆内接正多边形的性质以及圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，由于圆内接正方形将圆分成四等分，所以，由圆周角定理知，根据即可得出答案． 【详解】解：连接； 四边形是圆的内接正方形， ； ， ， 故选：C．    6.如图，正六边形，P点在BF上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（    ） A． B． C． D． 【分析】连接，交于，设正六边形边长为，在正六边形中求得则，易得，，，设，则，分别求得计算即可． 【详解】解：连接，交于， 设正六边形边长为， 在正六边形中求得， 则，， ，易得四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7.如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形．若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点对应的数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了实数与数轴的关系、等边三角形的性质、求弧长，利用等边三角形的性质及三角形内角和求得三条弧长的和，然后根据实数与数轴的关系即可求解，结合已知求得是解题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ∴的长度即为以为半径的半圆的弧长， 即：， ∵点A表示的数为， ∴将勒洛三角形向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是， 故选：D． 8.半径为4的正八边形的面积为 ． 【分析】连接、，过A作于M，根据正八边形得到，根据正八边形的半径为4，得到，推出，正八边形的面积有这样的八个全等的等腰三角形面积组成，乘以8即可． 本题考查了正多边形的面积，熟练掌握中心角计算，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积计算公式，多边形的面积为三角形面积的倍数计算，是解决问题的关键． 【详解】设正八边形为，中心为O， 连接、，过A作于M，如图所示，则， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为，． 故答案为：． 9.如图，正五边形内接于，连接，则为 °    【分析】由题意知，正五边形的内角为，，则，然后计算求解，即可． 【详解】解：由题意知，正五边形的内角为，， ∴， ∴． 10.如图，边长为的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为 . 【分析】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长．首先求得从B到时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是的长，又由正六边形的内角为，求得所对的圆心角为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角为， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为： ． 11.如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为 . 【分析】连接、交于点，连接、．根据，可得、、、四点共圆，进而根据得出线段的最大值． 【详解】如图，连接、交于点，连接、． ， 、、、四点共圆， 正方形的边长为， ， 为的中点，是的中点， ， ， 当点在线段上时，， 即线段的最大值为． 12.如图，点为半径为的正六边形的中心，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连结，则的长是 .    【分析】本题考查正多边形的中心和半径，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，根据正多边形的中心和半径的定义可知，根据作图可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据勾股定理即可得出答案．掌握正多边形的中心和半径的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵点为半径为的正六边形的中心， ∴， ∵分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧的相交于点， ∴， ∵，即点是的中点， ∴， ∴， ∴的长是．    13.图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ． 盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ． 【分析】设 的圆心是 ，作 于 ，连接 ，由正六边形的性质求出 ， 的长， 由直角三角形的性质， 等腰三角形的性质求出 的长，得到 的长，由勾股定理列出关于 半径的方程， 即可解决问题； 【详解】解：设 的圆心 是 ，作 于 ，连 接 ， ∵ 是圆弧最高点， ∴ 在 上， ∵两个多边形是正六边形， ∴ ， ∴， ∴ 是等边三角形， 三点共线， ∵四边形 是矩形， ∴ ∵圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之 比为 ， ∴ 到 的距离是 ， 设 的半径是 ， ∴ 的半径是 故答案为： 14.如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 15.如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2） 解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 16.用一批全长为的篱笆围出一块草地，分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形和圆时的面积（精确到），并比较它们的大小． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质是解题的关键． 先根据周长求正三角形，正方形，正六边形的边长，圆的半径，然后求高，求面积，最后比大小即可． 【详解】解：由题意可得，正三角形的边长为， ∴正三角形底边上的高为； ∴； ∵正方形的边长为， ∴， ∵正六边形的边长为， ∴边心距为， ∴； ∵圆的半径， ∴； ∵， ∴在周长都是时，． 17.如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，求周长的最小值. 【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算． 【详解】如图所示， （1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M． 四边形是平行四边形 则 （2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则． 此时 （1）中周长取到最小值 四边形是平行四边形 四边形是正方形 ， 又，， 又 是等腰三角形 ，则圆的半径， 18.平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 (1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 (2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 (3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 (4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论； （2）利用定义即可画出正方形的“伴侣形”， 连接、和，根据定义有为等边三角形，得，求得，结合弧长公式即可求得答案； （3）当，连接、、和，由题意得，则和为等边三角形，得，由和的度数，即可求得的长度，则有“远伴侣形”的周长；当时，“远伴侣形”的周长同理即可求得； （4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周长． 【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当时，“伴侣形”为一个点，当时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”； 不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”； （2）如图，    设“伴侣形”的两个顶点为E、F，连接、和，如图，    由题意得，则为等边三角形，得， ∴，同理， ∴， 则， 故正方形的“伴侣形”的周长， （3）   连接、、和，如图， 由题意得，则和为等边三角形，得， ∵， ∴ 则， 故当时，其“远伴侣形”的周长为， 当时，“远伴侣形”的周长为， （4）． 重难点二 本章圆内综合压轴（无切线、无位置关系） 综合考点：垂径定理+圆周角+圆内接四边形+面积计算结合 通用解题流程： ① 识图找基础模型（直径直角、垂径直角、圆内接四边形）； ② 用角度定理转化未知角，用勾股/三角函数求边长； ③ 结合面积公式求解周长、面积、比值问题. 核心技巧：所有综合题，拆解为前三个专题的基础模型，分步突破. 本章专属辅助线口诀： 1. 遇弦必作弦心距，勾股定理解边长； 2. 遇直径必连端点，快速构造直角角； 3. 遇圆内接四边形，优先对角互补、外角代换； 4. 遇正多边形，连半径、作边心距、拆直角三角形； 5. 遇阴影面积，优先割补转化、等积替换. 1.已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【分析】以为边作等边三角形，作的外接圆O，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：以为边作等边，作的外接圆O，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴点C在优弧上， 当为外接圆O的直径时，最大，且最大值为8， 故选：C． 2.如图，内接于，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，适当添加辅助线是解题关键． 【详解】解：连接， ， ， ， ． 故选：C． 3.如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理、折叠的性质、圆内接四边形的性质，根据题意，做出合适的辅助线，然后根据圆内接四边形对角互补和折叠的性质，可以求得的度数． 【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，    为直径， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 故选：A． 4.如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（    ） A． B． C． D． 【分析】连接，根据圆周角定理得，推出，根据同底等高的三角形的性质得到，从而得到，由轴对称的性质得到四边形的面积，由此可得答案． 【详解】解：已知的面积． 如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，    ∴， ∴与是同底等高的三角形， ∴， ∴， ∴， ∵直径平分， ∴四边形关于对称，关于对称， ∴四边形的面积，， ∴四边形的面积， 故选：D． 5.如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（　　） A．一直不变 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【分析】为的弦，且，故连接，过做，结合和垂径定理，则可知的数量关系，从而可知的关系，最后由线段的长度变化即可求解线段的长度变化． 【详解】连接，过做 即 在含的中，有 为圆的直径，为圆的半径 ，即 由图可知，当点从点运动到点的过程中，线段的长度先减小后增大 线段的长度先减小后增大 故答案是：C． 6.如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式即可证明③错误；当时，四边形的周长最大，据此求解即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故③错误； ∵，要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故④正确； 综上，①②④正确； 故选：C 7.如图，在中，，，，相交于点，那么的度数为 . 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质、三角形外角和内角关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可计算出度数，再根据平行线的性质可得到，再根据三角形外角和内角的关系，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 8.如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是 ． 【分析】连接，与相交于点，根据圆周角定理得到，利用勾股定理计算出，再利用垂径定理得出，则，，，再利用勾股定理计算出，再计算出即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点， ， 为直径， ， 在中，， 弦平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：． 9.如图，，O为的中点，的半径为1，点P是上一动点，以为边作等边三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），连接，则线段长的最大值为 ．    【分析】以为边作等边，连接，证明，可得，从而得到点C的运动轨迹是以点K为圆心，长为半径的的圆，再证得，可求出，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，则，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，长为半径的圆， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最大值为． 故答案为： 10.如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为点、点，则下列结论正确的是 ．①；②；③与相切；④若，，则． 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③，证明，，得出，，进而即可求解． 【详解】如图，连接， ，， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ，， ，故①正确， 不能确定， 不一定成立，故②错误， 如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是直径， ， 即， ， ， ， 与相切，故③正确， ，，， ， ，， ∵，， ∴， ， ，， ，故④正确． 故答案为：①③④． 11.[发现] 如图（1），为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数 （填“变”或“不变”）；若，则 ．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某一个确定的圆上运动呢？ [研究] 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若，直线上方一点满足，为了画出点所在的圆，小明以为底边构造了一个等腰，再以为圆心，为半径画圆，则点在上．请根据小明的思路在图中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． [应用] （1）如图（3），，平面内一点满足，则面积的最大值为 ． （2）如图（4），已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，点是的内心． ① ； ②连接，若正方形的边长为2，求的最小值． 【分析】[发现]根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出； [研究]先作出的垂直平分线，再以垂足为圆心，的一半为半径确定出圆心，即可得出结论； [应用]（1）先确定出的外接圆的半径，再判断出点到的最大距离为3，即可得出结论； （2）①先确定出，再判断出，，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论； ②先作出的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出最小时，点的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：[发现]根据圆周角性质，的度数不变， ∵， ∴， 故答案为：不变，； [研究]补全图形如图1所示， [应用]（1）如图2，设的外接圆的圆心为，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴， 在中，设的半径为，则， 根据勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∵点到的最大距离为， ∴． 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴，分别是和的角平分线， ∴，， ∴； 故答案为：； ②如图3，作的外接圆，圆心记作点，连接，，在优弧上取一点Q，连接，， 则四边形是的圆内接四边形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，与相交于点此时，是的最小值， 过点作于，，交的延长线于， 则四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 12.已知：四边形内接于，点E在弧上，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)若经过圆心O，如图2，求证：； (3)在（2）的条件下，点G在弧上，连接与AC交于F，的延长线与交于点H，，连接、，当，，时，如图3，求长． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，则，结合，进而得出，即可求证； （2）根据是的直径，得出，根据，，得出，则，即可求证； （3）先证明，连接，得出，连接、，延长交于点N，证明，再根据平行线分线段成比例可得，延长交于点M，连接、，推出，连接交于点K，证明四边形是矩形，则，设，则，，，得出，则，，，在中，根据勾股定理列出方程求出，进而得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，最后根据． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接、，延长交于点N， ，， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于点M，连接、， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 连接交于点K， 是直径， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中， ， ， ， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 13.【实验操作】 已知线段，用量角器作，兴趣小组通过操作、观察、讨论后发现：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小明同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）． (1)请你帮助解决小明同学提出的问题： ①该弧所在圆的半径长为_____；②面积的最大值为______； (2)小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请证明； (3)如图2，在平面直角坐标系第一象限内有一点，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），使得的位置有两个，则的取值范围是______． 【分析】（1）①由圆周角定理可得，可证是等边三角形，进而可求解； ②由题意可得当点A到的距离最大时，的面积最大，进而可求解； （2）由同弧所对的圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论； （3）以为边作等腰直角三角形，以点O为圆心，为半径作圆D，可得当点P在上方的圆D上时，，分别求出点B在圆D和线段与圆D相切时，m的值，进而可求解． 【详解】（1）解：①如图1，设O为圆心，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即半径为， 故答案为：； ②∵以为底边，， ∴当点A到的距离最大时，的面积最大， 如图1，过点O作的垂线，垂足为E，延长，交圆于D， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大面积为， 故答案为：； （2）解：如图，延长，交圆于点，连接， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图2，以为斜边作等腰直角三角形，以点D为圆心，为半径作圆D，连接． ∴，， ∴当点P在上方的圆D上时，． ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形． 当点A或点B在圆D上时， ∵， ∴O，D，B共线， ∴， ∴， ∴，即； 当与圆D相切时， 作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14.如图（），是的直径，点、在上，，，． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)如图（），是半圆的中点，连接，求的长． 【分析】（）利用平行线的性质得，又，则； （）作于，于，则，利用勾股定理计算出，再利用面积法得到，再利用勾股定理计算出，然后证明，得到，从而有； （）作于，连接、 ，证明为等腰直角三角形得到，利用为等腰直角三角形得到，然后利用勾股定理计算出，最后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明: ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）作于，于，如图， 则， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）作于，连接、 ，如图， ∵ 是半圆的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 15.如图，内接于，是的直径，交于点，    (1)求证：： (2)如图，连接，点在弧上，连接，，求证：；    (3)在（2）的条件下，连接，与交于点，， ，的面积为，求的半径．    【分析】（1）连接，可证，由即可得证； （2）连接，， 可证，再证，即可得证； （3）连接，在上取点，连接，使，连接交于，可证，可得，，，可求，，连接，并延长交的延长线于，可证，过作交于，交于，可证，从而可得，，可证，可得，，过作，设，，可求，由，，可求，连接，可求，过作交，，可得，，由，，可求，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是直径， ， ， ． （2）证明：连接，，    ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，连接，在上取点，连接，使，连接交于，    设， ， ， ， 在和中 ， ()， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， 连接，并延长交的延长线于， ， ， ， ，， 过作交于，交于， ，， ， 在和中 ， ()， ，， 在和中 ， ()， ，， ， 过作，设，， 则有，， ， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， 连接， ， ， ， ， ， ， 过作交， ， ， ， 在和中， ， ()， ，， ， 在中，， 在中， ， ， ， 解得：，(舍去)， ， ， ，， ， ， 半径． 16.阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【分析】(1) ①根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质计算即可． (2) 根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆得性质计算即可． (3) 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质，弧长公式计算即可． 本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 【详解】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，． （2），， ，，， 点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小， 点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）如图3，连接， 点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①结论：， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $