精品解析：陕西省宝鸡市宝鸡中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

宝鸡中学高一月考数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题：，的否定是（　　） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 4. 已知集合满足，则不同的的个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 若，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两个或三个选项是符合题目要求的. 9. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 10. 解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集为或 C. 当时，不等式的解集为 D. 当时，不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，，若，则的取值范围为_____． 12. 已知，则的最小值为______． 13. 定义运算，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是__. 四、解答题：本大题共5小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设集合，. （1）若，试判断集合与的关系； （2）若，求的值组成的集合. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． （1）证明糖水不等式； （2）已知是三角形的三边，求证：． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，，不等式的解集为，求的值； （3）若恒成立且时，求的最小值． 18. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 阅读材料二：基本不等式（），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值. （2）若，解关于的方程. （3）若正数满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡中学高一月考数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，，可得， 所以. 2. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得. 因为，但推不出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 3. 命题：，的否定是（　　） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，条件不变，结论否定. 把“”改为“”，条件不变，把“”改为“”，得，，选C. 4. 已知集合满足，则不同的的个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D； 【详解】解：对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：由，则，，所以，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确； 故选：D 6. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项通分，注意分母不为零. 【详解】原不等式化为，即，也就是，解得. 7. 若，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 8. 已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出命题的否定，注意内层区间非空. 【详解】原命题为假，等价于存在，使得对任意都有. 这需要的最小值小于的下界，即； 同时内层区间非空，，即. 故，即实数的取值范围为 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两个或三个选项是符合题目要求的. 9. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式计算一一判定即可. 【详解】不妨设矩形长宽分别为，则. 对于A项，显然成立，符合， 对于C项，显然成立，符合， 即A、C正确； 对于B项，显然不成立， 对于D项，显然不成立，即B、D错误. 故选:AC 10. 解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，不等式的解集为或 C. 当时，不等式的解集为 D. 当时，不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论参数，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误. 【详解】A：，则，可得解集为，正确； B：，则，可得解集为或，正确； C：，当时解集为；当时无解；当时解集为，错误； D：由C知：，即，此时无解，正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的关系列不等式，可得解. 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 12. 已知，则的最小值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：7. 13. 定义运算，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是__. 【答案】 【解析】 【分析】将题给不等式转化为对任意实数x恒成立，再分和讨论即可求出a的取值范围. 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数x恒成立； 当时，，恒成立； 当时，则有，解得， 综上，，则实数a的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设集合，. （1）若，试判断集合与的关系； （2）若，求的值组成的集合. 【答案】（1）是的真子集； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出，根据集合间基本关系判断即可； （2）分与两种情况结合集合间基本关系讨论求解即可. 【小问1详解】 集合. 当时，集合， 所以且，即是的真子集. 【小问2详解】 当时，； 当时，，需或，得或. 故. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，解不等式求出集合，再根据交集定义求； （2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，由此可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 由题意得，或 当时，，所以， 【小问2详解】 因为或，所以， 若是的充分条件，则 所以，，解得，所以，实数的取值范围是. 16. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． （1）证明糖水不等式； （2）已知是三角形的三边，求证：． 【答案】（1） ， 因为，所以， 所以，即． （2） 因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，，不等式的解集为，求的值； （3）若恒成立且时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【小问1详解】 由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. 【小问3详解】 对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 18. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 阅读材料二：基本不等式（），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值. （2）若，解关于的方程. （3）若正数满足，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）将逆向替换后化简即可； （2）先证恒等式，再化简计算即可求解； （3）消去后作代数变形，根据判别式建立不等式计算求解即可. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 令，，，且， 则 ， 原方程左边，所以，. 【小问3详解】 由，得，， 设，去分母整理得， 当时，方程可化为，不符合题意； 当时，由判别式，结合得. 当时取等号，故最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $