4.1指数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 一、　n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 [来源:学|科|网] a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 二、　根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 三、　分数指数幂的意义 分数指数幂[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学|科|网][来源:Z&xx&k.Com] 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)[来源:学*科*网] 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 四、　有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 五、　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 六、　实数指数幂的运算性质[来源:学,科,网Z,X,X,K] 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 知识点1 由根式的意义求范围 对于，当n为偶数时，要注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，必不为负． 【例1】求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围． 解　＝＝|a－3|， 要使|a－3|＝(3－a)成立，需解得a∈[－3,3]． 知识点2 利用根式的性质化简求值 正确区分与()n (1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 【例2】求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【解】(1). (2). (3). (4). 知识点3 根式与分数指数幂的互化（重点） 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【例3】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)(x>0)； (3)(b>0)． 解　(1)原式 ＝＝ ＝. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ . (3)原式＝＝ ＝. 知识点4 利用分数指数幂的运算性质化简求值（重点） 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质． 【例4-1】化简下列各式：； 【解】(1)解： ． 【例4-2】计算： (1)； (2)． 【解】（1）原式． （2）原式 ===2+2= 知识点5 整体替换法求分数指数幂 【例5】(1)已知＋＝，则x2＋x－2＝________. 答案　7 解析　将＋＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5， 则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7. (2)已知x＋x－1＝7，求值：＋. 解　设m＝＋，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9， 因为m>0，所以m＝3，即＋＝3. 自我总结： ； ； 。 1．下列选项中，计算结果等于4a3的是（     ） A． B．   C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，A错误； 时，，B错误； ，C错误； ，D正确， 故选：D 2．化简的结果是（     ） A．0 B． C．0或 D． 【答案】C 【详解】． 当时，原式； 当是，原式． 故选:C． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：C 4．化简（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 5．若则（     ） A．10 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】因为 两边平方得， 即， 所以原式， 故选：C 6．化简结果为（     ） A．a B．b C． D． 【答案】A 【详解】根据实数指数幂的运算公式，可得： . 故选：A. 7．已知，则化为（     ） A． B． C．m D．1 【答案】C 【详解】，. 故选：C． 8．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解：对于选项A，因为，而，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B错误； 对于选项C，因为成立，所以C正确； 对于选项D，当时，，所以D正确. 故选：CD. 9．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（     ） A． B． C．) D． 【答案】BD 【详解】A选项，由于，所以，A选项错误. B选项，正确，B选项正确. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：BD 10．化简的结果为________ 【答案】 【详解】. 故答案为：. 11．计算：___． 【答案】 【详解】原式. 故答案为： 12．已知，则的值为_______ 【答案】0 【详解】当时， ，故答案为：0. 13．已知，，，且，则______． 【答案】4 【详解】因为，， 所以两式相乘得，则． 将代入，得， 所以． 故答案为：4 14．已知，则___________. 【答案】 【详解】. 故答案为：. 15．化简下列各式： (1) (2)若，，求． 【答案】(1)0 (2)12 (1)解： (2)解：因为，，所以 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 指数 掌握要点 a+b=c 一、n次方根、n次根式 1.a的n次方根的定义 一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方根，其中>l,且n∈Nt 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 必 [0,+∞) 3根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、 根式的性质 第1页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 1.=0n∈N,且>1). 2.0=a(a≥0，n∈N,且>1). 3.=an为大于1的奇数). 4.=lad=(n为大于1的偶数). 三、 分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a”=(心0，m,n∈，且心1) m 1 负分数指数幂 a n=- m 规定： a"=(a>0,m,n∈N,且el) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 四、 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (I)dd=dt(a>0,r,s∈Q: (2)(d)=d(a心0，，s∈Q): (3)(aby=db(a心0，b>0,r∈Q). 五、 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(>0，α为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无 理数指数幂 六、 实数指数幂的运算性质 1.dd=ds(心0，r,s∈R) 2.(d)=d(a>0,r,s∈R). 3.(aby=db(a心0，b>0,r∈R). 第2页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 实 探索知识 知识点1 由根式的意义求范围 【例1】求使等式=(3一)成立的实数a的取值范围. 知识点2 利用根式的性质化简求值 【例2】求下列各式的值： (1)-6:( ②)-7列；(3)2-2；（④x-y5. 知识点3 根式与分数指数幂的互化（重点） 【例3】将下列根式化成分数指数幂的形式： 第3页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 2 (1)a>0): (2)x>0): (3) (b>0). 知识点4 利用分数指数幂的运算性质化简求值（重点） 【例4-1】化简下列各式：aa÷Va,aa后： 【例4-2】计算： a-os+6); ®02s(26244 知识点5 整体替换法求分数指数幂 【例5】(1)已知x2+x2=,则x+x2= 第4页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ ②已知x+r1=7,求值：2+x号 工con do许 SAT 自我总结： 2 弄懂了吗？ 1.下列选项中，计算结果等于4的是（) A.2a3.2a3 B.5a-a C.8a3÷2a D.a3+3a3 2.化简a-b+b-a的结果是() A.0 B.2(b-a) 2(b-a) C.0或 D 2(a-b) 第5页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 3.下列运算正确的是（) B.2018°-3-8=-1 C.3a,2a2=6a(a≠0j D.i8-2=V6 4.化简4-25-4+25=（) A.2V5 B.-23 C.2 D.-2 =4, x2 5,若x+x”则x+x2+1（ c A.10 B.15 D.16 6化o6e>ab0果为() a b A.a B.b c. D.a 15 7.已知m>0,则VmVm2m化为() A.m B.m2 C.m D.1 8.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是() A.-√=（←x) B.F=y20<0) c 诉×0 1 D.[rf=>0 第6页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 9.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（) A.2=y0<0) C.x5=(x≠0) D.[]=6>0 10.化简2-5(5+2 的结果为 山.计第.〔（ 12.已知x=5-2v6,则x2-10x+1的值为 13.已知a2”= 4’am=256,a>0,且a≠1，则am= asx-a-3x 14.已知a2x=5,则a-ar 15.化简下列各式： (①-2}+2 (2)若10=3,10'=2，求10*2. 第7页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 第8页共8页