复习06 运动学追及相遇问题 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

复习6．《运动学追及与相遇》讲义 复习目标：1．会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件。 2．会根据位移关系、时间关系列方程。 知识点复习一、处理追及相遇问题的思路和方法 1．追及相遇问题：两物体在同一直线上一前一后运动，速度 时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇（碰撞）的情况，这类问题称为追及相遇问题。 2．追及相遇问题中二者距离变化与速度大小的关系 基本物理模型：以甲追乙为例。 （1）无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离就不断 。 （2）若v甲＝v乙，甲、乙的距离 。 （3）无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断 。 3．分析思路：可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 （1）一个临界条件： 相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； （2）两个等量关系： 等量关系和 等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 4．常用分析方法 （1）物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 （2）二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇 ； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好 或 ； ③若Δ<0，无解，说明 或 。 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的 或 。 【题1】一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求： （1）汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ （2）汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ 思路点拨　开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。 【题2】平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问： （1）甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ （2）在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？ 知识点复习二、追及相遇问题的常见情况 1．初速度小者追初速度大者——最大距离问题 实物图 情景图 匀加速追匀速　 匀速追匀减速　匀加速追匀减速 注意：匀速（或匀加速）追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论 t＝t0以前（v2<v1） 两物体距离 t＝t0时（v1＝v2） 相距 t＝t0以后（v2>v1） 两物体距离 追及情况 只能追上 【题3】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0＝13 m远处以v0＝8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，求： （1）警车发动后追上违章的货车所用的时间t； （2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。 【题4】甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点开始做直线运动，它们运动的速度随时间变化的v－t图像如图所示。关于甲、乙两车在0～20 s内的运动情况，下列说法不正确的是（　　） A．甲、乙两辆汽车的运动方向相反 B．在t＝20 s时，两车相遇 C．在t＝10 s时，两车相距最远，距离为25 m D．在t＝15 s时，乙车的加速度大小为0.5 m/s2 2．初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题 初速度大者追初速度小者的常见情形分析 实物图 情景图 　 匀减速追匀速　匀速追匀加速 匀减速追匀加速 t0时刻以前（v2＞v1） 两物体距离 （甲未追上乙时） t0时刻 （v2＝v1） Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好 ，相遇 若Δx<x0， ，有 距离 若Δx>x0，相遇 【题5】一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？ 3．有条件限制的追及问题 （1）如遇刹车问题，要判定是运动停止前相遇，还是运动停止后相遇。 （2）如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。 【题6】在一条平直公路上，某时刻有两辆车相距L＝10 m同向行驶，甲车在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小为5 m/s2紧急刹车，可视为匀减速直线运动，乙车在后，正以v2＝10 m/s做匀速直线运动。求：（1）甲车经多长时间停下？（2）甲、乙两车相遇前最大距离？（3）甲、乙两车经多长时间相遇？ 【题7】一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。 （1）判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？ （2）如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？（计算结果保留两位有效数字） 知识点复习三、图像法在追及相遇问题中的应用 1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： （1）利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 （2）有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3．两点注意：若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体 ；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 【题8】火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s=0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？ 4．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题 【题9】如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间（x－t）或速度－时间（v－t）图像，t1时刻两车恰好到达同一地点。关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是（　　） A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大 B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小 C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小 D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大 【题10】入冬以来，雾霾天气频发，发生交通事故的概率比平常高出许多，保证雾霾中行车安全显得尤为重要；在雾天的平直公路上，甲、乙两汽车同向匀速行驶，乙在前，甲在后．某时刻两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，结果两车刚好没有发生碰撞。图示为两车刹车后匀减速直线运动的v－t图像，以下分析正确的是（　　） A．两车开始刹车时的距离为87.5 m B．甲刹车的加速度的大小为0.5 m/s2 C．t＝20 s时乙车的速度为5 m/s D．两车都停下来后相距25 m 5．利用v－t图像分析追及相遇问题 【题11】假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等 C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞 - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习6．《运动学追及与相遇》讲义 复习目标：1．会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件。 2．会根据位移关系、时间关系列方程。 知识点复习一、处理追及相遇问题的思路和方法 1．追及相遇问题：两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇（碰撞）的情况，这类问题称为追及相遇问题。 2．追及相遇问题中二者距离变化与速度大小的关系 基本物理模型：以甲追乙为例。 （1）无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离就不断增大。 （2）若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变。 （3）无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小。 3．分析思路：可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 （1）一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； （2）两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 4．常用分析方法 （1）物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。 （2）二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。 【题1】一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求： （1）汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ （2）汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ 思路点拨　开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。 【答案】（1）2 s　6 m　（2）4 s　12 m/s 【解析】（1）汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有v1=at1=v自 所以t1==2 s Δxm=v自t1−at=6 m。 【题2】平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问： （1）甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ （2）在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？ 【答案】（1）40 s　20 m/s　400 m　（2）10 s　225 m 【解析】（1）设甲经过时间t追上乙，则有x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t，根据追及条件，有a甲t2＝x0＋v乙t，代入数据解得t＝40 s和t＝－20 s（舍去） 这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s 甲离出发点的位移x甲＝a甲t2＝×0.5×402 m＝400 m。 （2）在追赶过程中，当甲的速度小于乙的速度时，甲、乙之间的距离仍在继续增大；但当甲的速度大于乙的速度时，甲、乙之间的距离便不断减小；当v甲＝v乙，甲、乙之间的距离达到最大值。由a甲t′＝v乙，得t′＝＝ s＝10 s，即甲在10 s末离乙的距离最大。 xmax＝x0＋v乙t′－a甲t′2＝200 m＋5×10 m－×0.5×102 m＝225 m。 知识点复习二、追及相遇问题的常见情况 1．初速度小者追初速度大者——最大距离问题 实物图 情景图 匀加速追匀速　 匀速追匀减速　匀加速追匀减速 注意：匀速（或匀加速）追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论 t＝t0以前（v2<v1） 两物体距离增大 t＝t0时（v1＝v2） 相距最远 t＝t0以后（v2>v1） 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 【题3】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0＝13 m远处以v0＝8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，求： （1）警车发动后追上违章的货车所用的时间t； （2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。 【答案】（1）11 s　（2）49 m 【解析】（1）警车开始运动时，货车在它前面 Δx＝x0＋v0t0＝13 m＋8×2.5 m＝33 m 警车运动位移：x1＝at2 货车运动位移：x2＝v0t 警车要追上货车需满足：x1＝x2＋Δx 联立并代入数据解得：t＝11 s（t＝－3 s舍去） （2）警车与货车速度相同时，相距最远， 对警车有：v0＝at′，x1′＝at′2 对货车有：x2′＝v0t′ 最大距离：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49 m。 【题4】甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点开始做直线运动，它们运动的速度随时间变化的v－t图像如图所示。关于甲、乙两车在0～20 s内的运动情况，下列说法不正确的是（　　） A．甲、乙两辆汽车的运动方向相反 B．在t＝20 s时，两车相遇 C．在t＝10 s时，两车相距最远，距离为25 m D．在t＝15 s时，乙车的加速度大小为0.5 m/s2 【答案】A 【解析】由图像可知，甲、乙两辆汽车的速度时间图线都在时间轴的上方，速度均为正，故甲、乙两辆汽车的运动方向相同，A错误；在0～20 s内，甲的位移为x甲＝5×20 m＝100 m，乙的位移为x乙＝×10×20 m＝100 m，所以在t＝20 s时，两车相遇，B正确；在t＝10 s时，甲、乙两车速度相同，两车距离最远，此时甲离出发点的距离为x甲′＝5×10 m＝50 m，此时乙离出发点的距离为x乙′＝×（10＋5）×10 m＝75 m，此时甲、乙两车之间的距离为Δx＝x乙′－x甲′＝25 m，C正确；乙车做匀减速运动，则加速度为a＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2，D正确。 2．初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题 初速度大者追初速度小者的常见情形分析 实物图 情景图 　 匀减速追匀速　匀速追匀加速 匀减速追匀加速 t0时刻以前（v2＞v1） 两物体距离减小（甲未追上乙时） t0时刻 （v2＝v1） Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次 若Δx<x0，追不上，有最小距离 若Δx>x0，相遇两次 【题5】一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？ 【答案】见解析 【解析】由临界条件知当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上，即at＝v人 解得t＝6 s x车＝at2＝×1×62 m＝18 m，x人＝v人t＝6×6 m＝36 m 如图所示 x人＜x车＋20 m，故追不上，最小距离Δx＝（18＋20－36） m＝2 m。 3．有条件限制的追及问题 （1）如遇刹车问题，要判定是运动停止前相遇，还是运动停止后相遇。 （2）如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。 【题6】在一条平直公路上，某时刻有两辆车相距L＝10 m同向行驶，甲车在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小为5 m/s2紧急刹车，可视为匀减速直线运动，乙车在后，正以v2＝10 m/s做匀速直线运动。求： （1）甲车经多长时间停下？ （2）甲、乙两车相遇前最大距离？ （3）甲、乙两车经多长时间相遇？ 【答案】（1）4 s　（2）20 m　（3）5 s 【解析】（1）以初速度方向为正方向，甲车从开始刹车到停下所经历的时间：t1＝＝4 s。 （2）当两车的速度相同时两车间的距离最大，经历的时间：t2＝＝2 s 甲车的位移：x1＝t2＝30 m 乙车的位移：x2＝v2t2＝10×2 m＝20 m 两车的最大距离：xm＝L＋x1－x2＝20 m （3）2 s末两车之间的距离是20 m，再经过2 s甲车停止，所以可知甲车停止时，乙车还未追上甲车，则有：v2t3＝L＋ 代入数据解得：t3＝5 s。 【题7】一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。 （1）判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？ （2）如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？（计算结果保留两位有效数字） 【答案】见解析 【解析】（1）t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。 由v汽t0＋1 000 m＝t0 代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做加速运动，速度达到最大值后做匀速运动。 （2）设摩托车加速时间为t1，加速度为a,3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小， 则有at1＝v1＝30 m/s，at12＋v1（t0－t1）＝v汽t0＋1 000 m 代入数据得a≈0.56 m/s2。 知识点复习三、图像法在追及相遇问题中的应用 1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： （1）利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 （2）有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3．两点注意：若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 【题8】火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距s=0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动，司机立即以大小为a的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，a应满足什么条件？ 【答案】a≥1.6 m/s2 【解析】分别画出甲、乙的v−t图像，如图所示 刚好不相撞时图中阴影部分面积为s 有（v1−v2）t1=s a= 故a=，且s=0.5 km 若要使甲、乙不相撞,则a≥=1.6 m/s2。 4．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题 【题9】如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间（x－t）或速度－时间（v－t）图像，t1时刻两车恰好到达同一地点。关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是（　　） A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大 B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小 C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小 D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大 【答案】D 【解析】若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确。 【题10】入冬以来，雾霾天气频发，发生交通事故的概率比平常高出许多，保证雾霾中行车安全显得尤为重要；在雾天的平直公路上，甲、乙两汽车同向匀速行驶，乙在前，甲在后．某时刻两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，结果两车刚好没有发生碰撞。图示为两车刹车后匀减速直线运动的v－t图像，以下分析正确的是（　　） A．两车开始刹车时的距离为87.5 m B．甲刹车的加速度的大小为0.5 m/s2 C．t＝20 s时乙车的速度为5 m/s D．两车都停下来后相距25 m 【答案】C 【解析】甲车的加速度a1＝＝ m/s2＝－1 m/s2，加速度大小为1 m/s2，两车刚好没有发生碰撞，此时两车速度相等，所经历的时间为20 s，此时甲车的位移为x甲＝v甲t＋a甲t2＝（25×20－×1×400）m＝300 m，乙车的加速度a2＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2，此时乙车的位移为x乙＝v乙t＋a乙t2＝（15×20－×0.5×400） m＝200 m，所以两车开始刹车时的距离为s＝x甲－x乙＝100 m，故A、B错误；甲、乙在20 s时速度相等，所以v乙＝（15－0.5×20） m/s＝5 m/s，故C正确；根据图像与横轴围成的面积表示位移大小可知，两车都停下来后相距为Δx＝×（30－25）×5 m＝12.5 m，故D错误。 5．利用v－t图像分析追及相遇问题 【题11】假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（　　） A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等 C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞 【答案】C 【解析】由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝[×30×3＋×30×（6－3）] m＝90 m<x0＝100 m，即两车在t＝6 s时距离最近，最近距离为x0－Δx＝10 m，故A、B错误，C正确；t＝6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误。 - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $