12.4 分式方程教学设计 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

文本解读

分式方程是冀教版初中数学八年级上册第十二章“分式和分式方程”的第四节，是在学生学习了分式的概念、分式的乘除与分式的加减之后安排的重要内容，也是方程体系由整式方程向分式方程拓展的关键一环。本节以实际问题为背景，引导学生经历“审题—设未知数—列方程—解方程—检验”的完整过程，理解分式方程的概念，掌握用去分母的方法把分式方程化为整式方程求解，认识增根产生的原因，学会检验方程的解是否为原方程的解，体会转化思想在解方程中的作用。本节既是前面分式运算知识的综合运用，又为后续学习分式方程的应用奠定基础，在教材体系中起着承上启下的作用。

教学目标

1.【数学抽象】 能结合具体问题中的数量关系，抽象出分式方程的概念，理解分式方程与整式方程的区别。

2.【逻辑推理】 经历“化分式方程为整式方程”的探究过程，理解去分母方法的依据，体会转化（化归）思想。

3.【数学运算】 能熟练地用去分母的方法解可化为一元一次方程的分式方程，掌握检验的方法，会判断增根。

4.【数学建模】 能根据实际问题中的等量关系列出分式方程，感受方程模型在解决实际问题中的价值。

重点难点

教学重点：理解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法及检验方法。

教学难点：理解增根产生的原因，明确解分式方程必须检验，并能正确进行检验。

课时安排

1课时

教学过程

新课导入

（一）情境创设

同学们，智能制造是当前制造业发展的热点方向。2026年，某智能工厂承接了一批机器人零件的加工任务：甲组的技术工人操作智能机床，每小时比乙组多加工6个零件，甲组加工90个零件所用的时间与乙组加工60个零件所用的时间相等。甲、乙两组每小时各加工多少个零件？

（二）问题激趣

师：解决这个问题，第一步应该做什么？

（学生思考回答，教师引导）

师：对，先设未知数。设乙组每小时加工x个零件，则甲组每小时加工（x＋6）个零件。“甲组加工90个零件所用的时间与乙组加工60个零件所用的时间相等”，由此可得方程：

这个方程的分母中含有未知数，它和我们以前学过的整式方程不同。像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。今天我们就一起来研究——分式方程。（板书课题：12.4 分式方程）

探究新知

任务一：观察归纳，形成概念

1. 观察下面两个方程，找出它们的共同特点：

【要点点拨】这两个方程的分母中都含有未知数。像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2. 辨一辨：下列方程中，哪些是分式方程？

【要点点拨】（2）（3）是分式方程；（1）的分母3是常数，是整式方程；（4）的分母2和3也是常数，同样是整式方程。判断一个方程是不是分式方程，要紧扣“分母中含有未知数”这一本质特征。

任务二：合作探究，探寻解法

1. 想一想：如何解方程？

【要点点拨】回顾一元一次方程的解法，可以想到“去分母”。方程两边同乘最简公分母x（x＋6），得

解这个整式方程，得x＝12。

检验：把x＝12代入最简公分母x（x＋6）＝12×18＝216≠0，所以x＝12是原分式方程的解。

所以乙组每小时加工12个零件，甲组每小时加工18个零件。

2. 归纳解分式方程的一般步骤：

①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则它是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0，则它是原分式方程的增根，原分式方程无解。

【设计意图】通过实际问题引出分式方程，让学生体会列分式方程是刻画数量关系的需要；再借助已有的一元一次方程解法经验，自主探索“去分母”的转化方法，渗透化归思想。

文本探究

任务三：深化理解，剖析增根

1. 解方程：

解：方程两边同乘最简公分母x（x－3），得

解得x＝9。

检验：当x＝9时，最简公分母x（x－3）＝9×6＝54≠0，所以x＝9是原分式方程的解。

2. 解方程：

解：因为x²－1＝（x＋1）（x－1），所以最简公分母为（x＋1）（x－1）。方程两边同乘（x＋1）（x－1），得

解得x＝1。

检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，所以x＝1不是原分式方程的解，它是增根，原分式方程无解。

3. 议一议：为什么解分式方程会产生增根？

【要点点拨】去分母时，方程两边同乘了最简公分母。如果整式方程的解恰好使最简公分母为0，就相当于方程两边同乘了0，而“两边同乘0”不是等价变形，这样的解不能满足原方程中分母不为0的要求，从而产生增根。因此，解分式方程必须检验，检验的方法是把整式方程的解代入最简公分母。

4. 想一想：x＝2是方程

的增根，求a的值。

【要点点拨】去分母，得a＝x－2。因为x＝2是原分式方程的增根，所以x＝2是去分母后所得整式方程的解，且它使最简公分母x－2＝0。把x＝2代入a＝x－2，得a＝0。

巩固练习

1. 下列方程中，是分式方程的有（　　）