专题强化4　追及相遇问题（专项训练）物理人教版高一上学期期中复习.

专题强化4　追及相遇问题（题型突破） ▌题型01 时间与时刻的辨析 1.答案　(1)4 s　12 m/s　(2)见解析　(3)6 m 解析　(1)汽车追上自行车时，两者位移相等， x汽＝x自，即at2＝v0t 将v0＝6 m/s，a＝3 m/s2代入，得t＝4 s 由v＝at得，追上时汽车的速度大小v＝12 m/s (2)当v汽<v自时两者距离在不断变大， 当v汽＝v自时两者距离最大， 当v汽>v自时两者距离逐渐变小，直至汽车追上并超过自行车。 即当两车速度相等时距离最远。 (3)由at0＝v0得t0＝＝2 s 由位移公式得： x汽'＝a×3×22 m＝6 m x自'＝v0t0＝6×2 m＝12 m Δx＝x自'－x汽'＝6 m。 2.答案　(1)16 m　(2)25 m　8 s 解析　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA 解得t＝3 s 此时汽车A的位移为xA＝vAt＝12 m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m (2)根据题意可知，汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s 运动的位移为xB'＝＝25 m 汽车A在t1时间内运动的位移为xA'＝vAt1＝20 m 此时两车相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s 3.答案　见解析 解析　(1)法一：由临界条件知当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上 即at＝v人 解得t＝6 s x车＝at2＝×1×62 m＝18 m x人＝v人t＝6×6 m＝36 m 如图所示 x人<x车＋s 故追不上 法二：由位移关系v人t＝s＋at2， 即6t＝20＋t2 Δ＝36－4××20<0，无解 即追不上。 (2)最小距离Δx＝x车＋s－x人＝(18＋20－36) m＝2 m。 4.答案　见解析 解析　(1)t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。 由v汽t0＋1 000 m＝t0 代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做匀加速直线运动，速度达到最大值后做匀速直线运动。 (2)设摩托车加速时间为t1，加速度为a，3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小， 则有at1＝v1＝30 m/s a＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m 代入数据得a≈0.56 m/s2。 5.答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 解析　画出自行车和汽车的运动示意图,如图所示。 (1)法一　基本公式法 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远,设需要的时间为t1,汽车的速度为v1,两车间的距离为Δxm,则有 v1=at1=v自 所以t1==2 s Δxm=v自t1-a=6 m。 法二　极值法或数学分析法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx=x1-x2=v自t1-a 代入已知数据得Δx=6t1- 由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx最大,最大值Δxm=6 m。 法三　图像法 自行车和汽车运动的v-t图像如图所示,由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积。 t1===2 s Δxm===6 m。 (2)当两车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,汽车的瞬时速度为v2,则有 v自t2=a 解得t2=4 s v2=at2=3 m/s2×4 s=12 m/s。 6.答案　a≥1.6 m/s2 解析　法一　物理分析法 甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时,甲、乙仍相距一段距离,或刚好相遇但不相橦,则v1-at=v2 x1≤x2+s 其中x1=v1t-at2 x2=v2t 联立解得a≥1.6 m/s2 即a≥1.6 m/s2时,甲、乙不会相撞。 法二　数学分析法 设甲减速t时间后,甲、乙恰好相撞 则有x1=x2+s 即v1t-at2=v2t+s 整理得at2-2(v1-v2)t+2s=0 若甲、乙不相撞,则以上方程不能有两个解 即判别式应满足Δ=4(v1-v2)2-8as≤0 解得a≥=1.6 m/s2。 法三　图像法 分别画出甲、乙的v-t图像,如图所示 刚好不相撞时图中阴影部分面积为s 有(v1-v2)t1=s a= 故a=,且s=0.5 km 若要使甲、乙不相撞 则a≥=1.6 m/s2。 7.答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 解析　(1)汽车刹车时加速度大小为a==0.5 m/s2。 (2)当汽车减速到与货车速度相同时,所用时间t0==28 s 汽车运动的位移x1==364 m 此时间内货车运动的位移为x2=v1t0=168 m 由于x2+200 m=368 m>x1 故汽车与货车不会发生相撞 两车最近距离为Δx=x2+200 m-x1=4 m。 8.答案　(1)72 m　(2)见解析　(3)27.5 s 解析　(1)设警车开始行驶后经过时间t1与货车共速,此时两车距离最大,则at1=v0 解得t1=8 s 两车间的最大距离smax=v0(t1+t0)-t1=72 m。 (2)当警车达到最大速度时所用时间t2==10 s 警车的位移x1=t2=100 m 此时货车的位移x2=v0(t0+t2)=168 m 可知警车追上货车在警车匀速阶段。 (3)警车达到最大速度后追上货车还需时间t3==17 s 从警员发现货车到警车追上货车的时间t=t0+t2+t3=0.5 s+10 s+17 s=27.5 s。 9.答案　(1)9 m　(2)4.2 s　(3)6 m 解析　(1)甲物体做匀减速直线运动直至停止, 由=2a甲x甲得 x甲===9 m。 (2)甲物体的运动时间为t==3 s 此过程中乙的位移为 x乙=a乙t2=×1 m/s2×(3 s)2=4.5 m<9 m 说明甲停止后,过一段时间乙才追上甲 所以乙追上甲所用时间为 t乙==≈4.2 s。 (3)当甲、乙的速度相等时,二者距离最大, 即a乙t'=v甲-a甲t' 解得t'=2 s 在这2 s内,甲的位移为x甲'=v甲t'-a甲t'2=8 m 乙的位移为x乙'=a乙t'2=2 m 二者间的最大距离为Δx=x甲'-x乙'=6 m。 10.答案　(1)10 s　(2)45 m　(3)12 s 解析　v1＝72 km/h＝20 m/s，v2＝36 km/h＝10 m/s (1)设经过时间t0甲车停下来，根据运动学公式可得t0＝ s＝10 s (2)当两辆车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等， 则v1－at1＝v2，解得t1＝5 s 在t1时间内甲车位移为x1＝t1＝75 m 乙车位移为x2＝v2t1＝50 m 两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离为Δx＝x0＋x1－x2＝(20＋75－50) m＝45 m (3)在t0时间内，甲车的位移x3＝t0＝100 m 乙车的位移为x4＝v2t0＝100 m 甲车速度刚减小到零时，甲、乙两车仍相距20 m，到两车并排乙车再运动的时间为t2＝＝2 s 从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间为t＝t0＋t2＝12 s ▌题型02 运动图像在追及相遇问题中的应用 11.答案　CD 解析　由题图可知,乙在0~10 s内速度为零,甲先出发,但乙出发后做匀加速直线运动,甲做匀速直线运动,两物体出发地点相同,则乙可以追上甲,故A错误;在v-t图像中,图线与时间轴所围面积即为物体运动的位移,故20 s内甲的位移大于乙的位移,乙不可能追上甲,故B错误;在10~20 s内,甲的速度大于乙的速度,甲在乙的前方,两者距离逐渐增大,20 s后乙的速度大于甲的速度,两者距离逐渐减小,在t=20 s时两者距离最大,最大距离为s=10×20 m-×10×10 m=150 m,所以C、D正确。 12.答案　BC 解析　由v-t图像与t轴所围的“面积”表示位移可知,两物体在0~4 s内的位移不相等,而在第4 s末相遇,可知出发点不同,A错误;在4 s内,A的位移xA=×4×4 m=8 m,B的位移xB=×6×4 m=12 m,已知在第4 s末相遇,则出发时A在B前方4 m处,B正确;由于A图线的斜率小于B图线的斜率,可知A的加速度小于B的加速度,C正确;相遇后A的速度始终小于B的速度,所以两物体不会再次相遇,D错误。 13.答案　D 解析　v-t图像的斜率表示加速度,由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动,则自动驾驶汽车加速时的v-t图线为直线,A错误;v-t图线与t轴围成的面积表示位移,由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度,B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度,且由图像中几何关系可知此时两车位移相等,则此时相遇,B错误;x-t图像的斜率表示速度大小,图线交点表示两车位移相同,C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大,C错误;D项中两车x-t图线交点表示两车再次相遇,且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度,D正确。 14.答案　BD 解析　因v-t图像与坐标轴围成的面积等于位移,根据v-t图像可知在1~3 s内两车位移相等,可以判断在t=1 s时,甲、乙车并排行驶,故A、C错误;在t=0时,甲车在乙车前Δx= m-×1×10 m=7.5 m处,故B正确;甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末甲车运动的位移大小,即Δx'= m=40 m,故D正确。 15.答案　B 解析　v－t图像与t轴所围的面积表示位移，则4 s内两物体位移相等，即4 s末乙追上甲相遇，乙追上甲时距出发点x＝v甲t＝40 m，选项A、D错误；4 s末两物体位移相等，则甲的平均速度等于乙的平均速度，选项B正确；2 s末两物体速度相等，此时两物体相距最远，选项C错误。 16.答案　ACD 解析　v－t图线的斜率表示加速度，可知汽车甲的加速度大于汽车乙的加速度，选项A正确；v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，可知10 s时乙的位移大于甲的位移，因t＝0时两车在同一位置，所以10 s时汽车甲还没有追上汽车乙，选项B错误；10 s时两车共速，此时两车距离最大，则相遇前两车之间的最大距离为Δx＝×(2＋5)×10 m－×10×5 m＝10 m，选项C正确；由题图可知，甲、乙两车的加速度分别为a1＝ m/s2＝0.5 m/s2，a2＝ m/s2＝0.3 m/s2，设经过时间t两车相遇，则a1t2＝v0t＋a2t2，解得t＝20 s，两车相遇时汽车甲的位移为x＝a1t2＝100 m，选项D正确。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化4　追及相遇问题（题型突破） 题型01 追及相遇问题 题型02 运动图像在追及相遇问题中的应用 ▌题型01 追及相遇问题 1.追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动,速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况,这类问题称为追及相遇问题。 2.分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置,注意抓住一个条件、用好两个关系、掌握三点技巧。 一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点,是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口 三点技巧 ①抓“一图三式”,即过程示意图,时间关系式、速度关系式、位移关系式;②审关键字眼,发现隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等;③讨论分析结果,看是否符合实际 (2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的图景,并画出运动情况示意图,找出位移关系 数学分析法 设从开始至相遇的时间为t,根据条件列位移关系方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次,若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相碰 1.一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度a＝3 m/s2开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶过，从后面超过汽车。 (1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小； (2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？ (3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。 2.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离； (2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。 3.一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车， (1)判断乘客能否追上这辆客车？ (2)若不能，二者间的最小距离为多少？ 4.一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。 (1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？ (2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字) 5.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车从静止以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求: (1)汽车从路口开动后,在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远?此时的距离是多少? (2)汽车从路口开动后,经多长时间追上自行车?追上自行车时汽车的瞬时速度是多大? 6.火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶,司机突然发现前方同轨道上相距s=0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动,司机立即以大小为a的加速度紧急刹车,要使甲、乙不相撞,a应满足什么条件? 7.汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时,刹车后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶,司机以相同的加速度立即刹车,则: (1)汽车刹车时的加速度大小; (2)是否发生撞车事故?若发生撞车事故,在何时发生?若没有撞车,两车最近距离为多少? 8.货运车辆超载运输造成的破坏与损失触目惊心,有关部门不断强调严加管理。在某次监管中,一辆值勤的警车停在足够长的平直公路边(刹车但未关闭发动机),当警员发现他旁边以大小v0=16 m/s的速度沿平直公路匀速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过t0=0.5 s后警车松开刹车,并以大小a=2 m/s2的加速度匀加速行驶。已知警车行驶的最大速度vm=20 m/s,警车的速度达到最大值后以该速度匀速行驶。两车均视为质点。 (1)求在警车追赶货车的过程中,两车间的最大距离smax; (2)通过计算判断警车在加速阶段还是匀速阶段追上货车; (3)求从警员发现货车到警车追上货车的时间。 9.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动,甲的初速度为6 m/s,由于阻力做匀减速直线运动,加速度大小为2 m/s2;乙做初速度为零,加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。求: (1)甲物体能运动多远? (2)乙经多长时间追上甲? (3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少? 10.甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1＝72 km/h，乙车的速度大小v2＝36 km/h，如图所示。当甲、乙两车相距x0＝20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求： (1)甲车刹车至停止的时间； (2)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离； (3)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间。 ▌题型02 运动图像在追及相遇问题中的应用 图像法 ①如果两个物体的x-t图线相交,则说明两物体相遇。 ②涉及v-t图像的追击相遇问题,注意比较v-t图线与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距,然后利用图像求解。 11. (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发,沿同一条直线运动,它们的v-t图像如图所示,由图可知(　　) A.甲比乙运动快,且早出发,所以乙追不上甲 B.t=20 s时,乙追上了甲 C.t=20 s时,甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离,大小为150 m D.在t=20 s之前,甲比乙运动得快;在t=20 s之后,乙比甲运动得快 12.(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v-t图像如图所示,已知在第4 s末两物体相遇,则下列说法正确的是(　　) A.两物体从同一地点出发 B.出发时A在B前方4 m处 C.两物体运动过程中,A的加速度小于B的加速度 D.第4 s末两物体相遇之后,两物体可能再次相遇 13.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车,是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动,同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过,自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度,则下列图像正确的是(　　) 14.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,它们的v-t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则(　　) A.在t=1 s时,甲车在乙车后 B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 15.两个物体同时同地向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则前4 s内(　　) A.4 s末乙与甲相距最远 B.甲的平均速度等于乙的平均速度 C.2 s末乙追上甲 D.乙追上甲时距出发点20 m远 16.(多选)汽车甲停在一条平直路边，此时汽车乙从甲旁边经过，此后两辆汽车的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A.汽车甲的加速度大于汽车乙的加速度 B.10 s时汽车甲追上了汽车乙 C.两车相遇前，两车间的最大距离为10 m D.两车相遇时汽车甲的位移为100 m 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化4　追及相遇问题（题型突破） 题型01 追及相遇问题 题型02 运动图像在追及相遇问题中的应用 ▌题型01 追及相遇问题 1.追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动,速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况,这类问题称为追及相遇问题。 2.分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置,注意抓住一个条件、用好两个关系、掌握三点技巧。 一个条件 速度相等。这是两物体能否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点,是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口 三点技巧 ①抓“一图三式”,即过程示意图,时间关系式、速度关系式、位移关系式;②审关键字眼,发现隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等;③讨论分析结果,看是否符合实际 (2)常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的图景,并画出运动情况示意图,找出位移关系 数学分析法 设从开始至相遇的时间为t,根据条件列位移关系方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次,若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相碰 1.一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度a＝3 m/s2开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶过，从后面超过汽车。 (1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小； (2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？ (3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。 答案　(1)4 s　12 m/s　(2)见解析　(3)6 m 解析　(1)汽车追上自行车时，两者位移相等， x汽＝x自，即at2＝v0t 将v0＝6 m/s，a＝3 m/s2代入，得t＝4 s 由v＝at得，追上时汽车的速度大小v＝12 m/s (2)当v汽<v自时两者距离在不断变大， 当v汽＝v自时两者距离最大， 当v汽>v自时两者距离逐渐变小，直至汽车追上并超过自行车。 即当两车速度相等时距离最远。 (3)由at0＝v0得t0＝＝2 s 由位移公式得： x汽'＝a×3×22 m＝6 m x自'＝v0t0＝6×2 m＝12 m Δx＝x自'－x汽'＝6 m。 2.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离； (2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。 答案　(1)16 m　(2)25 m　8 s 解析　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA 解得t＝3 s 此时汽车A的位移为xA＝vAt＝12 m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m (2)根据题意可知，汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s 运动的位移为xB'＝＝25 m 汽车A在t1时间内运动的位移为xA'＝vAt1＝20 m 此时两车相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s 3.一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车， (1)判断乘客能否追上这辆客车？ (2)若不能，二者间的最小距离为多少？ 答案　见解析 解析　(1)法一：由临界条件知当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上 即at＝v人 解得t＝6 s x车＝at2＝×1×62 m＝18 m x人＝v人t＝6×6 m＝36 m 如图所示 x人<x车＋s 故追不上 法二：由位移关系v人t＝s＋at2， 即6t＝20＋t2 Δ＝36－4××20<0，无解 即追不上。 (2)最小距离Δx＝x车＋s－x人＝(18＋20－36) m＝2 m。 4.一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。 (1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？ (2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字) 答案　见解析 解析　(1)t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。 由v汽t0＋1 000 m＝t0 代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做匀加速直线运动，速度达到最大值后做匀速直线运动。 (2)设摩托车加速时间为t1，加速度为a，3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小， 则有at1＝v1＝30 m/s a＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m 代入数据得a≈0.56 m/s2。 5.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车从静止以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求: (1)汽车从路口开动后,在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远?此时的距离是多少? (2)汽车从路口开动后,经多长时间追上自行车?追上自行车时汽车的瞬时速度是多大? 答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 解析　画出自行车和汽车的运动示意图,如图所示。 (1)法一　基本公式法 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远,设需要的时间为t1,汽车的速度为v1,两车间的距离为Δxm,则有 v1=at1=v自 所以t1==2 s Δxm=v自t1-a=6 m。 法二　极值法或数学分析法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx=x1-x2=v自t1-a 代入已知数据得Δx=6t1- 由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx最大,最大值Δxm=6 m。 法三　图像法 自行车和汽车运动的v-t图像如图所示,由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积。 t1===2 s Δxm===6 m。 (2)当两车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,汽车的瞬时速度为v2,则有 v自t2=a 解得t2=4 s v2=at2=3 m/s2×4 s=12 m/s。 6.火车甲以v1=288 km/h的速度匀速行驶,司机突然发现前方同轨道上相距s=0.5 km处有一列火车乙正沿同方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动,司机立即以大小为a的加速度紧急刹车,要使甲、乙不相撞,a应满足什么条件? 答案　a≥1.6 m/s2 解析　法一　物理分析法 甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时,甲、乙仍相距一段距离,或刚好相遇但不相橦,则v1-at=v2 x1≤x2+s 其中x1=v1t-at2 x2=v2t 联立解得a≥1.6 m/s2 即a≥1.6 m/s2时,甲、乙不会相撞。 法二　数学分析法 设甲减速t时间后,甲、乙恰好相撞 则有x1=x2+s 即v1t-at2=v2t+s 整理得at2-2(v1-v2)t+2s=0 若甲、乙不相撞,则以上方程不能有两个解 即判别式应满足Δ=4(v1-v2)2-8as≤0 解得a≥=1.6 m/s2。 法三　图像法 分别画出甲、乙的v-t图像,如图所示 刚好不相撞时图中阴影部分面积为s 有(v1-v2)t1=s a= 故a=,且s=0.5 km 若要使甲、乙不相撞 则a≥=1.6 m/s2。 7.汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时,刹车后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶,司机以相同的加速度立即刹车,则: (1)汽车刹车时的加速度大小; (2)是否发生撞车事故?若发生撞车事故,在何时发生?若没有撞车,两车最近距离为多少? 答案　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 解析　(1)汽车刹车时加速度大小为a==0.5 m/s2。 (2)当汽车减速到与货车速度相同时,所用时间t0==28 s 汽车运动的位移x1==364 m 此时间内货车运动的位移为x2=v1t0=168 m 由于x2+200 m=368 m>x1 故汽车与货车不会发生相撞 两车最近距离为Δx=x2+200 m-x1=4 m。 8.货运车辆超载运输造成的破坏与损失触目惊心,有关部门不断强调严加管理。在某次监管中,一辆值勤的警车停在足够长的平直公路边(刹车但未关闭发动机),当警员发现他旁边以大小v0=16 m/s的速度沿平直公路匀速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过t0=0.5 s后警车松开刹车,并以大小a=2 m/s2的加速度匀加速行驶。已知警车行驶的最大速度vm=20 m/s,警车的速度达到最大值后以该速度匀速行驶。两车均视为质点。 (1)求在警车追赶货车的过程中,两车间的最大距离smax; (2)通过计算判断警车在加速阶段还是匀速阶段追上货车; (3)求从警员发现货车到警车追上货车的时间。 答案　(1)72 m　(2)见解析　(3)27.5 s 解析　(1)设警车开始行驶后经过时间t1与货车共速,此时两车距离最大,则at1=v0 解得t1=8 s 两车间的最大距离smax=v0(t1+t0)-t1=72 m。 (2)当警车达到最大速度时所用时间t2==10 s 警车的位移x1=t2=100 m 此时货车的位移x2=v0(t0+t2)=168 m 可知警车追上货车在警车匀速阶段。 (3)警车达到最大速度后追上货车还需时间t3==17 s 从警员发现货车到警车追上货车的时间t=t0+t2+t3=0.5 s+10 s+17 s=27.5 s。 9.甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动,甲的初速度为6 m/s,由于阻力做匀减速直线运动,加速度大小为2 m/s2;乙做初速度为零,加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。求: (1)甲物体能运动多远? (2)乙经多长时间追上甲? (3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少? 答案　(1)9 m　(2)4.2 s　(3)6 m 解析　(1)甲物体做匀减速直线运动直至停止, 由=2a甲x甲得 x甲===9 m。 (2)甲物体的运动时间为t==3 s 此过程中乙的位移为 x乙=a乙t2=×1 m/s2×(3 s)2=4.5 m<9 m 说明甲停止后,过一段时间乙才追上甲 所以乙追上甲所用时间为 t乙==≈4.2 s。 (3)当甲、乙的速度相等时,二者距离最大, 即a乙t'=v甲-a甲t' 解得t'=2 s 在这2 s内,甲的位移为x甲'=v甲t'-a甲t'2=8 m 乙的位移为x乙'=a乙t'2=2 m 二者间的最大距离为Δx=x甲'-x乙'=6 m。 10.甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1＝72 km/h，乙车的速度大小v2＝36 km/h，如图所示。当甲、乙两车相距x0＝20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求： (1)甲车刹车至停止的时间； (2)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离； (3)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间。 答案　(1)10 s　(2)45 m　(3)12 s 解析　v1＝72 km/h＝20 m/s，v2＝36 km/h＝10 m/s (1)设经过时间t0甲车停下来，根据运动学公式可得t0＝ s＝10 s (2)当两辆车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等， 则v1－at1＝v2，解得t1＝5 s 在t1时间内甲车位移为x1＝t1＝75 m 乙车位移为x2＝v2t1＝50 m 两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离为Δx＝x0＋x1－x2＝(20＋75－50) m＝45 m (3)在t0时间内，甲车的位移x3＝t0＝100 m 乙车的位移为x4＝v2t0＝100 m 甲车速度刚减小到零时，甲、乙两车仍相距20 m，到两车并排乙车再运动的时间为t2＝＝2 s 从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间为t＝t0＋t2＝12 s ▌题型02 运动图像在追及相遇问题中的应用 图像法 ①如果两个物体的x-t图线相交,则说明两物体相遇。 ②涉及v-t图像的追击相遇问题,注意比较v-t图线与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距,然后利用图像求解。 11. (多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发,沿同一条直线运动,它们的v-t图像如图所示,由图可知(　　) A.甲比乙运动快,且早出发,所以乙追不上甲 B.t=20 s时,乙追上了甲 C.t=20 s时,甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离,大小为150 m D.在t=20 s之前,甲比乙运动得快;在t=20 s之后,乙比甲运动得快 答案　CD 解析　由题图可知,乙在0~10 s内速度为零,甲先出发,但乙出发后做匀加速直线运动,甲做匀速直线运动,两物体出发地点相同,则乙可以追上甲,故A错误;在v-t图像中,图线与时间轴所围面积即为物体运动的位移,故20 s内甲的位移大于乙的位移,乙不可能追上甲,故B错误;在10~20 s内,甲的速度大于乙的速度,甲在乙的前方,两者距离逐渐增大,20 s后乙的速度大于甲的速度,两者距离逐渐减小,在t=20 s时两者距离最大,最大距离为s=10×20 m-×10×10 m=150 m,所以C、D正确。 12.(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v-t图像如图所示,已知在第4 s末两物体相遇,则下列说法正确的是(　　) A.两物体从同一地点出发 B.出发时A在B前方4 m处 C.两物体运动过程中,A的加速度小于B的加速度 D.第4 s末两物体相遇之后,两物体可能再次相遇 答案　BC 解析　由v-t图像与t轴所围的“面积”表示位移可知,两物体在0~4 s内的位移不相等,而在第4 s末相遇,可知出发点不同,A错误;在4 s内,A的位移xA=×4×4 m=8 m,B的位移xB=×6×4 m=12 m,已知在第4 s末相遇,则出发时A在B前方4 m处,B正确;由于A图线的斜率小于B图线的斜率,可知A的加速度小于B的加速度,C正确;相遇后A的速度始终小于B的速度,所以两物体不会再次相遇,D错误。 13.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车,是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动,同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过,自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度,则下列图像正确的是(　　) 答案　D 解析　v-t图像的斜率表示加速度,由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动,则自动驾驶汽车加速时的v-t图线为直线,A错误;v-t图线与t轴围成的面积表示位移,由题可知自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度,B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度,且由图像中几何关系可知此时两车位移相等,则此时相遇,B错误;x-t图像的斜率表示速度大小,图线交点表示两车位移相同,C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大,C错误;D项中两车x-t图线交点表示两车再次相遇,且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度,D正确。 14.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,它们的v-t图像如图所示。已知两车在t=3 s时并排行驶,则(　　) A.在t=1 s时,甲车在乙车后 B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案　BD 解析　因v-t图像与坐标轴围成的面积等于位移,根据v-t图像可知在1~3 s内两车位移相等,可以判断在t=1 s时,甲、乙车并排行驶,故A、C错误;在t=0时,甲车在乙车前Δx= m-×1×10 m=7.5 m处,故B正确;甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末甲车运动的位移大小,即Δx'= m=40 m,故D正确。 15.两个物体同时同地向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则前4 s内(　　) A.4 s末乙与甲相距最远 B.甲的平均速度等于乙的平均速度 C.2 s末乙追上甲 D.乙追上甲时距出发点20 m远 答案　B 解析　v－t图像与t轴所围的面积表示位移，则4 s内两物体位移相等，即4 s末乙追上甲相遇，乙追上甲时距出发点x＝v甲t＝40 m，选项A、D错误；4 s末两物体位移相等，则甲的平均速度等于乙的平均速度，选项B正确；2 s末两物体速度相等，此时两物体相距最远，选项C错误。 16.(多选)汽车甲停在一条平直路边，此时汽车乙从甲旁边经过，此后两辆汽车的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A.汽车甲的加速度大于汽车乙的加速度 B.10 s时汽车甲追上了汽车乙 C.两车相遇前，两车间的最大距离为10 m D.两车相遇时汽车甲的位移为100 m 答案　ACD 解析　v－t图线的斜率表示加速度，可知汽车甲的加速度大于汽车乙的加速度，选项A正确；v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，可知10 s时乙的位移大于甲的位移，因t＝0时两车在同一位置，所以10 s时汽车甲还没有追上汽车乙，选项B错误；10 s时两车共速，此时两车距离最大，则相遇前两车之间的最大距离为Δx＝×(2＋5)×10 m－×10×5 m＝10 m，选项C正确；由题图可知，甲、乙两车的加速度分别为a1＝ m/s2＝0.5 m/s2，a2＝ m/s2＝0.3 m/s2，设经过时间t两车相遇，则a1t2＝v0t＋a2t2，解得t＝20 s，两车相遇时汽车甲的位移为x＝a1t2＝100 m，选项D正确。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $