专题强化2 匀变速直线运动的两个推论及应用（专项训练）物理人教版高一上学期期中复习.
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内容正文：
专题强化2 匀变速直线运动的两个推论及应用（题型突破）
题型01 平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
题型02 位移差公式Δx=aT2的应用
题型03 利用遂差法求纸带的加速度
▌题型01 平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.平均速度公式：
2.匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
3.做匀变速直线运动的物体,在运动一段位移中点的瞬时速度：=
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战机起飞前的运动时间为( )
A. B. C. D.
2.一滑雪运动员不借助滑雪杖，以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡，当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动，则运动员上坡和下坡所用的时间之比为( )
A.5∶4 B.4∶5 C.2∶3 D.3∶2
3.如图，长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道，车头刚进隧道时速度是10 m/s，车尾刚出隧道时速度是12 m/s，则列车通过隧道所用的时间是( )
A.81.8 s B.90.9 s C.100 s D.109.1 s
4.一辆汽车在水平地面上沿直线行驶,在0~2t时间内做匀加速直线运动,速度由0变为v。在2t~3t时间内做匀减速直线运动,速度由v变为0,如图所示,在这两段时间内,下列说法正确的是( )
A.加速度的大小之比为2∶1
B.位移的大小之比为2∶1
C.平均速度的大小之比为1∶2
D.平均速度的大小之比为2∶1
5.如图所示,做匀加速直线运动的物体依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB、BC的时间分别为t和2t,AB段长为L1,BC段长为L2,则物体运动的加速度为( )
A. B.
C. D.
6.如图所示,假设“运-20”起飞前沿地面做匀加速直线运动,加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离,用时分别为2 s和1 s,则“运—20”的加速度大小是( )
A.35 m/s2 B.40 m/s2
C.45 m/s2 D.50 m/s2
7.做匀加速直线运动的物体,先后经过A、B两点时的速度分别为2v和10v,经历的时间为t,则下列结论正确的是( )
A.物体的加速度为
B.在A、B间的平均速度为6v
C.前时间内通过的位移为2vt
D.中间位置的瞬时速度6v
8.小张通过无人机来拍摄城镇的风景，t＝0时刻，无人机由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1＝6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2＝15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求：
(1)无人机上升过程中的最大速度；
(2)无人机悬停时距地面的高度。
▌题型02 位移差公式Δx=aT2的应用
1.位移差公式：Δx＝aT2
(1)内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2。
(2)推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。
2.应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度:利用Δx=aT2,可求得a=。
9.利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上所打的一系列点，如图所示，各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…，各相邻的计数点的时间间隔为T，则下面各关系式中不正确的是( )
A.xⅡ－xⅠ＝aT2 B.xⅢ－xⅠ＝2aT2
C.xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ D.xⅢ－xⅡ＝
10.(多选)如图所示,物体做匀加速直线运动,A、B、C、D为其运动轨迹上的四点,测得AB=2 m,BC=3 m,且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s,则下列说法正确的是( )
A.物体的加速度为20 m/s2
B.物体的加速度为25 m/s2
C.CD=4 m
D.CD=5 m
11.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第4 s内的位移为16 m，则该质点运动过程中( )
A.第5 s内位移为20 m
B.加速度大小为4 m/s2
C.第1 s初的速度大小为零
D.前5 s内的位移为50 m
12.校运会时，高空无人机在完成拍摄任务后返回地面，某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中，前0.5 s内的位移为3.5 m，前1 s内的位移为8 m，则其加速度的大小为( )
A.3.5 m/s2 B.4 m/s2
C.7 m/s2 D.条件不足，无法求解
13.一物体做匀加速直线运动,第2 s内的位移为8 m,第4 s内的位移为16 m,则该质点在前4 s内的位移大小为( )
A.8 m B.40 m
C.36 m D.32 m
14.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”,据测,一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示,启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动,已知猎豹第2 s内跑了7.5 m,第3 s内跑了12.5 m。则( )
A.猎豹的加速度为5 m/s2
B.猎豹的加速度为10 m/s2
C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
15.(多选)汽车的刹车过程可视为匀减速运动。自刹车开始第1 s内滑行的位移为32 m,第3 s内滑行的位移为16 m。已知汽车刹车后滑行的时间不小于3 s,由此可知( )
A.汽车的加速度大小为8 m/s2
B.汽车的初速度大小为34 m/s
C.汽车刹车后滑行的时间为4.5 s
D.汽车刹车后滑行的路程为80 m
16.从斜面上某一位置每隔0.1 s由静止释放一个相同的小球,释放后小球做匀加速直线运动,在连续释放几个小球后,对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片,测得xAB=15 cm,xBC=20 cm。求:
(1)小球的加速度的大小;
(2)拍摄时小球在B点时的速度大小;
(3)拍摄时C、D间的距离xCD;
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
▌题型03 利用遂差法求纸带的加速度
1.逐差法:公式Δx=aT2
匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等。
即Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2(如图)。
2.纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得：a1＝，a2＝，a3＝
a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝。
3.若n为大于4的奇数段,应怎么处理?
假设n=5,若相邻各段间的位移逐渐增大,第一段读数的误差相对较大,可以舍去第一段,则a=
同理,若相邻各段间的位移逐渐减小,可以舍去最后一段或舍去中间一段,则a==
两种情况下,在保留有效数字位数相同时,计算结果一般相同。
17.某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验，装置如图甲所示：
(1)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为 V；
(2)交流电源的频率为50赫兹，实验中得到的纸带如图乙所示，图中的点为计数点，在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为 s；打下B点时，小车的瞬时速度为 m/s；小车运动的加速度为 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。
18.如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时,选取的一条纸带的一部分,他每隔4个点取一个计数点,图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交流电源。
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动,请进行计算,并将数据填入下表内(单位:cm)。
x2-x1
x3-x2
x4-x3
x5-x4
x6-x5
1.58
1.57
由此可以得出结论:小车的运动是 。
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt= s。
(3)小车的加速度的表达式a= (用题中的字母表示),加速度a= m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)打计数点B时小车的速度vB= m/s(结果保留3位有效数字)。
19.在做“研究匀变速直线运动”实验中，打点计时器打出的一条纸带(部分)如图所示，若A、B、C…计数点间的时间间隔均为0.10 s。由图可知，
(1)小车做 运动。
(2)从图中给定的数据，可求出小车的加速度大小是 m/s2，打下C点时小车的速度大小是 m/s。(均保留两位有效数字)
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比 (选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
20.在“研究匀变速直线运动”的实验中，小车拖着纸带运动，打点计时器每隔0.02 s打一个点，打出的纸带如图所示。选出A、B、C、D、E共五个计数点，每相邻两点间还有四个点(图中未画出)。已知靠近点A一端的纸带与小车相连，由此可得小车运动的加速度的大小为 m/s2，方向与小车的运动方向 (选填“相同”或“相反”)；打点C时，小车运动的速度的大小为 m/s。
21.做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时，某同学得到一条点迹清晰的纸带，从比较清晰的点起，每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出)，分别标为0、1、2、3、4、5、6…，用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示，已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz，则：
(1)打点计时器每隔 s打一次点。
(2)打点计时器打计数点1时，小车的速度v1＝ m/s(结果保留两位有效数字)；
(3)小车的加速度a＝ m/s2(结果保留两位有效数字)。
22.为研究匀变速直线运动的规律,某实验小组利用智能手机的录像功能拍下小球在贴有刻度尺的斜面上做匀加速直线运动的过程,然后将在录像中时间间隔为T的连续4幅画面合成到同一张图中,如图所示。
(1)从图中读出小球经过的A、B两位置之间的距离为x1= cm,BC间、CD间的距离分别为x2=1.40 cm、x3=1.80 cm。
(2)计算小球在B点速度大小的表达式为vB= (用所测物理量的符号表示)。
(3)已知T=0.04 s,由测得的数据,可计算出小球运动过程中的加速度大小为 m/s2(计算结果保留3位有效数字)。
23.某小组在“用打点计时器测小车速度”的实验中,用电火花计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况。打点计时器接在频率为f=50 Hz的交流电源上,在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点,每两个相邻计数点之间还有4个点未画出。如图所示,利用刻度尺已经测量相邻点间的距离得到x1=2.78 cm,x2=3.20 cm,x3=3.59 cm,x4=3.99 cm,x5=4.42 cm,x6=4.80 cm。
(1)实验装置中所用电火花计时器应接 V, (选填“交流”或“直流”)电源。
(2)CD段的平均速度大小为vCD= m/s(结果保留2位有效数字)。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为vD= m/s(结果保留2位有效数字)。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法算出了小车运动的加速度大小为a= m/s2(结果保留2位有效数字)。
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专题强化2 匀变速直线运动的两个推论及应用（题型突破）
▌题型01 平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.答案 A
解析 由平均速度公式t＝x可知t＝，故A正确，B、C、D错误。
2.答案 B
解析 设运动员上坡的路程为x，上坡时所用时间为t1，下坡时所用时间为t2，则有x＝(0＋v0)t1＝5t1 (m)，x＝(0＋v)t2＝4t2 (m)，联立解得t1∶t2＝4∶5，故选B。
3.答案 C
解析 列车通过隧道的位移为x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，设所用时间为t，x＝t， m/s＝11 m/s
解得t＝100 s，故C正确。
4.答案 B
解析 根据v-t图像的斜率表示加速度,可得加速度的大小之比a1∶a2=∶=1∶2,故A错误;平均速度的大小之比∶=∶=1∶1,故C、D错误;位移的大小之比为x1∶x2=·2t∶t=2∶1,故B正确。
5.答案 D
解析 两段的平均速度为=,=,物体运动的加速度为a===,故D正确。
6.答案 B
解析 第一段的平均速度== m/s=60 m/s,第二段的平均速度== m/s=120 m/s,由中间时刻的速度等于平均速度,则v1=,v2=,由v2=v1+a,解得a== m/s2=40 m/s2,故B正确。
7.答案 ABC
解析 依题意可知a==,故A正确;在匀变速运动中,时间中点的速度等于全过程中的平均速度,即==6v,故B正确;由=,又=·=2vt,故C正确;设A、B两点间的距离为2L,则有-=2aL,-=2aL,解得vL=2v,故D错误。
8.答案 (1)18 m/s (2)135 m
解析 (1)无人机做匀加速直线运动阶段有h1＝t1，
所以无人机上升过程中的最大速度为vmax＝18 m/s
(2)无人机做匀减速直线运动阶段有h2＝(t2－t1)＝×9 m＝81 m，
所以无人机悬停时距地面的高度为h＝h1＋h2＝54 m＋81 m＝135 m。
▌题型02 位移差公式Δx=aT2的应用
9.答案 D
解析 对于匀变速直线运动，连续相等时间内的位移之差是恒量，即Δx＝aT2，对应于该题有xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝aT2，而xⅢ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＋xⅡ－xⅠ＝2aT2，A、B、C正确，D错误。
10.答案 BC
解析 由匀变速直线运动的推论Δx=aT2,可得a==25 m/s2,故A错误,B正确;根据CD-BC=BC-AB,可知CD=4 m,故C正确,D错误。
11.答案 AB
解析 根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4－x3＝aT2，x5－x4＝aT2，联立解得a＝4 m/s2，x5＝20 m，故A、B正确；由中间时刻瞬时速度与平均速度关系可知，2.5 s时的瞬时速度满足v2.5＝ m/s＝12 m/s，第1 s初即初始时刻，此时的速度满足v2.5＝v0＋at2.5，解得v0＝2 m/s，故C错误；前5 s内的位移满足x＝v0t5＋a＝(2×5＋×4×52) m＝60 m，故D错误。
12.答案 B
解析 根据题意可知0.5~1 s内的位移为x2＝8 m－3.5 m＝4.5 m，根据匀变速直线运动规律Δx＝aT2可知加速度为a＝ m/s2＝4 m/s2。故选B。
13.答案 B
解析 根据匀变速直线运动推论可得x4-x2=2aT2,解得加速度大小为a== m/s2=4 m/s2,质点第1 s内的位移为x1=x2-aT2=8 m-4×12 m=4 m,质点第3 s内的位移为x3=x2+aT2=8 m+4×12 m=12 m,则该质点在前4 s内的位移大小为x=x1+x2+x3+x4=40 m,故B正确。
14.答案 AD
解析 由公式Δx=aT2得x3-x2=aT2,代入数据解得猎豹的加速度a=5 m/s2,故A正确,B错误;猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s,由v=at,解得t=6 s,故C错误,D正确。
15.答案 AC
解析 由xm-xn=(m-n)aT2可知,x1-x3=(3-1)aT2,代入数据解得a=8 m/s2,A正确;由匀变速直线运动位移公式有x1=v0T-aT2,解得v0=36 m/s,B错误;由v0=at解得汽车刹车后滑行的时间为t=4.5 s,C正确;汽车刹车后滑行的路程为x==81 m,D错误。
16.答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个
解析 (1)由推论Δx=aT2可知,小球加速度为
a=== m/s2=5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻,所以B点的速度等于AC段的平均速度,即
vB== m/s=1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定,
所以xCD-xBC=xBC-xAB
得xCD=2xBC-xAB
=2×20×10-2 m-15×10-2 m=0.25 m。
(4)设A点处小球的速度为vA
由于vA=vB-aT=1.25 m/s
所以A点处小球的运动时间为
tA==0.25 s
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
▌题型03 利用遂差法求纸带的加速度
17.答案 (1)220 (2)0.4 0.16 0.81
解析 (1)题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源；
(2)每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为t＝4×5×＝0.4 s
打下B点时，小车的瞬时速度为vB＝×10－2 m/s≈0.16 m/s
小车运动的加速度为a＝×10－2 m/s2≈0.81 m/s2
18.答案 (1)1.57 1.58 1.58 匀变速直线运动 (2)0.1 (3) 1.57 (4)0.517
解析 (1)由纸带计数点的数据可知
x4-x3=7.52 cm-5.95 cm=1.57 cm
x5-x4=9.10 cm-7.52 cm=1.58 cm
x6-x5=10.68 cm-9.10 cm=1.58 cm
由此可以得出结论:在误差允许范围内,相邻相等时间内的位移差Δx相等,小车的运动是匀变速直线运动。
(2)每隔4个点取一个计数点,电源频率为50 Hz,所以两个相邻计数点间的时间间隔Δt=0.02 s×5=0.1 s。
(3)小车的加速度的表达式a=
代入题中数据解得a≈1.57 m/s2。
(4)由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得,打计数点B时小车的速度vB==×10-2 m/s≈0.517 m/s。
19.答案 (1)匀变速直线 (2)2.0 0.70 (3)偏小
解析 (1)由题图可知Δx＝BC－AB＝CD－BC＝DE－CD＝2 cm
且计数点间的时间间隔相同，故小车做匀变速直线运动；
(2)由于每相邻的计数点间的时间间隔T＝0.10 s，
根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝aT2
可以求出加速度的大小为
a＝×10－2 m/s2＝2.0 m/s2
根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度，打下C点时小车的瞬时速度大小为vC＝×10－2 m/s＝0.70 m/s。
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；由Δx＝aT2，可知加速度的测量值与实际值相比偏小。
20.答案 0.737 相反 0.472
解析 根据xDE－xAB＝3aT2
可得a＝ m/s2≈－0.737 m/s2
负号表示加速度方向与小车的运动方向相反；
AB中间时刻的速度为v1＝ m/s＝0.583 m/s
则打点C时，小车运动的速度的大小为vC＝v1＋a×1.5T＝(0.583－0.15×0.737) m/s≈0.472 m/s。
21.答案 (1)0.02 (2)0.34 (3)0.88
解析 (1)打点计时器的打点时间间隔为t＝ s＝0.02 s
(2)相邻计数点的时间间隔为T＝5t＝0.1 s
打计数点1时，小车的速度为v1＝ m/s＝0.34 m/s
(3)小车加速度为a＝＝×10－2 m/s2＝0.88 m/s2
22.答案 (1)1.00 (2) (3)2.50
解析 (1)刻度尺精度为1 mm,读数时需要估读一位,根据题图可知小球经过的A、B两位置之间的距离为x1=1.00 cm。
(2)根据匀变速直线运动某段位移的平均速度等于该段位移所用时间中间时刻的瞬时速度可得vB=。
(3)根据逐差相等公式可得Δx=x3-x2=x2-x1=aT2,代入数据解得a==×10-2 m/s2=2.50 m/s2。
23.答案 (1)220 交流 (2)0.36 (3)0.38 (4)0.40
解析 (1)实验装置中所用电火花计时器应接220 V,交流电源。
(2)依题意,纸带上相邻计数点时间间隔为T=5×0.02 s=0.1 s,CD段的平均速度大小为vCD== m/s=0.36 m/s。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为vD===×10-2 m/s=0.38 m/s。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法可得小车运动的加速度大小为
a==×10-2 m/s2=0.40 m/s2。
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专题强化2 匀变速直线运动的两个推论及应用（题型突破）
题型01 平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
题型02 位移差公式Δx=aT2的应用
题型03 利用遂差法求纸带的加速度
▌题型01 平均速度、中间时刻的速度和位移中点的速度
1.平均速度公式：
2.匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
3.做匀变速直线运动的物体,在运动一段位移中点的瞬时速度：=
1.如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战机起飞前的运动时间为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由平均速度公式t＝x可知t＝，故A正确，B、C、D错误。
2.一滑雪运动员不借助滑雪杖，以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡，当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动，则运动员上坡和下坡所用的时间之比为( )
A.5∶4 B.4∶5 C.2∶3 D.3∶2
答案 B
解析 设运动员上坡的路程为x，上坡时所用时间为t1，下坡时所用时间为t2，则有x＝(0＋v0)t1＝5t1 (m)，x＝(0＋v)t2＝4t2 (m)，联立解得t1∶t2＝4∶5，故选B。
3.如图，长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道，车头刚进隧道时速度是10 m/s，车尾刚出隧道时速度是12 m/s，则列车通过隧道所用的时间是( )
A.81.8 s B.90.9 s C.100 s D.109.1 s
答案 C
解析 列车通过隧道的位移为x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，设所用时间为t，x＝t， m/s＝11 m/s
解得t＝100 s，故C正确。
4.一辆汽车在水平地面上沿直线行驶,在0~2t时间内做匀加速直线运动,速度由0变为v。在2t~3t时间内做匀减速直线运动,速度由v变为0,如图所示,在这两段时间内,下列说法正确的是( )
A.加速度的大小之比为2∶1
B.位移的大小之比为2∶1
C.平均速度的大小之比为1∶2
D.平均速度的大小之比为2∶1
答案 B
解析 根据v-t图像的斜率表示加速度,可得加速度的大小之比a1∶a2=∶=1∶2,故A错误;平均速度的大小之比∶=∶=1∶1,故C、D错误;位移的大小之比为x1∶x2=·2t∶t=2∶1,故B正确。
5.如图所示,做匀加速直线运动的物体依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB、BC的时间分别为t和2t,AB段长为L1,BC段长为L2,则物体运动的加速度为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 两段的平均速度为=,=,物体运动的加速度为a===,故D正确。
6.如图所示,假设“运-20”起飞前沿地面做匀加速直线运动,加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离,用时分别为2 s和1 s,则“运—20”的加速度大小是( )
A.35 m/s2 B.40 m/s2
C.45 m/s2 D.50 m/s2
答案 B
解析 第一段的平均速度== m/s=60 m/s,第二段的平均速度== m/s=120 m/s,由中间时刻的速度等于平均速度,则v1=,v2=,由v2=v1+a,解得a== m/s2=40 m/s2,故B正确。
7.做匀加速直线运动的物体,先后经过A、B两点时的速度分别为2v和10v,经历的时间为t,则下列结论正确的是( )
A.物体的加速度为
B.在A、B间的平均速度为6v
C.前时间内通过的位移为2vt
D.中间位置的瞬时速度6v
答案 ABC
解析 依题意可知a==,故A正确;在匀变速运动中,时间中点的速度等于全过程中的平均速度,即==6v,故B正确;由=,又=·=2vt,故C正确;设A、B两点间的距离为2L,则有-=2aL,-=2aL,解得vL=2v,故D错误。
8.小张通过无人机来拍摄城镇的风景，t＝0时刻，无人机由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1＝6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2＝15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求：
(1)无人机上升过程中的最大速度；
(2)无人机悬停时距地面的高度。
答案 (1)18 m/s (2)135 m
解析 (1)无人机做匀加速直线运动阶段有h1＝t1，
所以无人机上升过程中的最大速度为vmax＝18 m/s
(2)无人机做匀减速直线运动阶段有h2＝(t2－t1)＝×9 m＝81 m，
所以无人机悬停时距地面的高度为h＝h1＋h2＝54 m＋81 m＝135 m。
▌题型02 位移差公式Δx=aT2的应用
1.位移差公式：Δx＝aT2
(1)内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2。
(2)推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。
2.应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度:利用Δx=aT2,可求得a=。
9.利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上所打的一系列点，如图所示，各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…，各相邻的计数点的时间间隔为T，则下面各关系式中不正确的是( )
A.xⅡ－xⅠ＝aT2 B.xⅢ－xⅠ＝2aT2
C.xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ D.xⅢ－xⅡ＝
答案 D
解析 对于匀变速直线运动，连续相等时间内的位移之差是恒量，即Δx＝aT2，对应于该题有xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝aT2，而xⅢ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＋xⅡ－xⅠ＝2aT2，A、B、C正确，D错误。
10.(多选)如图所示,物体做匀加速直线运动,A、B、C、D为其运动轨迹上的四点,测得AB=2 m,BC=3 m,且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s,则下列说法正确的是( )
A.物体的加速度为20 m/s2
B.物体的加速度为25 m/s2
C.CD=4 m
D.CD=5 m
答案 BC
解析 由匀变速直线运动的推论Δx=aT2,可得a==25 m/s2,故A错误,B正确;根据CD-BC=BC-AB,可知CD=4 m,故C正确,D错误。
11.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第4 s内的位移为16 m，则该质点运动过程中( )
A.第5 s内位移为20 m
B.加速度大小为4 m/s2
C.第1 s初的速度大小为零
D.前5 s内的位移为50 m
答案 AB
解析 根据连续相等时间内发生的位移差和加速度的关系可知x4－x3＝aT2，x5－x4＝aT2，联立解得a＝4 m/s2，x5＝20 m，故A、B正确；由中间时刻瞬时速度与平均速度关系可知，2.5 s时的瞬时速度满足v2.5＝ m/s＝12 m/s，第1 s初即初始时刻，此时的速度满足v2.5＝v0＋at2.5，解得v0＝2 m/s，故C错误；前5 s内的位移满足x＝v0t5＋a＝(2×5＋×4×52) m＝60 m，故D错误。
12.校运会时，高空无人机在完成拍摄任务后返回地面，某一段过程可视为做匀加速直线运动。该过程中，前0.5 s内的位移为3.5 m，前1 s内的位移为8 m，则其加速度的大小为( )
A.3.5 m/s2 B.4 m/s2
C.7 m/s2 D.条件不足，无法求解
答案 B
解析 根据题意可知0.5~1 s内的位移为x2＝8 m－3.5 m＝4.5 m，根据匀变速直线运动规律Δx＝aT2可知加速度为a＝ m/s2＝4 m/s2。故选B。
13.一物体做匀加速直线运动,第2 s内的位移为8 m,第4 s内的位移为16 m,则该质点在前4 s内的位移大小为( )
A.8 m B.40 m
C.36 m D.32 m
答案 B
解析 根据匀变速直线运动推论可得x4-x2=2aT2,解得加速度大小为a== m/s2=4 m/s2,质点第1 s内的位移为x1=x2-aT2=8 m-4×12 m=4 m,质点第3 s内的位移为x3=x2+aT2=8 m+4×12 m=12 m,则该质点在前4 s内的位移大小为x=x1+x2+x3+x4=40 m,故B正确。
14.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”,据测,一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示,启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动,已知猎豹第2 s内跑了7.5 m,第3 s内跑了12.5 m。则( )
A.猎豹的加速度为5 m/s2
B.猎豹的加速度为10 m/s2
C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
答案 AD
解析 由公式Δx=aT2得x3-x2=aT2,代入数据解得猎豹的加速度a=5 m/s2,故A正确,B错误;猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s,由v=at,解得t=6 s,故C错误,D正确。
15.(多选)汽车的刹车过程可视为匀减速运动。自刹车开始第1 s内滑行的位移为32 m,第3 s内滑行的位移为16 m。已知汽车刹车后滑行的时间不小于3 s,由此可知( )
A.汽车的加速度大小为8 m/s2
B.汽车的初速度大小为34 m/s
C.汽车刹车后滑行的时间为4.5 s
D.汽车刹车后滑行的路程为80 m
答案 AC
解析 由xm-xn=(m-n)aT2可知,x1-x3=(3-1)aT2,代入数据解得a=8 m/s2,A正确;由匀变速直线运动位移公式有x1=v0T-aT2,解得v0=36 m/s,B错误;由v0=at解得汽车刹车后滑行的时间为t=4.5 s,C正确;汽车刹车后滑行的路程为x==81 m,D错误。
16.从斜面上某一位置每隔0.1 s由静止释放一个相同的小球,释放后小球做匀加速直线运动,在连续释放几个小球后,对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片,测得xAB=15 cm,xBC=20 cm。求:
(1)小球的加速度的大小;
(2)拍摄时小球在B点时的速度大小;
(3)拍摄时C、D间的距离xCD;
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个
解析 (1)由推论Δx=aT2可知,小球加速度为
a=== m/s2=5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻,所以B点的速度等于AC段的平均速度,即
vB== m/s=1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定,
所以xCD-xBC=xBC-xAB
得xCD=2xBC-xAB
=2×20×10-2 m-15×10-2 m=0.25 m。
(4)设A点处小球的速度为vA
由于vA=vB-aT=1.25 m/s
所以A点处小球的运动时间为
tA==0.25 s
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
▌题型03 利用遂差法求纸带的加速度
1.逐差法:公式Δx=aT2
匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等。
即Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2(如图)。
2.纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得：a1＝，a2＝，a3＝
a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝。
3.若n为大于4的奇数段,应怎么处理?
假设n=5,若相邻各段间的位移逐渐增大,第一段读数的误差相对较大,可以舍去第一段,则a=
同理,若相邻各段间的位移逐渐减小,可以舍去最后一段或舍去中间一段,则a==
两种情况下,在保留有效数字位数相同时,计算结果一般相同。
17.某实验小组同学在做“测定匀变速直线运动加速度”的实验，装置如图甲所示：
(1)图甲中的电火花计时器使用的交流电源电压为 V；
(2)交流电源的频率为50赫兹，实验中得到的纸带如图乙所示，图中的点为计数点，在每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为 s；打下B点时，小车的瞬时速度为 m/s；小车运动的加速度为 m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。
答案 (1)220 (2)0.4 0.16 0.81
解析 (1)题图甲中的电火花计时器接电压为220 V的交流电源；
(2)每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则打下A点到E点的时间间隔为t＝4×5×＝0.4 s
打下B点时，小车的瞬时速度为vB＝×10－2 m/s≈0.16 m/s
小车运动的加速度为a＝×10－2 m/s2≈0.81 m/s2
18.如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时,选取的一条纸带的一部分,他每隔4个点取一个计数点,图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交流电源。
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动,请进行计算,并将数据填入下表内(单位:cm)。
x2-x1
x3-x2
x4-x3
x5-x4
x6-x5
1.58
1.57
由此可以得出结论:小车的运动是 。
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt= s。
(3)小车的加速度的表达式a= (用题中的字母表示),加速度a= m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)打计数点B时小车的速度vB= m/s(结果保留3位有效数字)。
答案 (1)1.57 1.58 1.58 匀变速直线运动 (2)0.1 (3) 1.57 (4)0.517
解析 (1)由纸带计数点的数据可知
x4-x3=7.52 cm-5.95 cm=1.57 cm
x5-x4=9.10 cm-7.52 cm=1.58 cm
x6-x5=10.68 cm-9.10 cm=1.58 cm
由此可以得出结论:在误差允许范围内,相邻相等时间内的位移差Δx相等,小车的运动是匀变速直线运动。
(2)每隔4个点取一个计数点,电源频率为50 Hz,所以两个相邻计数点间的时间间隔Δt=0.02 s×5=0.1 s。
(3)小车的加速度的表达式a=
代入题中数据解得a≈1.57 m/s2。
(4)由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得,打计数点B时小车的速度vB==×10-2 m/s≈0.517 m/s。
19.在做“研究匀变速直线运动”实验中，打点计时器打出的一条纸带(部分)如图所示，若A、B、C…计数点间的时间间隔均为0.10 s。由图可知，
(1)小车做 运动。
(2)从图中给定的数据，可求出小车的加速度大小是 m/s2，打下C点时小车的速度大小是 m/s。(均保留两位有效数字)
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比 (选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
答案 (1)匀变速直线 (2)2.0 0.70 (3)偏小
解析 (1)由题图可知Δx＝BC－AB＝CD－BC＝DE－CD＝2 cm
且计数点间的时间间隔相同，故小车做匀变速直线运动；
(2)由于每相邻的计数点间的时间间隔T＝0.10 s，
根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝aT2
可以求出加速度的大小为
a＝×10－2 m/s2＝2.0 m/s2
根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程的平均速度，打下C点时小车的瞬时速度大小为vC＝×10－2 m/s＝0.70 m/s。
(3)如果当时电源中交变电流的频率是f＝51 Hz，而做实验的同学并不知道，那么实际打点周期小于测量的打点周期；由Δx＝aT2，可知加速度的测量值与实际值相比偏小。
20.在“研究匀变速直线运动”的实验中，小车拖着纸带运动，打点计时器每隔0.02 s打一个点，打出的纸带如图所示。选出A、B、C、D、E共五个计数点，每相邻两点间还有四个点(图中未画出)。已知靠近点A一端的纸带与小车相连，由此可得小车运动的加速度的大小为 m/s2，方向与小车的运动方向 (选填“相同”或“相反”)；打点C时，小车运动的速度的大小为 m/s。
答案 0.737 相反 0.472
解析 根据xDE－xAB＝3aT2
可得a＝ m/s2≈－0.737 m/s2
负号表示加速度方向与小车的运动方向相反；
AB中间时刻的速度为v1＝ m/s＝0.583 m/s
则打点C时，小车运动的速度的大小为vC＝v1＋a×1.5T＝(0.583－0.15×0.737) m/s≈0.472 m/s。
21.做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时，某同学得到一条点迹清晰的纸带，从比较清晰的点起，每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出)，分别标为0、1、2、3、4、5、6…，用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示，已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz，则：
(1)打点计时器每隔 s打一次点。
(2)打点计时器打计数点1时，小车的速度v1＝ m/s(结果保留两位有效数字)；
(3)小车的加速度a＝ m/s2(结果保留两位有效数字)。
答案 (1)0.02 (2)0.34 (3)0.88
解析 (1)打点计时器的打点时间间隔为t＝ s＝0.02 s
(2)相邻计数点的时间间隔为T＝5t＝0.1 s
打计数点1时，小车的速度为v1＝ m/s＝0.34 m/s
(3)小车加速度为a＝＝×10－2 m/s2＝0.88 m/s2
22.为研究匀变速直线运动的规律,某实验小组利用智能手机的录像功能拍下小球在贴有刻度尺的斜面上做匀加速直线运动的过程,然后将在录像中时间间隔为T的连续4幅画面合成到同一张图中,如图所示。
(1)从图中读出小球经过的A、B两位置之间的距离为x1= cm,BC间、CD间的距离分别为x2=1.40 cm、x3=1.80 cm。
(2)计算小球在B点速度大小的表达式为vB= (用所测物理量的符号表示)。
(3)已知T=0.04 s,由测得的数据,可计算出小球运动过程中的加速度大小为 m/s2(计算结果保留3位有效数字)。
答案 (1)1.00 (2) (3)2.50
解析 (1)刻度尺精度为1 mm,读数时需要估读一位,根据题图可知小球经过的A、B两位置之间的距离为x1=1.00 cm。
(2)根据匀变速直线运动某段位移的平均速度等于该段位移所用时间中间时刻的瞬时速度可得vB=。
(3)根据逐差相等公式可得Δx=x3-x2=x2-x1=aT2,代入数据解得a==×10-2 m/s2=2.50 m/s2。
23.某小组在“用打点计时器测小车速度”的实验中,用电火花计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况。打点计时器接在频率为f=50 Hz的交流电源上,在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点,每两个相邻计数点之间还有4个点未画出。如图所示,利用刻度尺已经测量相邻点间的距离得到x1=2.78 cm,x2=3.20 cm,x3=3.59 cm,x4=3.99 cm,x5=4.42 cm,x6=4.80 cm。
(1)实验装置中所用电火花计时器应接 V, (选填“交流”或“直流”)电源。
(2)CD段的平均速度大小为vCD= m/s(结果保留2位有效数字)。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为vD= m/s(结果保留2位有效数字)。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法算出了小车运动的加速度大小为a= m/s2(结果保留2位有效数字)。
答案 (1)220 交流 (2)0.36 (3)0.38 (4)0.40
解析 (1)实验装置中所用电火花计时器应接220 V,交流电源。
(2)依题意,纸带上相邻计数点时间间隔为T=5×0.02 s=0.1 s,CD段的平均速度大小为vCD== m/s=0.36 m/s。
(3)打点计时器打下D点时小车的瞬时速度大小为vD===×10-2 m/s=0.38 m/s。
(4)根据纸带上各个计数点间的距离用逐差法可得小车运动的加速度大小为
a==×10-2 m/s2=0.40 m/s2。
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