培优专题 相似模型及构造八种重难点题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

培优专题 相似模型及构造八种重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A字型相似 题型二、X字型相似 题型三、母子型相似 题型四、射影型相似 题型五、一线三垂直型相似 题型六、一线三等角型（非直角）相似 题型七、十字架型相似 题型八、旋转型相似 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一、通用解题通法（不分模型，统一步骤） 步骤1：识图定位，锁定模型 1. 先看有没有平行线→优先A字型、8字型 2. 有公共顶点、绕点旋转→手拉手旋转相似 3. 一条直线上有3个等角（含直角）→一线三等角 4. 直角三角形作高、共边共角→母子型（射影定理） 一句话：先看图的结构，快速预判哪组三角形可能相似 步骤2：找两组相等的角（最常用，AA证相似） 初中证相似AA是第一选择，比SAS用得多 1. 对顶角相等（8字型必用） 2. 平行线→同位角、内错角相等（A字型） 3. 同角/等角的余角、补角相等（一线三等角、母子型） 4. 公共角（A字、母子型核心） 5. 旋转：同加/同减公共角，得到夹角相等（手拉手） 技巧：先标记图里所有等角，凑够2组就可直接证相似 步骤3：边角匹配，用SAS（两边成比例+夹角相等） 适用：旋转相似、给线段比值的题型 1. 写出两组对应边的比例式，确认比值相等 2. 重点：必须是两边的夹角相等，不是随便一个角 3. 对应顶点写对齐，比例左右一一对应 步骤4：列比例式，求线段长/比值 证完相似立刻写：对应边成比例 1. 找准对应边，不要跨边乱比 2. 设未知数x，代入比例列方程求解 3. 求比值：可以用设k法，参数消元 步骤5：延伸结论（模型自带二级结论） 1. 面积比 = 相似比的平方；周长比=相似比 2. 对应高、对应中线、对应角平分线之比=相似比 3. 旋转相似：对应边所在直线夹角=旋转顶角 4. 母子型：等积式（射影定理乘积等式） 二、高频易错点（学生最容易踩坑） ✅ 角度类 1. 一线三等角：分不清外角推导，误把非对应角当成等角 2. 旋转相似：不会做“公共角同加同减”，找不到夹角 3. 母子型：混淆谁是谁的余角，等角找错 4. 忽略：AA只需要2组等角，不用找第三组 ✅ 边与比例类（重灾区） 1. 写相似时对应顶点写反，后面比例直接全错 2. SAS相似：两边成比例，但不是夹角相等，判定无效 3. 混淆平行线分线段成比例≠相似，只有平行+两角相等才是相似 4. 面积比直接等于线段比，忘记要平方 5. 跨模型乱套结论：比如把旋转相似的夹角结论用到A字型 ✅ 审题&计算类 1. 分不清“线段比”和“面积比”，求面积直接代线段比值 2. 作辅助线构造相似时，平行线作错位置，得不到等角 3. 动态旋转题，不会区分旋转前、后对应边 4. 证完相似，列比例时对应边不匹配，方程列错 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A字型相似 典例1 如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 解题模板 解题思路 1. 看到平行线，优先联想A字型相似； 2. 双A要分层：先看上层小A，再看下层大A，两套比例分开列； 3. 求线段长：优先设未知数，代入比例方程求解； 变式1-1.如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1-2.如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 题型二、X字型相似 典例2 如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则：（　　） A．： B．： C．： D．： 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，进而得出，得出比例式，根据已知条件得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵与相交于点，为的中点， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 解题模版 解题思路 1. 看到平行线+交叉线，优先锁定X（沙漏）模型； 2. 先找对顶角，再用平行线推内错角相等，证相似； 3. 找准对应边，写比例式（交叉线上是整条线段相比，不是单段）； 变式2-1将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2-2在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．    （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ； （2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值； （3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵AF∥BC， ∴∠F=∠EBC， ∵∠AEF=∠BEC，AE=EC， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴AF=BC． 设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k， ∵AF∥BC， ∴△APF∽△DPB， ∴， 故答案是：； （2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F， 设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k． ∵E是AC中点， ∴AE=CE． ∵AF∥DB， ∴∠F=∠1． 在△AEF和△CEB中，， ∴△AEF≌△CEB， ∴EF=BE，AF=BC=2k． ∵AF∥DB， ∴△AFP∽△DBP， ∴； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB= ∴EF=BE=5，BF=10． ∵， ， ∴BP=BF=×10=6． 故答案为6． 典例3 如图，中，点D在上，，若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键． 如图：延长到E，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图：延长到E，使，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解得：． 故答案为：． 解题模版 解题思路 1. 看到同一个顶点引出两个三角形，有公共角，优先考虑共角斜A相似； 2. 第一步：锁定公共角；第二步：找另一组相等的角； 3. 证完相似，立刻写比例，交叉相乘得到等积式； 4. 求边长：设未知数，代入等积式列方程求解； 变式3-1如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键． 过E作于M，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得 ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】过E作于M，则， 四边形是矩形， ， ， 沿翻转到处， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得 则， ， ， ， 解得： 故选：A． 变式3-2如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 变式3-3【基础巩固】 （1）如图①，在中，为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，为上一点，为内一点，，，，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）5； （3）． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质，证明，求出，即可得出的长； （3）先证明四边形为平行四边形，再结合菱形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长与的延长线交于点G， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 典例4 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________． 【答案】 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果． 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为： 解题模版 解题思路 1. 看到直角三角形+斜边高线，直接锁定射影定理模型； 2. 优先直接套用3条等积式，快速求线段长； 3. 已知任意两条线段，代入等积式，设未知数列方程； 4. 涉及面积：利用等面积法或者结合勾股定理； 变式4-1 如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． (1)求证：； (2)延长交于点G，求的值； 【答案】(1) 证明：∵，，，E为的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴， ， ∴， ； （2）解：过点E作，交于点H，如图 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 变式4-2 如图，在中，，AC=BC=2，M是边AC的中点，于H. （1）求MH的长度； （2）求证：； 【详解】解：（1）在中，， 又∵是边AC的中点， ∴， ∴， 又于H，则， ∴， 由射影定理知：，所以 （2）∵， ∴， 又∵, ∴； 典例5 如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 解题模板 解题思路 1. 识别模型 观察：同一直线上，存在三个直角（两个垂足+一个顶点直角），图形像“K字”；分内K（顶点在两垂足之间）、外K（顶点在外侧）。 2. 推导等角（最关键一步）平角=180°，直角=90° ∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90° ⇒ ∠1=∠3（同角的余角相等） 3. 判定相似三角形 两组角分别相等： - 一组：上面推出来的等角 - 另一组：都是直角 → 两角对应相等，三角形相似。 4. 列比例式 找准对应边，写比例： 5. 代入已知线段，计算边长；可设未知数，解方程 变式5-1 如图，矩形在平面直角坐标系中，，B，D在坐标轴上，，若反比例函数的图象过点C，则反比例函数的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，求反比例函数的解析式，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法以及相似三角形对应边成比例． 过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点E和点F，过点C作y轴的垂线， 通过证明，得出，，再证明，求出，则，最后证明，得出，即可求出，进而得出，用待定系数法即可解答． 【详解】解∶ 过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点E和点F， ∵，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点C，则反比例函数的解析式为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5-2 如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 变式5-3 在矩形中，，（），点E，G在上，点F，H在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点C恰好落在上同一点P处，点A的对应点为，点D的对应点为． 当时， （1）求证：； （2）当时，m的值为______； 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得：，，， ， ∴共线，同理共线， ， ， 又， ， ， 又， ； （2）解：由矩形的性质可得，，， 由折叠性质得：，，，，，， ∵， ∴， ， ， 即， ∴， ， ，， ，， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， ∴； 题型六、一线三等角型（非直角）相似 典例6 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，证明为等边三角形，再证明，得到，，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故选：C． 解题模版 解题思路 1. 识别模型：一条直线上依次有3个点，在这3个点处各有一个相等的角（可以是锐角/钝角，不一定90°）；分为同侧型、异侧型。 2. 推导等角：利用平角和三角形内角和得到第二组相等角。 3. 判定三角形相似：两组角分别相等，直接证得两个三角形相似（AA相似）。 4. 找准对应边，列比例式：严格按等角找对应边，写出线段比例； ⚠️易错：不要照搬三垂直的直角边对应，要角对边。 5. 代入已知线段，设未知数列方程求解：求线段长、比值；常结合设k法。 变式6-1 如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为______． 【答案】 【分析】过点E作交于点P，交于点Q，则，，所以，而，则，推导出，然后可证明，再证明，得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点E作交于点P，交于点Q，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式6-2在中，，，点D为边的中点，点在边上移动（点E不与点A、B重合），点F直线上，满足，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，若，，是否存在一点E，使得，若存在，求出的值（用含有m的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ，， ，，； ∵， ∴， ∵，, ∴， ∴； (2)14； (3)存在，． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质， （1）由得到，由三角形外角的性质得到，已知,得到，即可得到结论； （2）由和是BC边中点得到，再由证明，则，过点E作于点M，解三角形求出，，，即可得到． （3）当时，可得，进而可得， 进而得出，由此即可解题. 【详解】（1）解：略． （2）由（1）， ， 是BC边中点， ， ， ， ， ， ， 连接AD，，，，， 过点E作于点G，，，， 在中，， ； （3）当时，， 又， ， ， ， 由（1）可知 ， ，， ，， ， ， ． 题型七、十字架型相似 典例7 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，则的长为______． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，点D落在点处，得到四边形，交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∵折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． （2）证明：．理由如下： 过点D作，交于点M，交于点N， ∵矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 解题模版 解题思路 1. 识别模型 图形：正方形/矩形/直角三角形中，两条线段相交垂直（十字，夹角90°） 关键词：AB垂直CD，交点为十字交叉点；多在正方形里，一组对边上两点连线互相垂直 2. 找等角：由同角的余角相等，再加一组直角，得到两组角对应相等 3. 判定相似三角形：两组角分别相等，三角形相似（AA） 正方形十字：不仅相似，垂直时线段长度相等（正方形特有结论） 4. 列比例式 变式7-1问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 变式7-2【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ； 【结论应用】 （2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为 ； 【联系拓展】 （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值． 【答案】 （1）证明：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP=EF，GH=BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ， ∴∠QAT+∠AQT=90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠D=90°， ∴∠DAP+∠DPA=90°， ∴∠AQT=∠DPA． ∴△PDA∽△QAB， ∴ ， ∴ ； （2）； （3） 【分析】（1）如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，易证AP=EF，GH=BQ，可判定△PDA∽△QAB，根据相似三角形的性质即可证得结论； （2）由（1）中的结论可得到，问题得到解决； （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决． 【详解】（1）略 （2）如图2， ∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得 ， ∴ （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC=90°， ∴▱ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS． ∵AM⊥DN， ∴由（1）中的结论可得 ． 设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y， ∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①， 在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②， 由②﹣①得x=2y﹣5③， 解方程组 ，得 （舍去），或 ， ∴AR=5+x=8， ∴ ． 题型八、旋转型相似 典例 8如图，在和中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，，则__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形相似的性质计算 【详解】如图，连接EC， ∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=60°， ∴△BAC∽△DAE， ∴AC：AE= AB：AD， ∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠EAC=∠BAD， ∴△EAC∽△DAB， ∴AD：AE= BD：EC=AB：AC， ∵∠BAC=90°，∠ACB=60°， ∴AB：AC=， ∴AD=AE，BD=EC， ∵∠EFA=∠CFD，∠ACB=∠AED=60°， ∴△EFA∽△CFD， ∴EF：CF= FA：FD， ∵∠EFC=∠AFD， ∴△EFC∽△AFD， ∴DF：CF= AD：EC， ∵DF=3FC， ∴AD=3EC， ∴AD：BD=3EC ：EC=， 故答案为：． 解题模版 解题思路 1. 识别模型 两个三角形有公共顶点，绕该点旋转；两组边对应成比例，两边的夹角相等； 2. 找等角：（旋转产生的夹角，最关键） 3. 证明三角形相似：两边成比例且夹角相等 4. 得到两组结论 ① 对应边成比例：（旋转相似比） ② 对应边夹角相等：BD与CE的夹角 = 旋转顶角（高频考点，求角度） 5. 计算线段/角度 求线段：用相似比例列方程； 求角度：利用“旋转后两条对应边的夹角等于原顶角”快速口算； 变式8-1 解答下列问题 (1)【问题呈现】如图1，和是等边三角形，连接，，，延长交直线于点，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，已知，求证：； (3)【尝试应用】如图3，在和中，，，与相交于点．点在边上，，若，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明，得到，再由，得到； （2）由，得到，，即可推出，得到； （3）连接，先证明，得到，，由，得到，设，则，，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，整理得， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式8-2 和均为等边三角形，O分别为和的中点，连接，，．    (1)【特例发现】如图1，当点D，点E与点F分别在上时，可以得出结论：______；直线与直线的位置关系是______． (2)【探究证明】如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转，使点D恰好落在线段上，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，且，，O分别为和的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，此时， 故答案为：，垂直； （2）解：结论成立． 理由：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】过D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长． 【详解】如下图，过D做于点H      ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴   又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 方法二： ∵∠BEC+∠FCD=90°， ∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠BEC=∠DFC， 又∵∠CDF=∠BCE, BC=CD, ∴△BCE≌△CDF， ∴CE=DF=4-1=3; 【点睛】本题考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标为根据等角的余角相等，可得，依据点坐标，可得，再利用平移性质，可得点坐标，点、同在反比例函数图象上，建立关于的方程，联立方程组得、值，值即可算出．正确表示点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ， ， 设点， ， ， 四边形是矩形， 点可看作是由点平移得到的， 点可看作是点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度， ， 点、都在反比例函数图象上， ，即， ， ， ，， ． 故选：． 6．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为(    )   A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到相等的角，再结合BF=EF先证明△NEF≌△DBF，即可得到NE=BD=2，再证明△ANE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】解：∵NE∥BC， ∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF， 又∵BF=EF， ∴△NEF≌△DBF， ∴NE=BD=2． ∵NE∥BC， ∴△ANE∽△ADC， ∴， ∵CE=2AE， ∴， ∴CD=6． 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合思想的应用． 7．如图，在矩形中，，点E在边上，且，点F是边上的一个动点，将四边形沿翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上，与边交于点O，当时，的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得∽，根据相似三角形的性质可求出，进而得出，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，利用同角的余角相等可证明，利用相似三角形的性质得出的长即可得答案． 本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质矩形的性质及勾股定理，解题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，并熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形，将四边形沿翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上， ，，，，， ， ∽， ， ， 解得：， ， ， ， ，， ， ， ∽， ，即， 解得：， 故答案为： 8．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】通过证 ，得到求出BF=2，，，进而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证CFD∽CAB，得到，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD ∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD ∴∠DBC=∠AED 如图，在BC上取点，使BF=AE 则在与中， ∴ ∴AE=BF=2，， ∴CF=BC-BF=8-2=6 ∵∠BAD=，∠DFC= ∴∠BAD=∠DFC 又∵∠C=∠C ∴CFD∽CAB ∴ ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠DFC ∴ ∵ ∴ ∴DF=FC=6，则AD=DF =6 ∴CA=6+CD 又∵CF=6，BC=8 ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系． 9．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为__________．    【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，可求，，设，可证，由即可求解． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 11．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 12．【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 13．（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）旋转可知， 、、在同一直线上，进而可得，再证明，即可得，由此即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）略 14．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题 相似模型及构造八种重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A字型相似 题型二、X字型相似 题型三、母子型相似 题型四、射影型相似 题型五、一线三垂直型相似 题型六、一线三等角型（非直角）相似 题型七、十字架型相似 题型八、旋转型相似 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一、通用解题通法（不分模型，统一步骤） 步骤1：识图定位，锁定模型 1. 先看有没有平行线→优先A字型、8字型 2. 有公共顶点、绕点旋转→手拉手旋转相似 3. 一条直线上有3个等角（含直角）→一线三等角 4. 直角三角形作高、共边共角→母子型（射影定理） 一句话：先看图的结构，快速预判哪组三角形可能相似 步骤2：找两组相等的角（最常用，AA证相似） 初中证相似AA是第一选择，比SAS用得多 1. 对顶角相等（8字型必用） 2. 平行线→同位角、内错角相等（A字型） 3. 同角/等角的余角、补角相等（一线三等角、母子型） 4. 公共角（A字、母子型核心） 5. 旋转：同加/同减公共角，得到夹角相等（手拉手） 技巧：先标记图里所有等角，凑够2组就可直接证相似 步骤3：边角匹配，用SAS（两边成比例+夹角相等） 适用：旋转相似、给线段比值的题型 1. 写出两组对应边的比例式，确认比值相等 2. 重点：必须是两边的夹角相等，不是随便一个角 3. 对应顶点写对齐，比例左右一一对应 步骤4：列比例式，求线段长/比值 证完相似立刻写：对应边成比例 1. 找准对应边，不要跨边乱比 2. 设未知数x，代入比例列方程求解 3. 求比值：可以用设k法，参数消元 步骤5：延伸结论（模型自带二级结论） 1. 面积比 = 相似比的平方；周长比=相似比 2. 对应高、对应中线、对应角平分线之比=相似比 3. 旋转相似：对应边所在直线夹角=旋转顶角 4. 母子型：等积式（射影定理乘积等式） 二、高频易错点（学生最容易踩坑） ✅ 角度类 1. 一线三等角：分不清外角推导，误把非对应角当成等角 2. 旋转相似：不会做“公共角同加同减”，找不到夹角 3. 母子型：混淆谁是谁的余角，等角找错 4. 忽略：AA只需要2组等角，不用找第三组 ✅ 边与比例类（重灾区） 1. 写相似时对应顶点写反，后面比例直接全错 2. SAS相似：两边成比例，但不是夹角相等，判定无效 3. 混淆平行线分线段成比例≠相似，只有平行+两角相等才是相似 4. 面积比直接等于线段比，忘记要平方 5. 跨模型乱套结论：比如把旋转相似的夹角结论用到A字型 ✅ 审题&计算类 1. 分不清“线段比”和“面积比”，求面积直接代线段比值 2. 作辅助线构造相似时，平行线作错位置，得不到等角 3. 动态旋转题，不会区分旋转前、后对应边 4. 证完相似，列比例时对应边不匹配，方程列错 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A字型相似 典例1 如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 解题模板 解题思路 1. 看到平行线，优先联想A字型相似； 2. 双A要分层：先看上层小A，再看下层大A，两套比例分开列； 3. 求线段长：优先设未知数，代入比例方程求解； 变式1-1如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______． 变式1-2如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 题型二、X字型相似 典例2 如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则：（　　） A．： B．： C．： D．： 解题模版 解题思路 1. 看到平行线+交叉线，优先锁定X（沙漏）模型； 2. 先找对顶角，再用平行线推内错角相等，证相似； 3. 找准对应边，写比例式（交叉线上是整条线段相比，不是单段）； 变式2-1将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 变式2-2在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．    （1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ； （2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 题型三、母子型相似 典例3 如图，中，点D在上，，若，则线段的长为________． 解题模版 解题思路 1. 看到同一个顶点引出两个三角形，有公共角，优先考虑共角斜A相似； 2. 第一步：锁定公共角；第二步：找另一组相等的角； 3. 证完相似，立刻写比例，交叉相乘得到等积式； 4. 求边长：设未知数，代入等积式列方程求解； 变式3-1如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 变式3-2如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 变式3-3【基础巩固】 （1）如图①，在中，为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，为上一点，为内一点，，，，连接，若，直接写出的长． 题型四、射影型相似 典例4 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________． 解题模版 解题思路 1. 看到直角三角形+斜边高线，直接锁定射影定理模型； 2. 优先直接套用3条等积式，快速求线段长； 3. 已知任意两条线段，代入等积式，设未知数列方程； 4. 涉及面积：利用等面积法或者结合勾股定理； 变式4-1 如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． (1)求证：； (2)延长交于点G，求的值； 变式4-2 如图，在中，，AC=BC=2，M是边AC的中点，于H. （1）求MH的长度； （2）求证：； 题型五、一线三垂直型相似 典例5 如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 解题模板 解题思路 1. 识别模型 观察：同一直线上，存在三个直角（两个垂足+一个顶点直角），图形像“K字”；分内K（顶点在两垂足之间）、外K（顶点在外侧）。 2. 推导等角（最关键一步）平角=180°，直角=90° ∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90° ⇒ ∠1=∠3（同角的余角相等） 3. 判定相似三角形 两组角分别相等： - 一组：上面推出来的等角 - 另一组：都是直角 → 两角对应相等，三角形相似。 4. 列比例式 找准对应边，写比例： 5. 代入已知线段，计算边长；可设未知数，解方程 变式5-1 如图，矩形在平面直角坐标系中，，B，D在坐标轴上，，若反比例函数的图象过点C，则反比例函数的解析式为_______． 变式5-2 如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 变式5-3 在矩形中，，（），点E，G在上，点F，H在上，将矩形沿，折叠，使得点B与点C恰好落在上同一点P处，点A的对应点为，点D的对应点为． 当时， （1）求证：； （2）当时，m的值为______； 题型六、一线三等角型（非直角）相似 典例6 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（    ） A．4 B． C． D． . 解题模版 解题思路 1. 识别模型：一条直线上依次有3个点，在这3个点处各有一个相等的角（可以是锐角/钝角，不一定90°）；分为同侧型、异侧型。 2. 推导等角：利用平角和三角形内角和得到第二组相等角。 3. 判定三角形相似：两组角分别相等，直接证得两个三角形相似（AA相似）。 4. 找准对应边，列比例式：严格按等角找对应边，写出线段比例； ⚠️易错：不要照搬三垂直的直角边对应，要角对边。 5. 代入已知线段，设未知数列方程求解：求线段长、比值；常结合设k法。 变式6-1 如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为______． 变式6-2在中，，，点D为边的中点，点在边上移动（点E不与点A、B重合），点F直线上，满足，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，若，，是否存在一点E，使得，若存在，求出的值（用含有m的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 题型七、十字架型相似 典例7 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，折痕与交于点H，点F在上，若，则的长为______． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，点D落在点处，得到四边形，交于点H，连接交于点O，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 解题模版 解题思路 1. 识别模型 图形：正方形/矩形/直角三角形中，两条线段相交垂直（十字，夹角90°） 关键词：AB垂直CD，交点为十字交叉点；多在正方形里，一组对边上两点连线互相垂直 2. 找等角：由同角的余角相等，再加一组直角，得到两组角对应相等 3. 判定相似三角形：两组角分别相等，三角形相似（AA） 正方形十字：不仅相似，垂直时线段长度相等（正方形特有结论） 4. 列比例式 变式7-1问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 变式7-2【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ； 【结论应用】 （2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为 ； 【联系拓展】 （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值． 题型八、旋转型相似 典例 8如图，在和中，，，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，，则__________． 解题模版 解题思路 1. 识别模型 两个三角形有公共顶点，绕该点旋转；两组边对应成比例，两边的夹角相等； 2. 找等角：（旋转产生的夹角，最关键） 3. 证明三角形相似：两边成比例且夹角相等 4. 得到两组结论 ① 对应边成比例：（旋转相似比） ② 对应边夹角相等：BD与CE的夹角 = 旋转顶角（高频考点，求角度） 5. 计算线段/角度 求线段：用相似比例列方程； 求角度：利用“旋转后两条对应边的夹角等于原顶角”快速口算； 变式8-1解答下列问题 (1)【问题呈现】如图1，和是等边三角形，连接，，，延长交直线于点，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，已知，求证：； (3)【尝试应用】如图3，在和中，，，与相交于点．点在边上，，若，求的值． 变式8-2 和均为等边三角形，O分别为和的中点，连接，，．    (1)【特例发现】如图1，当点D，点E与点F分别在上时，可以得出结论：______；直线与直线的位置关系是______． (2)【探究证明】如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转，使点D恰好落在线段上，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为(    )   A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在矩形中，，点E在边上，且，点F是边上的一个动点，将四边形沿翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上，与边交于点O，当时，的长为______． 8．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____． 9．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为__________．    10．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 11．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______． 12．【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 13．（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 14．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $