精品解析：四川省内江市第六中学2026-2027学年上期高三第二次月考数学试题

内江市第六中学高2027届第二次月考数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 3. 已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（ ）h（精确到1h，参考数据：） A. 5 B. 6 C. 15 D. 18 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 与的夹角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 11. 已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的周期为4 C. 若函数有个零点，则的零点之和为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 13. 在的展开式中，的系数为_________ 14. 已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知数列满足，且数列的前n项和. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 已知函数． （1）已知函数在处取得极值，求的解析式及单调区间． （2）已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围． 18. 某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和，已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （1）求； （2）求（用表示）； （3）设，求证：． 19. 已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； （3）在（2）的条件下，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市第六中学高2027届第二次月考数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解. 【详解】由题复数， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】, 另解：. 故选：B 4. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和同角的三角函数基本关系式结合齐次化可求三角函数的值. 【详解】因为，故 ， 故选：C. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（ ）h（精确到1h，参考数据：） A. 5 B. 6 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案. 【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种. 故选：C. 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数确定的单调性，将含绝对值的方程去掉绝对值符号，然后引入新函数，设，问题转化为存在，，使得，只要在上不单调即可得． 【详解】， 时，，所以是增函数， 不妨设，则，又， 所以由，得，即， 设，则， 当时，，是增函数，不存在，，使得， 当时，要满足题意，则在上有解，使得在上不单调． ，， 设，，， 所以， 由在上单调递减，得，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数方程有解问题，解题关键是利用函数的单调性去掉绝对值符号，转化为新函数不单调，即新函数的导数有零点，最后转化为求函数的最值． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 与的夹角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，结合题干条件，利用向量的模长公式以及数量积的运算律求得，代入夹角公式即可求解余弦值；对于C，由向量垂直的充要条件即可判断；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于AB，因为，所以，又，， 所以，所以， 所以向量与的夹角的余弦值为，故A正确；B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象上的特殊点和对称轴可求函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质，图像变换，诱导公式逐项判断即可. 【详解】由图可知，，周期，则，故A正确； 由，得，即， 解得，，即，； 因为，所以，则； 对于B，的图象向右平移个单位得 ，故B正确； 对于C，由，得，根据正弦函数的图象可知， 和，即和是函数的两个极值点，故C错误； 对于D，由，得，则，此时，则在区间上的最大值为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的周期为4 C. 若函数有个零点，则的零点之和为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用的对称性，结合已知可得，可判断A；进而计算可得，可判断B；令，得，可得关于点对称，也关于点对称，计算可判断C；利用的关系求得，可判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以， 又因为，所以， 所以，所以函数是偶函数，故A正确； 由，得，所以， 又因为，所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 所以，所以函数的周期为4，故B正确； 令，得， 因为，又，所以， 所以，所以关于点对称. 又也关于点对称. 若函数有个零点，则共有对关于点对称， 所以的零点之和为，故C正确； 因为，且函数的周期为4，所以， 所以，所以函数的周期为4， 又，所以. 又，所以，， 所以，所以，所以. 又，所以，所以. 又，所以. 所以，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 13. 在的展开式中，的系数为_________ 【答案】35 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解. 【详解】由于的通项为， ， 故的系数为 14. 已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，转化为函数与的图象有八个交点，画出与的图象，结合图象进行分析求解. 【详解】由函数的解析式可知： 时，，所以的图象与在上的图象关于直线对称； 时，，所以只需把在上的图象向右平移6个单位即可得在上的图象. 由得，函数与的图象如图所示： 由，即有，由图可知，， 故，即，则，； 由的图象性质，有，， ，， 则，， 所以， 因为，，所以，而对勾函数在上单调递减， 所以，，，， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：分段函数的有关零点的问题通常用数形结合的方法，画函数图象时常考虑用函数的图象变换结合函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）和函数图象的对称性. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 【小问1详解】 中，， 由正弦定理得， 又， 则有，由，， 则，得， 由，则，得. 【小问2详解】 ，则，由，得， 由余弦定理， 得，得， 所以的周长为. 16. 已知数列满足，且数列的前n项和. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件得到为公差为2的等差数列，首项为1，求出通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 故为公差为2的等差数列， 中，令得，解得， 则； 【小问2详解】 ， 故①， 则②， 两式①-②得 ， 故. 17. 已知函数． （1）已知函数在处取得极值，求的解析式及单调区间． （2）已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围． 【答案】（1），的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为0求出参数a，再根据导函数正负判断单调区间； （2）对求导，分类讨论找到最小值点，令最小值大于0，解不等式求a的取值范围． 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 当时，; 当时，单调递减； 当时，单调递增； 处取得极小值，符合题意； 综上，，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 ，对于任意，，所以， ， ①当时， ，显然不成立， ②当时，当 时，单调递减； 当 时，单调递增； ， ③当时，当时，单调递减； 当 时，单调递增； ， 综上，实数的取值范围为． 18. 某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和，已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （1）求； （2）求（用表示）； （3）设，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：因为， 则， 当时，，而， 所以， 当时，， 而， 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，结合第一天选A、B的概率以及对应的转移概率，直接计算第二天选择路线A的概率； （2）先建立与的递推关系式，通过构造等比数列，求出的通项公式； （3）代入通项化简，对进行放缩，分别对左右两侧不等式求和完成证明． 【小问1详解】 设“第一天选择路线A”为事件M，“第二天选择路线A”为事件N， ==， ． 【小问2详解】 第天选择路线的概率为两部分概率之和，当第天选择路线时， 且第天选的概率为， 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 所以，， 设，则，故，解得， 则， 其中，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，故． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2）函数求导得：． 当时，，，又，所以． 当时，令，则， ，则在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，且，， 存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增． ， 又，存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 在上存在唯一极（小）值点． ，又， 存在，使得， 在上存在唯一零点，得证． （3），， ，得，， ，等价于． 结合（2）的分析，，， ，即， 同理， ． 在区间上单调递减，要证，只需证． 又在上单调递增，只需证． ， 借助，可得， 令，则恒成立， 在上单调递增，，即成立，得证． 不等式成立． 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程； （2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论； （3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助进行放缩构造函数，从而证明结论． 【小问1详解】 若，则，求导得， ， 又， 所求的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $