周周练05 7.3～7.4 相似三角形的性质、相似三角形的应用（数学新教材苏科版九年级下册）

2026-2027学年九年级下学期数学周周测05 7.3～7.4 相似三角形的性质、相似三角形的应用 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B′的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 2．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D． 3．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 4．杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 5．如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF＝10，AE＝8，∠AFE＝∠B，则AD的长为（　　） A．10 B． C． D． 6．如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为_________________ ． 8．如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠B，，AC＝6，则BD的长为_____ ． 9．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为___________________ cm． 10．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝8m，则树高AB是 ________ m． 11．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 ____________________ ． 12．如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是_______ mm． 13．如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G，交AD于点F，交AC于点E，若AF＝2FD，则的值为__________________ ． 14．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则C△DOE：C△AOC的值为__________________ ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：△EAF∽△EBA； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝5，求AF的长． 16．（10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当EG：EF＝4：9时，求矩形EGHF的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测05 7.3～7.4 相似三角形的性质、相似三角形的应用 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B′的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝40°，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝110°， ∴∠B＝40°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′＝∠B＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 2．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16， 解得CD＝4m． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 4．杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 【分析】先通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定△AOC∽△BOD，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式，代入已知数据计算出AC的长度． 【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， 解得AC＝60cm； 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的实际应用、利用相似三角形求长度，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF＝10，AE＝8，∠AFE＝∠B，则AD的长为（　　） A．10 B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD，∠B＝∠D，再证∠AFE＝∠D，然后证△AEF∽△AFD，得，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠B＝∠D， ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠D， ∵∠EAF＝∠FAD， ∴△AEF∽△AFD， ∴， 即， 解得：AD＝12.5， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 6．如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】通过证明△POM∽△BON，得出PM：BN＝OM：ON＝5：3，即可解答． 【解答】解：根据题意可得：∠PMO＝∠BNO＝90°， ∵∠POM＝∠BON， ∴△POM∽△BON， ∴PM：BN＝OM：ON＝5：3， ∵PM＝10cm， ∴BN＝6cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 7．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（　　） A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm 【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：如图所示：作BF⊥AE于点F， 由题意可得，BC＝6cm，CEDC＝8cm， 故BE10（cm）， 可得：∠CEB＝∠BAF，∠C＝∠AFB， 故△BEC∽△BAF， ∴， ∴， 解得：BF＝9.6cm． 故选：A． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键． 8．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，点F在AB边上，且AB＝4AF，连接EF分别交AC，DC于点G，H，设△GCH与△CEH面积的比为k，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】四边形ABCD和ACED都是平行四边形，可得BC＝CEBE，FH＝HEFE，△AFG∽△CHG，可得面积之比；再求出GH：HE的值，△CHG和△CEH同高，可得其面积之比即为GH：HE的值，进而可得k的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC，AB∥CD， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴AD∥CE，且AD＝CE， ∴BC＝CE， ∵AB∥CD，BC＝CE， ∴CH是△BEF的中位线， ∴CHBF，HF＝HE， 设AF＝a， ∵AB＝4AF， ∴AB＝4a，BF＝3a，CHBFa， ∴， ∵AB∥CD， ∴△AFG∽△CHG， ∴， ∵FG：GH＝2：3，HF＝FG+GH， ∴GH：HF＝3：5， ∵HF＝HE， ∴GH：HE＝3：5，而△CHG和△CEH同高， ∴S△GHC：S△CEH＝GH：HE＝3：5， ∴k． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形、相似三角形的性质，求出GH：HE的值，得△CHG与△CEH的面积之比是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为　　 ． 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方， ∵△ABC与△DEF的面积比为1：2，△ABC与△DEF的周长比等于相似比， ∴△ABC与△DEF的周长比为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方． 10．如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠B，，AC＝6，则BD的长为　2　 ． 【分析】由已知条件证得△BOD∽△AOC，然后利用相似三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：∵∠B＝∠A，∠BOD＝∠AOC， ∴△BOD∽△AOC， ∴， ∵，AC＝6， ∴， ∴BD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键． 11．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为　　 cm． 【分析】根据平行关系证明△AOB∽△COD，△BOE∽△BDC，从而得到，，计算可得，即可得到OE的长度． 【解答】解：∵OE⊥BC，DC⊥BC，AB⊥BC， ∴OE∥AB∥DC， ∴△BOE∽△BDC，△AOB∽△COD， ∴，， ∵CD＝3cm，AB＝5cm， ∴， ∴， ∴OE3（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 12．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝8m，则树高AB是 　5.6　 m． 【分析】判定△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质列比例式得出BC的值即可解答． 【解答】解：∵∠EDF＝∠CDB，∠DEF＝∠DCB＝90°， ∴△DEF∽△DCB， ∴DE：DC＝EF：BC， ∵DE＝20cm＝0.2m，EF＝10cm＝0.1m，CD＝8m， ∴0.2：8＝0.1：BC， ∴BC＝4m， ∴AB＝BC+AC＝4+1.6＝5.6（m）． 答：树高AB为5.6m． 故答案为：5.6． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是判定△DEF∽△DCB，利用相似三角形的性质列出比例式． 13．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 　　 ． 【分析】先根据勾股定理计算BD的长，再根据△ABE∽△CDE，对应边成比例，得到，所以设BE＝x，则DE＝BD﹣x，从而求出BE的长． 【解答】解：BD， ∵AB∥DC， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 设BE＝x，则DEx， ∴， 解得：x． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 14．如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是　48　 mm． 【分析】设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，证明△AEF∽△ABC，即可求解． 【解答】解：设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝xmm，AK＝80﹣x（mm）， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 即， 解得：x＝48， 答：这个正方形零件的边长为48mm． 故答案为：48． 【点评】本题考查了相似形的应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质． 15．如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G，交AD于点F，交AC于点E，若AF＝2FD，则的值为　　 ． 【分析】证明△ABF∽△DGF求出AB＝2DG，设DG＝k，则AB＝CD＝2k，CG＝3k，再证明△ABE∽△CGE即可求出． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△ABF∽△DGF， ∴， ∴AB＝2DG 设DG＝k，则AB＝CD＝2k， ∴CG＝3k， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 16．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则C△DOE：C△AOC的值为　　 ． 【分析】根据S△BDE：S△CDE＝2：3可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据相似三角形的周长比等于相似比可得解． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3， ∴， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴C△DOE：C△AOC， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的周长比关于相似比，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为　　 ． 【分析】通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和线段关系求出的值． 【解答】解：如图所示，延长AC与BE的延长线相交于点F， 由条件可得△ABF是等腰三角形，BE＝EF，∠BCA＝∠BED＝90°， ∵∠ADC和∠BDE是对顶角， ∴∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，则， 设BE＝x． ∴． 由条件可知∠BED＝∠BCF＝90°， ∴△BDE∽△BFC，则， ∴，得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与相似三角形的应用，掌握通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例关系求解线段比值是解题的关键． 18．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 　21　 ． 【分析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出2，即EDOP＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD， ∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°， ∴CP＝2CD， ∴2， ∴△COP∽△CED， ∴2， 即EDOP＝1（定长）， ∵点E是定点，DE是定长， ∴点D在半径为1的⊙E上， ∵OD≤OE+DE＝21， ∴OD的最大值为21， 故答案为． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：△EAF∽△EBA； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝5，求AF的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠EAF＝∠ACB，然后证明△AEF∽△BEA，再利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE，计算出EB＝4，则FB＝3，再利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠EAF＝∠ABE， ∵∠AEF＝∠AEB， ∴△AEF∽△BEA； （2）解：由（1）可得， 即AE2＝EF•BE，AE＝2，EF＝1， ∴22＝1×BE， ∴BE＝4， ∴FB＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥CB， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC． （1）求证：△ADE≌△CDE； （2）求证：AE2＝EF•EG． 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，然后通过“SAS”证明△ADE≌△CDE即可； （2）由四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，所以∠DAF＝∠F，由全等三角形性质可得∠DAF＝∠DCE，AE＝CE，故有∠DAF＝∠F，然后证明△GEC∽△CEF，得，即CE2＝EF•EG，所以AE2＝EF•EG． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠F， ∵△ADE≌△CDE， ∴AE＝CE，∠DAF＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠F， 又∵∠GEC＝∠CEF， ∴△GEC∽△CEF， ∴， ∴CE2＝EF•EG， ∴AE2＝EF•EG． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 21．（8分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当EG：EF＝4：9时，求矩形EGHF的周长． 【分析】（1）根据正方形的性质可证△AEF∽△ABC，由相似三角形的性质可得，设EG＝EF＝xmm，然后代入比例式求解即可； （2）设EG＝4amm，则EF＝9amm，利用矩形的性质可得△AEF∽△ABC得，即，可求得a＝8，最后根据矩形的周长公式求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABC； ∴， ∵BC＝120mm，高AD＝80mm，设EG＝EF＝xmm， ∴， 解得：x＝48， 答：这个正方形零件的边长为48mm； （2）∵EG：EF＝4：9， ∴设EG＝4amm，则EF＝9amm， ∵四边形EGHF是矩形， ∴EF∥BC，HD＝EG＝4amm，即AH＝（80﹣4a）mm， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：a＝8， ∴EG＝32mm，则EF＝72mm， ∴矩形EGHF的周长是：2×（32+72）＝208（mm）． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（8分）如图，每个小方格均为正方形，A，B，C，D，O，F，G均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，AB与CD相交于点E，则　　 ； （2）如图2，OF与方格线相交于点M．请用无刻度直尺，在OG上找一点N，使△OMN∽△OFG（保留作图痕迹）． 【分析】（1）根据AD∥BC可得△ADE∽△BCE，由此得出，根据网格线段即可得出比值； （2）同理可得，再在OG上找一点N，使即可． 【解答】（1）解：∵AD∥BC， ∴△ADE∽△BCE， ∴， ∵AD＝3，BC＝2， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，△OMN∽△OFG，N点为所求， 同理（1）可得， 在图中找出格点K、P，同理可得， ∴，即， 又∵∠FOG＝∠MON， ∴△OMN∽△OFG． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，无刻度直尺作图，解题关键是以网格格点作图为背景，利用平行线和线段长转化线段比． 23．（8分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC，BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE． （1）求证：AC＝BC； （2）若，⊙O直径为5，求DF的长． 【分析】（1）先根据圆内接四边形的性质证明∠ADF＝∠ABC，再根据圆周角定理和对顶角的性质证明∠EDF＝∠BAC，接着利用角平分线的定义得到∠ADF＝∠EDF，所以∠ABC＝∠BAC，然后根据等角对等边得到结论； （2）设CD＝x，AC＝2x，则BC＝2x，先根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，则利用勾股定理得到BDx＝5，解方程求出x得CD，AC＝2，再证明△CAD∽△CFA，接着利用相似三角形的性质求出CF，然后计算CF﹣CD得到DF的长． 【解答】（1）证明：∵∠ADF+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∵∠BAC＝∠BDC， 而∠BDC＝∠EDF， ∴∠EDF＝∠BAC， ∵DF平分∠ADE． ∴∠ADF＝∠EDF， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC； （2）解：∵， ∴设CD＝x，AC＝2x， ∴BC＝AC＝2x， ∵BD为直径， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，BDx， ∴x＝5， 解得x， ∴CD，AC＝2， ∵∠BAC＝∠ABC＝∠ADF， ∴180°﹣∠ADF＝180°﹣∠BAC， 即∠CDA＝∠CAF， ∵∠ACD＝∠FCA， ∴△CAD∽△CFA， ∴CA：CF＝CD：CA， 即2：CF：2， 解得CF＝4， ∴DF＝CF﹣CD＝43． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质． 24．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CQ＝　2t ，CP＝　20﹣4t ； （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）利用距离＝速度×时间分别求得线段AP，CQ的长度即可得到结论； （2）在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解； （3）分两种情况：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解． 【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，点P的速度是4cm/s， ∴AP＝4tcm， ∴CP＝AC﹣AP＝（20﹣4t）cm． ∵动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，点Q的速度是2cm/s， ∴CQ＝2tcm． 故答案为：2t；20﹣4t； （2）在Rt△CPQ中， ∵CP2+CQ2＝PQ2， ∴． 整理得：t2﹣8t+12＝0． 解得：t＝2或6． ∵0≤t≤5， ∴t＝2． ∴当t为2时，PQ的长度等于4． （3）①当△CPQ∽△CBA时， ∵△CPQ∽△CBA， ∵． ∴． 解得：t． ②当△CPQ∽△CAB时， ∵△CPQ∽△CAB， ∴． ∴． 解得：t＝3． 综上，当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题主要考查了相似三角形的综合运用，勾股定理，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上（不与A，C两点重合），连接BD，过点D作DE⊥DB交边AB于点E．将△ADE沿DE翻折得△FDE，连接BF． （1）求证：DB平分∠CDF； （2）若EF∥BC，求证：△BCD∽△BDE； （3）若AC＝8，BC＝6，△BDF是等腰三角形，求线段CD的长． 【分析】（1）如图，根据垂直的定义得到∠EDB＝90°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠FDE．求得∠BDC＝∠BDF，根据角平分线的定义得到DB平分∠CDF； （2）如图，设DF交AB于点H．根据平行线的性质得到∠ABC＝∠FEB，求得∠A＝∠EFD，得到∠DHB＝90°＝∠C，根据相似三角形的判定定理得到△BCD∽△BDE； （3）设CD＝x，则AD＝DF＝8﹣x，BD2＝x2+36，①如图，若FD＝FB，过点F作FG⊥BD于点G，②如图，若BD＝BF，过点B作BH⊥DF于点H，③如图，若DB＝DF，则DB2＝DF2．根据相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图， ∵ED⊥BD， ∴∠EDB＝90°， 即∠EDF+∠BDF＝90°， ∵∠ADC＝180°， ∴∠EDA+∠BDC＝90°， ∵△EDF是由△EDA沿DE翻折得到， ∴△EDF≌△EDA， ∴∠ADE＝∠FDE． ∴∠BDC＝∠BDF， ∴DB平分∠CDF； （2）证明：如图，设DF交AB于点H． ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠ABC＝∠FEB， ∵△EDF≌△EDA， ∴∠A＝∠EFD， ∴∠EFD+∠FEB＝90°， ∴∠DHB＝90°＝∠C， ∵∠BDC＝∠BDF， ∴∠CBD＝∠DBE， 又∠C＝∠BDE＝90°， ∴△BCD∽△BDE； （3）设CD＝x，则AD＝DF＝8﹣x，BD2＝x2+36， ①如图，若FD＝FB，过点F作FG⊥BD于点G， 则， ∵△BCD∽△FGD， ∴， ∴， ∴BD2＝x（8﹣x）， 即， ∴3x2﹣16x+36＝0． 此时，Δ＝﹣176＜0，（不合题意，舍去）； ②如图，若BD＝BF，过点B作BH⊥DF于点H， 则，△BCD≌△BHD， ∴DH＝CD＝x， ， 解得； ③如图，若DB＝DF，则DB2＝DF2． ∴x2+36＝（8﹣x）2， 解得， 综上，线段CD的长为或． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质， 26．（8分）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的点，连接DE、CF，DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为DE＝CF ； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF、DG，若EF⊥DG，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，求3BH+4EF的最小值． 【分析】（1）设CF、DE交于点O，根据正方形的性质证明△ADE≌△DCF（AAS），即可求解； （2）作CX∥EF，交AD于X，先证四边形EFCX是平行四边形，得到EF＝CX，再证明△DCX∽△ADG，利用相似三角形的性质可得答案； （3）连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，由对称性可得，BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF，由（2）可得；当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，即最小，最小值为AR的长，利用勾股定理求得，进而可求解． 【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD是正方形，设CF、DE交于点O， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠DFC＝∠AED， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF， 故答案为：DE＝CF； （2）如图2，四边形ABCD是矩形，作CX∥EF，交AD于X， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形EFCX是平行四边形， ∴EF＝CX， ∵EF⊥GD， ∴CX⊥DG， 同理（1）可得：∠AGD＝∠CXD， ∴△DCX∽△ADG， ∴， ∴； （3）如图3， 连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR， 由对称性可得，BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长， ∴BH+BG的最小值为AR的长， ∴的最小值为AR的长， ∵BC＝CR＝4， ∴BR＝BC+CR＝4+4＝8， 在直角三角形ABR中，∠ABC＝90°，AB＝3， 由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴3BH+4EF的最小值． 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测05 7.3～7.4 相似三角形的性质、相似三角形的应用 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B′的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 2．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D． 3．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 4．杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 5．如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF＝10，AE＝8，∠AFE＝∠B，则AD的长为（　　） A．10 B． C． D． 6．如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 7．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（　　） A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm 8．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，点F在AB边上，且AB＝4AF，连接EF分别交AC，DC于点G，H，设△GCH与△CEH面积的比为k，则k的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为_________________ ． 10．如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠B，，AC＝6，则BD的长为_____ ． 11．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为___________________ cm． 12．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝8m，则树高AB是 ________ m． 13．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 ____________________ ． 14．如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是_______ mm． 15．如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G，交AD于点F，交AC于点E，若AF＝2FD，则的值为__________________ ． 16．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则C△DOE：C△AOC的值为__________________ ． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为________________ ． 18．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 __________________ ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：△EAF∽△EBA； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝5，求AF的长． 20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC． （1）求证：△ADE≌△CDE； （2）求证：AE2＝EF•EG． 21．（8分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当EG：EF＝4：9时，求矩形EGHF的周长． 22．（8分）如图，每个小方格均为正方形，A，B，C，D，O，F，G均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，AB与CD相交于点E，则__________________ ； （2）如图2，OF与方格线相交于点M．请用无刻度直尺，在OG上找一点N，使△OMN∽△OFG（保留作图痕迹）． 23．（8分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC，BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE． （1）求证：AC＝BC； （2）若，⊙O直径为5，求DF的长． 24．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CQ＝_______ ，CP＝__________ ； （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上（不与A，C两点重合），连接BD，过点D作DE⊥DB交边AB于点E．将△ADE沿DE翻折得△FDE，连接BF． （1）求证：DB平分∠CDF； （2）若EF∥BC，求证：△BCD∽△BDE； （3）若AC＝8，BC＝6，△BDF是等腰三角形，求线段CD的长． 26．（8分）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的点，连接DE、CF，DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为__________ ； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF、DG，若EF⊥DG，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，求3BH+4EF的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测05 7.3～7.4 相似三角形的性质、相似三角形的应用 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B′的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝40°，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝110°， ∴∠B＝40°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′＝∠B＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 2．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16， 解得CD＝4m． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 4．杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 【分析】先通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定△AOC∽△BOD，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式，代入已知数据计算出AC的长度． 【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， 解得AC＝60cm； 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的实际应用、利用相似三角形求长度，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF＝10，AE＝8，∠AFE＝∠B，则AD的长为（　　） A．10 B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD，∠B＝∠D，再证∠AFE＝∠D，然后证△AEF∽△AFD，得，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠B＝∠D， ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠D， ∵∠EAF＝∠FAD， ∴△AEF∽△AFD， ∴， 即， 解得：AD＝12.5， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 6．如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】通过证明△POM∽△BON，得出PM：BN＝OM：ON＝5：3，即可解答． 【解答】解：根据题意可得：∠PMO＝∠BNO＝90°， ∵∠POM＝∠BON， ∴△POM∽△BON， ∴PM：BN＝OM：ON＝5：3， ∵PM＝10cm， ∴BN＝6cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为　　 ． 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方， ∵△ABC与△DEF的面积比为1：2，△ABC与△DEF的周长比等于相似比， ∴△ABC与△DEF的周长比为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方． 8．如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠B，，AC＝6，则BD的长为　2　 ． 【分析】由已知条件证得△BOD∽△AOC，然后利用相似三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：∵∠B＝∠A，∠BOD＝∠AOC， ∴△BOD∽△AOC， ∴， ∵，AC＝6， ∴， ∴BD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键． 9．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为　　 cm． 【分析】根据平行关系证明△AOB∽△COD，△BOE∽△BDC，从而得到，，计算可得，即可得到OE的长度． 【解答】解：∵OE⊥BC，DC⊥BC，AB⊥BC， ∴OE∥AB∥DC， ∴△BOE∽△BDC，△AOB∽△COD， ∴，， ∵CD＝3cm，AB＝5cm， ∴， ∴， ∴OE3（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 10．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝20cm，EF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝8m，则树高AB是 　5.6　 m． 【分析】判定△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质列比例式得出BC的值即可解答． 【解答】解：∵∠EDF＝∠CDB，∠DEF＝∠DCB＝90°， ∴△DEF∽△DCB， ∴DE：DC＝EF：BC， ∵DE＝20cm＝0.2m，EF＝10cm＝0.1m，CD＝8m， ∴0.2：8＝0.1：BC， ∴BC＝4m， ∴AB＝BC+AC＝4+1.6＝5.6（m）． 答：树高AB为5.6m． 故答案为：5.6． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是判定△DEF∽△DCB，利用相似三角形的性质列出比例式． 11．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 　　 ． 【分析】先根据勾股定理计算BD的长，再根据△ABE∽△CDE，对应边成比例，得到，所以设BE＝x，则DE＝BD﹣x，从而求出BE的长． 【解答】解：BD， ∵AB∥DC， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 设BE＝x，则DEx， ∴， 解得：x． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 12．如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是　48　 mm． 【分析】设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，证明△AEF∽△ABC，即可求解． 【解答】解：设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝xmm，AK＝80﹣x（mm）， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 即， 解得：x＝48， 答：这个正方形零件的边长为48mm． 故答案为：48． 【点评】本题考查了相似形的应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质． 13．如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G，交AD于点F，交AC于点E，若AF＝2FD，则的值为　　 ． 【分析】证明△ABF∽△DGF求出AB＝2DG，设DG＝k，则AB＝CD＝2k，CG＝3k，再证明△ABE∽△CGE即可求出． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△ABF∽△DGF， ∴， ∴AB＝2DG 设DG＝k，则AB＝CD＝2k， ∴CG＝3k， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 14．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则C△DOE：C△AOC的值为　　 ． 【分析】根据S△BDE：S△CDE＝2：3可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据相似三角形的周长比等于相似比可得解． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3， ∴， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴C△DOE：C△AOC， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的周长比关于相似比，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：△EAF∽△EBA； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝5，求AF的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠EAF＝∠ACB，然后证明△AEF∽△BEA，再利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE，计算出EB＝4，则FB＝3，再利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠EAF＝∠ABE， ∵∠AEF＝∠AEB， ∴△AEF∽△BEA； （2）解：由（1）可得， 即AE2＝EF•BE，AE＝2，EF＝1， ∴22＝1×BE， ∴BE＝4， ∴FB＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥CB， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 16．（10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当EG：EF＝4：9时，求矩形EGHF的周长． 【分析】（1）根据正方形的性质可证△AEF∽△ABC，由相似三角形的性质可得，设EG＝EF＝xmm，然后代入比例式求解即可； （2）设EG＝4amm，则EF＝9amm，利用矩形的性质可得△AEF∽△ABC得，即，可求得a＝8，最后根据矩形的周长公式求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABC； ∴， ∵BC＝120mm，高AD＝80mm，设EG＝EF＝xmm， ∴， 解得：x＝48， 答：这个正方形零件的边长为48mm； （2）∵EG：EF＝4：9， ∴设EG＝4amm，则EF＝9amm， ∵四边形EGHF是矩形， ∴EF∥BC，HD＝EG＝4amm，即AH＝（80﹣4a）mm， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：a＝8， ∴EG＝32mm，则EF＝72mm， ∴矩形EGHF的周长是：2×（32+72）＝208（mm）． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $