第5章 函数的概念与性质（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数的概念与性质·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D B C B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）要使函数有意义，需同时满足 且 ， 即且，所以该函数的定义域为；（6分） （2）； ； ．（13分） 16．【解析】（1）函数 ， 当时，； 当时，； 当时，， 所以.（7分） （2）由（1）知：当时，； 当时，； 当时，， 所以的最小值为，值域为.（15分） 17．【解析】（1）由题意 ，，即， 两式相减得，所以，， 即；（6分） （2）在上单调递减，证明如下： 设，则 ， 所以，即在上单调递减.（15分） 18．【解析】（1）当时，， 不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为.（4分） （2）时，， 不等式等价于， 解不等式得， 解不等式， 对于方程，解得，， 当时， ， 不等式的解为或， 所以原不等式的解为或，即； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即； 当时， ， 不等式的解为， 又因为，所以原不等式的解为； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（10分） （3）由题意可知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 等价于在区间内有解， 当时，， 又因为，所以， 所以 在区间内无解； 当时，不等式为，无解； 当时，， ，所以取，不等式成立， 即此时在区间内有解； 当时，，， 所以，所以 在区间内无解. 综上所述，符合题意的a的取值范围为.（17分） 19．【解析】（1）令，代入等式，得，解得. 令，代入，且， 得，解得 令，代入，得， 即，解得. 因此，，，.（4分） （2）设，则，因为当时，，所以，即. 又因为，得， 所以， 因此，即. 所以函数在上单调递增.（10分） （3）令，则由不等式得， 化简整理得，即，解得. 因此，又因为，， 所以，由（2）知函数在上单调递增， 所以，解得. 因此不等式的解集为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数的值是（    ） A． B．或1 C． D．或1 3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7．定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列集合，与对应关系中，是集合到集合的函数有（   ） A．，，：中数的平方 B．，，：中数的开方 C．，，：中数的绝对值 D．，，：中数的2倍 10．已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 11．设全集，函数的定义域为，函数的值域为，则（　　） A． B． C．的最小值为，且在和处取得 D．在区间上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则______. 13．已知，则______． 14．已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求函数的定义域． （2）已知函数，求、、的值． 16．（15分） 已知函数 . (1)用分段函数表示 ； (2)求 的最小值及值域. 17．（15分） 已知函数的图象经过，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 18．（17分） 已知关于x的函数，其中a为实常数． (1)当时，解不等式． (2)当时，解关于x的不等式． (3)若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 19．（17分） 已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数的值是（    ） A． B．或1 C． D．或1 3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7．定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列集合，与对应关系中，是集合到集合的函数有（   ） A．，，：中数的平方 B．，，：中数的开方 C．，，：中数的绝对值 D．，，：中数的2倍 10．已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 11．设全集，函数的定义域为，函数的值域为，则（　　） A． B． C．的最小值为，且在和处取得 D．在区间上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则______. 13．已知，则______． 14．已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求函数的定义域． （2）已知函数，求、、的值． 16．（15分） 已知函数 . (1)用分段函数表示 ； (2)求 的最小值及值域. 17．（15分） 已知函数的图象经过，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 18．（17分） 已知关于x的函数，其中a为实常数． (1)当时，解不等式． (2)当时，解关于x的不等式． (3)若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 19．（17分） 已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第5章 函数的概念与性质·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，设，定义域为. ，，，所以不是奇函数，故A错误. 对于B，设，定义域为. ，所以是奇函数. 取，，满足，，，， 所以不是增函数，故B错误. 对于C，设，定义域为. ，所以是奇函数. 取，，满足，，，，所以不是增函数，故C错误. 对于D，设，定义域为，. ，所以是奇函数. 任取，且. ①若，. ，，所以，. ②若，，，所以. ③若，，所以. 综上所得，当时，总有，在上为增函数，故D正确. 2．已知函数，若，则实数的值是（    ） A． B．或1 C． D．或1 【答案】B 【解析】①当时，，解得或（舍去）， ②当时，，解得， 综上或. 3．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】选项A：的定义域为，，二者对应关系不同，不是同一函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项D：对，由可得定义域为，化简被开方数得； 对，由解得定义域为，二者定义域相同，对应关系也完全一致，是同一函数. 4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为 ，即，所以， 即的定义域为． 要使有意义，需且，即． 则函数 的定义域是. 5．如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知开口向上，对称轴为，函数在上单调递增； 要使函数在上单调递增，需，所以a的取值范围为. 6．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，所以 因为函数是奇函数，所以当时， 7．定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即，解得. 因此当时，；当或时，. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，故此时的最大值为. 当时，在上单调递增，故. 当时，在上单调递减，故. 所以的最大值为，此时. 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则. 则在上单调递减，所以在上单调递增. 由得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列集合，与对应关系中，是集合到集合的函数有（   ） A．，，：中数的平方 B．，，：中数的开方 C．，，：中数的绝对值 D．，，：中数的2倍 【答案】ACD 【解析】对于A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故可构成函数关系，A正确； 对于B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应， 因此不是函数关系，B错误； 对于C，集合中元素的绝对值都是有理数，在集合中有唯一元素与之对应， 因此是函数关系，C正确； 对于D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故可构成函数关系，D正确． 10．已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 【答案】ACD 【解析】对于A, ,A正确， 对于B,,B错误， 对于C，若，则，满足题意，若，则（负值舍去，）因此时，或，C正确， 对于D,当时，，则，当时，，则，因此不等式的解集为或,D正确. 11．设全集，函数的定义域为，函数的值域为，则（　　） A． B． C．的最小值为，且在和处取得 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】在集合中，的定义域满足，因式分解得， 解得或，即； 在集合中，，， 二次函数开口向上，对称轴为，最小值为，最大值为，故值域. 选项A中，，错误； 选项B中，，正确； 选项C中，， 当或时，根号内表达式为0，取最小值0，正确； 选项D中，在上单调递减，在上单调递增， 故在上不是单调递增，错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则______. 【答案】/0.5 【解析】因为，则， 则， ，则， 则， 13．已知，则______． 【答案】 【解析】令，则， 所以， 即． 14．已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 【答案】 【解析】已知函数 ，当，即在时取最小值，在 时取最大值， 又因为，所以在上单调递增，所以， 因为对 使得 ，即的值域包含于的值域中，因此，即，解得， 综上，a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求函数的定义域． （2）已知函数，求、、的值． 【解析】（1）要使函数有意义，需同时满足 且 ， 即且，所以该函数的定义域为；（6分） （2）； ； ．（13分） 16．（15分） 已知函数 . (1)用分段函数表示 ； (2)求 的最小值及值域. 【解析】（1）函数 ， 当时，； 当时，； 当时，， 所以.（7分） （2）由（1）知：当时，； 当时，； 当时，， 所以的最小值为，值域为.（15分） 17．（15分） 已知函数的图象经过，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 【解析】（1）由题意 ，，即， 两式相减得，所以，， 即；（6分） （2）在上单调递减，证明如下： 设，则 ， 所以，即在上单调递减.（15分） 18．（17分） 已知关于x的函数，其中a为实常数． (1)当时，解不等式． (2)当时，解关于x的不等式． (3)若不等式在区间内有解，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为.（4分） （2）时，， 不等式等价于， 解不等式得， 解不等式， 对于方程，解得，， 当时， ， 不等式的解为或， 所以原不等式的解为或，即； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即； 当时， ， 不等式的解为， 又因为，所以原不等式的解为； 当时， ， 不等式的解为， 所以原不等式的解为，即. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（10分） （3）由题意可知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 等价于在区间内有解， 当时，， 又因为，所以， 所以 在区间内无解； 当时，不等式为，无解； 当时，， ，所以取，不等式成立， 即此时在区间内有解； 当时，，， 所以，所以 在区间内无解. 综上所述，符合题意的a的取值范围为.（17分） 19．（17分） 已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）令，代入等式，得，解得. 令，代入，且， 得，解得 令，代入，得， 即，解得. 因此，，，.（4分） （2）设，则，因为当时，，所以，即. 又因为，得， 所以， 因此，即. 所以函数在上单调递增.（10分） （3）令，则由不等式得， 化简整理得，即，解得. 因此，又因为，， 所以，由（2）知函数在上单调递增， 所以，解得. 因此不等式的解集为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $