第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1求角的三角函数值 题型2已知三角函数值求边长 题型3特殊角的三角函数值运算 题型4根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5三角函数值比较大小 题型6利用同角三角函数关系求值 题型7互余两角三角函数的关系 题型8解直角三角形 目核心提升重难题型归纳 题型1解非直角三角形 题型2仰俯角问题 题型3方位角问题 题型4坡度坡比问题 题型5求不规则图形的边长或面积 题型6三角函数综合 目题型专练高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1求角的三角函数值 1.sin45°的相反数是 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则sinA的值是() 1/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2 3 A.3 B.5 D. 5 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,求cosA. 4.如图，正方形ABCD是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成.若矩形的对角线与长边的夹 角为o,则tano的值是 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,那么tanB的值是() B.2 5 25 A.2 c.5 D. ◆题型2已知三角函数值求边长 6周，在R△ABC,已知∠C=90,A=号.且AB=15,则AC= BC= 7在RIAABC中，∠C=90,AC=6,sA=号，求BC的长 8.如图，矩形ABCD中，AB=3BC,P为矩形ABCD内一点，PA=22,PB=L,PC=2,则AB= A B 2/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.在△ABC中，tamB=子，AB=45,AC=5,则BC的长为 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=100,cosB=0.6,求BC的长和tanB的值. ◆题型3特殊角的三角函数值运算 11.计算：sin245+只3tan30°+4cos60°+m-3.14° 1 12.计算： (1)cos30°-tan60°+sin45°； (2)2tan45°-sin301-2sin260. 6os60-sr45+3am30+15n30-1 ④3-1+202-+ 1 -tan60° 13.计算： (1)2cos245°+tan60.tan30°-cos60° (2)4sin30°-V2os45°-3tan30°+2sin60° 2cos230°-sin30° (3 tan260°-4cos45° (43tan30°-1 +2√2cos45°+/1-tan60°2 os60° 14.计算：sin230°-m-2026°+/2cos45°--12027 2-9V3 ◆题型4根据特殊角的三角函数值求角的度数 16.锐角△ABC中，若 3 2 -sinB+tanC-3}=-0,则∠A= 17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1,AC=V5,过点A作直线m‖BC,将△ABC绕点 B顺时针旋转，当点C恰好落在直线m上时，得到△ABC,则△ABC旋转的最小度数为() -m B A.30° B.45° C.60° D.75° 3/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=5,求∠A和∠B的度数， 19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=V6,BC=3.求∠A的大小. B √6 √3 C 20.在锐角△ABC中，tanC-3+R2-2sinB=0,求∠A的度数. ◆题型5三角函数值比较大小 21.当锐角A<45°时，cosA的值() 2 A.小于2 2 B.大于2 3 C.小于2 3 D.大于2 22.以下四个三角函数值中，最大的是() A.sin 290 B.cos43° C.cos60° D.sin45° 23.比较大小：sin57° sin53°.（填“>”，“=”或“<”） 24.如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为∠C.关于∠0的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下 列叙述正确的是() A.tano的值越大，梯子越缓 B.tanc的值越小，梯子越陡 C.tanc的值越大，梯子越陡 D.梯子的倾斜程度与∠C的正切值无关 25.将c0s21°，c0s37°，sin41°，C0s46°的值按由小到大的顺序(“<”连接)排列是 ◆题型6利用同角三角函数关系求值 26,已知sin9cos88,其中0°<0<45°，求sin0-cos0的值 27.已知a是锐角，cosa-15= 2 sin a 2 则3 cos a-tan 2 的值为 28.己知u为锐角满足cos0=tano. (1)求证：sino+sina=1; 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)求 -+2cos2c+cos8c的值. ina ina-cosa 29.已知c是锐角，且tanc=2,则 sina+cosa 30.计算：sin248°+sin242°-tan4.tan4.tan46°= ◆题型7互余两角三角函数的关系 1 31.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=-90°，若sinA=3,则CosB= B C VS 32.己知锐角0满足sina= 5, 则cos90°-a= 33.若sin44°=0.6947，c0s44°=0.7193，则c0s46°= 34.若sin41°≈0.656，cos41≈0.755，则sin49°≈() A.0.755 B.0.656 C.0.344 D.0.245 35.已知a,B为能角，且sin90-a专snB=子，则os190°-B cos a ◆题型8解直角三角形 36.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=36,a=33,求b的长及∠B的度数. 3.在△ABC中，anB专，AB=5,AC25,则线段BC的长为 B 38.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值为 D B 39.如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知△OJK的面积是3，则△OLM的面积为一· 5120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=V6,AC=V7,点D在边BC上，且∠ADC=120°. B (1)求BD的长： (2)求∠C的余弦值. 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1解非直角三角形 41.一个三角形的边长为a、a、b,另一个三角形的边长分别为b、b、a,其中a>b,若两个三角形的最 小内角相等，则6 42.在△ABC中，AB=6,∠B为锐角且cosB=之，tanC=33 C (1)求∠B的度数. (2)求BC的长. 43.如图，在△ABC中，∠A30°，AC-23,tanB=)3,则AB的长为() 6/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2+2V3 B.3+93 C.4 D.5 4.某三枝柱的三视图如图所示，已知骑视图中mB子，BC7,下列结论不正确的是() 主视图 6 左视图 n 4 771 B C 俯视图 A.m=3 B.n=2 C.tanC=3 D.SAABC=7 45.如图，在△ABC中，AB=3,sinB- ,∠C=45°，则AC的长为 B C ◆题型2仰俯角问题 46.觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一.登上觉华塔，可俯 瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中， 某学习小组要利用测角仪测量觉华塔AB的高度.如图，塔前有一座高为DE的观景台，已知CD=20m, ∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上.在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D 处测得塔顶部B的仰角为27°. 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 1270 30 45 E C (1)求DE的长： (2)求塔AB的高度（结果精确到1m,参考数据：tan27°≈0.5，V3≈1.73） 47.为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下 表所示。 课 测量校园旗杆的高度 题 测 量 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 工 具 测 量 A组 B组 C组 小 组 测 量 方 案 SD 示 C B 意 MP B 平面镜D 上军10：00测量 上午10：30测量 图 (I)上述A,B,C三个小组中， 组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段AB表示旗杆的高度，线段CD,EF表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在 同一竖直平面内，CE表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角0=53°， 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B=45°，CD=EF=1.5米，CE=14米，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆AB的高度. (参考数据：tan53≈) 48.如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额， 牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感.线段BC是悬挂 在北大正西门AM上的匾额的截面示意图.已知BC=1米，∠MBC=37°，从水平地面点D处看点C,仰 角∠ADC=45°，从点E处看点B,仰角∠AEB=58°，且DE=2.8米，若A、D、E三点在一条直线上， 则匾额悬挂的高度AB的长约是多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37≈0.80，tan37°e≈0.75， sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58≈1.60) B E 49.如图，山坡上有一棵竖直的树AB,坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD,测倾器的顶部C与 树底部B恰好在同一水平线上（即BCMN),此时测得树顶部A的仰角为50°.已知山坡的坡度i=1:3 (即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比)，求树AB的高度（结果精确到O.1m.参考数据： sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 50°CC D 2 50.如图，小慧家对面是一幢商业大厦，小慧在自家窗口从C处测得商业大厦顶部D的仰角0°，商业大厦 底部B的俯角25°，量得两幢楼之间的距离为36m,求商业大厦的高度和小慧家的高度（结果精确到1m, 参考数据：sin40°≈0.6；cos40≈0.8；tan40°0.8；sin250.4;cos25°≈0.9：tan25≈0.5) 9/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B ◆题型3方位角问题 51.我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力.在我国某海域，渔政部门 开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全，某次演习中，渔政巡逻船位于海港A的北偏东 27°方向，距离A点250海里的B处.一艘渔船在C处模拟遇险，C处位于海港A的北偏东 57°方向，同时位于B处的南偏东26°方向上，此时，渔政巡逻船以24海里/时的速度前往C处， 求渔政巡逻船大约多长时间到达C处（结果精确到0.1时。参考数据：3≈1.73，s1n53≈， cos533 tan53≈ 3) B >东 26 279 艾57和 A 52.中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步.某教育集团准备把一块 四边形ABCD的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地.如图，点C在点D的南偏东45°方向上， 点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向.已知AB=50m, CD=200V2m,求四边形空地的周长.（精确到0.1m:参考数据：V2≈1.414，V3≈1.732） 10/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 →东 53.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A、B、C、D在 同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A 的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西 30°方向上. 北 西个东 30° 南 30° D (I)填空：∠ADC ∠BCD(直接填“=”或“≠”)； (2)求BD的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC、DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2 倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无 人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）， 54.如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点.经测量，站点A位于站点B 的南偏西60°方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的 北偏东75°方向上，站点D位于站点A的正北方向上.（参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73,6≈2.45） 北 C 西一 →东 459 南 (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）： (②)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿CA向站点A慢跑，小鑫沿DA向站点A步行.当小 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为5：1，求此时小鑫到站点A的距 离（结果保留一位小数）· 55.贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学 习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度.如图，小亮选取了一段两岸相互平行的 河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东53°方向的北岸岸边有一棵大树B,接着小亮沿着河 边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度， （结果保留整数.参考数据：sin53°≈4 —三， 北 →东 ◆题型4坡度坡比问题 56.水坝是人类治水的重要工程，类型多样.图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡 AB的坡度i为l:1.2,坝底的水平宽度BC为60cm,则背水坡AB的铅直高度AC为() 图1 图2 A.50cm B.52cm C.62cm D.72cm 57.如图，在坡顶的A处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物BC,某同学沿着坡度为=5：12的 斜坡AP攀行26米到达了点A,点A距建筑物BC底端C为5米，在坡顶A处又测得该建筑物的顶端B的仰角 为76°，求建筑物顶部B到PQ的距离（精确到0.1m),(参考数据：sin76≈0.97，cos76≈0.24， tan76°≈4) D 58.如图，一人乘雪橇沿坡度为1：V3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)之间的关系为s=8+2t, 若滑到坡底的时间为5s,则此人下降的高度为() 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5m B.8m C.9m D.18m 59.如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡.AB的坡角为42°，坡长为300米，AD的坡角 为60°，坡长为150米，CD的坡比i=1:2V2, B (I)求坡顶A到水平面BC的距离： (2)求斜坡CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin42≈0.70，V3≈1.73） 60.如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB=40m,∠PHB=∠AFB=90°，若 斜面AB坡度为1：V3,则斜坡AB的长是() H F A.10m B.20m c.30m D.40m ◆题型5求不规则图形的边长或面积 61.翠湖公园中有一四边形空地，如图1，己知空地边缘ABCD,且AB、CD之间的距离为30米，经 测量∠A=30,∠C=45,CD长度为42米.（参考数据：V2≈1.41,31.73） D DHG 颗粒塑胶地面 射猫 颖粒塑胶步道 30 地面 A EF B 图1 图2 (1)求空地边缘AB的长度：（结果精确到1米） (2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度 为2米的园林卵石步道EFGH,其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒 塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用(1)的结果计算此次修建费用是否足够？ 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔项A的仰角为45，在楼顶C 测得塔顶A的仰角36°52'、已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE, (参考数据：sin3652'≈0.60，tan3652'≈0.75). 36°52 45 B D 63.为但导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线一“共 享单车”图(1)所示的是一辆共享单车的实物图，图(2)是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架 档AC长为40cm,座杆CE的长为18cm.点A、C、E在同一直线上，且∠CAB=60°，∠ACB=75°. D 图(1) 图(2) (1)求车座点E到车架档AB的距离（结果保留根号）； (2)求车架档AB的长（结果保留根号）. 4.已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级(1)班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量 知：∠B=90°，AB=4m,BC=3m,CD=12m,AD=13m,请你根据以上测量结果求出不规则四边形的 面积？ 65.一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如 14120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm,BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD', 此时BD'/EF(如图3)· (1)求点D转动到点D'的路径长； (2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm)· (参考数据：sin36≈0.59，c0s36≈0.81，tan36≈0.73，sin72°≈0.95，cos72≈0.31，tan72°≈3.08 喷嘴 伸缩连杆 B A B D 导管 图1 图2 图3 ◆题型6三角函数综合 66.如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD=BC=5,CD=6」 4】 图1 图2 (I)如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M. ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； (2)如图2，点E,F分别在平行四边形纸片ABCD的AB,AD边上，连接EF,且EF‖BD,将平行四边形 纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长 67.如图，平行四边形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=3,BC=4,M是AD上一点，将纸片沿过点 M的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，点C落在点F处，折痕交BC于点N,EF与BC交于点G.若 BE=2AE,则BG= 15/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ------,D B G FNC 68.如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B10,6,把矩形OABC绕点O逆时针旋转， 使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为· A B 69. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,那么下列等式正确的是() A.snA=号 B.COsA=3 4 D.cotA=3 70.如图所示，等腰直角△ABC中，AB=AC,点D是BA延长线上一点，连接CD,点E是CD上一点， 连接BE,交AC于点F. D D G B B 图1 图2 图3 (L)如图1，若∠CBE=30°，CF=/2,求AF的长： (2)如图2，过点A作AM⊥BF于点M,若BF=CD,试猜想AM、BE、CE之间的关系并推理说明： (3)如图3，在(2)的条件下，若H为射线BD上一动点，△BGH为等腰直角三角形，且BG=GH,点P为 GH中点，若BC=25,CE=2,请直接写出EP+FP的最小值， 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.如图，在AABC中，∠ACB=90,cD是△ABC的中线，若CD号AC=G,则BC的长为( 16/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.2 B.3 c.23 D.4 2.如图，“弦图”是由四个全等的Rt△ABE、Rt△BCF、Rt△CDG、Rt△DAH和小正方形EFGH拼 成的大正方形ABCD.若人=，则sin∠ABE的值为C) B 2 4 A.3 B.5 c. D青 3.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG,点E在坐标轴上.若∠A=90°， tanB=1 A-431,则点G的坐标为() A.1,-4 B.10,-3 C.12,-3 D.9,-4 4.如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,A4在射线ON上，点B1,B2,B3在射线OM上， △A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4均为等边三角形.若OA1=3,则A1A4等于() B3M B2 B 0A1A2 A3 A A.18 B.21 C.24 D.27 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.己知tanA=0.85,用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是() 888 7890 456x 23+ 2ndF A. tan 0 8 = 2ndF 0 8 5 tan = B 0 8 5 C tan 2ndF D tan 0 8 5 2ndF = 6.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D、E分别在边AC, BC上滑动，且DE=6,若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为() N D M E B 12 A.2 B.3 c.5 D. 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E, DE=2,则CE的长度为() H A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题 8.已知，如图：∠PAQ=30°，点B在边AQ上，且AB=4,在边AP上确定一点C,若△ABC的形状和 大小能唯一确定，则BC的取值范围为 P A30° B 18/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△ABC,连接AA,若AB=4, ∠AAB=15°，则AC的长度为 B 10.如图，矩形ABCD中，∠ACD=30°，AD=83,DM⊥AC,连接BM,则图中阴影部分面积为 11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度沿 AB移动到B,则点P出发 秒时，△ACP是等腰三角形. B 三、解答题 12.计算：2sin60°+(2-V5)°--tan60-(-1)2025 13.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°.P,Q两点分别从点A,C同时出发，点P以每秒2 个单位长度的速度沿射线AB方向匀速运动；点Q以每秒1个单位长度的速度沿边CB方向向终点B匀速运 动.当点Q到达点B时停止运动，点P也同时停止运动.连接PQ,设点P的运动时间为X秒x>0,△BPQ 的面积为y平方单位. D 备用图 (1)菱形ABCD的周长为 (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 19/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点C处，兴趣小组控制一架无人 机沿倾斜角60°的方向飞行200m到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30m至点B处， 此时测得河对岸D处的倾斜角为24°，图中点A,B,D,C在同一平面内.（参考数据） 计算器按键顺序 结果 sin 2 4 = 0.4 cos 0.9 tan 0.4 1.7 2 D C E (1)求无人机从点C飞到点A时垂直上升的距离（结果保留根号）； (2)求该段河道的宽度CD(结果保留整数)· 15.如图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图. B B B 图1 图2 图3 (I)请在图1中的线段AB上找一点D,使BD=AD: (2)请在图2中的线段AB上找一点P,使BP=3AP: (3)请在图3中的AB边上找一点P,画射线CP,使tan∠ACP=号 20120 第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求角的三角函数值 题型2 已知三角函数值求边长 题型3 特殊角的三角函数值运算 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 三角函数值比较大小 题型6 利用同角三角函数关系求值 题型7 互余两角三角函数的关系 题型8 解直角三角形 核心提升·重难题型归纳 题型1 解非直角三角形 题型2 仰俯角问题 题型3 方位角问题 题型4 坡度坡比问题 题型5 求不规则图形的边长或面积 题型6 三角函数综合 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 求角的三角函数值 1．的相反数是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 2．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 3．在中，，，，求． 【答案】 【分析】画出图形，先由勾股定理求出，再根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 4．如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为，根据图形拼接特点得出，由大正方形的边长相等建立方程求出与的关系，利用锐角三角函数定义求解． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为， 由图可知：，大正方形由4行图形拼接而成，且每行高度均为， ， 大正方形的边长由一个小正方形边长和一个矩形长组成，， 四边形是正方形， ， ，， 在矩形中，． 5．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ◆题型2 已知三角函数值求边长 6．如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【分析】先利用正弦的定义求出，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：， ∴． 7．在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】根据余弦的定义求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，矩形中，，P为矩形内一点，，，则________ 【答案】 【分析】过点B作 ，取，连接，根据各角之间的等量代换得出，再由边的比得出，结合相似三角形的判定和性质得出，，利用勾股定理及正切函数得出，利用勾股定理逆定理得出，确定， 过点B作 ，交的延长线于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作 ，取，连接， ∵四边形是矩形， ，即 ， ， ，即 ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ， ， ∴， 在 中， ∴ ∴， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ， 过点B作 ，交的延长线于H， ， 在 中， ， ∴， ∴ ， ∴， 在中， ． 9．在中，，，，则的长为______________． 【答案】 或 【分析】根据题意分情况作图，过点作于，利用三角函数定义和勾股定理分别计算各线段长度即可得到的长. 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上， ∵ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， 在中，， ∴， ∴； 情况2：垂足在线段延长线上， 同理可求，，， ∴； 综上，的长为或. 10．在中，，，，求的长和的值． 【答案】 的长为，的值为 【分析】利用锐角余弦的定义求出的长度，再通过勾股定理求出的长度，最后根据锐角正切的定义计算的值． 【详解】解：在中，，如图， ∵ ，，， ∴ ， 由勾股定理得 ， ∴ ． ◆题型3 特殊角的三角函数值运算 11．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 13．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （2） 代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （3）代入特殊角的三角函数值，计算后对分母有理化化简即可； （4）代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的性质化简后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．计算： 【答案】 【分析】代入特殊角三角函数值，再计算零次幂与乘方，接着逐项化简，最后进行有理数加减运算求得结果． 【详解】解：原式 ． 15．计算：． 【答案】3 【详解】解： ． ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 16．锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 17．如图，在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转，当点恰好落在直线上时，得到，则旋转的最小度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质得：，再结合特殊角的三角函数值得出，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的最小度数为． 18．在中，，，，求和的度数． 【答案】 ， 【分析】分别求出和，即可得解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴，． 19．如图，在中，，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求出的正弦值，再根据特殊角的三角函数值求角度． 【详解】解：在中，，，， ， ． 20．在锐角中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ，，即， ，， ． ◆题型5 三角函数值比较大小 21．当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 22．以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的大小比较．利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 23．比较大小：___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角形的性质，根据锐角三角函数的性质，正弦函数在到范围内是单调递增的，即可得解，熟练掌握锐角三角形函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：因为正弦函数在区间到上单调递增，且， 所以， 故答案为：． 24．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 25．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数比较大小，根据“”将题干三角函数统一，然后根据“锐角的余弦值随角增大而减小”比较大小按要求排列即可. 【详解】解：， 当为锐角时，的值随的增大而减小， ； 故答案为：． ◆题型6 利用同角三角函数关系求值 26．已知，其中，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用同角三角函数关系求值，先求出，再结合，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，即：， ． 27．已知是锐角，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，熟练掌握三角函数的性质是解答本题的关键． 先通过求出的值，再将求出的代入代数式中求值即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴ ， ， 原式 ． 故答案为：． 28．已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 29．已知是锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得 ，然后代入求解； 【详解】 ， ∴原式 故答案为：． 30．计算：s___________． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． ◆题型7 互余两角三角函数的关系 31．已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 32．已知锐角满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据构造直角三角形，进而计算即可． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 33．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 34．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了互余的两个角的三角函数关系，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 35．已知为锐角，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了互为余角的三角函数关系，解题的关键是熟练掌握一个锐角的正弦等于它余角的正弦，一个锐角的余弦等于它余角的正弦. 根据互为余角的三角函数关系，将转化为将转化为再代入已知数值求解. 【详解】解：． 又，． 故答案为： ◆题型8 解直角三角形 36．在中，，求b的长及的度数． 【答案】， 【分析】根据三角函数求出的正弦值，得出的度数，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 则， ， ． ． 37．在中，，，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点在延长线上时；过点作垂直于于点，在直角三角形中，利用角的正切值和勾股定理求解；②当点在上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：①当点在延长线上时，如图，过点作垂直于于点， 在中，， ， 设，， ， ， ， ，， ， 在中，， ； ②当点在上时， ， 在中，， ； 综上可知，线段的长为或． 38．如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 /0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 39．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知的面积是3，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据相似的性质得到，，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵用12个相似的直角三角形组成的图案， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 40．如图，在中，，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，先解直角三角形求出的长，再求出，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点． ∴， ∵， ， ， ， ． ． ． （2）解：，， ． ． ◆题型1 解非直角三角形 41．一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则__________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形． 在中，，，在中，，，．过点A作于点H，于点．设，利用勾股定理求出，再根据，推出，构建关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，，在中，，，． 过点A作于点H，于点．设 ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或（负值舍去） 故答案为： 42．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 43．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 44．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱的高为6，，，，根据锐角三角函数的定义，线段的和差，三角形的面积分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，这个三棱柱的高为6，，，． ，， ，故选项A结论正确，不符合题意； ，， ，即，故选项B结论正确，不符合题意； ． 在中，， 因此选项C结论不正确，符合题意； 俯视图三角形的底边为7，高为2， 所以， 因此选项D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提． 45．如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． ◆题型2 仰俯角问题 46．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 47．为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】(1)C (2)9.5米 【分析】（1）根据C组测量时间不同判断即可； （2）连接交于点H，得到四边形为矩形，得到，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：因为C小组测量的和不是同一时刻的两物体的影长， 所以C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度； （2）解：连接交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， ∴米． 答：旗杆的高度为9.5米． 48．如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】过点作，，垂足分别为、，在中，先求出、，再在中用含的代数式表示出线段的长，最后根据等腰直角三角形的性质得关于的方程，求解方程得结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为、． 由题意知，， ∴， 四边形是矩形， ，，． 在中，，， （米）， （米）． 在中，，， ． ． 在中， ． ，， ， （米）． 答：匾额悬挂的高度的长约是米． 49．如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 【答案】树的高度约为 【分析】根据山坡的坡度以及平行线的性质得到，进而得到，根据，得到的长度． 【详解】解：山坡的坡度， ， ， ， ， ， 在中，， . 答：树的高度约为． 50．如图，小慧家对面是一幢商业大厦，小慧在自家窗口从处测得商业大厦顶部的仰角，商业大厦底部的俯角，量得两幢楼之间的距离为，求商业大厦的高度和小慧家的高度（结果精确到，参考数据：；；；；；） 【答案】商业大厦的高度约为，小慧家的高度约为 【分析】证得四边形是矩形，即可求得的长，然后分别在与中，利用三角函数的知识求得与的长，继而求得答案． 【详解】如图，过C作于E， ∴， 由题意知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在 中，， ， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∴商业大厦的高度约为，小慧家的高度约为． ◆题型3 方位角问题 51．我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港 的北偏东 方向，距离 点 250 海里的 处．一艘渔船在 处模拟遇险， 处位于海港 的北偏东 方向，同时位于 处的南偏东 方向上，此时，渔政巡逻船以 24 海里/时的速度前往 处，求渔政巡逻船大约多长时间到达 处（结果精确到 0.1 时．参考数据：，，，）． 【答案】渔政巡逻船大约5.3时到达C处 【分析】过点作，先根据方位角求出、，在Rt中利用三角函数求出长，再在中求，最后用时间=路程÷速度计算． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，． 设海里， 在中，，，， ． 在中，，，，， ，． ，， ．解得． ．（时）． 所以渔政巡逻船大约5.3时到达C处． 52．中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点在点的南偏东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正南方向．已知，，求四边形空地的周长．（精确到；参考数据：，） 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出的长；分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 由题意，知是矩形，, , , ∴, 在中, ∴， ， 在中， ， 依题意，，， ，, 53．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 【答案】(1)= (2)的长度约为千米 (3)甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 【分析】（1）根据题意可解得，，，即可求解； （2）过点作于，过点作于，在中，由三角函数可解得，，四边形是矩形，，，根据勾股定理即可求解的长度； （3）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足，过点作于，在中，由三角函数可解得，，设，则，，在中，由三角函数可解得，，，利用勾股定理列方程解得即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 由（1）可知，， ∴四边形是等腰梯形， 在中，（千米）， （千米）， 无人机位于的正东方向10千米的处，位于的正西方向上， ， ，， 四边形是矩形， （千米），（千米）， （千米）， （千米）， 答：的长度约为千米； （3）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足（千米）．过点作于， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， ， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 54．如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米 (2)194.6米 【分析】（1）过点A作，垂足为M，根据题意利用解直角三角形的性质即可得解； （2）当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处，过点E作，垂足为N，设米，则米，利用解直角三角形得出相关线段的表达式，再利用勾股定理列出方程求解x的值，即可求得最终结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为M， ∴， 由题意知，，，米， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴A、C两地的距离为米． （2）解：如图，当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处， ∴（米）， 过点E作，垂足为N， ∴， 设米，则米， 在中，，， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴（米）， ∴小鑫与点A的距离为194.6米． 55．贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 【答案】该河段贾鲁河的宽度约为28米 【分析】过点作于点，设米，解直角三角形求出米，，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示． 由题意，可知米． 设米． 在中， ∵， ∴米． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 答：该河段贾鲁河的宽度约为28米． ◆题型4 坡度坡比问题 56．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 57．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 58．如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴ ， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 59．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 60．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． ◆题型5 求不规则图形的边长或面积 61．翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，） (1)求空地边缘的长度；（结果精确到1米） (2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？ 【答案】(1)空地边缘的长度为64米； (2)此次修建费用足够 【分析】（1）过作交于，过作交的延长线于，证得四边形是矩形，从而，分别在和中，利用正切三角函数求得AK、BH的值，即可求解； （2）分别求出和梯形ABCD的面积，从而，再求出总费用，比较即可. 【详解】（1）解：（1）如图，过作交于，过作交的延长线于， ，， ， ， ，， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， （米） 答：空地边缘的长度为64米． （2）解：由题得，四边形为平行四边形， ， ， ， ∴总花费为：（元）， 答：此次修建费用足够． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造出含有特殊角的直角三角形，属于中考常考题型． 62．如图，为了测量山顶铁塔的高，小明在27m高的楼底部测得塔顶A的仰角为，在楼顶测得塔顶A的仰角、已知山高为楼的底部与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高．（参考数据：）． 【答案】52米 【分析】根据楼高和山高可求出EF，进而求出AF，在 中表示出CF，在 中表示出BD．根据CF=BD建立方程求解． 【详解】 .如图，过点C作 于点F，BF=CD 设塔高AE=x 由题意得，EF=BE-BF=56-27=29m AF=AE+EF=(x+29)m 在 中， ，AF=(x+29)m． 则CF= 在 中， ，AB=x+56 则BD=AB=x+56， x+56=x+ 解得：x=52． 答：该铁塔的高AE为52米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键点是构造直角三角形，用到了方程思想．涉及了正切函数(对边：邻边)、正弦函数(对边：斜边) ． 63．为但导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线—“共享单车”图（1）所示的是一辆共享单车的实物图，图（2）是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档长为，座杆的长为．点、、在同一直线上，且，． （1）求车座点到车架档的距离（结果保留根号）； （2）求车架档的长（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点E作EF⊥AB于F，利用锐角三角函数解答； （2）过点C作CH⊥AB于 H，利用三角函数求出AH、CH及，再求出BH，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过点E作EF⊥AB于F， 在Rt△AEF中，AE=AC+CE=40+18=58cm，， ∴cm； 答：车座点到车架档的距离； （2）如图，过点C作CH⊥AB于 H， 在Rt△ACH中，， ， ∴， ∵， ∴ 在Rt△CBH中，， ∴， 答：车架档的长为． 【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键． 64．已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？ 【答案】36 【分析】连接，构造直角三角形，用勾股定理即可． 【详解】解：如图，连接， 在△， 又∵在△ ∵ ， ∴ ∴△是直角三角形，， ∴ 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键． 65．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． （1）求点转动到点的路径长； （2）求点到直线的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm． 【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径； （2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴点转动到点的路径长． （2）如图， 过点作于点，过点作于点． 在中， ． 在中， ． ∴． 又∵， ∴点到直线的距离约为7.3cm． 【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破． ◆题型6 三角函数综合 66．如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【答案】(1)①，理由如下： 由翻折得，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 又 ， ， ； ②； (2) 【分析】（1）①由翻折得，，结合平行四边形的性质可证明，推出；②由①得，则，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，根据三角函数可求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，结合，推出，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求出，根据等面积法，进而根据勾股定理求出，证明得到，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①略 ②由①得， ， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点， 由翻折的性质得， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 平行四边形中，，， ， 又 ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ． 67．如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 68．如图，矩形的边在轴上，在轴上，点，把矩形绕点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数公式，过点作轴于点N，过点作轴于点M，根据勾股定理，三角函数计算即可． 【详解】∵矩形的边在轴上，在轴上，点，矩形绕点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处， ∴，，， 过点作轴于点N， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，； 根据旋转的性质，得； 过点作轴于点M， 则， ∴； ∴； ∴，； 解得，， 故点的坐标为． 故答案为：． 69．已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ，，， ， ，故A错误； ，故B错误； ；故错误； ，故D正确； 故选：D． 70．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； (3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出． （2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则． （3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：作交于，如图1： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 作交于，如图2， 在和中， ， ∴ ∴，，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，是的中点， ∴ ， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动， ∵关于直线对称， ∴， ∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，是的中线， ∴， ∵在中，根据勾股定理有， ∴． 2．如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形、正方形的性质可得，再根据勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ，四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，然后求出相关线段的长度，得出三角形平移的路径，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度， 由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度， ∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到， 点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为， ∴点的坐标为． 4．如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，然后根据同理可得，，从而进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ． 5．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 6．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得：，，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，，，，点M、N分别是、的中点， ， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 7．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 二、填空题 8．已知，如图：，点在边上，且，在边上确定一点，若的形状和大小能唯一确定，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】过作于，可求出，当时，利用直角三角形的判定方法，是唯一确定的；当时，以B点为圆心，4为半径画弧交只有一个交点，此时唯一确定． 【详解】解：过作于，就是点到直线的垂线段，是最短距离． 在中，，， ∴． 当时，，是直角三角形，唯一确定； 当时，以为圆心，为半径画弧，与射线会交于2个点，存在两个不同三角形，不唯一； 当时，以为圆心，为半径画弧，与射线只有1个交点，三角形唯一； 当时没有交点，不存在三角形． 所以，当或时的形状和大小能唯一确定． 9．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】首先根据旋转的性质得到，，，然后求出，得到，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， ∴， ∴． 10．如图，矩形中，，，，连接，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【分析】在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半可得，利用勾股定理求出，进而得到，过点M作，求出，然后根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ． 11．如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿移动到，则点出发 __________ 秒时，是等腰三角形． 【答案】或4 【分析】根据等腰三角形的性质，分情况讨论中哪两条边相等，再结合已知条件求出点移动的时间． 【详解】解：分两种情况：当点移动到的中点时， ∵，， ∴， ∴点出发的时间； 当点移动到时， ∴点出发的时间； 综上所述：点出发或4秒时，是等腰三角形． 三、解答题 12．计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 13．如图，在菱形中，，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为平方单位． (1)菱形的周长为________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点E，分当点P在线段上和点P在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：四边形是菱形，， 菱形的周长为：． （2）解：作交延长线于点E， 由题意得，则，， 当点P在线段上时，， 当点P在线段的延长线上时，， 四边形是菱形， ． ． ． ． ． 当点P在线段上即时， ． 当点P在线段的延长线上，即时， ． 综上，． 14．某数学兴趣小组借助无人机测量某段河道的宽度，如图，在河岸边的点处，兴趣小组控制一架无人机沿倾斜角的方向飞行到达点处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行至点处，此时测得河对岸处的倾斜角为，图中点，，，在同一平面内．（参考数据） 计算器按键顺序 结果 (1)求无人机从点飞到点时垂直上升的距离（结果保留根号）； (2)求该段河道的宽度（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)河道的宽度约为米 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用矩形转移等高线段，再结合三角函数求边长，最后用线段的等量关系列等式求河宽．关键易错点是无人机从到是朝的方向（向左）水平飞行，因此线段关系为． 【详解】（1）解：如图所示：过点作于． 在中，，， 答：无人机从飞到时垂直上升的距离为米． （2）解：如图所示：过点作，交的延长线于，则四边形为矩形， 在中： 在中，，： ，而，， ∴ ∴ ， 答：该段河道的宽度约为米． 15．如图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点，使； (2)请在图2中的线段上找一点，使； (3)请在图3中的边上找一点，画射线，使． 【答案】(1)如图，点为所求作； (2)如图，点为所求作； (3)如图，点为所求作； 【分析】（1）找出格点、，过点作交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）找出格点、，连接交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （3）找出格点、、，连接、交于点，连接交于点，结合矩形的性质得，由勾股定理及其逆定理得， 即可求解． 【详解】（1）解：如图，找出格点、，过点作交于点， ， ， ， ； （2）解：如图，找出格点、，连接交于点， ， ， ， ； （3）解：找出格点、、，连接、交于点，连接交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1求角的三角函数值 题型2已知三角函数值求边长 题型3特殊角的三角函数值运算 题型4根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5三角函数值比较大小 题型6利用同角三角函数关系求值 题型7互余两角三角函数的关系 题型8解直角三角形 目核心提升重难题型归纳 题型1解非直角三角形 题型2仰俯角问题 题型3方位角问题 题型4坡度坡比问题 题型5求不规则图形的边长或面积 题型6三角函数综合 目题型专练高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1求角的三角函数值 2 1.2 2.B 3. 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4.3 5.A ◆题型2已知三角函数值求边长 6. 12 9 7.35 8.9+2V6 9. 5或11 10. tanB的值为3 4 BC的长为60， ◆题型3特殊角的三角函数值运算 1 11.2 12.(02 2-3 ②2 (3)1 (4)2 5.喝 (2)/3 3)3+2只V2 (42V3-1 4是 15.3 ◆题型4根据特殊角的三角函数值求角的度数 16.60° 17.A 18. 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=45°，∠B=45° 19.45° 20.75° ◆题型5三角函数值比较大小 21.B 22.B 23.> 24.C 25.sin41°<cos46°<cos37°<cos21° ◆题型6利用同角三角函数关系求值 26.2 27.13 28.(1) 证明：如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，设∠C=o, ..'cos a=tana B BC_AB AC BC' ∴.BC=AC·AB, sin2a+sin a= ABAB_AB2+AB.AC_AB2+BC2 ACAC AC2 AC2 根据勾股定理可得AB2+BC=AC, sin a+sin a= AC2 AC2 =1 (2)4 29.3 30.0 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7互余两角三角函数的关系 31.3 32.5 33. 0.6947 34.A ◆题型8解直角三角形 36.b=3V/3,∠B=45° 37.5或1 38. 16 39.3 40.(1)BD=1+V/3 2V7 (2)c0sC= 7 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1解非直角三角形 5+1 41·2 42.(1)∠B=60° (2)BC=4 43.D 44.C 45.2V2 ◆题型2仰俯角问题 46.(1)10m 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)塔AB的高度约为37m. 47.(1)C (2)9.5米 48.3.73米 49.树AB的高度约为5.7m 50.商业大厦的高度约为47m,小慧家的高度约为18m ◆题型3方位角问题 51.渔政巡逻船大约5.3时到达C处 52.792.6m 53.(1)= (2)BD的长度约为10V7千米 (3)甲无人机飞离B处15-5V⑤千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 54.(1)450R6米 (2)194.6米 55.该河段贾鲁河的宽度约为28米 ◆题型4坡度坡比问题 56.A 57.30.0m 58.C 59.(1)坡顶A到水平面BC的距离约为210米； (2)斜坡CD的长度约为240米 60.D ◆题型5求不规则图形的边长或面积 61.(1)空地边缘AB的长度为64米： (②)此次修建费用足够 62.52米 63.(1)29V3cm:(2)(20+20R3)cm 64.36 65。)6L;(2)点D到直线EF的距离约为73cm 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6三角函数综合 66.(1)①PM=CM,理由如下： 由翻折得AD=DP,∠DAB=∠DPB, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,∠DAB=∠BCD, ∴.DP=BC,∠DPB=∠BCD, 又.'∠DMP=∠BMC, ..△DPM△ BCM(AAS, ∴.PM=CM: 的 2DG= 3 a号 1824 68. 5'5 69.D 70. (1)AF= 6-2 (2)BE=CE+2AM 28V1105 6)EP+FP的最小值为 题型专练 高频重难特训 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.BC=2或BC≥4 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.2V3 10.483 11.2.5或4 12.2 13.(1)16 |34-2x14-x1l0x≤2 4 (2)y 32x-44x2<x≤4 4 14.(1)1003米 (2)河道的宽度CD约为355米 15.(1)如图，点D为所求作； B 图1 (2)如图，点P为所求作； G B 图2 (3)如图，点P为所求作： M:A D B 图3 717