2026-2027学年人教版八年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年人教版八年级数学上册期中测试卷 测试范围:第13章三角形轴对称 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系． 根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出，进而判断三角形形状． 【详解】解：绝对值和平方数均具有非负性，即， 且，即， ， 由于是的两边长，因此有两边相等，是等腰三角形． 故选：B． 2．如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再借助三角形内角和，计算． 【详解】 在中， ． 3．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的高、角平分线、中线的定义逐一判断即可. 【详解】解：是的中线， 为中点，即，故C正确； 是的角平分线， ，故B正确； 是的高， ， 点在上， ，故D正确； 是角平分线，无法推出，故A错误. 4．若、、分别为三角形的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系判断各绝对值内式子的正负，再去绝对值合并同类项． 【详解】解：、、为三角形三边长， ，，， ，，， 原式 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，对角线，交于点，已知，，将长方形沿轴翻折（即关于轴对称），则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，则点的坐标为，即，然后求出关于轴对称的对应点的坐标． 【详解】解：因为在长方形中，，， 所以，，点为中点， 所以点的坐标为，即， 所以点关于轴对称的对应点的坐标为． 6．如图，在中，，E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，分别交边于点M，N；若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平角定义求出，结合折叠性质得出，在中利用两锐角互余求出，再利用折叠性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质，三角形的中线，平行线的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，即⑤正确； ∴，即①正确； ， ∴，即④正确； 过点作于点， ∵，， ∴，即③正确； ∵意味着平分，但只是中线，不一定是角平分线， ∴②不一定正确； 综上正确的为：． 8．如图，中，，平分，是边上的点，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过作于F，利用角平分线性质得，证及，结合全等三角形性质及面积割补法逐条判断． 【详解】解：如图，过作于， ，平分， ，， ， ， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，故②正确； ， ， 若， 则，即， ， 需，题中未给此条件，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②，共2个． 9．如图，在中，点在边上（点在点的上方），连接，，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为且，所以可利用线段垂直平分线的性质，得到，进而推出，设，通过等腰三角形的内角关系，用表示出相关的角；因为，，且，所以根据角平分线的判定定理，得到平分，结合，建立关于的方程求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴由等腰三角形三线合一，平分， 在中，， ∴， ∵，，且， ∴根据角平分线判定（到角两边距离相等的点在角平分线上），可得平分， ∴ ∴， ∵， 代入得： 解得， 即． 10．如图，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证，得到，从而推出，根据，得到为直角三角形，从而得到，最后根据角所对直角边等于斜边一半，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，在中，，，，则的度数为___________ 【答案】/38度 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 12．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为_______________． 【答案】2 【分析】过点F作于点H，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H， 由题意知平分，， 即点F到的距离为2． 13．如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是____________________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， 、关于对称，、关于对称， ，，，， ，， 为等边三角形， ， 周长． 14．如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求得，然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 15．四边形的对角线和交于E，，，，，则的长是______． 【答案】2 【分析】作于H，于G， 在上取点F，使，连接，设，先根据三角形的内角和定理和外角性质求得，进而，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定与性质得到，，，则，，进而利用可求解． 【详解】解：作于H，于G， 在上取点F，使，连接，则， ∵， ∴设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 16．如图，钝角中，平分，点分别是上的动点，当最小时，，点分别是射线上的动点，当周长最小时，_____． 【答案】/80度 【分析】过点C作于点H，延长交于点E，过点E作于点N，交于点M，根据题意，得，得，，根据垂线段最短原理，此时最小，作出点M关于直线的对称点G，点M关于直线的对称点F，连接交于点P，交于点Q，连接，根据对称的性质，得，，当点G，P，Q，F四点共线时，的周长最小，根据性质解答即可． 本题考查动点最值问题求角度，涉及对称性质、两点之间线段最短、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，熟练掌握动点最值问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：过点C作于点H，延长交于点E， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点E，点C关于直线对称， 过点E作于点N，交于点M， 根据题意，得， ∴，， 根据垂线段最短原理，此时最小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作出点M关于直线的对称点G，点M关于直线的对称点F， 连接交于点P，交于点Q，连接， 根据对称的性质，得，， ∴的周长为:， 故点G，P，Q，F四点共线时，的周长最小， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 同理可证，，， ∴， 根据对称的性质，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； 【答案】(1)关于y轴对称的如图所示： (2)，，C₁（1, -1） 【详解】（1）略 （2）解：根据轴对称的点的坐标规律：横坐标变相反数，纵坐标不变． ∴ 关于轴对称，关于轴对称，关于轴对称． 18．（8分）如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)的长为2 (2)证明：由（1）知，， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【分析】（1）根据垂直关系得到两个直角，根据线段和差关系得出的长，利用直角三角形的全等判定定理证明三角形全等，根据全等性质得到的长，进而求出的长． （2）由（1）的全等三角形得到，然后根据角度关系等量代换得到，结合三角形内角和定理推出，进而推出，可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． （2）略 19．（8分）已知的三边，，． (1)化简：； (2)如图，，，分别是的高，中线，若，，， ①求的面积； ②若于点，则的长是_______． 【答案】(1) (2)①12；②3 【分析】（1）利用三角形三边的不等关系及绝对值的性质即可求解； （2）①利用面积关系求出的长，即可求解； ②利用中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：①， ∴， ∵是的中线， ∴ ②∵， ∴； 20．（8分）如图，垂直于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)． 理由如下：∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． (2)证明：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）根据锐角互余的三角形是直角三角形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．（8分）如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． (1)求证：点在的平分线上； (2)若，，，，则的面积为______． 【答案】(1)证明：∵分别平分， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上． (2) 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理证明即可； （2）连接，利用割补法计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ， ． 22．（10分）如图，在长方形中，，，．延长到，使，连接，可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．（） (1)当点在边上时，________（用含的代数式表示）； (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值； (3)连结或，在整个运动过程中，当与全等时，求的值； (4)当点到两边距离相等时（点不与顶点重合），直接写出的值． 【答案】(1) (2)2或8 (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，即可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的性质解答即可； （4）分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：当点在边上时，， ∴； （2）解：当点在边上时，此时点P为的中点，即， ∴， ∴； 当点在边上时，此时点P的运动路程为， 在长方形中，∵点在的垂直平分线上， ∴点P也在边的垂直平分线上， ∴， ∴， 此时； 综上所述，的值为2或8； （3）解：如图，当点在边上时， ∵， ∴当时，， 此时， 解得：； 如图，当点在边上时， ∵， ∴当时，， 此时， 解得：； 综上所述，t的值为或； （4）解：若点P到边的距离相等，此时点P在的平分线上， 当点P在边上时，如图，过点P作于点F，则，此时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点P在边上时，如图，过点P作交的延长线于点G，于点H，则，，此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点P在上，且时，如图，过点P作于点K，则， 此时点P到的距离为， ∵，即， ∴点P到的距离为， 此时点P到，的距离相等，满足题意； 综上所述，t的值为或或． 23．（12分）在“智启礼嘉，数创未来”擂台赛上，小李遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小李发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小李证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请求出线段的取值范围． (3)如图3，与均为等腰直角三角形，共底角顶点，连接取其中点，连接，，求证； (4)如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，请直接写出线段与的数量和位置关系． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图，延长至点H，使，连接，交的延长线于点N，连接、． ∵M是的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． ∵为等腰直角三角形，顶点为， ∴，， ∴，． ∵为等腰直角三角形，顶点为， ∴，． 在四边形中，， 又∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． 又∵，即M为斜边的中点，由等腰三角形三线合一可知， ∴． (4)，且． 【分析】（1）结合中点定义和已知线段，以及对顶角，即可判断三角形全等，据此分析判定定理． （2）由全等三角形的性质可得对应边相等，求出，然后在中，由三角形三边关系求出的取值范围，结合与的关系即可求解． （3）因M为中点，延长至H使，构造，得到且，利用两等腰直角三角形的直角及平行关系，推出，再证，得且，于是为等腰直角三角形，而M是中点，故中线垂直于，即． （4）在的延长线上截取，连接，构造全等三角形，利用判定，得到，，进而得到，然后根据角度关系等量代换得到，运用判定，得到，，进而可得到线段与的数量和位置关系． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴． 在和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 在中，由三角形三边关系得，即, ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）略 （4）如图，在的延长线上截取，连接，则． ∵是的中线， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴，． 24．（12分）生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究． (1)如图1，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，再将翻折，使与重合，折痕为，连接，则为_________度； (2)在（1）的条件下，若是等腰三角形，则的度数为多少？请说明理由； (3)图2中的四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知，，连接，为的高，若，，且，请直接写出的长． 【答案】(1)80 (2)解：的度数为或或， 理由：由（1）可知，， 设， ， ， 折叠， ， ， ①若，则， ， ，即； ②若，则， ， ， ， ，即； ③若，则， ， ， ，即， 综上可知，的度数为或或； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据折叠得出，即可得解； （2）设，则，再分三种情况讨论，根据等边对等角分别求解即可； （3）根据题意画出折叠前的正方形，进而得出正方形边长，设，则，，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 折叠， ，， ； （2）略 （3）解：根据题意，四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形， 设， 折叠， ，，， 正方形， ， ，， ，， ， ， 解得：，即． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版八年级数学上册期中测试卷 测试范围：第13章三角形~第15章轴对称 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.已知a,b,c是△ABC的三边长，且la-M+(6-a=0,则△ABC的形状是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2.如图，已知△ABC≌△ADE,∠B=70°，∠E=30°，则∠DAE的度数为() A.30° B.40° C.70° D.80° 3.如图，CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是 () A A. AE=BE B.LACE-TACB C.AB=2BF D.CD⊥BE 4.若0、b、C分别为三角形的三边长，则化简口+b-q+b-a-c+k-a+A 的结果为 () A.a+3b-c B.a-3b+c C.a+b-c D.a+b+c 5.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC在x轴上，对角线OB,AC交于点 P,已知OA=2,OC=4,将长方形OABC沿y轴翻折（即关于y轴对称），则点P的对 应点P的坐标为() 试卷第1页（共3页） B C衣 A.(2) B.(2,) c.（,2) D.(2) 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，E,F分别为AB,AC上一点，将△ABC沿直线EF 翻折至同一平面内，点A落在点处，EA,FA分别交BC边于点M,N:若∠BEA'=8O° ,则∠CFA的度数为(). A. 90° B.100° C.110° D.80° 7.如图，AD是△ABC的中线，DE=DF,下列说法：①CE=BF;②∠BAF=∠CAF; ③AABD ④BF CE⑤ABDF≌ACDE 面积相等： 其中正确的有() E A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 8.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,E是AC边上的点，连接DE, DE=DB:下列结论：①∠DEA+∠B=180:②AB-AC-CE:③4C=(4B+CD),④ 试卷第2页（共3页） 4Sac=S边影mE.其中正确的结论个数为（） F B A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，在△ABC中，点M、N在AC边上（点M在点N的上方），连接BM、BN, BM1AC,过点N作 ,N,ND⊥BC、B 交 C于点D,若MM=M=D,∠4BC=75,则A 的度数为() A.65° B.70° C.75° D.80° 10.如图，已知在等边三角形ABC中，点D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD, 连接AD,BE交于点P,过点B作B吧⊥AD于点Q,P№=2，则BP的长为() A4.5 B V3 C.4 D.6 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11,如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC,∠AFE=52°，则∠B的度数为 试卷第3页（共3页） E 12.在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC,AB于D,E 两点，再分别以D,E为圆心，大于2DE的长为半径画弧，两弧交于点M作射线AM交 BC于点F,若BF=3,BC=5,则点F到AB的距离为 13.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB内部的一点，点P关于OA的对称点是M,点P关于 OB的对称点是W,连接MN.若MN=8cm,则△MON的周长是 M B 14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,CE⊥AB于点E.若∠B=40° ,∠ACE=20°，则∠ADC的度数是 E 15.四边形ABCD的对角线AC和BD交于E,BC=CD,∠ADB=2∠ABD, ∠DAC=2∠BAC,AC=2,则AD的长是 试卷第4页（共3页） B D E 16.如图，钝角△ABC中，BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动点，当 CM+MN ∠CMN=50°P,Q BA,BC △PMO 最小时， ，点分别是射线上的动点，当周长最 小时，∠PM犯= D 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17.(6分)如图。在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点1(-3,2) B(-4,-3)C(-1,-1) 均在格点上 3 2 45 2 3 (I)画出△ABC关于y轴对称的△ABG; 试卷第5页（共3页） A B C (2)分别写出点，，的坐标： 18.(8分)如图，己知AD⊥BC于点D,AB=CF,AD=CD,CF的延长线交边AB于 点E. E (1)若BC=10,AD=6,求AF的长： (2)求证：CE⊥AB 19.(8分)已知△ABC的三边AB=c,AC=b,BC=a )化简：a-b-c+b-c-d+lc-a- (2)如图，∠CAB=90°，AD,AE分别是△ABC的高，中线，若a=10,b=8,c=6, ①求△ABE的面积： ②若EF⊥AC于点F,则EF的长是 20.(8分)如图，AC垂直BC于点C,∠A=30°，∠BCD=60°， C D B (I)判断AB与CD的位置关系，并说明理由； ②若∠CBD-∠ABC,求证：ACBD是直角三角形. 21.(8分)如图，ADBE分别平分∠BAC∠ABC,相交于点P,过点P作PM⊥AB, 试卷第6页（共3页） PN⊥BCP9⊥AC M、N2 ,垂足分别为 M (I)求证：点P在∠C的平分线上； (2)若AC=3,AB=4,BC=5,PM=1,则△ABC的面积为 22.(10分)如图，在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=DC=4, AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE,可知DE=5.动点P从点B出发，以 每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为秒.(I>0) D 备用图 (I)当点P在BC边上时，CP= (用含t的代数式表示)： (2)当点P运动到BC的垂直平分线上时，求t的值： (3)连结DP或CP，,在整个运动过程中，当aDCP与△DCE全等时，求t的值： (4)当点P到△DCE两边距离相等时（点P不与△DCE顶点重合），直接写出t的值. 23.(12分)在“智启礼嘉，数创未来”擂台赛上，小李遇到这样一个问题，如图1， △ABC中，AB=10,AC=6,点D为BC的中点，求AD的取值范围.小李发现老师讲过 的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长AD到E,使DE=AD ，连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决。 B 图1 图2 图3 图4 试卷第7页（共3页） (I)小李证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： (用字母表示) (2)请求出线段AD的取值范围， (3)如图3，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，共底角顶点C,连接BE取其中点M, 连接AM,DM,求证AM⊥DM; (4)如图4，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使得AB=AE,若AC=AF, ∠BAE=∠FAC=90°，请直接写出线段AD与EF的数量和位置关系. 24.(12分)生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们 在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究. 图1 图2 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=I00°，点D是BC上的动点，连接AD,将 △ABD沿AD折叠，得到△AED,且点E在直线BC的下方，再将AC翻折，使AC与AE重 合，折痕为AF,连接EF,则∠DEF为 度： (2)在(1)的条件下，若△DEF是等腰三角形，则∠CAF的度数为多少？请说明理由： (3)图2中的四边形ABCD是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知∠C=90°， SANCD=3 ∠BAD=45°，连接BD,AE为△ABD的高，若AE=7,BE=3,且SAMm2,请直接写 出ED的长. 试卷第8页（共3页）