精品解析：广东深圳市红岭教育集团大鹏华侨中学2026-2027学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

红岭大鹏华侨中学2026-2027学年度第一学期高三第一次模拟考试 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据5，3，2，4，5，8，7，7，9，9的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6.5 2. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD＝2DC，如果，那么（ ） A. x，y B. x，y C. x，y D. x，y 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最大值为则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，函数，对任意，恒有成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 复数的实部为 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数 10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 与共线 C. D. 直线与平面ABCD所成角的余弦值为 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为__________. 13. 已知函数的最大值为，则___________； 若，则____________. 14. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，， ，，， 且，， （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 17. 已知离心率为的椭圆：（）经过点．经过点的直线与椭圆交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程． 18. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 19. 已知定义在上的函数． （1）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （2）已知关于的方程在区间存在实数解． （i）若，求的取值范围； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭大鹏华侨中学2026-2027学年度第一学期高三第一次模拟考试 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据5，3，2，4，5，8，7，7，9，9的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，再利用中位数的定义进行求解. 【详解】数据从小到大排序为2，3，4，5，5，7，7，8，9，9， 中位数为第5个和第6个数的平均数，即. 故选：C 2. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD＝2DC，如果，那么（ ） A. x，y B. x，y C. x，y D. x，y 【答案】A 【解析】 【分析】利用，将表示出来，再运用平面向量的线性运算即可求解 【详解】解：∵BD＝2DC， ∴； ∵， ∴； ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量的数乘与线性运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式解得，则， 又，所以. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程. 【详解】， 将代入导数，得到切线斜率， 又切点和斜率， 则曲线在处的切线方程为， 整理得，故选项C正确. 5. 抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 故两焦点之间的距离． 6. 已知函数的最大值为则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性关系判断函数的单调性，进而求出最值，再利用代入法进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数. . 当时， 当时，，所以该函数在上单调递减， 当时，，所以该函数在上单调递增， 因此该函数的最大值为. 当时， 当时，，所以该函数在上单调递增， 当时，，所以该函数在上单调递减， 因此该函数有最小值为， 当时，， 当时，，所以此时该函数没有最大值，不符合题意； 当时，，显然此时该函数的最大值为零，不符合题意， 综上所述：. 7. 北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 8. 已知，，函数，对任意，恒有成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设分解因式可得对于恒成立，进而结合函数、的单调性及零点分析得到，且，进而求解即可. 【详解】由，得， 则， 即， 即对于恒成立， 因为函数在上为增函数，且零点为， 而函数开口向上，对称轴为， 要使对于恒成立， 则为函数的零点，且时，，时，， 所以，则，且， 所以， 则时，取得最小值. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 复数的实部为 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的相关概念及复数的基本运算，逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，由复数，根据复数的概念，可得实部为，故A正确； 对于B选项，由复数，根据共轭复数的概念，可得，故B正确； 对于C选项，由B选项可得，所以，故C错误； 对于D选项，由复数，则，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 与共线 C. D. 直线与平面ABCD所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明判断A；利用共线向量的定义及空间向量的数量积判断BC；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】在正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 对于A，，则，即，A正确； 对于B，，由 ，得与不共线，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于 D，平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为， 则，，D正确. 11. 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时，的最大值为－1 C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可． B．判断当时，函数的单调性即可． C．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解． D．利用两点间的距离公式进行判断求解． 【详解】当，时，函数. A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误； B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确； C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为， 所以“囧点”为， 设，则，设切点为，， 切线的斜率， 当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短， ， 解得， 切点坐标为， 故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确， D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值； 当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中， 则点到圆心的距离的平方为， 令，，则， 再令，（其中， 则， 所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为． 又， 综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为． 故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】 本题主要考查抽象函数及其应用，其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式，利用函数的奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先化简可得，即，利用即可得解. 【详解】可化为， ， 则. 故答案为： 13. 已知函数的最大值为，则___________； 若，则____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用正弦函数值域得出，再结合特殊角正弦值计算求解. 【详解】函数的最大值为，且，则，则；  若，则. 14. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 【答案】169 【解析】 【分析】由能被4除余3且被6除余3的数就是能被12整除余3的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即可得到所求的项数. 【详解】题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被4整除，也能被6整除. 即为4和6的最小公倍数12的倍数， 因此所有符合要求的数都可以表示为， 显然数列为等差数列，且首项为3，公差为12. 由，则，解得 . 由于是正整数，的取值为，总共有169项. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，， ，，， 且，， （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）取的三等分点，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明； （2）法一，利用等积转换即，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离. 【详解】 (1)解法一：取的三等分点，连结，则 又因为，所以且， 因为且，所以且， 四边形是平行四边形， 所以， 又平面平面 ，平面 ， 所以平面 . 解法二：取的三等分点，连结，则， 又因为， 所以且，平面 ， 平面， 平面， 因为且，所以且， 四边形是平行四边形. 所以，平面，平面， 平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. (2)解法一：设点到平面的距离为. 因为，，所以， 所以，，因为，所以平面， 点平面的距离是，， ， ， 因为，所以， 点到平面的距离为. 解法二：设点到平面的距离为. 因为，，所以 所以，，因为，所以平面， 分别以为轴轴轴，建立空间坐标系， ’， 设平面法向量， 因为，所以， 设与平面所成角为， 则 点到平面的距离， 点到平面的距离为 . 【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 已知， 由正弦边角关系得，化简得， 应用辅助角公式可得，而，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，解得， 所以，故的周长为. 17. 已知离心率为的椭圆：（）经过点．经过点的直线与椭圆交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）已知点坐标得，由离心率得，计算出后可得椭圆方程； （2）设直线的方程为（显然直线不合题意），设，． 直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得可，，则三角形面积可得，两者结合可得参数值，得直线方程． 【详解】解：（1）由已知可得．又因为，故可得，进而由可得．所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（显然直线不合题意），点的坐标为，点的坐标为． 由已知可得，因为，故． 联立直线和椭圆方程消去，整理得． 因此，． 由，将上式代入其中， 整理，可得，即，解得． 所以直线的方程为． 【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元后用韦达定理，把韦达定理的结论代入其他条件求解． 18. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 【答案】（1）， （2） 1 2 3 … … （3）【解析】 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . 【小问2详解】 （，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … 【小问3详解】 由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 19. 已知定义在上的函数． （1）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （2）已知关于的方程在区间存在实数解． （i）若，求的取值范围； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）分类讨论的范围，构造函数将恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解； （2）（i）由题得，设，将方程转化为与直线在有交点问题，数形结合即可求解；（ii）可知为直线上一点，根据点到直线的距离可得，令，利用导数分析最值即可得结果． 【小问1详解】 由题意，不等式在区间上恒成立， 当时，，不等式恒成立，符合题意， 当时，，设， 令， 当， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又时，时，画出简图， 所以无最小值，不合题意； 当时，，同上设， 则，所以， 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 （i）由题知，， 设， 令， 当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，单调递增， ，，作出简图， 所以直线与在有交点， 当直线过点时，， 当直线过点时，， 数形结合得． （ii）方程，，即，， 当时，不成立，可知不是方程的解，所以， 则为直线上一点， 且点到直线上的距离为， 则， 令，， 因为， 可得，， 则， 因为，则，，可得， 可知在内单调递增，则， 可得 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $