2026-2027学年高二上学期期中数学模拟卷

2026—2027 学年上学期期中模拟卷 高二年级数学上学期期中模拟卷（人教A版） （学生卷）　满分 150 分　考试时间 120 分钟 考查范围：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章：空间向量与立体几何、直线和圆的方程 本卷为原创精品模拟试卷，题型结构与最新高考/中考真题卷型完全一致。题型结构与新高考全国卷一致（19 题 150 分）；含 1 幅原创示意图；命题细目表与逐题详解见教师卷。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．已知 ，，则 （　　） A. 　　B. C. 　　D. 2．已知 ，，且 ，则 （　　） A. 　　B. C. 　　D. 3．过点 与 的直线的斜率为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 4．直线 与 的位置关系是（　　） A. 平行　　B. 垂直 C. 相交但不垂直　　D. 重合 5．圆 的圆心坐标与半径分别为（　　） A. 与 　　B. 与 C. 与 　　D. 与 6．直线 与圆 的位置关系是（　　） A. 相切　　B. 相交但不过圆心 C. 相离　　D. 过圆心 7．已知 ，，则直线 与 所成角的余弦值为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 8．过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，则弦 长度的最小值为（　　） A. 　　B. C. 　　D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 是 或 的充要条件 B. 是 的充要条件 C. 若 ，则 D. 若 ，则 与 相交 10．已知圆 与圆 ，则下列说法正确的是（　　） A. 两圆外切 B. 两圆有 3 条公切线 C. 两圆圆心距为 3 D. 两圆相交，交点弦长为 11．已知直线 过点 ，直线 ，则下列说法正确的是（　　） A. 过 且与 平行的直线方程为 B. 点 到 的距离为 C. 存在过 的直线与 垂直且截距相等 D. 过 与 平行的直线和 之间的距离为 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知 ，则 ＿＿＿＿。 13．已知直线 与 垂直，则实数 ＿＿＿＿。 14．若直线 与圆 相切，则 的值为＿＿＿＿。 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知点 。 （1）求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）求两平行直线 与 之间的距离。 16．（15分）已知圆 经过点 、、。 （1）求圆 的方程； （2）求直线 被圆 截得的弦长。 17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，， 为 的中点。以 为原点、、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 （1）写出各点坐标，并求直线 与 所成角的余弦值； （2）求点 到平面 的距离。 18．（17分）在上述四棱锥 中， （1）用向量方法证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值。 19．（17分）已知圆 。 （1）求圆 的圆心坐标与半径； （2）若过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年上学期期中模拟卷 高二年级数学上学期期中模拟卷（人教A版） （教师卷·含逐题解析）　满分 150 分　考试时间 120 分钟 本卷为教师用书：含答案速览表、命题细目表、逐题【思路点拨·规范解答·易错警示】。学生卷另册装订，试题与解析完全同源。考查范围：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章：空间向量与立体几何、直线和圆的方程 一、答案速览表 题号 1 2 3 4 答案 A A A B 题号 5 6 7 8 答案 A B A B 填空题 12 13 14 答案 3 4/3 0 或 4/3 多选题 9 10 11 答案 ABD ABC ABD 二、命题细目表 题号 核心考点 预估难度 分值 1 空间向量的数量积 易 5 2 向量垂直的坐标条件 易 5 3 直线的斜率 易 5 4 两直线的位置关系 易 5 5 圆的标准方程 易 5 6 直线与圆的位置关系 易 5 7 夹角余弦值的坐标计算 中 5 8 直线与圆相交的弦长最值 中偏难 5 9 空间向量判定位置关系 中 6 10 圆与圆的位置关系 中 6 11 直线方程、平行与距离 中偏难 6 12 空间向量的模 易 5 13 两直线垂直（含参） 中 5 14 直线与圆相切（含参） 中偏难 5 15 直线方程与平行线距离 易 13 16 圆的方程与弦长 中 15 17 空间向量求线面角与距离 中偏难 15 18 向量法证明线面平行（压轴） 难 17 19 圆的方程与弦长（含参直线） 难 17 三、逐题解析 1．（单选） 已知 ，，则 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】空间向量的数量积　【难度】易 【思路点拨】坐标对应相乘再求和。 【规范解答】。 【易错警示】负号别丢。 2．（单选） 已知 ，，且 ，则 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】向量垂直的坐标条件　【难度】易 【思路点拨】垂直即数量积为 0。 【规范解答】，。 【易错警示】第三个分量是 ，符号易错。 3．（单选） 过点 与 的直线的斜率为 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】直线的斜率　【难度】易 【思路点拨】。 【规范解答】。 【易错警示】分子是纵坐标之差。 4．（单选） 直线 与 的位置关系是 A. 平行　B. 垂直 C. 相交但不垂直　D. 重合 【答案】B 【考点】两直线的位置关系　【难度】易 【思路点拨】，，乘积为 。 【规范解答】，，，两直线垂直。 【易错警示】斜率之积为 是垂直的判定；平行需斜率相等且截距不同。 5．（单选） 圆 的圆心坐标与半径分别为 A. 与 　B. 与 C. 与 　D. 与 【答案】A 【考点】圆的标准方程　【难度】易 【思路点拨】配方或用公式：圆心 ，。 【规范解答】配方：，圆心 ，半径 。 【易错警示】半径是 不是 5。 6．（单选） 直线 与圆 的位置关系是 A. 相切　B. 相交但不过圆心 C. 相离　D. 过圆心 【答案】B 【考点】直线与圆的位置关系　【难度】易 【思路点拨】比较圆心到直线的距离 与半径 。 【规范解答】圆心 ，，相交； 不过圆心。 【易错警示】 才过圆心；判断相交后还要看是否过圆心才能区分 B 与 D。 7．（单选） 已知 ，，则直线 与 所成角的余弦值为 A. 　B. C. 　D. 【答案】A 【考点】夹角余弦值的坐标计算　【难度】中 【思路点拨】向量夹角公式；异面直线所成角取非负值。 【规范解答】。 【易错警示】直线所成角范围 [0,90°]，余弦为正；若算出负值要取绝对值。 8．（单选） 过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，则弦 长度的最小值为 A. 　B. C. 　D. 【答案】B 【考点】直线与圆相交的弦长最值　【难度】中偏难 【思路点拨】点 在圆内。圆心到直线的距离 越大弦越短， 的最大值为定点到圆心的距离 1。 【规范解答】圆心 ，半径 。（此时 ），弦长最小值 。 【易错警示】弦长公式 ；「过定点的弦」最短时直线垂直于定点与圆心的连线。 9．（多选） 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则下列说法正确的是 A. 是 或 的充要条件　B. 是 的充要条件 C. 若 ，则 　D. 若 ，则 与 相交 【答案】ABD 【考点】空间向量判定位置关系　【难度】中 【思路点拨】方向向量与法向量垂直对应线面平行或在面内；平行对应垂直；数量积非零对应相交。 【规范解答】A： 或 ，正确。B：方向向量与法向量共线即线面垂直，正确。C： 时 与 平行或在面内，恰恰不是垂直，C 错误。D：数量积非零则方向向量与法向量不垂直，直线必与平面相交，正确。故选 ABD。 【易错警示】线面相交包括斜交与垂直； 时直线还可能在面内，判断平行要再取面内一点验证。 10．（多选） 已知圆 与圆 ，则下列说法正确的是 A. 两圆外切　B. 两圆有 3 条公切线 C. 两圆圆心距为 3　D. 两圆相交，交点弦长为 【答案】ABC 【考点】圆与圆的位置关系　【难度】中 【思路点拨】圆心距 ，半径和 ，恰外切。 【规范解答】圆心 与 ，，外切，A 正确。外切圆公切线 3 条（2 外 1 内），B 正确。圆心距 3，C 正确。两圆外切不相交，D 错误。故选 ABC。 【易错警示】外切 vs 内切： 外切； 内切；公切线条数：外离 4、外切 3、相交 2、内切 1。 11．（多选） 已知直线 过点 ，直线 ，则下列说法正确的是 A. 过 且与 平行的直线方程为 　B. 点 到 的距离为 C. 存在过 的直线与 垂直且截距相等　D. 过 与 平行的直线和 之间的距离为 【答案】ABD 【考点】直线方程、平行与距离　【难度】中偏难 【思路点拨】平行直线系设 代点求 ；两平行线间距离 。 【规范解答】A：设 ，代 得 ，正确。B：，正确。C：与 垂直的直线斜率为 ，过 的方程为 ，纵截距 1、横截距 ，不相等，C 错误。D：，正确。故选 ABD。 【易错警示】「截距相等」要分「都是 0」与「都不为 0」两类讨论；点在线上时距离为 0。 12．（填空） 已知 ，则 【答案】 【考点】空间向量的模　【难度】易 【思路点拨】。 【规范解答】。 【易错警示】先平方和再开方。 13．（填空） 已知直线 与 垂直，则实数 【答案】 【考点】两直线垂直（含参）　【难度】中 【思路点拨】。 【规范解答】，，。 【易错警示】用一般式垂直条件 ，别把 当成 0。 14．（填空） 若直线 与圆 相切，则 的值为 【答案】 或 【考点】直线与圆相切（含参）　【难度】中偏难 【思路点拨】圆心 ，， 建方程。 【规范解答】，，平方：，， 或 。 【易错警示】平方法扩大范围，结果必须代回检验（两解均满足）。 15．（解答 13 分） 已知点 。 （1）求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）求两平行直线 与 之间的距离。 【答案】（1） 或 ；（2） 【考点】直线方程与平行线距离　【难度】易 【思路点拨】截距相等分「都为 0」与「不为 0」两类；平行线距离公式 。 【规范解答】(1) 截距都为 0 时直线过原点：，，即 。截距不为 0 时设 ，代 ：，，即 。共两条： 与 。(2) 。 【易错警示】「截距相等」是三类讨论题，漏掉「截距都为 0（过原点）」是最常见丢分点；注意 也满足题意。 16．（解答 15 分） 已知圆 经过点 、、。 （1）求圆 的方程； （2）求直线 被圆 截得的弦长。 【答案】（1）；（2） 【考点】圆的方程与弦长　【难度】中 【思路点拨】弦长用几何法：。 【规范解答】(1) 的垂直平分线为 ； 的中点 ，，垂直平分线斜率 1：，即 。两线交点：，，圆心 ，。方程 。(2) 圆心到直线距离 ，弦长 。 【易错警示】弦长问题优先用「几何法」（半弦长、弦心距、半径构成直角三角形），设而不算更稳。 17．（解答 15 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，， 为 的中点。以 为原点、、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 （1）写出各点坐标，并求直线 与 所成角的余弦值； （2）求点 到平面 的距离。 【答案】（1）直线 与 所成角为 ，余弦值为 0；（2） 【考点】空间向量求线面角与距离　【难度】中偏难 【思路点拨】写出坐标后用夹角公式与点到平面距离公式 。 【规范解答】(1) ，，，，，。，。，所成角为 ，余弦值 0。(2) 平面 的法向量：设 ，，，取 。，。 【易错警示】（1）中 的 分量是 ，方向取错会导致夹角算错；数量积恰为 0 说明两线垂直，是命题埋点。 18．（解答 17 分） 在上述四棱锥 中， （1）用向量方法证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值。 【答案】（1）证明见解析；（2）夹角余弦值为 【题源】改编自 2025 年新高考卷同类真题 【考点】向量法证明线面平行（压轴）　【难度】难 【思路点拨】线面平行：直线的方向向量与平面法向量垂直且线在面外；面面夹角用法向量夹角。 【规范解答】(1) 。平面 的法向量 （由 、 取得），，故 ；又 平面 ，所以 平面 。(2) 平面 的法向量 。平面 ：，，设法向量 ：，，取 。，夹角 ，余弦值 。 【易错警示】（1）必须补充「 平面 」才算完整；二面角与「平面夹角」在取绝对值意义下一致，注意结论写法。 19．（解答 17 分） 已知圆 。 （1）求圆 的圆心坐标与半径； （2）若过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程。 【答案】（1）圆心 ，半径 ；（2） 或 【考点】圆的方程与弦长（含参直线）　【难度】难 【思路点拨】（1）配方；（2）由弦长反求弦心距 ，再对斜率建方程（注意验证斜率不存在的情形）。 【规范解答】(1) ，圆心 ，半径 。(2) 由 得 。斜率存在时， 即 ，圆心 到 的距离 ，平方得 ，即 ，。斜率不存在（）时 ，弦长 ，舍去。故 。 【易错警示】设点斜式前先检验斜率不存在的情形； 的分子是 ，符号处理易错。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $