25.2.3 因式分解法-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九上 25.2.3 因式分解法 专项练习（约1800字） ## 一、知识要点梳理 **1. 原理依据**：若两个因式的积为 0，则至少有一个因式为 0，即 $$\boldsymbol{A\cdot \(B=0\)\iff \(A=0\)\ \text{或}\ \(B=0\)}$$ **2. 常用因式分解方法** - **提公因式**：$\(ab+ac=a(b+c)\)$； - **平方差**：$a²-b²=(a+b)(a-b)$； - **完全平方**：$a²±2ab+b²=(a±b)²$； - **十字相乘**：$x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。 **3. 解题步骤** ① 移：把方程右边化为 **0**； ② 化：二次项系数为 1（若非1，先提取公因式或处理）； ③ 分：左边分解成两个一次因式乘积； ④ 令：令每个因式分别等于 0； ⑤ 解：解两个一元一次方程，得到两个根。 > **适用提示**：方程一边为 0、另一边能快速分解时，优先用因式分解法，比公式法、配方法更快捷。 **4. 易错提醒** - 不能两边直接约去含未知数的因式（会丢根），必须移项后分解； - 分解要**彻底**，到不能再分为止； - 两个因式对应两个根，别漏根。 ## 二、选择题 **1.** 方程 $x(x-3)=0$ 的解是（　） A. $\(x=3\)$　　B. $\(x=0\)$　　C. $x_1=0,x_2=3$　　D. $x_1=0,x_2=-3$ **2.** 方程 $x²-4\(x=0\)$ 用因式分解法求解，正确的分解是（　） A. $x(x-4)=0$　　B. $\(x(\(x+4\))=0\)$　　C. $(x-2)(x+2)=0$　　D. $(x-4)²=0$ **3.** 方程 $x²-9=0$ 的解是（　） A. $\(x=3\)$　　B. $x=-3$　　C. $\(x=±3\)$　　D. $\(x=±9\)$ **4.** 下列方程中，最适合用因式分解法解的是（　） A. $x²+2\(x+3=0\)$　　B. $x²-5\(x=0\)$　　C. $x²+3x-2=0$　　D. $x²+4=0$ **5.** 方程 $(x-1)(x+2)=0$ 的两根之和为（　） A. 1　　B. -2　　C. -1　　D. 3 ## 三、填空题 **6.** 若 $\(x(x+5)=0\)$，则 $x_1=$____，$x_2=$____。 **7.** 分解：$x²-6x+9=$____（填完全平方式）。 **8.** 方程 $x²=5x$ 的解法：移项得 $x²-5\(x=0\)$，分解为____，解得 $x_1=$____，$x_2=$____。 **9.** 分解：$x²-3x-4=$____。 **10.** 用因式分解法解 $(2x-1)(x+3)=0$，两根为 $x_1=$____，$x_2=$____。 ## 四、用因式分解法解下列方程 **11.** $x²+5\(x=0\)$ **12.** $x²-2x+1=0$ **13.** $x²-25=0$ **14.** $x²-x-6=0$ **15.** $2x²+3\(x=0\)$ **16.** $\((x+1)\)²-9=0$ ## 五、解答题 **17.** 用因式分解法解 $x²-5x+6=0$，并写出每一步的依据。 **18.** 小马虎这样解方程 $x(x-2)=x$：两边同除以 $x$ 得 $x-2=1$，所以 $\(x=3\)$。他的解法对吗？若不对，请指出错误并正确求解。 --- # 参考答案与详细解析 **1. C**。由 $A\cdot \(B=0\)$ 得 $\(x=0\)$ 或 $x-3=0$，即 $x_1=0,x_2=3$。选C。A只写一个根，丢根了。 **2. A**。提公因式 $x$：$x(x-4)=0$，选A。B的因式不对（应是 $x-4$ 不是 $\(x+4\)$）。 **3. C**。平方差：$(x+3)(x-3)=0$，$\(x=±3\)$。选C。别漏负根。 **4. B**。B 有公因式 $x$，一步提公因式即可完成分解，最简便。A、C 无明显公因式、无平方结构，更适合公式法或配方法；D 无实数根。选B。 **5. C**。$x_1=1,x_2=-2$，之和 $1+(-2)=-1$，选C。 **6.** 0；-5。 **7.** $(x-3)²$。（$9$ 是 $(\frac{6}{2})²=3²$） **8.** $x(x-5)=0$；$0$；$5$。 **9.** $(x-4)\((x+1)\)$。（两数乘积为 -4，和为 -3，取 -4 和 1） **10.** $\frac12$；-3。由 $2x-1=0$ 得 $x=\frac12$，由 $\(x+3=0\)$ 得 $x=-3$。 **11.** $\(x(x+5)=0\)$，$x_1=0,x_2=-5$。 **12.** $(x-1)²=0$，$x_1=x_2=1$（两个相等实数根）。 **13.** $(x+5)(x-5)=0$，$x_1=5,x_2=-5$。 **14.** $(x-3)(x+2)=0$，$x_1=3,x_2=-2$。（找两数和为 -1、积为 -6 的两数：3 和 -2） **15.** $\(x(2x+3)=0\)$，$x_1=0$，$2\(x+3=0\)$ 得 $x_2=-\frac32$。 **16.** 用平方差：$\((x+1)\)²-9=(x+1+3)(x+1-3)=(\(x+4\))(x-2)=0$，$x_1=-4,x_2=2$。**技巧**：整体 $\((x+1)\)$ 也可直接用开平方，两种方法都行。 **17.** $x²-5x+6=0$，十字相乘分解：$(x-2)(x-3)=0$（依据：因式分解、两数积6和-5）。由因式积为0得 $x-2=0$ 或 $x-3=0$（依据：$A\cdot \(B=0\)$ 则 $\(A=0\)$ 或 $\(B=0\)$）。解得 $x_1=2,x_2=3$。 **18.** **不对**。错误在于"两边同除以 $x$"：因为 $x$ 可能是 0，除以含未知数的因式会**丢失根** $\(x=0\)$。 正确做法：移项 $x(x-2)-\(x=0\)$，提公因式 $x[(x-2)-1]=0$，即 $x(x-3)=0$，得 $x_1=0,x_2=3$。可见原方程其实有**两个根** 0 和 3，小马虎只求出 3，丢掉了 0。**教训**：解方程永远不要在两边同时除以含未知数的因式。 ## 易错点总结 1. 两边**不能直接约去含未知数的因式**，会丢根（见第18题）； 2. 先移项使右边为 0，再分解，不能上来就展开乱算； 3. 分解要彻底，每个因式都是最简的一次式； 4. 两个因式得两个根，$\Delta=0$ 时两根相等，不要漏写； 5. 会灵活选用：有公因式用提公因式，平方结构用平方差/完全平方，可拆成两数和积用十字相乘； 6. 因式分解法是"已有一边为0、另一边易分解"时的首选，比配方法、公式法快。 --- 全文约1780字，覆盖提公因式、平方差、完全平方、十字相乘四类分解及"丢根"防错训练。需要我出**空白试卷版**，或把"因式分解法与其它解法对比选择"题目加重训练吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.2.3 因式分解法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/30 第二十五章 一元二次方程 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 通过阅读课本，学生会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程，提高了学生的运算能力． 通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程的转化思想． 学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提高了学生解决问题的能力. 思考1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 1.直接开平方法： x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) 2.配方法： (x+n)2=p(p≥0) 3.公式法： x = （b2–4ac≥0） 情境导入 思考2：因式分解的方法有哪些？ 1.提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) 2.公式法： a2–b2=(a+b)(a–b) a2±2ab+b2=(a±b)2 3.十字相乘法： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 情境导入 新课导入 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经 过x s离地面的高度（单位：m）为： 10x-4.9x2. 问题：设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 情境导入 落回地面时高度为 0,即列方程 新知探究 探究一：因式分解法的定义 探究 把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，物体经过 后的离地高度 约为 m,求物体经过多少秒落回地面. 想一想 这个多项式有什么特点？能否进行因式分解？ 因式分解得： 两个因式的乘积等于 0，这意味着什么？ 探究新知 6 新知探究 若 ，则 或 . 如果两个数的乘积为 0，那么这两个数中至少有一个为 0； 反之，如果两个数中任何一个为 0，它们的积也为 0。 应用结论解方程：令 或 解得 ， 讨论 这两个根分别表示什么实际意义？ 是物体被抛出的时刻， 是物体落回地面的时刻，符合实际情况。 探究新知 7 因式分解法 配方法和公式法 新知探究 思考 配方法和公式法是通过什么方式降次的？因式分解法又是通过什么方式降次的？ 两个一次式的乘积 降次 开平方 分解因式 令每个一次式为 0 降次 探究新知 8 知识小结 因式分解法 先将方程的一边化为两个一次因式的乘积，另一边为 0，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 注：因式分解法的核心思想仍然是 “降次”，这是解一元二次方程的通用思路 探究新知 9 新知巩固 因式分解法解方程 一元二次方程的根是________________． 【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根． 【详解】解： 移项，得， 提取公因式，得， ∴ 或 ， 解得，． ， 探究新知 10 新知探究 探究二：因式分解法的解题步骤 思考 结合方程 的解题过程，你能归纳因式分解法解一元二次方程的基本步骤吗？ ②分解：将方程左边的多项式分解为两个一次因式的乘积； ③降次：令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 ①移项：将方程的所有项移到左边，使右边为 0； 解题步骤的关键是“右边必须为 0”，这是应用“若 ，则 或 ”的前提. 探究新知 11 公式法解一元二次方程 教材例题 【分析】(1) 用提取公因式法分解因式求解； (2) 先移项合并同类项，再用直接开平方法求解. 解下列方程： (1) ； (2) . 解：（1）左边分解因式，得 于是 , 或 即 探究新知 12 公式法解一元二次方程 教材例题 【分析】(1) 用提取公因式法分解因式求解； (2) 先移项合并同类项，再用直接开平方法求解. 解下列方程： (1) ； (2) . 左边分解因式，得 于是 , 或 即 （2）移项、合并同类项，得 探究新知 13 新知巩固 因式分解法的解题步骤 【分析】按照移项分解 按照因式分解法解方程的步骤解下列方程方程： 解： ∴或 解得，； 移项 分解因式 降次 求解 探究新知 14 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.由方程 可以得到的方程是( ) A A.或 B. C. D. 返回 举一反三 15 2.方程 的根是( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 16 新知探究 新知探究 探究三：三种解法的对比与选择 讨论 配方法、公式法、因式分解法各有什么特点？分别适用于什么类型的方程？ 解法 特点 适用范围 配方法 先配方，再开方，步骤繁琐 所有一元二次方程 公式法 直接代入求根公式，通用 所有一元二次方程 因式分解法 步骤简便，计算量小 左边易分解、右边为 0 的方程 探究新知 17 新知巩固 选用合适的方法解一元二次方程 已知一元二次方程的两个实数根为，则________． 【分析】解法一：根据因式分解法求出方程的解； 解法二：利用根与系数的关系求解． 【详解】解法一：， 解法二：在方程中， 由根与系数的关系可得 ． 解得 探究新知 18 巩固训练1 非标准形式方程，先整理再因式分解 一元二次方程的解为_________________________． 【分析】通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两个一次方程求解． 解：方程可变形为， ， ， ， 所以或， 解得，． ， 探究新知 19 1.解下列方程： 【选自教材第14页 练习 第1题】 （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； 解：左边分解因式，得 x(x+1)=0. 于是 x=0，或 x+1=0， 即 x1=0，x2= – 1. 解：左边分解因式，得 x(x–2)=0. 于是 x=0，或 x–2=0， 即 x1=0，x2= 2. 当堂检测 （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； 解：方程变形，得 3(x2–2x+1)=0. 左边分解因式，得 3(x–1)2=0. 于是 x–1=0，即 x1=x2=1. 解：左边分解因式，得 (2x+9)(2x–9)=0. 于是 2x+9=0，或 2x–9=0， 即 x1= – ，x2= . 当堂检测 （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . 解：方程变形，得 6x2–x–2=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(3x–2)=0. 于是2x+1=0，或 3x–2=0， 即 x1= – ，x2= . 解：左边分解因式，得 [(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0， (1–x)(3x–9)=0. 于是1–x=0，或 3x–9=0， 即 x1=1，x2=3. 当堂检测 2.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m. 由题意，得π(x+5)2=πx2. 可化为(x+5)2=x2，(x+5)2 – (x)2=0， [(x+5)+x][(x+5) – x]=0，即(x+5)(5 – x)=0. 所以 x1= –2（不合题意，舍去），x2=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. 当堂检测 3.一元二次方程 的解是( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 24 4.用因式分解法解一元二次方程 时，要转化成两个 一元一次方程求解，其中的一个方程是 ，则另一个方程 是_______________. 返回 举一反三 25 （2） ； 解：因式分解，得 ， 于是或 ， 解得， . （3） ; 解：整理得 . 因式分解，得 ， 解得 . 举一反三 26 （4） ； 解：因式分解，得，于是 或 ， 解得， . 举一反三 27 （5） ； 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 于是或 ， 解得， . 举一反三 28 本节课你学到了什么？ 课堂小结 29 谢谢观看 THANKS $