精品解析：吉林长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2026-2027学年上学期八年级数学期中试题

数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（　　） A. ±3 B. 3 C. ±4.5 D. 4.5 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】（±3）2=9 ∴9的平方根是±3 故选A. 【点睛】本题考查了平方根的概念，平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根,表示方法：正数a的平方根表示为±读作“正、负根号a. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，运算错误，不符合题意； 选项B：，运算正确，符合题意； 选项C：，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 3. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简各数，再利用无理数的定义分析得出答案． 【详解】解：A．是无理数，故此选项正确； B．，是有理数，故此选项错误； C．，是有理数，故此选项错误； D．，是无理数，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义、算术平方根和立方根的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．正确化简各数是解答本题的关键． 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先说明，再根据求解即可． 【详解】解：∵与相交于点O， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：B． 5. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”， 第一步应是假设∠B=∠C， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 6. 如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定的平分线，进而可知本题答案． 【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等； B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等； C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等； D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等， 故选：A． 7. 下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 8. 如图，平分，若，则的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】求解，如图，记的交点为，过作于，证明，，可得，，结合，求解，，，设，利用勾股定理求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，记的交点为，过作于， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质计算结果. 【详解】解：，，且 ，可得 根据正数的绝对值等于它本身，得 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如图，长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的因式分解，根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【详解】解：长、宽分别为、的长方形周长为，面积为， ，， ， 故答案为：． 12. 一个等腰三角形的两条边长分别是和，这个三角形的周长是（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断能否构成三角形，舍去不成立的情况，再计算周长即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时： ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 这种情况不能构成三角形，舍去； 当腰长为，底边长为时： ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 三角形的周长为 ． 13. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角性质得出，进而根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用即可证明，从而判断①正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理即可判断②错误；由可得，再证明出，从而可得，即可判断③正确；作交的延长线于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，从而即可判断④正确． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 但无法直接得到，因此不一定平分，故②错误； 由可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图，作交的延长线于点， ∵为的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】将括号去掉展开后，合并同类项即可化简，然后将，代入即可． 【详解】解： ． 将，代入得：． 16. 若的整数部分是a，的小数部分是b，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再确定的小数部分，最后代入代数式计算求值． 【详解】解： ∵， ∴，的整数部分， ∴的整数部分为1， 小数部分为：， ∴， 则． 17. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把再整体代入求解代数式的值即可； （2）先把再整体代入求解代数式的值即可. 【小问1详解】 解： ，， 【小问2详解】 ，， 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，掌握“幂的运算法则及理解逆运算”是解本题的关键. 18. 如图，在四边形中，连接．已知，．求证：点在的平分线上． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， 在和中， ， ∴， ∴， 即点在的平分线上． 【解析】 【分析】根据等角对等边得到，，再证明，得到，即点在的平分线上． 【详解】略 19. 已知甲长方形相邻两边长相差3，乙长方形相邻两边长相差5．甲、乙两长方形周长相等，求甲长方形的面积比乙长方形的面积大多少． 【答案】甲长方形的面积比乙长方形的面积大4 【解析】 【分析】可以通过设未知数，根据周长和边长关系表示出边长，再根据长方形面积公式求出面积并比较即可． 【详解】解：设甲长方形较短边长为x，则较长边长为， 那么甲长方形周长，甲长方形面积， 因为甲、乙两长方形周长相等， 所以乙长方形周长， 设乙长方形较短边长为y，则较长边长为， 则， 化简可得， 解得， 那么乙长方形面积， 所以， 答：甲长方形的面积比乙长方形的面积大4． 20. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均是格点，仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图． （1）在图①中画一个格点三角形与全等且只有1条公共边； （2）在图②中画一个格点三角形与全等且只有1个公共点A． 【答案】（1）与全等且只有1条公共边的格点三角形，，（答案不唯一，画出一个即可），如图所示： （2）与全等且只有1个公共点A的格点三角形，，，，，，（答案不唯一，画出一个即可），如图所示： 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，可以求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）试说明：无论为何实数，二次三项式的值均不小于； （2）直接写出多项式的最大值． 【答案】（1）证明：， ， ， 故无论为何实数，二次三项式的值均不小于； （2）多项式的最大值为 【解析】 【分析】（1）用配方法化为，根据平方的非负性，即可求解； （2）用配方法化为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 当时，有最大值，最大值是． 22. 【提出问题】数学活动课上，老师提出了如下问题：如图①，已知中，是边上的中线．求证：．智慧小组的证法如下： 证明：如图，延长至P，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ， ∴（依据一）， ∴， 在中，（依据二）， ∴． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）任务：完成上述证明过程中的“依据一”和“依据二” 依据一：____________； 依据二：____________． （2）【解决问题】如图②，在图①的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图③，在中，点D是边的中点，点M在边上，过点D作，交边于点N，连结．若，，则直接写出的取值范围． 【答案】（1）；三角形任意两边之和大于第三边 （2）解：与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点M，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系解答即可； （2）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，由，，推出，证明，得到，即可得到； （3）延长至点，使，连接，，证明，得到，证明，得到，在中，利用三角形三边关系即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵和全等的条件为，两组对应边相等，并且对应边的夹角也相等， ∴依据一为， ∵是的两边之和，是的第三边， ∴依据二为三角形任意两边之和大于第三边． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使，连接，， ∵点D是边的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， 在中，，即， ∴． 23. 根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．例如：①∵，∴；②∵，∴；③∵，∴． （1）请将上述比较大小的方法用字母表示出来：若，则a______b；若，则a______b；若，则a______b； （2）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①当时，______；②______； （3）已知，试比较与的大小． 【答案】（1），， （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）①②利用作差法即可作答； （3）利用作差法和因式分解求出的结果即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：① ， ∵， ∴， ∴， ∴； ② ， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图①，四边形中，，．点是边上不与点、重合的动点，连接，作点关于的对称点，连接并延长交边于点，连接、． （1）线段的长为______； （2）求证：； （3）当、、三点共线时，请你在图②中用无刻度的直尺和圆规作出点M和点P，不写作法，保留作图痕迹，并结合所画的图求的度数；（作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （4）当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）证明：由题意可得：，， ∵点与关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴； （3） 如图所示，点M和点P即为所求： ； （4）或 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质解答即可； （2）由点与关于对称，得到垂直平分，利用角的等量代换证出，即可通过证明全等； （3）连接，在上截取，可得到点，作的角平分线，交于点，可得到点，连接，证出，再利用等腰三角形的性质列式运算即可解答； （4）分类讨论为等腰三角形的情况，结合等边三角形的判定及性质求解即可． 【小问1详解】 ∵点与关于对称， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作图略； 如图，连接，如图所示： ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 根据作图可得， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①当时，如图所示： 此时点与点重合，不符合题意； ②当的时候，连接，如图所示： ∵点与关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ③当时，过点作于点，于点，连接，，如图所示： ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（　　） A. ±3 B. 3 C. ±4.5 D. 4.5 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平分，若，则的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 10. 因式分解：__________． 11. 如图，长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为_______． 12. 一个等腰三角形的两条边长分别是和，这个三角形的周长是（ ）． 13. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 14. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 若的整数部分是a，的小数部分是b，求的值． 17. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，在四边形中，连接．已知，．求证：点在的平分线上． 19. 已知甲长方形相邻两边长相差3，乙长方形相邻两边长相差5．甲、乙两长方形周长相等，求甲长方形的面积比乙长方形的面积大多少． 20. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均是格点，仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图． （1）在图①中画一个格点三角形与全等且只有1条公共边； （2）在图②中画一个格点三角形与全等且只有1个公共点A． 21. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，可以求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）试说明：无论为何实数，二次三项式的值均不小于； （2）直接写出多项式的最大值． 22. 【提出问题】数学活动课上，老师提出了如下问题：如图①，已知中，是边上的中线．求证：．智慧小组的证法如下： 证明：如图，延长至P，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ， ∴（依据一）， ∴， 在中，（依据二）， ∴． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）任务：完成上述证明过程中的“依据一”和“依据二” 依据一：____________； 依据二：____________． （2）【解决问题】如图②，在图①的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图③，在中，点D是边的中点，点M在边上，过点D作，交边于点N，连结．若，，则直接写出的取值范围． 23. 根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．例如：①∵，∴；②∵，∴；③∵，∴． （1）请将上述比较大小的方法用字母表示出来：若，则a______b；若，则a______b；若，则a______b； （2）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①当时，______；②______； （3）已知，试比较与的大小． 24. 如图①，四边形中，，．点是边上不与点、重合的动点，连接，作点关于的对称点，连接并延长交边于点，连接、． （1）线段的长为______； （2）求证：； （3）当、、三点共线时，请你在图②中用无刻度的直尺和圆规作出点M和点P，不写作法，保留作图痕迹，并结合所画的图求的度数；（作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （4）当为等腰三角形时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $