精品解析：甘肃白银市2026-2027学年上学期期中九年级数学试卷

26秋九年级学习评价 数学（2） 注意事项： 1．共120分，时间为120分钟． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共33分） 1. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是（ ） A. BC＝CD B. AB＝CD C. ∠D＝90° D. AD＝BC 3. 若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 5. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 6. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程能用公式法求解，则m，n之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 9. 如图，四边形各边的中点分别是，，，，两条对角线与互相垂直，如果使四边形为正方形，则下列条件符合的是（ ） A. B. C. D. 10. “金风送爽，丹桂飘香”．9月25日，农历八月十五，中秋佳节翩然而至．美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出个月饼，美术绘画小组有多少人？设美术绘画小组有人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共12分） 12. 已知，则________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 14. 如图，在中，，为中线，延长至点，使，连接，为中点，连接．若，，则的长为________． 15. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 三．解答题．（本大题11个小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 已知四边形四边形，，，，，，．求的度数及的长． 18. 如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，求的度数． 19. 用一根长为的细绳，怎样围成一个面积为的矩形区域？并说明围法是否唯一？ 20. 如图，菱形的对角线与交于点，若，过点作于点，交于点．求证：． 21. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 23. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 24. 商场某种新商品每件的进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为元时，每天可销售_______件商品，商场获得的日盈利是________元； （2）在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？ 25. 如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点． （1）求证：四边形OMPN是矩形； （2）连接AP，若，，求AP的长． 26. 如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． （1）求证：； （2）如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26秋九年级学习评价 数学（2） 注意事项： 1．共120分，时间为120分钟． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共33分） 1. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，若四条线段，，，成比例，则，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四条线段，，，成比例， ， ，，， ， 故选：A． 2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是（ ） A. BC＝CD B. AB＝CD C. ∠D＝90° D. AD＝BC 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 如下图， 若BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形； 若AB＝CD，则还是平行四边形； 若∠ADC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形； 若AD＝BC，则还是平行四边形； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形和矩形的判定．熟练掌握判定方法是解决问题的关键． 3. 若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，. 由根与系数的关系得， ∴． 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 5. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 6. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 7. 若一元二次方程能用公式法求解，则m，n之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， ∵ 方程能用公式法求解， ∴ 根的判别式， 代入系数得， 整理得． 8. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，相似图形需对应角相等且对应边成比例，由相似图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相似图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、两个等腰三角形的顶角或底角可能不相等，故不一定相似； B、两个直角三角形的锐角可能不相等，故不一定相似； C、两个正方形的所有内角均为，对应角相等，且任意两边长之比为常数，故对应边成比例，一定相似； D、两个矩形的邻边之比可能不同，故对应边不一定成比例，不一定相似； 故选：C． 9. 如图，四边形各边的中点分别是，，，，两条对角线与互相垂直，如果使四边形为正方形，则下列条件符合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，证明，结合添加条件可得结论． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点， ∴，且，，且，，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 添加， ∴， ∴四边形是正方形. 10. “金风送爽，丹桂飘香”．9月25日，农历八月十五，中秋佳节翩然而至．美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出个月饼，美术绘画小组有多少人？设美术绘画小组有人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设美术绘画小组有人，等量关系为：小组的人数乘以（小组人数），把相关数值代入即可． 【详解】解：设美术绘画小组有人， ∵每人需向除自己外的人各送1个月饼， ∴总送出月饼数为个， ∵共送出72个月饼， ∴可列方程． 11. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题需依据相似三角形的判定定理，对每个选项中涂色三角形与的边、角关系逐一分析，判断是否满足相似条件． 【详解】选项A中， 则． 涂色三角形与： ，； ，． 边的比例：，， 即． 又是与的公共角， 可得， 即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件， 故选项B不相似． 选项C中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项C不相似． 选项D中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项D不相似． 故选A 【点睛】本题核心是运用相似三角形的判定定理（重点为“两边对应成比例且夹角相等”），通过分析各选项中涂色三角形与的边比例、角的关系，确定相似性．解题关键在于准确识别对应边、对应角，并验证比例与角度条件． 二．填空题．（每题3分，共12分） 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知的取值，可将所求分式拆分为含的形式，通过整体代入计算结果． 【详解】解：将所求分式拆分可得， ∵， ∴将其代入上式得． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于，代入方程系数得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程为， ∴可得，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴代入系数得， 展开计算得， 化简得， 解得， 即的取值范围为． 14. 如图，在中，，为中线，延长至点，使，连接，为中点，连接．若，，则的长为________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】利用勾股定理可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度，然后说明线段是的中位线，最后利用中位线的性质即可解答． 【详解】解：在中，，，， ． 又为中线， ． 为中点，即点是的中点， 是的中位线， ∴ ． 故答案为2.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 三．解答题．（本大题11个小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先整理成一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：原方程化为 ∴ ∴或 ∴，． 17. 已知四边形四边形，，，，，，．求的度数及的长． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据相似多边形的性质得到，，再利用四边形的内角和为和比例性质求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ，， ，． 18. 如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．依据是等边三角形，可得到，即可得到，再根据，可得到，即可求得的度数为． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 用一根长为的细绳，怎样围成一个面积为的矩形区域？并说明围法是否唯一？ 【答案】解：设矩形的一边长为，由矩形的周长为，可得此边的邻边为， 则可列方程， 解得：，， 用一根长为的细绳可以围成面积为的矩形，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为，. 【解析】 【分析】设矩形的一边长为，可得此边的邻边为，可列方程，进一步求解即可. 【详解】略 20. 如图，菱形的对角线与交于点，若，过点作于点，交于点．求证：． 【答案】证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据菱形的性质证明即可． 【详解】略 21. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理， （1）根据矩形的性质可得，根据等角的余角相等可得，即可证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）勾股定理求得，由（1）的比例式即可求解． 掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：由题意知，该方程有两个实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 由一元二次方程根与系数的关系，得，， ， 即， 解得：． 23. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 24. 商场某种新商品每件的进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为元时，每天可销售_______件商品，商场获得的日盈利是________元； （2）在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？ 【答案】（1）； （2）当每件商品的售价定为元时，商场日盈利可达到元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握一元二次方程方应用，根据题意，得到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，可得每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设每件商品的售价定为元，列出方程，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：∵当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件， ∴当每件商品售价定为元时，比每件商品销售高（元） ∴每天可销售（件），商场获得的日盈利为：（元）； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：设每件商品的售价定为元， ∴每件商品的利润为：元，每天销售的商品数量为：（件）， ∴， ∴， 解得：， ∴当每件商品的售价定为元时，商场日盈利可达到元． 25. 如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点． （1）求证：四边形OMPN是矩形； （2）连接AP，若，，求AP的长． 【答案】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点． ∴，． ∴四边形OMPN是平行四边形． ∵在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O， ∴． ∴四边形ONPN是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质即可证得结论； （2）由菱形的性质及已知可得△ABD是等边三角形，进而可得OA的长度，由中位线的性质可得PN及ON，从而可得AN，由矩形的性质及勾股定理即可求得AP的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形OMPN是矩形， ∴． ∵四边形ABCD是菱形， ∴，，AC平分∠BAD． ∵，， ∴△ABD是等边三角形． ∴BD=4． ∴，由勾股定理得：． ∴，． ∴． ∴在中,由勾股定理得:． 26. 如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． （1）求证：； （2）如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，然后再结合一组相等的直角即可证明； （2）先证明，再证明和，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ， 如图，设交于， 四边形是矩形， ，， ∴ ， ， ， ∴， ， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $