河南省部分重点中学2026～2027学年高二上学期10月测评数学试题

2026～2027学年高二10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线（斜率不为）交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 4．直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆，圆，若两圆的公切线恰有条，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，两直线，，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条平行直线和之间的距离小于，则实数的值可能为（ ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则， C．已知双曲线的左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是1 D．已知，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 11．已知抛物线（）的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于，两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（ ） A． B．线段的中点和线段的中点的连线与轴平行 C．以点，，，为顶点的四边形可能为等腰梯形 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则                  ． 13．过点作圆的切线，则切线方程为                  ． 14．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点，分别是以线段为直径的圆与椭圆在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆的离心率的取值范围为                  ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的顶点分别为，，，求： （1）直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程． 16．（本小题满分15分） 已知双曲线（，）的焦距为4，虚轴端点到焦点的距离为． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于，两点，若，求． 17．（本小题满分15分） 已知两点，，且动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 18．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直． 19．（本小题满分17分） 已知抛物线（）的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为，．证明：直线，的斜率之积为常数． 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年高二10月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 4 5 6 7 答案 D C A C C A C B 题号 10 11 答案 AC BC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】D 【解标】因为A3,一D,B(-3,5,所以经过A,B两点的直线斜率为二二)了 、=一1，所以其倾斜角为135°.故选D. 2.【答案C 【解标已知圆2+y了+Dx+十下=0的圆心为(-号，一-号)，则圆+了十4x-2y-4=0的圆心坐标 是（一2,1），故选C. 3.【答案】A 【解折】将椭圆C.0r+25y=25化为标准方程得：云+苦=1，心=25，=9，所以a=5,又因为△ABR的 周长=4a=4×5=20,故选A. 4.【答案C 【解析】圆心1,2》到直线-y十m=0的距离d=1-2十m=m二1，直线被圆截得的弦长为2V4- √2 √2 =25,则d=1,即m一1山=1，解得m=1士√2.故选C. √2 5.【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为y=士 x.故选C 6.【答案】A 【解析】因为C2是圆，所以a>0,因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切，因为C1(0,0),C2(3,4),r1= √9=3，r2=√a,所以|C1C2=3十√a,解得a=4,故选A. 7.【答案】C 【解折1由416得0+(-2》2-)=0，化简得a+2弘=4，日+号=子(a+20)(日+号)=（(5+2 )≥(5+2√②·)=号，当且仅当a=6=专时等号成立，故选C 8.【答案】B 【解析】因为MF2|:|NF2|=2:3,所以设|MF2|=2t,|NF2|=3t,则|MN|=5t,因为点N在y轴上，所以 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 1NF1|=|NF2|=3t,因为点M在第一象限，且在双曲线上，由双曲线定义得：|MF1|-|MF2|=2a,即 1MF,|=2a+2t,由MF.NF=0,所以MF⊥NF,所以1MF,2+1NFI2=IMNI2,即(2a+2)2+(3)2 =(5,解得1=a,所以MF,1=4a,MF,=2a,MN=5a,则cos∠FMF,=MN-号 MF 4 在△MF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|MF|2+|MF2|2-2MF|·|MF2|cos∠FMF2, 即4c=16d+4d-2X4aX2a×号-c,所以后-号，所以e=35,故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分！ 9.【答案】AC 【解析】直线1：x一y十1=0和2：x一y十m=0平行，则m≠1，两条平行直线间距离m二1山<2，解得 √2 -1<m<3且m≠1，故0和2符合要求.故选AC. 10.【答案】BC 【解析】因为直线a2x十y十2=0与直线x十ay-5=0互相垂直，所以a2+a=0,解得a=0或a=一1，故A 错误； >0 若直线l:ax十by十c=0经过第一象限、第二象限、第四象限，则 ,所以ac<0,bc<0,故B正确； a <0 b 由题意可知PF|mim=c-a=4一3=1，故C正确； 由椭圆的定义可知：|PF|+PF2|=2a=6,所以|PF|=6-PF2|,所以|PA-PF|=|PA+IPF2|一6， 也即求|PA+|PF2|的最小值，|PA|+|PF2|≥|AF2|,|AF2|=√(6-2)2+33=5，所以|PA|-|PF1 的最小值是5-6=一1，故D错误.故选BC. 11.【答案】ABD 【解析】由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得p=2,故A选项正确； 由直线AB的斜率为二”=义=4，可得直线OP的方程为y=4、,联立方程 x2一x1y2y1y2+y1 y2+y1 44 /y2=40 4 ,可得点P的坐标为 /y2+y1)2 4一，十)，可得线段OP和线段AB的中点的纵坐标都为 y= y2十y1 y2十少，故B选项正确； 2 画抛物线的性质有工三1y三二4，有2》-(4一8十4)=十。2，可得点P的坐标 4 (x1+x2-2,y2+y1),有|OB|=√/x+y,|AP|=√(x2-2)2+y=√x+y-4x2+4,又由x2≠1，可 得OB≠|AP|,故四点O,P,A,B为顶点的四边形不可能为等腰梯形，故C选项错误； 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 |OP|=√/(x1+x2-2)2+(y+y2)z=√x1十x号+2x1x2-4x1-4x2+4十y7+y+2yy2 =√/x1+x+2-4x1-4x2+4+4x1+4.x2-8=√/x1+x-2=/x1+x-2x1x2 =√(x1一x2)=|x2一x|,故D选项正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案号 【解析】：P在C上，故|PF|-|PF2川=2a=4,当点P在双曲线左支上时，PF|<|PF2|,∴.|PF2|=4 +号-号，PE=号>a十c=5,符合题意，当点P在双曲线右支上时，PF,>PF,PF,=号-4 -弓，此时PF,<c一a=1,不合题意，舍去，故PF,= 2 13.【答案】x=2或3x-4y+10=0 【解析】①直线的斜率不存在时，x=2满足，②直线的斜率存在时，设切线方程为y一4=k(x一2)，d= 26-=2>k=是y-4=(x-2).即：3x-40+10=0. k2+1 14.【答案)（停，] 【解析】设|PF=n,|PF2|=,由点P在第一象限，知m<n,因为P,Q在椭圆C和以F1F2为直径的圆 上，所以四边形PFQF2为矩形，QF|=PF2.由PF≤2QF,可得1<”≤2，由椭圆的定义可得m m 4c2 =m2+=+八」 十n=2a,m+m2=4c①，平方相减可得mn=2(a2-2）@,由①得2(a-c）=mn=元 令1只+只，令0=2∈1,21，所以1=+∈(2，号]，即2<20≤号，所以a-<≤ 4c2 n m m 号(a-),所以1-<e≤是(1-e)所以名<d≤8解得竖<<号 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)3.x-y=0(2)x+3y-3=0 【解析1(1)：A(1,3),B(-1,-3),k=-（- 3-(-3) =3,… 2分 由点斜式方程可得y-3=3(x一1)，… 3分 化为一般式可得3x一y=0;…… ………5分 (2)由(1)可知kAB=3, 故AB边上的高线所在直线的斜率为一令， …………7分 又AB边上的高线所在直线过点C(一3,2)，………………9分 所以方程为)一2=-号(x十3)， …11分 化为一般式可得x十3y-3=0.…13分 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 16.【答案11号--1(222四 9 【解析】(1)设C的焦距为2c,则2c=4,所以c=2,… 2分 虚轴端点到焦点的距离为√十c2=√2十(2)7=√5，解得b=1,…3分 所以a=2-b=√5，… ………………………………………………… 4分 所以C的标准方程为写-少=1：…5分 (2)由题设知1的斜率不为0，设直线l:x=my十1， x2 -y2=1, 联立 3 消去x可得(m2-3)y2十2my-2=0,…6分 x=my+1, △=(2m)2-4(-2)(m2-3)>0,解得m2>2且m2≠3， -2 设A(x1,y),B(x2y2),则y十y2= -2m m2-3y1y2= 8分 PA=3PB时，=3，……… 所以业+业=M十)2-2业=y十) -2=2m2 y1 y2 yiy2 yiy2 2323十3解得m2三2…72分 /105 所以161=开m1n一-√层V0一w= 24一2 m2-3 2√210 9 …15分 17.【答案】(1)x2+y2=2(2)x-y+√2=0或x+y十√2=0 【解析】(1)依题意设点P(x,y),因为M(2,0),N(1,0),…1分 且|PM=√2|PN|,则√(x-2)2十y=√2√(x-1)2十y,…4分 化简得x2十y2=2;… 5分 (2)由(1)可知，轨迹C是圆心为(0,0)，半径r=√2的圆，…6分 当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=一√2，圆心C(0,0)到直线AB的距离为√2， 此时AB=0,不满足题意；…8分 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=k(x十√2)，即k.x一y十√2k=0,…10分 当|AB|=2时，圆心P(0,0)到直线AB的距离d=√2-1严=1， …11分 即有d= 2k=1,解得=士1， 12分 R2+1 此时直线AB的方程为y=士(x十√2)，即为x一y十√2=0或x十y十√2=0，…14分 综上，直线AB的方程为x一y十√2=0或x十y十√2=0.…15分 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 18.【答案1)学+y-1(2)详见解析 a2=b2+c2 2b=2 【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c,由题意有： 3分 √3 a 解得a=2,b=1,c=√3， 4分 做椭圆C的标准方程为十y:…四 5分 (2)由(1)知，点A的坐标为（一2,0），点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0，-1)， 设点P的坐标为(m,m)(其中，m∈（2,0U0,2),有个十1，可得m十4m4,……7分 直线BD的方程为受十子=1，整理为y=分-1， 百线AD的方程为2士兰，整理为y=之I…心心…9分 直线AP的方程为y=m12x+2, y=- m+2(x+2) 联立方程 解待：以一0十级之放点M的横坐标为 2(m+2m+2) m-2n+2, …11分 1 y=2x-1, 直线BP的方程为y=”。 m-2x-2), y=n m-2（x-2), 联立方程 1 解得=铅专故点N的横坐标为222， m士20-2，…13分 y=- 2x1 又由m+2m+?-2m-m+2-（m+2n+2)(m+2n-2)+(m-2m+2)(m-2a-2) m-2n+2m+2n-2 (m-2n+2)(m+2n-2) =[(m+2)2-4]+[(m-2n)2-41 2m2+8n2-8 2(m2+4n2-4) (m-2n+2)(m+2n-2) （m-2n+2)(m+2n-2)(m-2n+2)(m+2m-2)=0, 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.…17分 19.【答案】(1)y2=8.x(2)()详见解析(i)详见解析 【解析】1)因为点N在抛物线E上，则NF=2+号=4，可得p=4,…2分 所以抛物线E的方程为y2=8x;………………………………3分 (2)(i)当抛物线上Q(xo,yo)处的切线斜率存在时，设其方程为y一y=k(x一xo),其中xo≠0， (y-yo=k(x-xo) 由 得ky2-8y十8y-8kx0=0,…4分 y2=8.x k≠0 由题意可得 ,可得k2x0-ky0十2=0，…5分 △=64-32k(y0-kx0)=0 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 即k26-8k%十16=0，所以(k一4)2=0，解得k=4 6分 所以切线方程为y一y= (zz0),即byE47=4,… 7分 即y0y=4x-4x0十y=4x-4.x0十8x0,即yoy=4x0十4x①；…8分 yy=4xo十4x即为E上Q(xo,yo)处的切线斜率存在时的方程； 当E上Q(x0,yo)处的切线斜率不存在时，即x=0时切线方程为x=0,符合①式. 所以E上Q(x0,yo)处的切线方程为y%y=4x0十4x;…10分 (ii)设A(x1,y1),B(2y2), 由(i)知A(x1,y1)点处的切线方程为y1y=4x1+4x②， B M B(x2,y2)点处的切线方程为y2y=4x2十4x③，…… 11分 4x1-ty1+16=0 将M(4,t)分别代入上面两式得 (4x2-ty2+16=0 所以点A,B的坐标均满足方程4x一ty十16=0，… 。e......。 13分 所以直线AB的方程为ty=4x十16， 由②③知直线MA,MB的斜率分别为太=生，km=4,则kM·B=16 ……15分 y y2 y1y2 ty=4x+16 由 得y2-2ty+32=0,则△=4t2-32×4>0,可得t>32, y2=8x 由韦达定理可得h为=32，则ka·km=16=号， y1y22’ 所以直线MA,MB的斜率之积为常数.…………17分 【高二数学参考答案第6页（共6页）】