精品解析：甘肃武威市凉州区武威第十九中学2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试卷

2026-2027学年第一学期期中测试卷 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 3. 若图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 5. 如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 2 7. 如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若，，则的长度为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 若△MNP≌△NMQ，且MN＝5cm，NP＝4cm，PM＝2cm，则MQ的长为 （ ） A. 5cm B. 4cm C. 2cm D. 3cm 10. 如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 二、填空题 11. 数一数，图中共有_____个三角形． 12. 如图，．时，的依据是______． 13. 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是___________ 14. 已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为______． 15. 在中，已知，则________． 16. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为____________． 17. 如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 18. 观察图中给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第10个点阵中的点的个数s为_________. 三、解答题 19. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）与关于轴对称，在图中画出； （2）写出，，的坐标，______，______，______； （3）若点关于轴的对称点为，则的坐标是______； （4）求的面积． 20. 如图，在中，．求x的值． 21. 如图，，，垂足分别为C，D，． （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 23. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 25. 如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 26. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 27. 阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． （1）如图，在中，是边上的中线．求证：． （2）利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中测试卷 八年级数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形的定义得： A、B、D选项的图形是轴对称图形，C选项图形不是轴对称图形. 2. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 3. 若图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质，可得， 故选：A 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 4. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 5. 如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质． 作于点，由角平分线的性质，可得，即可得点到 的距离． 【详解】解：作于点， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点到 的距离为． 故选：D． 6. 如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】在和， ， ， ． 故选：B． 7. 如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，三角形内角和定理，根据已知条件得出，再求出的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，，若，，则的长度为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 9. 若△MNP≌△NMQ，且MN＝5cm，NP＝4cm，PM＝2cm，则MQ的长为 （ ） A. 5cm B. 4cm C. 2cm D. 3cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等得出MQ=NP即可． 【详解】解：∵△MNP≌△NMQ，NP=4cm， ∴MQ=NP=4cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能正确运用全等三角形的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 10. 如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，则可得到当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即为12， 故选：C． 二、填空题 11. 数一数，图中共有_____个三角形． 【答案】 【解析】 【分析】直接数出三角形的个数即可得解，本题考查图形计数，解本题的关键是掌握数三角形的方法． 【详解】解：图中共有三角形（个）． 故答案为：． 12. 如图，．时，的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ， 故答案为：． 13. 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案． 【详解】解：作于点， 射线是的角平分线， ，， ， 的面积． 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】14或16 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题方法是需分情况讨论腰长和底边长，再依据三角形三边的关系验证能否构成三角形． 分两种情况讨论：当腰长为4时和当腰长为6时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求周长即可． 【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6， ， 能构成三角形，周长为； 当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4， ∵， 能构成三角形，周长为． 故答案为：14或16． 15. 在中，已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用三角形内角和定理，设未知数列方程求解． 【详解】解：设，则，． 根据三角形内角和定理，得， 解得：， 故， 故答案为：． 16. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为____________． 【答案】##31度 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 17. 如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 18. 观察图中给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第10个点阵中的点的个数s为_________. 【答案】37 【解析】 【分析】观察图形中点的排列规律得到，第1个点阵中的点的个数s=1，第2个点阵中的点的个数s=1+4，第3个点阵中的点的个数s=1+4×2=9，第4个点阵中的点的个数s=1+4×3=13， …，则第n个点阵中的点的个数s=1+4n，然后把n=10代入计算即可． 【详解】∵第1个点阵中的点的个数s=1， 第2个点阵中的点的个数s=1+4， 第3个点阵中的点的个数s=1+4×2=9， 第4个点阵中的点的个数s=1+4×3=13， … ∴第10个点阵中的点的个数s=1+4×9=37． 故选D． 【点睛】本题考查了规律型图形的变化，运用了从特殊到一般的数学思想． 三、解答题 19. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）与关于轴对称，在图中画出； （2）写出，，的坐标，______，______，______； （3）若点关于轴的对称点为，则的坐标是______； （4）求的面积． 【答案】（1） 解：画图如下； （2）；； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标及图形的轴对称变换，三角形面积的计算；对称点的坐标变化规律：关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；求格点三角形面积时，割补法是常用技巧，将三角形置于规则图形内，用规则图形面积减去多余部分的面积． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，连线即可； （2）根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （3）利用关于轴对称的性质求解即可； （4）利用割补法将置于边长为的正方形内，利用正方形的面积减去多余的直角三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数， 点关于轴的对称点为的坐标为； 故答案为：； 【小问4详解】 将置于边长为的正方形内，正方形的面积为， 周围多余的三个直角三角形的面积和为， 的面积为． 20. 如图，在中，．求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， ∵， ∴， ∴，即． 21. 如图，，，垂足分别为C，D，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可得出； （2）由，对应角相等，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是和的外角， ， ． 24. 已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边去掉绝对值符号，再合并同类项即可得到答案． （2）根据三角形三边关系及题意得出或7，然后求周长即可． 【小问1详解】 解：三角形的三边长分别为，，， ，， ． 【小问2详解】 解：，， ，即． 为最长边且为整数， ， 或， 三角形的周长为或． 答：三角形的周长为或． 25. 如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】 分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段AB的垂直平分线上，再利用尺规作线段AB的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键. 26. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】（1） （2） 解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； 【小问2详解】 略 27. 阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． （1）如图，在中，是边上的中线．求证：． （2）利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【答案】（1）证明：过点A作，垂足为E，如图： 由图可得，，． ∵是边上的中线， ∴． ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为E，分别表示出，，再利用中线的性质求解即可； （2）利用已知结论可以先后求出，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D为的中点， ∴． ∵E为的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $