专题08 期中复习压轴十九大题型突破-2026-2027学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题（浙教版）
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内容正文：
专题08 期中复习压轴十九大题型突破
选择题
【题型 1】全等三角形多结论问题
【题型 2】等腰三角形多解分类讨论
【题型 3】角度综合
【题型 4】勾股定理 + 折叠问题
【题型 5】不等式（组）含参、整数解个数问题
【题型 6】最短路径
填空题
【题型 7】等腰三角形存在性
【题型 8】折叠 + 勾股、多解填空
【题型 9】不等式组整数解、参数范围
【题型 10】特殊三角形面积、最值
【题型 11】阅读新定义-三角形
解答题
【题型 12】一元一次不等式（组）应用题
【题型 13】全等三角形手拉手综合压轴
【题型 14】勾股方程综合大题
【题型 15】将军饮马 + 最短路径综合
【题型 16】动点几何压轴
【题型 17】倍长中线法综合
【题型 18】半角模型综合
【题型 19】截长补短综合
选择题
【题型 1】全等三角形多结论问题
1．如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，由等腰三角形的性质即可判断①；根据D为中点，得到垂直平分，即可得到，结合，即可得到，从而得到，，即可判断②，结合内外角关系即可判断③，作P关于的对称点，证明即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴，故①正确；
连接，延长交于，
∵D为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，故②正确，
由②得，，
∵，
∴为等边三角形，故③正确，
作P关于的对称点，连接，如图所示
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵P关于的对称点是，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
2．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理判定①；利用证明两个三角形全等，判定②；根据结合全等判定③；根据③中结论求出即可判定④．
【详解】解：，
，
，
，①故正确；
，
，
，即，
，
，故②正确；
，即，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④错误，
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
3．如图，在△OAB和△OCD中，，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①；②；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【答案】B
【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
∴，
，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
4．如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【分析】根据题意可证明，可判断①，根据全等三角形的性质得，，，从而可证，根据全等三角形的性质得，，可判断②，若，，等量代换即可求出，可判断③，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
【详解】解：∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
，
，
在与中，
，
，故①正确；
，，
，
，
在与中，
，
，
，故②正确；
若，，
，
，故③正确；
，
，故④错误．
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【题型 2】等腰三角形多解分类讨论
5．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边边长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，，能够组成三角形；
当是等腰三角形的腰时，则其底边是，，能够组成三角形．
故该等腰三角形的底边长为：或．
6．若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】B
【分析】题目未明确等腰三角形的腰与底，需分类讨论腰长，结合三角形三边关系排除不能构成三角形的情况后计算周长即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，，三边长能构成三角形，
∴周长为；
当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，，
∵，
此情况的三边长不能构成三角形，舍去．
7．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】B
【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系.
【详解】解：当为腰长时，底边长为，
∵，不能构成三角形，
∴此情况不成立；
当为底边长时，腰长为，
∵，能构成三角形，
∴腰长为.
8．若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论．
【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论：
情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为，
∵，不满足三角形三边关系，
∴此情况不成立，舍去；
情况2：若为底，则两腰长相等，
∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系，
∵，
∴的边长与对应相等，
∴必有一条边等于或，
综上，必有一条边等于或，没有一条边等于，
故选项A符合题意．
【题型 3】角度综合
9．如图，在中，，，且．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形内角和求得，根据题意可得，再利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，，
∴，
在中，．
10．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，求出，，再利用平角求解即可．
【详解】解：，
，
，，
，
．
11．如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理并结合折叠的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵在三角形纸片中，，，
∴，
如图：
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴．
12．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，利平行线的性质和三角形内角和定理分别求解，即可得到答案．
【详解】解：由三角板的性质可知，，，，，
分三种情况讨论：
①如图1，当时，与交于点F，
，
，
；
②如图2，当时，
；
③如图3，当时，
，
；
综上可知，的度数为或或，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
13．如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，求得,进而发现规律，即可求得的度数．
【详解】
，分别平分，；
同理可得
……
发现规律：
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，发现规律是解题的关键．
【题型 4】勾股定理 + 折叠问题
14．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解．
【详解】解：由折叠的性质可知．
设，则，
．
在中，，
由勾股定理得，
即，
解得，
．
15．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得，
即，
故选：A．
16．如图，中，，，，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据折叠得出，然后在中，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可．
【详解】解：设，
∵折叠，，
∴，
∵D为的中点，，
∴，
在中，，，，，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
17．如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键．
先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（）的面积．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
【题型 5】不等式（组）含参、整数解个数问题
18．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有6个，即可得出a的取值范围是．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得，
∵不等式组的整数解共有6个，
∴整数解为，
∴．
19．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出第一个不等式的解集，再根据即可确定的取值范围．
【详解】解：，
解不等式，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，
∵不等式组的解集为，
∴．
20．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组有解的条件，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定a的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
故选：D．
21．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关键．
根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数的个数．
【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果，
∴第一次运行结果，第二次运行结果，
即，
解，得，
解，得，
∴不等式组的解集为，
则符合条件的整数为、、、、，共个，
故选：B．
【题型 6】最短路径
22．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键
将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度；
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，
则四边形是矩形，
∴，，
连接，则即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴，，
在中，．
故选B．
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．
根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，再利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：如图：
可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
24．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（ ）
A．12 B．19 C．24 D．48
【答案】A
【分析】本题考查了三线合一 ，中垂线的性质与判定，垂线段最短，作，根据等腰三角形三线合一的性质，与垂直平分线的性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：连接，作，垂足为，连接，
∵，是边的中线，
∴，，
∴是的中垂线，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长
∵的最小值为，
∴，
∴，
故选：A．
25．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，
∵平分，，，
∴，
∴，此时取最小值．
∵的面积为18，，
∴，
∴．
即的最小值为6，
故选：B．
填空题
【题型 7】等腰三角形存在性
26．如图，线段的一个端点在直线上，直线上存在点，使为等腰三角形，这样的点有______个．
【答案】4
【分析】根据等腰三角形的判定，有两边相等的三角形是等腰三角形，线段可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论．
【详解】解：当为腰长时，存在3个等腰三角形，如图
当为底边时，存在1个等腰三角形，如图
所以题中共有4个点使其为等腰三角形
故答案为：4
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形，此题难度不大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
27．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点．
根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解．
【详解】解：为等腰三角形，
以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
作的垂直平分线，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
28．如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有_________个．
【答案】8
【分析】分为两种情况：①以AB为底时，②以AB为腰时，想象画出图形，即可得出答案．
【详解】解：连接AB，
分为两种情况：
①以AB为底时，作AB的垂直平分线分别交两直线于一点，此时符合的有两个点 ；
②以AB为腰时，第一种情况：以B为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共2个（A点除外），
第二中情况：以A为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共4个，
即满足条件的有(个)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，分情况讨论才能做到不重不漏是解题的关键．
29．点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ________．
【答案】或或或或
【分析】分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：①对于，当为顶角时，则，
∴，
∵点D在的边上，
∴，
∵，
∴，故，
（Ⅰ）在中，若，则，
设，则，
∴，
∴，，
当时，则，解得，
∴，不符合题意；
当时，则，
解得，
∴，不符合题意；
（Ⅱ）在中，若，
在中，当时，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴；
在中，当时，
设，此时，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
②对于，当为底角，时，
（Ⅰ）在中，当时，
若在中，当时，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
若在中，时，
∴，
设，则，
，
∵，
∴，
∴，不符合题意；
（Ⅱ）在中，当时，
若在中，当时，
∴，
∵
∴；
若在中，时，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴解得，
∴；
③对于，当为底角，时,
（Ⅰ）在中，当时，
若在中，当时，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴；
若在中，时，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，不符合题意；
若在中，时，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，不符合题意；
（Ⅱ）在中，当时，
若在中，当时，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
若在中，当时，
∴，
设，则，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，不符合题意；
若在中，时，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上：的度数为或或或或．
【题型 8】折叠 + 勾股、多解填空
30．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为_______．
【答案】或5
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．
由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，，
∴或，
由题意，得，
如图1，当时，
在中，由勾股定理，得：，
，
，
；
②如图2，当时，
在中，由勾股定理，得：，
，
，
．
综上所述，线段的长为或5．
故答案为：或5．
31．如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为______．
【答案】或
【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，由翻折得，，分三种情况：①当点在边上，且（即）时；②当点在的延长线上，且（即）时；③当点在的延长线上，且（即）时，分别根据勾股定理求出的长，再求出的长即可
【详解】解：由翻折得，，分三种情况：
①当点在边上，且（即）时，
，
由勾股定理得，，
即，
，
，
；
②当点在的延长线上，且（即）时，同理得，
，
；
③当点在的延长线上，且（即）时，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，
，
，此时点不在边上，不符合题意，舍去，
综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，．
故答案为：，．
【题型 9】不等式组整数解、参数范围
32．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】把方程组两式相加，得出．然后由得出，即可求出m的取值范围．
【详解】解：
②：，
，
∵，
∴，
∴．
33．若关于的不等式的正整数解共有个，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先求解不等式得到的解集，再根据正整数解的个数确定的范围，进而得到的取值范围．
【详解】解：，
，
，
∵不等式的正整数解共有个，
∴正整数解为，，，
∴，
∴．
34．已知关于的方程的解为非负整数，则所有满足条件的非负整数为___________．
【答案】和
【分析】整理方程得到关于的表达式，根据是非负整数、是非负整数，确定的取值．
【详解】解：
∵为非负整数，
∴，即，
∴符合条件的非负整数为和．
验证得时，时，均满足条件．
35．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______．
【答案】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组有且只有五个整数解，得出，最后解出k的取值范围．
【详解】解：解不等式得，
解不等式，得：，
∵不等式组有且只有5个整数解，
即，
∴，
解得．
36．已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据“只有1个负整数解”的条件确定的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组有且只有个负整数解，
∴原不等式组的负整数解为，
∴．
37．已知方程的解是正数，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先解一元一次方程得到用含a表示的解，再根据方程的解是正数列不等式，求解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】解：，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为，得，
方程的解是正数，
，即，
解得．
【题型 10】特殊三角形面积、最值
38．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________．
【答案】2
【分析】连接，证明，当时，求得的最小值，据此即可求得的面积的最大值．
【详解】解：如图，连接，
∵为等腰直角三角形，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，，即：，
在与中，，
∴，
∴．
即：．
∵，
∴当时，的最小值，
故：的最大值．
39．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；则在运动过程中△DEF面积的最小值为___．
【答案】
【分析】连结DC，过D作DH⊥AC于H，DG⊥BC与G，连结HG，根据△ABC为等腰直角三角形，可得AC=BC，∠A=∠B=，由点D是AB的中点，AC=BC，根据等腰三角形三线合一性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=，可得CD=BD，利用等线段之差可得CE=AC-AE=CB-CF=BF，可证△CED≌△BFD（SAS），得出△EDF为等腰直角三角形，S△EDF=，在运动过程中要使△DEF面积的最小必需满足ED最短，求出最短距离HD=AH=3即可．
【详解】解：连结DC，过D作DH⊥AC于H，DG⊥BC与G，连结HG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=，
∵点D是AB的中点，AC=BC，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=，
∴∠DCB=∠DBC=45°=∠ACD，
∴CD=BD，
∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=AC-AE=CB-CF=BF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（SAS），
∴ED=FD，
∵∠CDF+∠FDB=∠CDF+∠EDC=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形，
∴S△EDF=，
在运动过程中要使△DEF面积的最小必需满足ED最短，
∵点E在射线AC上，DE是直线上的点E与直线外一点D连线，点D到直线AC的距离最短，
∵∠A=∠ACD=45°，
∴AD=CD,
∴DH平分∠ADC，AH=CH=3，
∴∠ADH=∠CDH=45°=∠A，
∴HD=AH=3，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积是解题关键．
40．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为__________．
【答案】/12.5
【分析】根据直角三角形的性质，可得，从而得到当OB⊥OD时，△OBD面积的最大，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=10，O为AC中点，
∴，
∴OB=OD，
∴当OB⊥OD时，△OBD面积的最大，
∴△OBD面积的最大值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
【题型 11】阅读新定义-三角形
41．定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”．在中，，点P为直线上一点，若为“反直角三角形”，且，则的度数为__________．
【答案】或或
【分析】根据三角形内角和定理求出，然后分四种情况进行讨论，利用三角形的内角和定理以及三角形外角定理进行求解．
【详解】解：∵，
∴．
①如图所示，当时，
又∵，
解得，
∴；
②如图所示，当时，
∴，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
③如图所示，当时，
∴，
∴，
∴；
④如图所示，当时，
又∵，
解得，
∴；
综上，的度数为或或．
42．定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为______．
【答案】或或
【分析】先设出善美角，再利用题中的定义分类讨论即可．
【详解】解：设善美角的度数为，
则，或，或，
∴或或，
故答案为或或．
【点睛】本题为新定义题型，涉及到了三角形的内角和定理和一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，分类讨论并正确计算．
43．定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______
【答案】或或
【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
分三种情况讨论，
如图，当点P在延长线上，，则，
此时，
即，
∴①，
∵②，
由，可得，
∴；
如图，当点P在延长线上，时，则，
此时，即，
∴③，
∵④，
∴得，
∴；
如图，当点P在线段上时，，，
∴，
∴此时；
综上所述，的所有可能的度数为或或．
故答案为：或或．
44．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是_____．
【答案】或
【分析】根据新定义分三种情况：①当99°的内角是另一个角的两倍时，直接可得α的度数；②当一个内角α是的两倍时，不符合三角形的内角和关系，舍去；③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，列方程得到，求解即可．
【详解】解：分三种情况：
①当99°的内角是另一个角的两倍时，倍角α的度数是；
②当一个内角α是的两倍时，则，不符合三角形的内角和关系，故舍去；
③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，得到，得α=，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，新定义计算，一元一次方程，正确理解新定义并列式计算是解题的关键．
解答题
【题型 12】一元一次不等式（组）应用题
45．有下列两种移动电话计费方法：
月使用费元
主叫限定时间
主叫超时费（元
被叫
套餐
免费
套餐
免费
（月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费）
(1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元．
(2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间．
(3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱．
【答案】(1)
(2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等
(3)当，选择套餐省钱
【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键．
（1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可；
（2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可；
（3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可．
【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：，
当时，
（元，
故答案为：；
（2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，
当两位老师的费用都是元时，根据题意得：
，
解得：；
当两位老师的费用超过元时，根据题意得：
，
解得．
故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等．
（3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，
根据（2）解答得：
时，套餐便宜，
此时；
当时，套餐便宜，
此时；
故当，选择套餐省钱．
46．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素
材
一
学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与．
素
材
二
某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．
1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根
2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子．
3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！
素
材
三
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任
务
一
分析雪花模型结构
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任
务
二
确定采购费用
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任
务
三
拟定采购方案
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式．
任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可；
任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得：
，
解得：，
，，
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；
任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根；
∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：
（元）；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得：
，
解得：，
∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
∴，
解得：，
∵m必须能被3整除，
∴，，264，267，
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买258根长管子，2130根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买261根长管子，2125根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴购买264根长管子，2120根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买267根长管子，2115根短管子；
∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
∴长管子数越多制作的雪花模型越多，
∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
47．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案．
(3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元
(2)方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶；方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶；方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶．
(3)这批消毒液最多可使用5天
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共6000ml，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案．
（3）设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液，利用使用时间=购买免洗手消毒液的总量÷（全校师生人数×10），即可得出w关于m的关系式，再利用性质及m，均为正整数，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元．
依题意得：
解得：
答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元．
（2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量500ml的两种空瓶．
依题意得：
∴
又∵a、b均为正整数
∴
∴共有3种购买方案
方案1：购买15个最大容量300ml的空瓶， 3个最大容量500ml的两种空瓶．
方案2：购买10个最大容量300ml的空瓶， 6个最大容量500ml的两种空瓶．
方案3：购买:5个最大容量300ml的空瓶， 9个最大容量500ml的两种空瓶．
（3）解：设购买m瓶甲种免洗手消毒液，购买的这些消毒液可使用w天，则购买乙种免洗手消毒液．
依题意得：
∵
∴w随m的增大而减小
又∵m，均为正整数
∴当时，w取得最大值，最大值=
答：这批消毒液最多可使用5天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
48．“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备采购名人传记和故事会两类图书，经了解，本名人传记和本故事会共需元，本名人传记与本故事会的费用一样（注：每本名人传记的单价相同，每本故事会的单价相同）．
(1)求每本名人传记和故事会各多少元？
(2)若学校要求购买名人传记比故事会多本，故事会和名人传记总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在（2）的条件下，若学校实际购买时，名人传记单价上调元/本，故事会单价下调元/本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值是________．
【答案】(1)每本名人传记元，每本故事会元
(2)共有种购书方案，分别为：
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本．
(3)
【分析】（1）设每本名人传记元，每本故事会元，根题意列方程组即可求解；
（2）设购买故事会本，则购买名人传记本，根据题意列不等式组，即可求解；
（3）根据题意得，由，，，可得当时，费用最少，即可求解．
【详解】（1）解：设每本名人传记元，每本故事会元，
根据题意可得，
解得，
答：每本名人传记元，每本故事会元；
（2）解：设购买故事会本，则购买名人传记本，
根据题意得，
解得，
共有种购书方案，分别为：
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
方案：购买故事会本，名人传记本；
（3）调价后，名人传记的单价为元，故事会的单价为元，
根据题意得买两种书的总费用为：，
，，，
当时，费用最少，
，
解得．
【题型 13】全等三角形手拉手综合压轴
49．某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：；
(2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数．
【答案】(1)
证明：分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定、三角形内角和定理的应用，准确识图，正确使用相关定理是正确解答此题的关键．
（1）根据等腰直角和等腰直角， ，只要证明，即可解决问题；
（2）同法证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设与交于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
．
50．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ；
(2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数．
【答案】(1)，
(2)
且，
理由如下：∵，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
综上所述：且．
(3)，
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论；
（3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是．
故答案为：，；
（2）略
（3）和都为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
，，
∴
，
∴．
51．阅读下列材料完成下列问题
两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则．
【基础巩固】
（1）请证明图1的结论成立；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点；
①求的度数．②若，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________．
【答案】
（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）①；
②2；
（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据即可证明；
（2）①首先由得到，进而可求出；
②由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可；
（3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可．
【详解】（1）略
（2）①
，
，
在和中，
，
，
，
；
②作于点，如图所示：
，
，
∵若点为中点，
∴，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，证明如下：
如图，延长到P，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
52．【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组：和是等腰直角三角形，．
连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了．
二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在和中，，连接．
则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______；
【变式拓展】
（3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长．
【答案】
（1）证明：和是等边三角形，
，
，即，
，
设与相交于点，则，
；
（2）（或相等），或；
（3）把绕点按逆时针方向旋转得（或旋转），连接；
（4）2
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质等知识：
（1）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）由（2）知，结合旋转可得出结论；
（4）延长到使，连接，证明得，得，进一步证明，再证明即可得出结论
【详解】（1）略
（2）（或相等），或
延长交于点F，设交于点G，
∵，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴，
即直线与直线的夹角为或；
故答案为：（或相等），或；
（3）把绕点按逆时针方向旋转得（或旋转），连接．
故答案为：把绕点A按逆时针方向旋转得（或旋转），连接．
（4）证明：延长到使，连接．
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【题型 14】勾股方程综合大题
53．在中，，为的中点，连接．
(1)如图1，若，．
①则______．
②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值．
(2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若．
①请探究，，之间的数量关系，并说明理由．
②当，，时，则______．
【答案】(1)①5；②
(2)
①；理由如下：
延长至，使，连接，，
，，
RR，
，，
，
又，，
，
在△中，，
即；
②
【分析】（1）①先利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得解；②利用等腰三角形三线合一即可得解；
（2）①延长至，使，连接，，易证，可得，可得，再结合勾股定理即可得解．
②设，由②结论可知，在△中，，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：①在△中，，，
为的中点，
，
故答案为：5；
②，平分，
，
同理得，
在△中，；
（2）解：①略
②设，则，，
，
，
在△中，，
由①结论可知，
，
解得，
；
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题．
54．如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（）
(1)当点和点重合时，求线段的长；
(2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由；
(3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图2，过点作于点，
．
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
是等腰直角三角形；
(3)当点恰好落在边上时，的值为、、
【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得；
（2）过点作于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形；
（3）分三种情况：①当点在上；②当点在上；③当点在上，分别利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图1，
四边形是矩形，
，
，
四边形ABEQ是矩形，
当点和点重合时，，，
在中，，
故答案为：；
（2）略
（3）解：①当点在上时，如图3，
由题意得，，，
在中，，
，
，，，
在中，，，
解得：；
②当点在上时，且重合时，如图4，
由题意得，，，
在中，，
，
解得；
③当点在上时，且重合时，如图5，
当点在上时，此时在上．
过点作，此时，
，，
由轴对称得，，
在中，，
，
解得；
综上所述，当点恰好落在边上时，的值为、、．（直接写出答案即可）
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
55．如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得．
(1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：；
(2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度；
(3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积．
【答案】(1)
由折叠性质可得，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)；
(3)．
【分析】（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证；
（）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解；
（）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由折叠性质可得，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
由勾股定理可得，；
（3）解：延长交于点，过点，作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，重合，即三点共线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
则在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，图形的变换——折叠，平行线的判定，直角三角形的判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质和判定，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
56．如图，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．
(1)如图1，试说明；
(2)如图2，若，，，求的面积．
【答案】(1)
证明：延长至点，使得，连接，，
，，
垂直平分，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，
；
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键．
（1）延长至点，使得，连接，，易证和，可得，，即可求得，根据勾股定理即可解题；
（2）连接，易证，即可证明，可得，，，再根据的面积，即可解题．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
，是中点，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
的面积．
57．如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)不改变，
【分析】(1)证，即可得出；
(2)过O分别作于M点，作于N点，证，得出，得出平分，即可得出结论；
(3)连接，由等腰直角三角形的性质得，，，则，证出，证，得，进而得出答案．
【详解】（1）解 : ，
，
，
，
在 和中，
，
；
（2）解：过O分别作于点M点，作于点N，如图 所示：
在四边形中，，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：
如图：连接，
，，D为的中点，
，，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
【题型 15】将军饮马 + 最短路径综合
58．综合与实践
【问题提出】
如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
【解决问题】
如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小．
【学以致用】
(1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值；
(2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值．
【答案】(1)周长的最小值为
(2)的最小值为7
【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值．
（1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，
，为边中点，
，，
，
，
．
是的垂直平分线，
．
，
当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4．
为中点，
．
．
周长的最小值为；
（2）解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小．
是等边三角形，是边上的高，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
是等边三角形，边长为10，
．
，
，
，
，
．
又，
，
．
是等边三角形，
，
∴是等边三角形．
，
的最小值为7．
59．【初步感知】
(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；
【类比探究】
(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：
①与的位置关系为：________；
②线段、、之间的数量关系为：________；
【拓展应用】
(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
证明：∵和是等边三角形，
∴，，
，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
(2) 平行
(3)有最小值，5
【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；
（2）①由（1）得，得出，，，则；
②因为，，所以；
（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．
【详解】（1）
（2）有最小值，理由如下：
如图，在射线上取一点，使得，连接，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形内角和为，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即点E在的角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
，
∴，
则，
由三角形三边关系可知，，
即当点E与点C重合，时，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值为5．
【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
60．已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
【答案】（1）①50°；②105°或127.5°；（2）3．
【分析】（1）①由题意利用翻折变换的性质求出∠DEB，可得结论；
②根据题意分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出∠DEB即可；
（2）根据题意连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．证明△DCM≌△NTD（AAS），推出CD＝NT＝3，推出点N在直线l上运动，由C，Q关于直线l对称，推出NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，根据CN+BN＝NQ+BN≥BQ，求出BQ，可得结论．
【详解】解：（1）当∠B′EA＝20°时，
由翻折的性质可知，∠DEB＝∠DEB′＝ [360°﹣（180°﹣20°）]＝100°，
∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；
（2）当HB′＝HE时，∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°，
∴∠DEB＝∠DEB＝ [360°﹣（180°﹣30°）]＝105°；
当B′H＝B′E时，∠AEB′＝∠B′HE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝ [360°﹣（180°﹣75°）]＝127.5°，
当EB′＝HE时，∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝ [360°﹣（180°﹣120°）]＝150°（舍弃），
综上所述，∠DEB为105°或127.5°；
（3）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，NT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．
∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°，
∴∠CDM+∠TDN＝90°，∠TDN+∠TND＝90°，
∴∠CDM＝∠DNT，
在△DCM和△NTD中，
，
∴△DCM≌△NTD（AAS），
∴CD＝NT＝3，
∴点N在直线l上运动，
∵C，Q关于直线l对称，
∴NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，
∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ，
∵BQ＝＝＝3，
∴CN+BN≥3，
∴CN+BN的最小值为3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换和三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质以及两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
【题型 16】动点几何压轴
61．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)若点运动到的中点时，的值为_______；
(2)若，求的长；
(3)当为直角三角形时，求的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)2或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解．
（2）由题知当时，，，在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长．
（3）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
若点运动到的中点，则，
则．
（2）解：由题知，
如图，当时，，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
（3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即；
如图②，当为直角时，，，
在中，，
在中，， 即，
解得 ．
故或时，为直角三角形．
62．如图，已知在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，设出发的时间为秒．
(1)出发1秒后，求的长；
(2)出发几秒钟后，的面积等于3？
(3)当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)出发2秒钟或6.5秒钟后，的面积等于3
(3)或6或6.5或5.4时，为等腰三角形
【分析】本题考查的是动点和直角三角形，熟练掌握勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形性质，路程与速度和时间的关系，分类讨论，是解题的关键．
（1）根据P点速度和运动时间求出长，再根据勾股定理计算，即可得到答案；
（2）①当在上时，设秒后，的面积等于3，可得，求得； ②当在上时，由，可得，求得，可得；
（3）①当在上、时，得；②当在上、时，，得；③当在上，时，可得，得；④当在上，时，过点作于，则，运用三角形面积求得，勾股定理求得，得：．
【详解】（1）解：在中，， ，
点速度为1，
出发1秒后，，
由勾股定理得：；
（2）解：①当在上时，设秒后，的面积等于3，
，
，
解得：，
②当在时，如图，
∵，
，
由，可得：，
解得：，
，
，
，
综上：出发2秒钟或6.5秒钟后，的面积等于3；
（3）①当在上、时，；
②当在上、时，，则；
③当在上，时，如图，
，
，
，
，
，
，
；
④当在上，时，如图，
过点作于，
则，
，
解得：，
，
，
解得：，
综上可得：或6或6.5或5.4时，为等腰三角形．
63．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．
(1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示）
(2)如图①当t为多少时，的面积等于；
(3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
【答案】(1)；
(2)或
(3)点的运动速度为或或或
【分析】（1）根据点P的运动速度求出，即可；
（2）分两种情况：当点P在上时，当点P在上时，分别画出图形，根据三角形面积公式，列出方程，求出结果即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，．
（2）解：当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
当点P在上时，如图所示：
，
解得：；
综上分析可知：当或时，的面积等于；
（3）解：设点的运动速度为，
∵点在边上，点在边上，
∴
∴，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
④当点在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为
∴，
解得：；
∴点的运动速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，勾股定理，列代数式，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
64．如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，
【分析】（1）证△，即可得出；
（2）过O分别作于M点，作于N点，证，得出．得出平分，即可得出结论；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，则，证出．证，得，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图1所示：
在四边形中，，
∴．
在与中，
，
∴
∴．
∵，
∴平分，
∴；
（3）解：的值不发生改变，等于．理由如下：
连接，如图2所示：
∵，D为的中点，
∴
∴，
∴．
∵，
即，
∴．
在和中，
，
∴△
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
65．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为．
(1)______（用含的代数式表示）；
(2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值；
(3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值．
【答案】(1)
(2)t的值为
(3)当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形
【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出；
（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值；
【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒，
∴，
∵，
∴；
（2）解：点Q从B向C运动，速度为，
故Q在上时，运动时间满足，
当是等腰三角形时，，则，
∵，
∴，
解得：，
∴是等腰三角形时，t的值为；
（3）解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图：
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
已知点Q的速度为，
∴；
当是以为底边的等腰三角形时，，如图：
∴，
∴，
综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形．
66．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填大或小）；
（2）当DC= 时，△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA的度数．
【答案】（1），，小；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据平角的定义可得，
， 的变化情况需要分类讨论，通过图象可知其变化规律为先变大再变小；
（2）利用判定定理可解答；
（3）已知是等腰三角形，分三种情况讨论，再利用外角的性质可解得答案．
【详解】
解：（1）当时，，
在中，，
点从向运动时，的变化需要分情况讨论，
过点作于，
由已知可得，且
即
当点从向运动过程中，在逐渐变小，如图，
∴逐渐变小，
故答案为：，，小；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，
可以利用证明，
故答案为：；
（3）在点D的运动过程中，若是等腰三角形，
①时，且
∴，
∵，
∴．
②时，且，
∴，
∴，
③∵，
∴，
∴，
综上若是等腰三角形，或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的外角的性质，利用外角的性质倒角，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键；其中的变化情况需要分类讨论，此为易错点．
【题型 17】倍长中线法综合
67．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：
例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．
证明：∵（已知），
∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，
∵，
∴（ ）
∴（ ）
（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1），全等三角形的对应边相等；
（2）；
（3）结论：．
理由：如图②中，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点；
（1）根据前后逻辑关系填空即可；
（2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．
（3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵（已知），
∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，
∵，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）;
故答案为：，全等三角形的对应边相等；
（2）延长到，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：；
（3）略
68．【方法呈现】：如图①，中，为中线，已知，求中线长的取值范围．解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，连结，则易证，得，则可得，从而可得中线长的取值范围是______．
【探究应用】（1）如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（2）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，请直接写出之间的数量关系，不需要证明．
【答案】方法呈现：；探究应用：（1），证明见解析；（2）
【分析】方法呈现：
由已知得出，即，据此可得答案；
探究应用：
（1）如图②，延长交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案；
（2）如图③，延长交于点G，同（2）可得：，据此知 ，继而得出答案．
【详解】方法呈现：
由题意知，即，
∴，
故答案为：；
探究应用：
（1），
证明：如图②，延长交于点F，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2），
证明：如图③，延长交于点G，
同（1）可得：，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点．
69．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出 ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
(1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程；
(2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中：
A． B． C． D．
直接写出所有正确选项的序号是 ．
(3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：．
【答案】(1)
(2)B、C
(3)
证明：如下图③中，延长到J，使得，连接，
同法可证，
，
，
，
与互补，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【分析】（1）如图①中，延长至点E，使，证明 ，得，再利用三角形的三边关系，可得结论；
（2）如图2中，延长至F，使，证明，即可判断；
（3）如图3中，延长到J，使得，连接，证明 ，推出，可得结论．
【详解】（1）解：解：如图①中，延长至点E，使，
在和，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如下图2中，延长至F，使，
由（1）得，，
，
，
点B为的中点，
，
，
，
，
又，
，
，，
故B、C正确；
（3）略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等．
70．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试
（1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形．
理解运用
（2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长．
综合应用
（3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题：
①的度数为 ；
②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程．
【答案】（1）3;
（2）;
（3）①180；
②，
理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案；
（2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案；
（3）①由周角的定义可得出答案；
②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】解：（1）如图，连接
当时，，
与不全等，
与为偏等积三角形，
故答案为．
（2）与为偏等积三角形，
．
，
．
，
，
，，
，
，
，
．
为正整数，
，
．
（3）①∵，
∴．
②略
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
71．（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，，求中线的取值范围．小聪同学延长至点，使，连接．最后求得了的取值范围，请你帮他写出求解过程．
（2）【深入探究】如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，求的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长．
【答案】（1）；（2）3；（3）2
【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，由等量代换即可求证是等腰三角形，即可求解；
（3）先由角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，再证明是等腰三角形，即可得，根据，根据面积求出的长即可．
【详解】（1）解：是的中线，
．
在和中，
，
，
．
，
．
在中，
，
即，
，
；
（2）解：延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
．
，
．
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
．
，
；
（3）解：，平分，
．
，
，
在中，，
，
．
延长至点，使，连接，
点为边的中点，
．
在和中，
，
，
，，
，
是等腰三角形，
，
．
设，则，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
的长为2．
【题型 18】半角模型综合
72．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点．
(1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为 ___________．
(2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由．
(3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
，理由如下：
在上截取，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
(3)，
理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
即，
．
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论；
（2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图 1，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）略
（3）略
73．【问题发现】
(1)如图1，在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系．
小王同学解决此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
【问题探究】
(2)如图2，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，；
(3)．
理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，．
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由：
如图1，延长到点G，使，连接，则，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
，
；
（2）略
（3）略
74．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)解：（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
，
，，
．
．
又，
，
．
．
，
(3)解：结论：．
证明：如图③，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，求出，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题；
（2）如图2，与（1）同理可得：；
（3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）解：．
延长到点G．使．连接，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）略
（3）略
75．【问题背景】
如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系．
【初步探索】
(1)小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______．
【探索延伸】
(2)如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【结论运用】
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西 的处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数．
【答案】(1)
(2)成立，理由如下，
解：延长到点，使，连接，
，，
，
，，
，
，，．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
(3)
【分析】（1）先根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出
（2）根据平角的定义和，通过等量代换推出，根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出．
（3）根据题意可推出，利用平角的定义通过等量代换推出，结合已知条件，利用边角边证明推出和，再结合已知条件，利用边边边证明即可证明，利用，通过等量代换推出，结合图可知，从而求出度数．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，，．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）略
（3）解：作的延长线，使，连接，如图所示，
由题意可知，，，，，，，，
，，
，
，
，
，，
，
， ．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
由图可知，，
．
【题型 19】截长补短综合
76．解答下列各题
(1)如图1，的角平分线，相交于点O，．
①求的度数；
②在上截取，使，连接，补全图形并求证：；
(2)如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长．
【答案】(1)①；②证明：补图如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
(2)1
【分析】（1）①利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；②先证明，可得，，进而可证，由此可得；
（2）在上截取，使，连接，根据②中的方法分别证明和，即可得出答案．
【详解】（1）①解：，是的角平分线，
∴，，
，，
，
，
；
②略
（2）解：如图2，在上截取，使，连接，
平分，
∴，
∵，
，
，，
平分，
，
，
，
，
∵，
，
；
，
．
77．如图1和图2，在四边形中，，，平分．
【知识重现】
（1）如图1，若，则______，根据“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，直接可得和的数量关系为：______．
【问题解决】
（2）如图2，过点分别作，，交射线于点．求证：．
【拓展研究】
（3）如图3，在等腰中，，平分．求证：．
【答案】（1），相等
（2）证明：如图所示，过点分别作，，交射线于点，
∵平分，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，在上截取，，连接，，
∵在等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答即可；
（2）过点分别作，，交射线于点，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（3）在上截取，，连接，，可得，可证明，，，结合图形证明，从而得到，，进而得到，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴根据“角的平分线上的点到角两边的距离相等”得到，，
故答案为：，相等；
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
78．如图1，在中，．
(1)在上找点D，使（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)在下方作，求证：
(3)如图3，若点分别在上，，的平分线交于点，延长，交的延长线于点，且，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)证明：延长到点，使，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
(3)8
【分析】（1）等积法可得点到边的距离为，，即点到边的距离为长的，故过点作的高，再以点为圆心，高线长为半径画弧，交于一点，再以该点为圆心，高线的长为半径画弧，交于点即可；
（2）延长到点，使，证明，得到，进而求出的长，再根据三角形的三边关系，即可得出结果；
（3）根据角平分线的性质，以及同高（等高）三角形的面积比等于底边比，进行求解即可.
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：作交的延长线于点，作交的延长线于点，作于点，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴点到的距离相等，均为的长，
∴，
∴，
∵，
∴.
79．如图，在中，平分，，点在边上，．
(1)判断的形状并证明；
(2)若，求的度数；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
解：是等腰三角形，
证明：平分，
．
，，
．
．
是等腰三角形．
(2)
(3)8
【分析】本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质．
（1）通过角平分线定义、外角定义，得出，可得是等腰三角形；
（2）在上取，连接，先证，则，．通过角度关系得出，可求的度数；
（3）在上取，连接，在上取，连接．由，可证，，由角得，可得出的值．
【详解】（1）略
（2）解：在上取，连接，设
平分，
．
在和中
．
，．
，
．
．
，
．
，
．
．
，
．
，
，．
即．
．
由（1）知，．
（3）解：在上取，连接，在上取，连接．
平分，
．
在和中
．
，．
，
．
，
．
在和中
．
，
，
．
．
，
．
，，
．
．
由（1）知．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，正确转换角度关系是解题的关键．
80．我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”．
【特例感知】
（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号）
①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质
【猜想论证】
（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
【探究应用】
（3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度．
【答案】（1）②
（2），理由如下：
如图中，作交延长线于点于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
（3）8
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质及全等三角形判定，结合等腰三角形性质进行线段转化．
（1）利用角平分线的性质直接得出结论；
（2）如图中，作交延长线于点于点，证明，从而证明；
（3）如图，在上截取，连接，利用前面结论得到，结合等腰三角形性质求出的长度．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知，
故答案为：②；
（2）解：略；
（3）如图，在上截取，连接，
，
，
∵平分，
，
，
，即，
由（2）的结论得，
，
，
，
，
，
，
．
1
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专题08 期中复习压轴十九大题型突破
选择题
【题型 1】全等三角形多结论问题
【题型 2】等腰三角形多解分类讨论
【题型 3】角度综合
【题型 4】勾股定理 + 折叠问题
【题型 5】不等式（组）含参、整数解个数问题
【题型 6】最短路径
填空题
【题型 7】等腰三角形存在性
【题型 8】折叠 + 勾股、多解填空
【题型 9】不等式组整数解、参数范围
【题型 10】特殊三角形面积、最值
【题型 11】阅读新定义-三角形
解答题
【题型 12】一元一次不等式（组）应用题
【题型 13】全等三角形手拉手综合压轴
【题型 14】勾股方程综合大题
【题型 15】将军饮马 + 最短路径综合
【题型 16】动点几何压轴
【题型 17】倍长中线法综合
【题型 18】半角模型综合
【题型 19】截长补短综合
选择题
【题型 1】全等三角形多结论问题
1．如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△OAB和△OCD中，，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①；②；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
4．如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【题型 2】等腰三角形多解分类讨论
5．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边边长为（ ）
A． B． C． D．或
6．若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（ ）
A．或 B． C． D．或
7．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
8．若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（ ）
A． B．或 C． D．或
【题型 3】角度综合
9．如图，在中，，，且．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
13．如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型 4】勾股定理 + 折叠问题
14．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，中，，，，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【题型 5】不等式（组）含参、整数解个数问题
18．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【题型 6】最短路径
22．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
24．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（ ）
A．12 B．19 C．24 D．48
25．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
填空题
【题型 7】等腰三角形存在性
26．如图，线段的一个端点在直线上，直线上存在点，使为等腰三角形，这样的点有______个．
27．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个．
28．如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有_________个．
29．点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ________．
【题型 8】折叠 + 勾股、多解填空
30．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为_______．
31．如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为______．
【题型 9】不等式组整数解、参数范围
32．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是____________．
33．若关于的不等式的正整数解共有个，则的取值范围是_____．
34．已知关于的方程的解为非负整数，则所有满足条件的非负整数为___________．
35．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______．
36．已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是_________．
37．已知方程的解是正数，则a的取值范围是________．
【题型 10】特殊三角形面积、最值
38．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边的中点，点，分别为边上的动点，且，则的面积的最大值为__________．
39．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；则在运动过程中△DEF面积的最小值为___．
40．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为__________．
【题型 11】阅读新定义-三角形
41．定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”．在中，，点P为直线上一点，若为“反直角三角形”，且，则的度数为__________．
42．定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为______．
43．定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______
44．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是_____．
解答题
【题型 12】一元一次不等式（组）应用题
45．有下列两种移动电话计费方法：
月使用费元
主叫限定时间
主叫超时费（元
被叫
套餐
免费
套餐
免费
（月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费）
(1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元．
(2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间．
(3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱．
46．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素
材
一
学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与．
素
材
二
某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．
1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根
2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子．
3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！
素
材
三
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任
务
一
分析雪花模型结构
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任
务
二
确定采购费用
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任
务
三
拟定采购方案
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
47．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将6000ml的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案．
(3)已知该校在校师生共1970人，平均每人每天需使用10ml的免洗手消毒液．若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，且两种都必须购买，则这批消毒液最多可使用多少天？
48．“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备采购名人传记和故事会两类图书，经了解，本名人传记和本故事会共需元，本名人传记与本故事会的费用一样（注：每本名人传记的单价相同，每本故事会的单价相同）．
(1)求每本名人传记和故事会各多少元？
(2)若学校要求购买名人传记比故事会多本，故事会和名人传记总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在（2）的条件下，若学校实际购买时，名人传记单价上调元/本，故事会单价下调元/本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值是________．
【题型 13】全等三角形手拉手综合压轴
49．某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：；
(2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数．
50．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ；
(2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数．
51．阅读下列材料完成下列问题
两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则．
【基础巩固】
（1）请证明图1的结论成立；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点；
①求的度数．②若，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________．
52．【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组：和是等腰直角三角形，．
连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了．
二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在和中，，连接．
则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______；
【变式拓展】
（3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长．
【题型 14】勾股方程综合大题
53．在中，，为的中点，连接．
(1)如图1，若，．
①则______．
②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值．
(2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若．
①请探究，，之间的数量关系，并说明理由．
②当，，时，则______．
54．如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（）
(1)当点和点重合时，求线段的长；
(2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由；
(3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值．
55．如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得．
(1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：；
(2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度；
(3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积．
56．如图，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．
(1)如图1，试说明；
(2)如图2，若，，，求的面积．
57．如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【题型 15】将军饮马 + 最短路径综合
58．综合与实践
【问题提出】
如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
【解决问题】
如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小．
【学以致用】
(1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值；
(2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值．
59．【初步感知】
(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；
【类比探究】
(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：
①与的位置关系为：________；
②线段、、之间的数量关系为：________；
【拓展应用】
(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
60．已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
【题型 16】动点几何压轴
61．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)若点运动到的中点时，的值为_______；
(2)若，求的长；
(3)当为直角三角形时，求的值．
62．如图，已知在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，设出发的时间为秒．
(1)出发1秒后，求的长；
(2)出发几秒钟后，的面积等于3？
(3)当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案）
63．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．
(1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示）
(2)如图①当t为多少时，的面积等于；
(3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
64．如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
65．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为．
(1)______（用含的代数式表示）；
(2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值；
(3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值．
66．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填大或小）；
（2）当DC= 时，△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA的度数．
【题型 17】倍长中线法综合
67．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：
例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．
证明：∵（已知），
∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，
∵，
∴（ ）
∴（ ）
（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
68．【方法呈现】：如图①，中，为中线，已知，求中线长的取值范围．解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，连结，则易证，得，则可得，从而可得中线长的取值范围是______．
【探究应用】（1）如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（2）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，请直接写出之间的数量关系，不需要证明．
69．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出 ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
(1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程；
(2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中：
A． B． C． D．
直接写出所有正确选项的序号是 ．
(3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：．
70．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试
（1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形．
理解运用
（2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长．
综合应用
（3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题：
①的度数为 ；
②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程．
71．（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，，求中线的取值范围．小聪同学延长至点，使，连接．最后求得了的取值范围，请你帮他写出求解过程．
（2）【深入探究】如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，求的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长．
【题型 18】半角模型综合
72．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点．
(1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为 ___________．
(2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由．
(3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由．
73．【问题发现】
(1)如图1，在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系．
小王同学解决此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
【问题探究】
(2)如图2，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
74．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明．
75．【问题背景】
如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系．
【初步探索】
(1)小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______．
【探索延伸】
(2)如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【结论运用】
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西 的处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数．
【题型 19】截长补短综合
76．解答下列各题
(1)如图1，的角平分线，相交于点O，．
①求的度数；
②在上截取，使，连接，补全图形并求证：；
(2)如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长．
77．如图1和图2，在四边形中，，，平分．
【知识重现】
（1）如图1，若，则______，根据“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，直接可得和的数量关系为：______．
【问题解决】
（2）如图2，过点分别作，，交射线于点．求证：．
【拓展研究】
（3）如图3，在等腰中，，平分．求证：．
78．如图1，在中，．
(1)在上找点D，使（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)在下方作，求证：
(3)如图3，若点分别在上，，的平分线交于点，延长，交的延长线于点，且，请直接写出的面积．
79．如图，在中，平分，，点在边上，．
(1)判断的形状并证明；
(2)若，求的度数；
(3)若，求的值．
80．我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”．
【特例感知】
（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号）
①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质
【猜想论证】
（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
【探究应用】
（3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度．
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