4.1条件概率与事件的独立性专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.1条件概率与事件的独立性 一、单选题 1．设A，B为两个事件，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 3．一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（   ） A． B． C． D． 4．已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 5．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知A，B，C为三个随机事件且，，>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 8．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机事件，满足，，，则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 10．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（    ） A．与相互独立 B．与互为对立 C． D． 11．中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（    ） A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 三、填空题 12．对于随机事件，若，，，则 . 13．已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为 . 14．如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 四、解答题-问答题 15．为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． (1)试求频率分布直方图中的值； (2)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； (3)从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望． 16．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 17．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 18．某乒乓球男子团体比赛，每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制．当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束． 已知在某次团队赛中，甲队在每场个人比赛中获胜的概率如下表所示，且每场比赛之间相互独立． 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少．求已知甲队第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率． 19．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1条件概率与事件的独立性 一、单选题 1．设A，B为两个事件，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意， ，根据条件概率的计算公式，可得．故选：D． 2．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【详解】因为事件与独立，且， 所以，故，所以.故选：C. 3．一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，所以.故选：B 4．已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为．故选：B. 5．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 【详解】质点移动4次，共有种情况，设质点第一秒位于1的位置为事件为，则， 记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次， 则有，两种情况， 所以，则．故选：A． 6．已知A，B，C为三个随机事件且，，>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】A，B，C相互独立,则满足， 且，，； A，B，C两两独立则满足，，； 故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故A正确． 7．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，，由条件概率公式可得.故选：A. 8．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为：； (5)4次均下雨，概率为：；两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：.故选：D. 二、多选题 9．已知随机事件，满足，，，则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【详解】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：AD 10．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（    ） A．与相互独立 B．与互为对立 C． D． 【详解】对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，，，，，则，互为对立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11．中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（    ） A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 【详解】设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”， 则由题可知， 对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为，故A正确； 对于B，李明获胜的概率为，故B正确； 对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为，故C正确； 对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为，故D错误.ABC. 三、填空题 12．对于随机事件，若，，，则 . 【详解】，又，所以， 因为，所以.故答案为： 13．已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为 . 【详解】设“填对第一空”为事件，“填对第二空”为事件，依题意，， 则，， ，所以.故答案为：0.34 14．如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为.故答案为： 四、解答题-问答题 15．为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． (1)试求频率分布直方图中的值； (2)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； (3)从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望． 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，解得． （2）设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A，“该学生是‘运动爱好者’”为事件B， 则，， 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为 . （3）由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人， 所以．，，． 则的分布列为 0 1 2 则． 16．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 17．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 【详解】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”， 事件分别表示零件是一等品、二等品， 则． （2）由（1）知，则． 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为 （3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”， 则，， 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为． 18．某乒乓球男子团体比赛，每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制．当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束． 已知在某次团队赛中，甲队在每场个人比赛中获胜的概率如下表所示，且每场比赛之间相互独立． 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少．求已知甲队第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率． 【详解】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜， 由题意，则最多比赛四场结束且甲队获胜的概率为 ． （2）设事件表示第一场甲队获胜，事件表示甲队以3：1获胜，则， ，， ．甲队第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为． 六、解答题-证明题 19．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． （2）由已知得，， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $