第四章 概率与统计全章高频重点题型突破（十七重点题型+二大难点题型专项训练）数学人教B版高二选择性必修第二册

第四章 概率与统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 条件概率的计算 题型10 超几何分布问题 题型2 全概率公式的应用 题型11 二项分布问题 题型3 贝叶斯公式的应用 题型12 线性相关系数问题 题型4 事件独立性的判断 题型13 一元线性回归方程 题型5 独立事件乘法公式的应用 题型14 非线性回归方程 题型6 独立重复实验的概率问题 题型15 独立性检验问题 题型7 离散型随机变量的概念 题型16 正态密度函数问题 题型8 离散型随机变量的分布列 题型17 正态分布的概率问题 题型9 离散型随机变量的数字特征 核心提升·重难点归纳 题型1 概率中的最值问题 题型2 生活中的决策问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1条件概率的计算 1．（25-26高二下·山东东营·期末）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知随机事件，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·甘肃定西·期末）从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东梅州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南郑州·期末）近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（     ） A． B． C． D． ◆题型2全概率公式的应用 1．（25-26高二下·全国·课后作业）某病人不使用新药天病愈的概率为，使用新药天病愈的概率为．若病人天病愈的总概率为，则病人使用新药的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三类AI模型的应答准确率分别为0.9，0.8，0.7，选择三类模型的概率分别为0.5，0.3，0.2．则该问题的应答准确率为（   ） A．0.80 B．0.82 C．0.83 D．0.85 3．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）某地区公共卫生部门为了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗质地均匀的骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则估计该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东·期末）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·海南·期末）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． ◆题型3贝叶斯公式的应用 1．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·青海西宁·期末）某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南商丘·期末）现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北十堰·期末）已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 ◆题型4事件独立性的判断 1．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（   ） A．若取球两次，事件A和事件B相互独立 B．若取球两次，事件A和事件C相互独立 C．若取球三次，事件A和事件B相互独立 D．若取球三次，事件B和事件C相互独立 2．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时，事件和事件独立 C．当时，事件和事件独立 D．当时，事件和事件互斥 3．（25-26高二下·北京·期末）盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 4．（25-26高一下·河南商丘·期末）盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（    ） A．与对立 B． C．与相互独立 D． 5．（25-26高一下·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． ◆题型5独立事件乘法公式的应用 1．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·湖北·阶段检测）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）假设，，且A与B相互独立，则（     ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 ◆题型6独立重复实验的概率问题 1．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击4次后被中止的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．乙队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 3．（25-26高二下·全国·课后作业）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，三道题是否答对相互独立，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山东菏泽·期末）甲乙两人下棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．某天两人进行一场五局三胜制的比赛，约定最终获胜者赢得100元的奖金．若在比分为的情况下因故终止比赛，现将100元奖金按两人各自最终获胜可能性的比例进行分配，则甲应该分得奖金数为（    ） A．28.8元 B．31.8元 C．35.2元 D．40元 ◆题型7离散型随机变量的概念 1．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）下面不是离散型随机变量的是（    ） A．某旅游景点6月的日游客数量 B．任意抽取一袋标有10 kg的大米，其实际重量 C．抛掷2枚骰子，所得点数之和 D．某外卖员6月的日送餐次数 2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 4．（25-26高二下·青海西宁·阶段检测）若某足球队在5次点球中射进的球数用随机变量X表示，则X可能的取值为（    ） A．0，1，2，3，4，5 B．1，2，3，4，5 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3，4 5．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（    ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 6．（25-26高二下·福建莆田·期中）袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． ◆题型8离散型随机变量的分布列 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 2．（25-26高二下·北京·期末）随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北·期末）设随机变量的分布列（，2，3），则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广西百色·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则实数m的值为（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． ◆题型9离散型随机变量的数字特征 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球．取到1次白球得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则（    ） A．5 B． C． D． 4．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； 5．（25-26高二下·全国·课后作业）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率． (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列、均值、方差． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人参加考核，考核结果互不影响，甲、乙、丙过关的概率分别为，，． (1)求三人中恰有两人过关的概率； (2)记过关人数为，求的分布列与数学期望． ◆题型10超几何分布问题 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（     ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·山东青岛·期末）甲、乙两人分别从种不同的书中任选2种和3种，记两人共选择了种书，设，，则（   ） A．X服从二项分布 B．Y服从超几何分布 C．Z服从超几何分布 D． 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 5．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖金320元）共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票． (1)求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； (2)记表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 6．（25-26高二下·海南·期末）某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． (1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率； (2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． ◆题型11二项分布问题 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆璧山·期末）已知随机变量服从二项分布，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率. (1)从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； (2)从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）某高校实验考查：考生甲从6道备选题中一次性随机抽取3题，6题中有4题能正确完成、2题不能完成；考生乙完成3道题，每题正确完成的概率都是，且互不影响．规定至少正确完成2题才通过． (1)分别写出甲、乙正确完成题数的分布列； (2)判断谁通过的可能性更大，并从均值角度比较． ◆题型12线性相关系数问题 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（     ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 2．（25-26高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若两个变量，的样本相关系数，则这两个变量不具有相关关系 B．若两个变量，的样本相关系数，则这两个变量负相关 C．剔除部分异常数据后样本相关系数一定变大 D．若所有样本点都在直线上，则样本相关系数为0.8 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 4．（多选）（25-26高二下·陕西榆林·期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况，如下表所示： 售价x（元/件） 月销售量y（千件） 9 9 7 5 若y与x线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（   ） A． B．相关系数 C．当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D．当时，残差为 5．（多选）（25-26高二下·重庆北碚·期末）对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ） A．的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B．的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C．的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D．的取值范围是 ◆题型13一元线性回归方程 1．（2027高二·全国·专题练习）某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表： 广告费用 x (万元) 2 3 4 5 销售额 (万元) 39 49 54 根据上表可得经验回归方程 ，则 的值为（    ） A．26 B．27 C．28 D．28.5 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知具有线性相关关系的变量，，其样本点为（）， ，，经验回归直线方程为，则（    ） A．8.6 B．9.4 C．12.4 D．12.6 3．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）某人工智能公司从某年起连续7年的年利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 6 7 年利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到关于的经验回归方程为，则（     ） A．变量与正相关 B．经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位 C．第8年的利润一定为6.3亿元 D．第6年年利润的残差为亿元 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 (1)根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； (2)求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 5．（25-26高二下·重庆北碚·期末）新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. ◆题型14非线性回归方程 1．（25-26高二下·福建厦门·期末）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北承德·期末）变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 4．（25-26高二下·山西运城·期末）蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，. (1)根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程； (2)据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 5．（25-26高二下·重庆·期末）为研究光照时长（单位：h）与盆栽花卉株高增长量（单位：cm）的关系，测得6组试验数据，如下表格： 3 4 5 6 7 8 由散点变化可知与是非线性变化，现有两个备选拟合模型：①指数模型：（），②对数模型：，参考统计数据：令，，，，，，，，，参考数据：，， 线性回归系数公式：， (1)根据散点增长趋势选取合适模型，仅得出结论即可（不用说明理由）； (2)求出关于的非线性回归方程； (3)当每日光照时，预估花卉株高增长量. ◆题型15独立性检验问题 1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）下面是列联表： 合计 10 50 20 40 合计 60 30 90 则表中，之间的关系为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北张家口·期末）某中学通过随机询问120名学生是否爱好阅读，得到如下列联表： 阅读 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 25 35 60 合计 65 55 120 已知，，根据小概率的独立性检验，以下结论正确的是（     ） A．爱好阅读与性别有关 B．爱好阅读与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好阅读与性别无关 D．爱好阅读与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 3．（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期末）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，. 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 4．（2027高二·全国·专题练习）某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了 180 名员工进行调查，在被调查员工中有 100 名工作积极， 80 名工作一般，120 名积极支持企业改革，60 名不太赞成企业改革，工作积极的员工里有 80% 积极支持企业改革. (1)作出 列联表 积极支持企业改革 不太赞成企业改革 合计 工作积极 工作一般 合计 (2)对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能否有 的把握认为工作积极性与对待企业改革态度有关? 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米，则大小达标，着色度不低于90%，则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 (1)完成上面的列联表； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（25-26高二下·全国·课后作业）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表1所示： 表1 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 30 女 12 合计 50 现邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表2所示： 表2 成功完成时间/分 人数 10 10 5 5 (1)将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关； (2)根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧三阶魔方的平均时间；（以频率作为概率，以区间的中点值作为本组的完成时间） (3)现从表2中成功完成时间在内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． ◆题型16正态密度函数问题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   2． 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 4．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 5．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 ◆题型17正态分布的概率问题 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）随机变量，若，则（     ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 2．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西西安·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（     ） 附：若，则， ，． A．130 B．273 C．1631 D．1804 4．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗X服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗Y服从正态分布．则下列结论正确的有（    ） （附：若随机变量Z服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 5．（2027高二·全国·专题练习）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差，用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布 ，若的值在内的概率约为，则的值约为_____. (参考数据: 若 ，则 ). 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标， (1)求所抽取的包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布 ，利用该正态分布，求落在 内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了包这种品牌的速冻水饺，记这包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望． 附：①计算得所抽查的这包速冻水饺的质量指标的标准差为 ； ②若 ，则 ， ． ◆题型1 概率中的最值问题 1．（25-26高二下·福建厦门·期中）某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（     ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（多选）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 选项D正确. 3．（25-26高二下·浙江·期中）盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4张卡片，现从中有放回地抽取次卡片，每次仅抽取1张，记这次抽取的卡片中最大编号为，若要求成立，则至少抽取____________次． 4．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择_______上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 5．（25-26高二下·广东广州·期末）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，试问当为何值时，最大？并说明理由． 附：．若， 则，． 6．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ ◆题型2 生活中的决策问题 1．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）随着新能源汽车普及，各地公共快充桩不断建设．某测评机构统计了6座城市公共快充桩的平均充电功率（单位：）数据如表： 城市 站点位置 快充桩平均充电功率 A市 城东服务区 112.5 B市 城西枢纽 135.2 C市 北站广场 98.7 D市 南环线 141.8 E市 港口园区 105.4 F市 国泰商场 118.6 规定：若城市快充桩平均充电功率大于110kW，定义该城市为快充高性能城市． (1)从以上6座城市中随机选取2座城市进行调研，求选取的2座城市恰有一座是快充高性能城市的概率； (2)甲、乙两家新能源投资公司分别从以上6座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙选取互不影响，可以选取同一座城市），求甲、乙两家公司中恰有1家选取到快充高性能城市的概率． 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 3．（26-27高二上·陕西西安·开学考试）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率. (1)从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； (2)从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望. 1．（25-26高二下·山东聊城·期末）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则3次变换后中取值范围为的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·河南南阳·期中）已知相关系数，关于的线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，已知变量与变量的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为；以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（    ） A．若已知变量的方差，则可得知变量的标准差 B．若已知变量的方差，则不可得知变量的标准差 C．若不给定其他信息，则也可得知变量与变量各自的平均值 D．若不给定其他信息，则也可得知变量与变量的相关系数 4．（多选）（25-26高二下·山东青岛·期末）甲、乙两人分别从种不同的书中任选2种和3种，记两人共选择了种书，设，，则（   ） A．X服从二项分布 B．Y服从超几何分布 C．Z服从超几何分布 D． 5．（多选）（25-26高二下·河南开封·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为．在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（   ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 6．（25-26高二下·广东江门·期末）2026年春晚的机器人舞蹈表演令人印象深刻．现有一机器人从坐标原点出发，每次等可能地向左、向右、向上、向下移动1个单位长度，总计移动3次．已知该机器人有且仅有一次途经（含到达）点，在此条件下，机器人全程仅在水平方向移动3次的概率是___________． 7．（25-26高二下·广东·期末）将7本不同故事书分配给3个孩子，每个孩子至少分得一本，记三个孩子分得书本的数量分别为，若从所有可能的分配方案中随机选择一种，记随机变量为三个数中最大的数，则的数学期望为___________． 8．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. (1)分别求甲队和乙队获得冠军的概率； (2)分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； (3)求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 概率与统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 条件概率的计算 题型10 超几何分布问题 题型2 全概率公式的应用 题型11 二项分布问题 题型3 贝叶斯公式的应用 题型12 线性相关系数问题 题型4 事件独立性的判断 题型13 一元线性回归方程 题型5 独立事件乘法公式的应用 题型14 非线性回归方程 题型6 独立重复实验的概率问题 题型15 独立性检验问题 题型7 离散型随机变量的概念 题型16 正态密度函数问题 题型8 离散型随机变量的分布列 题型17 正态分布的概率问题 题型9 离散型随机变量的数字特征 核心提升·重难点归纳 题型1 概率中的最值问题 题型2 生活中的决策问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1条件概率的计算 1．（25-26高二下·山东东营·期末）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可. 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此， 表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. 2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率的性质和公式计算，再结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】已知，， 根据条件概率公式，得， 根据条件概率的性质，在事件发生的条件下，事件发生与事件不发生是对立事件， 所以， 因此，故A正确. 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知随机事件，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 4．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】设“第1次抽到几何题”为事件，“第2次抽到代数题”为事件， 则， 所以． 5．（25-26高二下·甘肃定西·期末）从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过条件概率公式即可求解. 【详解】设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”， 从个球中任取个，总取法为种， 包含一红一白、两红两类情况，共种，故， 两红的取法共种，故， 由于，故，根据条件概率公式： ，故A正确. 6．（25-26高二下·广东梅州·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对按除以3余数分3类，分别求出满足事件的样本数，满足的样本数，进而求出． 【详解】按除以3余数分3类，余数0：3，6，9，共3个；余数1：1，4，7，共3个； 余数2：2，5，8，共3个， 事件“至少有一个数为3的倍数”， 总选法为种； “这三个数都不是3的倍数”，选法为种； 则满足事件的样本数为， 事件：“至少有一个3的倍数，且3个数之和为3的倍数”： 三个同余，共种； 三个余数各不同，共种； 其中无3的倍数且和为3的倍数的情况为“都余1”和“都余2”，共2种， 故满足的样本数为， 故． 7．（25-26高二下·河南郑州·期末）近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， “甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则， 由条件概率公式可得. ◆题型2全概率公式的应用 1．（25-26高二下·全国·课后作业）某病人不使用新药天病愈的概率为，使用新药天病愈的概率为．若病人天病愈的总概率为，则病人使用新药的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算即可求解. 【详解】设使用新药的概率为．由全概率公式，， 解得，，故C正确. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三类AI模型的应答准确率分别为0.9，0.8，0.7，选择三类模型的概率分别为0.5，0.3，0.2．则该问题的应答准确率为（   ） A．0.80 B．0.82 C．0.83 D．0.85 【答案】C 【分析】将模型的应答准确率根据甲，乙，丙分别选择并应答准确的三种情况按照全概率公式算出即可. 【详解】设模型的应答准确率为事件，设甲，乙，丙分别选择的模型为， 由全概率公式得 . 3．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）某地区公共卫生部门为了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗质地均匀的骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则估计该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全概率公式拆分回答 “是” 的概率，结合样本频率列方程，求解吸烟比例． 【详解】两颗骰子点数之和为奇数的概率为，点数之和为偶数的概率为， 先后抛两颗骰子，总结果为种，第一颗骰子的点数和第二颗骰子点数相等情况有6种, 第一颗大于第二颗有种，故概率为， 设该地区中学生吸烟比例为，由全概率公式，回答 “是” 的总概率为： ，解得． 4．（25-26高二下·广东·期末）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分第一次取红球或白球两种情况讨论，再利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件：第一次取到红球； 事件：第一次取到白球； 事件：第二次取到2个红球， 则，， , 由全概率公式得 =. 5．（25-26高二下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 6．（25-26高二下·海南·期末）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先划分垃圾邮件、正常邮件两个互斥完备事件组，求出两类邮件各自的发生概率，再结合对应过滤的条件概率，套用全概率公式分别计算两类邮件被过滤的概率并求和，得到邮件整体被过滤的概率． 【详解】设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件， 则，，，， 所以． 7．（25-26高二下·山东枣庄·期末）已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分数学小组调去物理小组的是男生和从数学小组调去物理小组的是女生，两类情况讨论，再结合互斥事件和事件概率公式即可求解. 【详解】情况1：从数学小组调去物理小组的是男生 ， 数学小组共人，调男生的概率为； 调整后物理小组共人，男生变为人， 此时选出男生的概率为； 该情况的联合概率为：， 情况2：从数学小组调去物理小组的是女生， 调女生的概率为； 调整后物理小组共人，男生仍为人，此时选出男生的概率为​； 该情况的联合概率为：， 故从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为. ◆题型3贝叶斯公式的应用 1．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解. 【详解】设事件表示选中号箱子，事件表示从选出的箱子中取出1个球是红球， 则，，， 所以， 则. 2．（25-26高二下·青海西宁·期末）某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用全概率公式求出顾客加珍珠的总概率，再用贝叶斯公式计算在加珍珠条件下点乌龙奶芙的概率． 【详解】设事件为“顾客点乌龙奶芙”，事件为“顾客点生椰拿铁”，事件为“顾客点单加珍珠”， 由题意：， 所以， 所以， 因此，某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为． 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 4．（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： . 5．（25-26高二下·河南商丘·期末）现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品，利用全概率公式求出的值，再结合条件概率公式求出的值. 【详解】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品， 则，， 且，，， 由全概率公式可得 ， 由条件概率公式可得. 所以随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为. 6．（25-26高二下·湖北十堰·期末）已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率． 【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”， ，，，， 所以． ◆题型4事件独立性的判断 1．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（   ） A．若取球两次，事件A和事件B相互独立 B．若取球两次，事件A和事件C相互独立 C．若取球三次，事件A和事件B相互独立 D．若取球三次，事件B和事件C相互独立 【答案】C 【详解】有放回取次的样本空间共个等可能结果：{红红，红白，白红，白白}， 事件对应{红白，白红}，， 事件对应{红白，白红，白白}，； 对应{红白，白红}，， 显然，A错误. 事件对应{红红，红白，白红}，故； 对应{红白，白红}，， ，B错误； 有放回取次的样本空间共个等可能结果： 事件排除全红、全白种结果，， 事件对应红（全白）、红共种结果，； 对应红白的种结果，， 恰好满足， 故和相互独立，C正确； 事件对应白（全红）、白共种结果，； 无对应结果，，显然，D错误. 2．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时，事件和事件独立 C．当时，事件和事件独立 D．当时，事件和事件互斥 【答案】C 【分析】利用独立事件的公式判断求解. 【详解】对于A，当时，，而 ，故A错误； 对于B，当时，，因，两者不独立，故B错误； 对于C，当时，，， 而 ，即事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，当时，因为 ，所以事件与事件不互斥，故D错误． 3．（25-26高二下·北京·期末）盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 【答案】C 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 4．（25-26高一下·河南商丘·期末）盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（    ） A．与对立 B． C．与相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件的个数，结合互斥、对立与独立事件的概念与判定方法，即可求解. 【详解】对于A项， 事件是“两球同色”，事件是“两球不同色”，所有取球结果只有这两种，二者不可能同时发生且必有一个发生，因此与是对立事件，故A正确； 对于B项， 从中不放回地依次取出2个球，一共20种，事件表示“第一次取出黑球，第二次取出白球”一共6种，计算概率： ，故B正确； 对于C项，事件“第二次取出的是白球”一共8种，则 ，事件“取出的2个球不同色”一共12种，则； 表示“第二次取出白球，两球不同色”，即“第一次黑、第二次白”，一共6种； 计算得，因此与不相互独立，故C错误； 对于D项，由概率加法公式： ，故D正确； 5．（25-26高一下·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】样本空间共包含个等可能基本事件. ，，事件包含共4个基本事件， 故；事件包含18个基本事件，分别为 ， 故. 事件包含基本事件，故与不互斥，A错误. 事件包含基本事件，，，故与不相互独立，B错误. 事件包含共3个基本事件，，， 故，故与相互独立，C正确. 事件包含基本事件，故，，D错误. ◆题型5独立事件乘法公式的应用 1．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】，为两个相互独立的随机事件，可知与，与，与也是相互独立的， 由得， 即，即， 所以. 2．（26-27高二上·湖北·阶段检测）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设该同学在笔试中结果为优秀为事件,实验操作中结果为优秀为事件，则， 因“该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀”为“该同学在这次测试中两项测试结果均不是优秀”的对立事件， 故其概率为. 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲、乙至少有1人猜对的概率. 4．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，每场比赛乙队获胜的概率是. 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 5．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）假设，，且A与B相互独立，则（     ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【详解】因为A与B相互独立，所以，所以， 所以. ◆题型6独立重复实验的概率问题 1．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击4次后被中止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析甲恰好射击4次后被中止的情况，然后利用独立事件概率的计算公式进行求解即可. 【详解】已知甲击中目标的概率是，则甲未击中目标的概率为. 由于甲恰好射击4次后被中止，则甲的射击情况包含以下两种情况： 情况一：第一次与第二次击中，而第三次与第四次未击中； 情况二：第一次未击中，第二次击中，第三次与第四次未击中. 因此根据独立事件概率计算公式可得：甲恰好射击4次后被中止的概率为. 2．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．乙队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 【答案】B 【分析】四支足球队进行单循环比赛，则总场数为,每一支球队要跟另外三支球队进行比赛.对于A，甲队积分为分，则甲胜了场，负场；对于B，乙队积分为分，则乙队胜场，负场或乙队平了场；对于C，如果场比赛全部分出胜负，那么每场比赛产生 分，总积分为 分。如果出现平局，每出现一场平局，总积分就会减少分（因为平局双方共得分，比一胜一负少分）.故四支球队的积分总和可能为分（当所有比赛均分出胜负时）；对于D，甲队胜场且乙队胜场的概率，分为三种情况，情况一：甲队胜乙队一场；情况二：乙队胜甲队一场；情况三，甲乙平局. 【详解】四支足球队进行单循环比赛，则总场数为,每一支球队要跟另外三支球队进行比赛. 对于A，甲队积分为分，则甲在三场比赛中胜了场，负场，，正确； 对于B，乙队积分为分，则乙队胜场，负场或乙队平了场， 则，错误； 对于C，如果场比赛全部分出胜负，那么每场比赛产生分，总积分为分， 如果出现平局，每出现一场平局，总积分就会减少分（因为平局双方共得分，比一胜一负少分）. 故四支球队的积分总和可能为分（当所有比赛均分出胜负时）； 对于D，甲队胜场且乙队胜场的概率， 分为三种情况，情况一：甲队胜乙队一场，甲队胜丙、丁其中一队场，乙队胜丙、丁两队； 情况二：甲队胜丙、丁两队，负于乙队，乙队胜丙、丁其中一队场； 情况三：甲乙平局，甲队胜丙、丁两队，乙队胜丙、丁两队 那么，正确. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，三道题是否答对相互独立，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设答对题目数为，则． 所求概率为． 4．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：， 由， ， 恰好击中2次的概率为． 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： . 6．（25-26高二下·山东菏泽·期末）甲乙两人下棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．某天两人进行一场五局三胜制的比赛，约定最终获胜者赢得100元的奖金．若在比分为的情况下因故终止比赛，现将100元奖金按两人各自最终获胜可能性的比例进行分配，则甲应该分得奖金数为（    ） A．28.8元 B．31.8元 C．35.2元 D．40元 【答案】C 【分析】先计算当前1:1比分下甲最终获胜的概率，再用总奖金乘以该概率得到甲应分得的奖金数. 【详解】若甲以比分获胜，则甲连胜两局直接获胜，对应概率为； 若甲以比分获胜，则甲，乙先各胜一局，最后甲胜一局结束比赛，对应概率为. 则甲最终获胜概率为，从而甲应分得的奖金为元. ◆题型7离散型随机变量的概念 1．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）下面不是离散型随机变量的是（    ） A．某旅游景点6月的日游客数量 B．任意抽取一袋标有10 kg的大米，其实际重量 C．抛掷2枚骰子，所得点数之和 D．某外卖员6月的日送餐次数 【答案】B 【详解】选项A，C，D中随机变量所有可能取的值都可以一一列出，所以它们都是离散型随机变量， 选项B中可以取某一区间内的一切实数值，无法一一列出，故不是离散型随机变量． 2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量. 对于①，一天内的温度可以取某一区间内的任意数，不能一一列举出来，故①不是离散型随机变量； 对于②，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以是等，这些值可以一一列举出来，故②是离散型随机变量； 对于③，从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码可以是，这些值可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置可以取直线上的任意一点，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量. 综上，②③是离散型随机变量. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 4．（25-26高二下·青海西宁·阶段检测）若某足球队在5次点球中射进的球数用随机变量X表示，则X可能的取值为（    ） A．0，1，2，3，4，5 B．1，2，3，4，5 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】由随机变量X的意义即可得解. 【详解】5次点球中可能有0次，1次，2次，3次，4次，5次射进， 故X可能的取值为0，1，2，3，4，5． 5．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（    ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 【答案】B 【分析】根据随机变量的含义逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，“第一次抛硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，描述错误，故A错误； 对于B选项，“恰有一枚硬币正面朝上”对应的正面朝上的硬币数恰好为1，符合“”表示的含义，故B正确； 对于C选项，硬币的正反面不存在“正面朝上面的数字是1”的情况，和“”的含义无关，故C错误； 对于D选项，“先抛一枚硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，故D错误. 综上所述，B选项正确. 6．（25-26高二下·福建莆田·期中）袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用随机变量的定义可得出结果. 【详解】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为，即第一次就取到了白球； 最多次数是次，即把所有的黑球取完之后才取到白球． 由题意可知，随机变量的可能取值有. ◆题型8离散型随机变量的分布列 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量性质建立方程求解参数，再结合对立事件概率性质求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的所有概率之和为1，可得， 解得，即. 所以. 2．（25-26高二下·北京·期末）随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可得答案. 【详解】因为，所以. 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用离散型随机变量分布列的概率和为1的性质求出参数m，再计算X取1、2的概率之和即可. 【详解】.将（）代入得： 得，解得， 事件等价于或，两事件互斥， 因此 . 4．（25-26高二下·河北·期末）设随机变量的分布列（，2，3），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，即， 所以. 5．（25-26高二下·广西百色·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则实数m的值为（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求解． 【详解】，得． 6．（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将转化为的取值范围，再利用离散型随机变量分布列的概率性质计算对应概率和即可. 【详解】由，解得，即， 利用分布列性质：离散型随机变量所有取值的概率之和为1， 因此， 即. ◆题型9离散型随机变量的数字特征 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】构造表示正面向上次数的二项分布随机变量，建立总得分与该变量的线性关系，结合期望的线性运算性质求解. 【详解】设为4次抛掷中正面向上的次数，由题意得，所以， 设总得分为，则， 所以 . 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的性质求出，然后利用平均数和方差计算公式求解即可. 【详解】由题知，， 所以，， 所以. 3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球．取到1次白球得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】盒内总球数为个， 取白球概率，取黑球概率，取黄球概率， 设单次得分为，则， 有放回取3次，总得分， ． 4．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望： 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以，所以，解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， ，， ，， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率． (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列、均值、方差． 【答案】(1) (2) X 0 100 120 220 P ； 【分析】（1）设相应事件，根据独立事件可得，再结合对立事件运算求解； （2）分析可知X的所有可能取值为0，100，120，220，结合独立事件求分布列，进而可得期望和方差. 【详解】（1）设“甲组研发新产品成功”为事件E，“乙组研发新产品成功”为事件F． 则，，，，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立． 设“至少有一种新产品研发成功”为事件H， 则，可得， 所以． （2）设企业可获利润为X万元，则X的所有可能取值为0，100，120，220． ，，，， 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 所以， ． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人参加考核，考核结果互不影响，甲、乙、丙过关的概率分别为，，． (1)求三人中恰有两人过关的概率； (2)记过关人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列为 0 1 2 3 【详解】（1）恰有两人过关的概率为． （2）的可能取值为0，1，2，3．， ，，． 分布列为 0 1 2 3 所以． ◆题型10超几何分布问题 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，的取值为. 则，，. 则的分布列为： 0 1 2 可得. 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 3．（多选）（25-26高二下·山东青岛·期末）甲、乙两人分别从种不同的书中任选2种和3种，记两人共选择了种书，设，，则（   ） A．X服从二项分布 B．Y服从超几何分布 C．Z服从超几何分布 D． 【答案】BCD 【详解】固定甲所选的种书，设乙所选的种书中有种属于甲所选书，则 两人共选择的书的种数为． 当时，均有可能； 二项分布在时的取值从开始连续取到试验次数，而或时为常量，所以不服从二项分布，A错误． 又，它表示乙所选的种书中不属于甲所选书的种数，因此B正确． 同理，表示甲所选的种书中不属于乙所选书的种数，所以C正确． 最后，D正确． 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和独立事件同时发生的概率，即可求解； （2）根据条件，求出的可能取值及对应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功， 则， 又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响， 所以. （2）易知的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 5．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖金320元）共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票． (1)求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； (2)记表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式和对立事件概率公式可求相应事件的概率. （2）利用超几何分布的模型求分布列和期望. 【详解】（1）从16张彩票中任意抽取3张，共有种取法， 抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的情况有两种： ①三张一等奖，有种取法； ②两张一等奖，一张二等奖，有种取法， 则抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的取法共有19种， 所以抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率为． （2）的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 则． 6．（25-26高二下·海南·期末）某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． (1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率； (2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 【分析】（1）由组合知识求出从8件文物中任选3件的方法数，及从8件文物中任选3件的方法数，从而求出概率； （2）得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列，得到数学期望 【详解】（1）从8件文物中任选3件，有种方法． 选出的3件文物都是汉代文物，有种方法. 故所求的概率； （2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，． 所以X的分布列为 0 1 2 3 数学期望， ◆题型11二项分布问题 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. 2．（25-26高二下·重庆璧山·期末）已知随机变量服从二项分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由. 所以. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由题意可得服从二项分布：从而可得的可能取值为，求出对应的概率，列出分布列，根据期望和方差公式求解即可. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，； 设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率. (1)从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； (2)从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）记事件“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件“抽取1名顾客来自于乙店铺”，事件“顾客选择满意”， 根据题意可知，， ，，， 则； （2）设事件“甲店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 事件“乙店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 由题意可知，，，则，. 的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 则. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）某高校实验考查：考生甲从6道备选题中一次性随机抽取3题，6题中有4题能正确完成、2题不能完成；考生乙完成3道题，每题正确完成的概率都是，且互不影响．规定至少正确完成2题才通过． (1)分别写出甲、乙正确完成题数的分布列； (2)判断谁通过的可能性更大，并从均值角度比较． 【答案】(1)设甲正确完成题数为，的分布列是 1 2 3 设乙正确完成题数为，所以的分布列是 0 1 2 3 (2)甲通过可能性更大； 【分析】（1）甲是不放回抽样服从超几何分布，乙独立重复做题服从二项分布，分别算出各自取每个值的概率写出分布列； （2）通过是至少正确完成2题， 分别求数学期望，比较均值，分别求至少正确完成2题的概率，对比大小，从而判断谁更容易通过. 【详解】（1）设甲正确完成题数为，则服从超几何分布，可能取1，2，3， ，，． 所以的分布列是 1 2 3 设乙正确完成题数为，则， ，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 （2），，二人正确完成题数的均值相等，均为2． 甲通过概率为，乙通过概率为． 因为，甲通过可能性更大． ◆题型12线性相关系数问题 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（     ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】A 【分析】根据相关系数的知识确定正确答案. 【详解】相关系数的绝对值越接近，则线性相关程度越强. ，所以线性相关程度最强的是甲组. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．若两个变量，的样本相关系数，则这两个变量不具有相关关系 B．若两个变量，的样本相关系数，则这两个变量负相关 C．剔除部分异常数据后样本相关系数一定变大 D．若所有样本点都在直线上，则样本相关系数为0.8 【答案】B 【分析】根据样本相关系数的含义，逐项判断两个变量的线性相关性、异常数据对相关系数的影响以及完全线性相关时相关系数的取值． 【详解】A项，样本相关系数 只能说明两个变量无线性相关关系，不能说明二者不存在其他形式的相关关系，故A错误； B项， 表示两个变量负线性相关，故B正确； C项，剔除部分异常数据后，样本相关系数可能变大，也可能变小，故C错误； D项，在样本相关系数有定义的前提下，若所有样本点都在斜率为正的直线 上，则样本点完全正线性相关，样本相关系数为1，而不是0.8，故D错误． 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【答案】C 【详解】依题意，， ， ， 所以. 4．（多选）（25-26高二下·陕西榆林·期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况，如下表所示： 售价x（元/件） 月销售量y（千件） 9 9 7 5 若y与x线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（   ） A． B．相关系数 C．当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D．当时，残差为 【答案】AD 【详解】由图表可知，， 代入经验回归方程有，解得，故A正确； 回归方程斜率，故随着增大而减小，是负相关，故，故B错误； 时，，故C错误； 时，，实际值，残差，故D正确． 5．（多选）（25-26高二下·重庆北碚·期末）对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ） A．的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B．的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C．的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D．的取值范围是 【答案】AB 【分析】由样本相关系数的定义进行判断． 【详解】对于A项，当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关，故A项正确； 对于B，C两项，当越接近1时，成对样本数据之间线性相关的程度越强， 当越接近0时，成对样本数据之间线性相关的程度越弱，故B项正确，C项错误； 对于D项，的取值范围是，故D项错误． ◆题型13一元线性回归方程 1．（2027高二·全国·专题练习）某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表： 广告费用 x (万元) 2 3 4 5 销售额 (万元) 39 49 54 根据上表可得经验回归方程 ，则 的值为（    ） A．26 B．27 C．28 D．28.5 【答案】A 【详解】由题意， ， 因为回归方程 必过样本中心点 ， 所以 ，解得 . 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知具有线性相关关系的变量，，其样本点为（）， ，，经验回归直线方程为，则（    ） A．8.6 B．9.4 C．12.4 D．12.6 【答案】B 【分析】根据题意，求得样本中心点为，将其代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由，，可得：， ，所以样本中心点为 根据经验回归方程经过样本中心点，可得： ，即. 3．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）某人工智能公司从某年起连续7年的年利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 6 7 年利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到关于的经验回归方程为，则（     ） A．变量与正相关 B．经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位 C．第8年的利润一定为6.3亿元 D．第6年年利润的残差为亿元 【答案】ABD 【分析】根据经验回归方程的斜率为正可判断A；根据回归系数的意义可判断B；根据经验回归方程得到的是预测值而非确定值可判断C；根据残差的定义可判断D. 【详解】选项A：经验回归方程的斜率为，说明增大时，的预测值随之增大， 因此变量与正相关，A正确； 选项B：经验回归直线斜率的统计含义就是：每增加1个单位，的估计值平均增加斜率对应的数值， 本题中即平均增加0.5个单位，B正确； 选项C：经验回归方程得到的第8年利润预测值为亿元， 这只是预测结果，实际利润受多种因素影响，并非“一定为6.3亿元”，C错误； 选项D：第6年的实际年利润为5.2亿元，代入回归方程得预测值亿元， 残差定义为实际值减预测值，即亿元，D正确. 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 (1)根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； (2)求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 【答案】(1)0.98，与的线性相关程度很强 (2)； 2029年． 【分析】（1）根据公式计算样本相关系数，并判断线性相关程度即可； （2）根据公式求出经验回归方程后再通过解不等式即可. 【详解】（1），， ，，， 所以，     所以与的线性相关程度很强． （2）由（1）知，，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为；     令，得， 所以预测该工坊油纸伞的年销量最早在2029年能超过20万把． 5．（25-26高二下·重庆北碚·期末）新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1) (2)当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 得到，作出残差图， 由图，残差数值都在横轴附近波动，残差点均匀分布在横轴两侧的狭窄带状区域内， 没有明显的曲线趋势与扩散收缩现象，说明该线性回归模型对数据拟合效果很好. 【分析】（1）结合题意求出平均数，利用最小二乘法得到回归方程，再进行计算即可； （2）逐个求出残差，作出残差图，再进行分析即可. 【详解】（1）由题意得，， 则，， 可得，， 则回归方程为，当时，， 得到预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量为辆. （2）略 ◆题型14非线性回归方程 1．（25-26高二下·福建厦门·期末）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原指数拟合模型取对数转化为线性模型，利用线性回归方程过样本中心点的性质求解参数 【详解】对拟合模型两边同时取自然对数，可得， 由，可得线性变换后的回归方程为； 计算样本中心点： ， ， 由于线性回归直线必过样本中心点，将其代入线性回归方程得： ， 计算得，因此，故. 2．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得， 由， 得， 所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，， 所以． 3．（25-26高二下·河北承德·期末）变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 【答案】 【分析】取对数，非线性关系转化为线性关系，与已知对照求出得解. 【详解】据题意，将取自然对数得， 与给定的经验回归方程对比，得，，所以． 因此原回归方程为． 当时，． 4．（25-26高二下·山西运城·期末）蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，. (1)根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程； (2)据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)①拟合效果更好.理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好. (2)， 【详解】（1）①拟合效果更好. 理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好. 令，则，， 所以， 因此z关于x的线性回归方程为， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为. （2）每年需要人工防治的概率为，且. 所以，. 5．（25-26高二下·重庆·期末）为研究光照时长（单位：h）与盆栽花卉株高增长量（单位：cm）的关系，测得6组试验数据，如下表格： 3 4 5 6 7 8 由散点变化可知与是非线性变化，现有两个备选拟合模型：①指数模型：（），②对数模型：，参考统计数据：令，，，，，，，，，参考数据：，， 线性回归系数公式：， (1)根据散点增长趋势选取合适模型，仅得出结论即可（不用说明理由）； (2)求出关于的非线性回归方程； (3)当每日光照时，预估花卉株高增长量. 【答案】(1)选择模型 (2) (3) 【分析】（1）根据散点分布，即可确定对数模型； （2）令，将非线性模型转化为线性模型，代入公式计算，再计算，求得，即可得到回归方程； （3）把、代入回归方程即可计算预估值. 【详解】（1）由表格可知散点增长趋势较为平缓，故选择对数函数模型 （2）令，则模型化为线性形式，则 ， 又因为， 所以 故所求回归方程：. （3）当时，， 所以当每日光照时，预估花卉株高增长量预估株高增长量为. ◆题型15独立性检验问题 1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）下面是列联表： 合计 10 50 20 40 合计 60 30 90 则表中，之间的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据列联表计算即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 2．（25-26高二下·河北张家口·期末）某中学通过随机询问120名学生是否爱好阅读，得到如下列联表： 阅读 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 25 35 60 合计 65 55 120 已知，，根据小概率的独立性检验，以下结论正确的是（     ） A．爱好阅读与性别有关 B．爱好阅读与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好阅读与性别无关 D．爱好阅读与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【详解】计算卡方统计量：由列联表得，，，，，代入公式得， . 已知，由于， 根据小概率的独立性检验，没有充分证据拒绝“爱好阅读与性别无关”的原假设，即认为爱好阅读与性别无关. 对选项逐一判断： A、B：因，无法得出“爱好阅读与性别有关”的结论，均错误. C：在的检验标准下，认为爱好阅读与性别无关，正确. D：只有拒绝原假设、得出“有关”结论时，才能说犯错误概率不超过；“无关”的结论不能表述为“犯错误的概率不超过0.001”，错误. 3．（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期末）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，. 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 【答案】BC 【分析】根据表中数据，求出，与临界值比较，可判断A、B；根据的公式，将数据扩大2倍，可得新旧统计量间的关系，即可判断C；样本具有局限性，推广需要更多数据支撑，所以D选项属于过度推断，由此判断D错误. 【详解】由列联表可得， 因为， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效. 故A错误，B正确. 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， ， 所以统计量的值扩大为原来的2倍，故C正确. 传统算法的样本识别成功率约为，新优化算法的样本识别成功率约为，比传统算法高15个百分点， 但只能说明在受检批次的工业零件检测中，新算法优于传统算法， 并不能说明新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法，故D错误. 4．（2027高二·全国·专题练习）某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了 180 名员工进行调查，在被调查员工中有 100 名工作积极， 80 名工作一般，120 名积极支持企业改革，60 名不太赞成企业改革，工作积极的员工里有 80% 积极支持企业改革. (1)作出 列联表 积极支持企业改革 不太赞成企业改革 合计 工作积极 工作一般 合计 (2)对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能否有 的把握认为工作积极性与对待企业改革态度有关? 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 积极支持企业改革 不太赞成企业改革 合计 工作积极 80 20 100 工作一般 40 40 80 合计 120 60 180 (2)有 的把握认为工作积极性与对待企业改革态度有关 【详解】（1）作出 列联表 积极支持企业改革 不太赞成企业改革 合计 工作积极 80 20 100 工作一般 40 40 80 合计 120 60 180 （2）由 列联表可得: 因为 ，所以有 的把握认为工作积极性与对待企业改革态度有关 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米，则大小达标，着色度不低于90%，则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 (1)完成上面的列联表； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 (2)认为苹果的大小达标和色泽达标有关． 【分析】（1）根据列联表行、列总和的关系，即可求出各空的数据；（2）提出零假设，计算出卡方值，与小概率值对应的临界值对比，判断是否拒绝独立的原假设，即可得出两者是否有关. 【详解】（1）（1）列联表如下： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 （2）零假设为：苹果的大小达标和色泽达标无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为苹果的大小达标和色泽达标有关． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表1所示： 表1 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 30 女 12 合计 50 现邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表2所示： 表2 成功完成时间/分 人数 10 10 5 5 (1)将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关； (2)根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧三阶魔方的平均时间；（以频率作为概率，以区间的中点值作为本组的完成时间） (3)现从表2中成功完成时间在内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 8 30 女 8 12 20 合计 30 20 50 能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关 (2)（分）． (3) X 0 1 2 3 P ． 【详解】（1）依题意，补充完整的表1如下： 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 8 30 女 8 12 20 合计 30 20 50 由表中数据计算，得， 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关． （2）依题意，所求平均时间为. （3）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ，，，． 故的分布列为： 0 1 2 3 故． ◆题型16正态密度函数问题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 2． 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 3．（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【分析】首先根据正态密度函数解析式确定和，判断AD，再根据对称性判断BC. 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 4．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【分析】利用正态分布的对称性求出和的值，再比较两条密度曲线的对称轴位置与最高点高度，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 5．（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选:ACD. ◆题型17正态分布的概率问题 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）随机变量，若，则（     ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【分析】利用正态曲线关于均值对称的性质，得到区间与的概率相等，再结合对称轴右侧总概率为，作差求出． 【详解】因为，， 所以，， 所以． 2．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，由推出，再结合“1”的代换与基本不等式求最小值. 【详解】正态分布的密度曲线关于对称轴对称，本题中，即对称轴为. 已知，说明和关于对称轴对称， 因此满足，即，且由题设知. 用“1”的代换与基本不等式： 当且仅当，即时取等号. 因此最小值为. 3．（25-26高二下·陕西西安·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（     ） 附：若，则， ，． A．130 B．273 C．1631 D．1804 【答案】B 【分析】根据正态分布确定参数和，进而利用正态分布的对称性，结合给出的区间概率公式计算出单果质量超过210g的概率，再根据总个数计算符合条件的脐橙估计个数. 【详解】由，可知均值，方差，因此标准差， 目标质量210g恰好等于， 所以， 即单果质量在之间的概率约为0.9545. 根据正态分布的对称性，总概率为1， 可得超出区间的概率为， 因此右侧（质量>210g）的概率为：， 所以单果质量超过210g的个数约为：. 4．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期末）我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗X服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗Y服从正态分布．则下列结论正确的有（    ） （附：若随机变量Z服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用期望与方差的线性性质计算 和即可判断AB，利用正态分布的对称性与区间概率计算判断C，计算，估算即可判断D. 【详解】对于A，由题意得， ，故A错误； 对于B，由题意得， ，故B正确； 对于C，由题意得， 即，故C正确； 对于D，由题意得 ， 即， ， 所以 所以，故D正确. 5．（2027高二·全国·专题练习）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差，用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布 ，若的值在内的概率约为，则的值约为_____. (参考数据: 若 ，则 ). 【答案】6 【分析】根据题意，利用正态分布的概率的计算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，体温服从正态分布，可得， 因为的值在内的概率为，且， 则，所以，解得， 所以，解得. 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标， (1)求所抽取的包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布 ，利用该正态分布，求落在 内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了包这种品牌的速冻水饺，记这包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望． 附：①计算得所抽查的这包速冻水饺的质量指标的标准差为 ； ②若 ，则 ， ． 【答案】(1)26.5 (2)①0.6826； ② 0 1 2 3 4 【分析】(1)利用各区间的中点值与对应的频率乘积求和计算样本平均数； （2）①判断区间与的关系后可求对应的概率；②根据二项分布的分布列和均值的分布列和期望. 【详解】（1）样本平均数 所以所抽取的包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为26.5； （2）① ，，， 所以 所以落在 内的概率是0.6826； ②由题意得 ，的可能取值是， ,,,, , 所以的分布列是 数学期望. ◆题型1 概率中的最值问题 1．（25-26高二下·福建厦门·期中）某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（     ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取12人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故． 2．（多选）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 【答案】ACD 【分析】分析出第一次抽到号球后，号盒子内球的编号及个数，结合古典概型的概率公式可判断A选项正确；利用全概率公式可判断B选项错误；利用贝叶斯公式可判断C选项正确；给出具体操作，可判断D正确. 【详解】记第一次取得号球为事件，则， 对于A选项，若第一次抽到号球，则接下来将号球放入号盒子， 此时号盒子中共有个球，其中有个号球， 故在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为，A对； 对于B选项，记第二次取到号球为事件， 由题意可得，， 由全概率公式可得 ，B错； 对于C选项，由条件概率公式可得， ， ， 所以， 故如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小，C对； 对于D选项，按下表操作： 1号盒 2号盒 3号盒 初始状态 123 123 123 第一次操作 13 1223 123 第二次操作 13 122 1233 第三次操作 113 122 233 第四次操作 11 122 2333 第五次操作 11 1222 333 第六次操作 111 222 333 选项D正确. 3．（25-26高二下·浙江·期中）盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4张卡片，现从中有放回地抽取次卡片，每次仅抽取1张，记这次抽取的卡片中最大编号为，若要求成立，则至少抽取____________次． 【答案】4 【详解】， ， 由，得， 令，则在时单调递减， 又，所以的最小值为4． 4．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择_______上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 【答案】公交 【分析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到，由此计算三种方式下的值，比较大小，即可得结论. 【详解】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到； 若选择自驾，则； 若选择地铁，则； 若选择公交，则， 而， 故选择公交上班迟到的可能性最小， 故答案为：公交 5．（25-26高二下·广东广州·期末）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (2)已知这件产品质量指标值的样本方差为，由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，试问当为何值时，最大？并说明理由． 附：．若， 则，． 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）时，最大． 【分析】（1）利用频率分布直方图均值公式，每组中点值乘以本组频率后相加，求得样本平均数； （2）（ⅰ）结合确定区间对应与，借助正态分布对称性，用两段区间概率差值的一半计算所求概率； （ⅱ）识别服从二项分布，通过相邻概率比值分析增减性，找到使概率最大的整数． 【详解】（1）由题意得； （2）（ⅰ）由题意得，，， ，， ，， 所以 ， （ⅱ）由题意得，其中， 所以， 所以， 令，解得， 当时，，； 当时，，， 所以时，最大． 6．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2) 0 3 6 9 数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. ◆题型2 生活中的决策问题 1．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）随着新能源汽车普及，各地公共快充桩不断建设．某测评机构统计了6座城市公共快充桩的平均充电功率（单位：）数据如表： 城市 站点位置 快充桩平均充电功率 A市 城东服务区 112.5 B市 城西枢纽 135.2 C市 北站广场 98.7 D市 南环线 141.8 E市 港口园区 105.4 F市 国泰商场 118.6 规定：若城市快充桩平均充电功率大于110kW，定义该城市为快充高性能城市． (1)从以上6座城市中随机选取2座城市进行调研，求选取的2座城市恰有一座是快充高性能城市的概率； (2)甲、乙两家新能源投资公司分别从以上6座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙选取互不影响，可以选取同一座城市），求甲、乙两家公司中恰有1家选取到快充高性能城市的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】先确定高性能城市的数量，再分别列出总的基本事件数和每个事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型分别求解两问的概率即可. 【详解】（1）根据题意，6座城市中快充高性能城市为A、B、D、F，共4座，非高性能城市为C、E， 从以上6座城市中随机选取2座城市，总基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）， （B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15 个， 而选取的2座城市恰有1座是高性能城市包含的基本事件有：（A，C），（A，E），（B，C），（B，E），（C，D），（C，F），（D，E），（E，F），共8个， 所以由古典概型概率公式得所求概率为：. （2）甲、乙独立选取，总基本事件数为，恰有1家选到高性能城市分为两类： 第一类：甲选到高性能城市，乙未选到，基本事件数：（A，C），（B，C），（D，C），（F，C），（A，E）， （B，E），（D，E），（F，E），共8个； 第二类：甲未选到高性能城市，乙选到，基本事件数为：（C，A），（E，A），（C，B），（E，B），（C，D）， （E，D），（C，F），（E，F），共8个. 所以由古典概型概率公式得所求概率为： . 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图求出，进而求出指定的两个区间内抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了（人），记为，在中随机抽取了（人），记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点， “至少有1名学生的成绩在内”的事件，有7个样本点， 则，所以至少有1名学生的成绩在内的概率为. （2）首场甲、乙比赛，甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为； ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为； ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 3．（26-27高二上·陕西西安·开学考试）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3)选择先玩游戏二获得徽章的概率更大， 设事件“先玩游戏二获得徽章”，“先玩游戏三获得徽章”； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 故；则接下来选择先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【分析】（1）根据古典概型公式计算概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本个数，再根据古典概型求解概率即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而得出结论． 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”；“游戏二获胜”；“游戏三获胜”； 游戏一取出一个球的样本空间为；； 因为，则；则； 游戏二有放回地取出两个球的样本空间为；； 因为，则，则； 故游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为； （2）不放回地依次取出两个球共有样本数为，其中样本点为 ； 时，游戏三包含样本点为，样本个数为， 故游戏三的获胜概率为； （3）略 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题.题目：你对本店铺售后服务整体评价为：A.非常满意；B.比较满意；C.不太满意；D.很不满意，平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”.甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人.假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率. (1)从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； (2)从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）记事件“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件“抽取1名顾客来自于乙店铺”，事件“顾客选择满意”， 根据题意可知，， ，，， 则； （2）设事件“甲店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 事件“乙店铺的顾客选择‘满意’（A或B）”， 由题意可知，，，则，. 的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 则. 1．（25-26高二下·山东聊城·期末）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件：经过3 次摸球未能停止摸球，：经过5 次摸球停止摸球，发生则一定发生，故，的对立事件是3次取3个编号（全排列），求出，表示：前4次恰好只出现2个编号（且两个编号都至少出现 1 次），第5次摸到剩下的第 3个编号，用组合计数算出，代入条件概率公式求值. 【详解】设事件：经过次摸球未能停止摸球； 事件：经过次摸球停止摸球， “3次摸球停止”等价于前3次恰好取到1、2、3三个编号， 即为3个元素全排列，共种情况， 摸3次球的总基本事件数为， 因此3次停止的概率， 则3次未能停止的概率：， 5次摸球的总事件数为， 选取前4次出现的2个编号有种， 前4次仅用这2个编号且均至少出现1次， 有效情况数：种（减去全程只出现单个编号的2种极端情况）， 第5次必须摸到剩余1个未出现的编号，仅1种情况， 综上，符合条件的总事件数：， 因此事件的概率：， 因为真包含于中，所以， 则. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则3次变换后中取值范围为的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过讨论第一次进行（1）或（2）或（3）或（4）变换，再分析后两次的变换情况，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】根据题意，，其定义域为，进行（1）或（2）变换时，不影响定义域， 若第一次进行了（3）变换，变化为，定义域变为， 再进行（3）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（4）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（1）或（2）变换，定义域不会为； 若第一次进行了（4）变换，此时变化为，定义域变为， 再进行（3）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（4）变换，变化为，定义域变为， 或再进行（1）或（2）变换，定义域不会为； 故3次变换后中取值范围为的变换有以下几种： 三次都为（1）或（2）变换，概率为； 第一次为（1）或（2）变换，第二、三次都为（3）或（4）变换， 概率为； 第一次为（3）或（4）变换， 后续两次其中一次为（3）或（4）变换，另一次为（1）或（2）变换， 概率为； 故3次变换后中范围为的概率． 3．（多选）（25-26高二下·河南南阳·期中）已知相关系数，关于的线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，已知变量与变量的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为；以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（    ） A．若已知变量的方差，则可得知变量的标准差 B．若已知变量的方差，则不可得知变量的标准差 C．若不给定其他信息，则也可得知变量与变量各自的平均值 D．若不给定其他信息，则也可得知变量与变量的相关系数 【答案】ACD 【分析】根据方差，标准差，相关系数和的定义和表达式，得到及其他关系式，结合数据，代入求值，得到答案 【详解】对于D，以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为， 故， 以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为， 故， 故， 且回归系数为负数，故相关系数，D正确. 对于A，设变量与变量的标准差分别为，， 则，，， 所以 即， 代入已知数据得，即， 若已知变量的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，若已知变量的方差，即可求得，进而代入求得，B错误. 对于C，线性回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，联立解得，， 故不给定其他信息也可得知变量与变量各自的平均值，C正确. 4．（多选）（25-26高二下·山东青岛·期末）甲、乙两人分别从种不同的书中任选2种和3种，记两人共选择了种书，设，，则（   ） A．X服从二项分布 B．Y服从超几何分布 C．Z服从超几何分布 D． 【答案】BCD 【详解】固定甲所选的种书，设乙所选的种书中有种属于甲所选书，则 两人共选择的书的种数为． 当时，均有可能； 二项分布在时的取值从开始连续取到试验次数，而或时为常量，所以不服从二项分布，A错误． 又，它表示乙所选的种书中不属于甲所选书的种数，因此B正确． 同理，表示甲所选的种书中不属于乙所选书的种数，所以C正确． 最后，D正确． 5．（多选）（25-26高二下·河南开封·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为．在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（   ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可. 【详解】对于6维坐标，其中，即有2种选择， 故共有种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个（，）满足，有3个满足， 所以满足的顶点对有组，因此，故B正确； 满足的顶点对有组，所以， 即，，，，，. 因此，故C正确； 而，故D正确. 6．（25-26高二下·广东江门·期末）2026年春晚的机器人舞蹈表演令人印象深刻．现有一机器人从坐标原点出发，每次等可能地向左、向右、向上、向下移动1个单位长度，总计移动3次．已知该机器人有且仅有一次途经（含到达）点，在此条件下，机器人全程仅在水平方向移动3次的概率是___________． 【答案】 【分析】设事件“有且仅有一次途经（含到达）点”， 事件“仅在水平方向移动3次”，根据一步到位和三步到位分类讨论求解. 【详解】设事件“有且仅有一次途经（含到达）点”， 事件“仅在水平方向移动3次”， 按移动到点位置需要1步还是3步分类讨论，记向左，向右，向上，向下； 若第1步到为事件，第2步有4种走法，第3步有3种走法，可以满足机器人有且仅有一次途经（含到达）点， 即； 若第3步到为事件，则移动3次满足要求的是，共5种走法， 所以； 因为，且互斥， 所以； 满足的情况有，共3种走法， 所以； 所以. 7．（25-26高二下·广东·期末）将7本不同故事书分配给3个孩子，每个孩子至少分得一本，记三个孩子分得书本的数量分别为，若从所有可能的分配方案中随机选择一种，记随机变量为三个数中最大的数，则的数学期望为___________． 【答案】 【分析】先计算所有满足条件的分配总数，再按最大数量的可能取值分类计数，用“分组再分配”的方法分别求出各取值对应的方案数，最后代入期望公式计算，化简即得结果. 【详解】解：总分配数：每本书都可以独立选择给3个孩子中的任意一个，所以一共有：（种）分配方式， 减去“有人没分到”的情况：先减去至少有1个孩子没分到书的情况： 选1个孩子不给书，剩下7本书只能分给另外2个孩子，有（种）分法， 所以初步减去：（种）， 但这样多减了“有2个孩子都没分到书”的情况： 因为“孩子甲没分到”和“孩子乙没分到”两种情况下，都包含了“甲、乙都没分到”的情形，被重复减了， 选2个孩子不给书，7本书只能给剩下的1个孩子， 所以加回：（种）， 于是满足“每人至少1本”的方案（种）， 将7本不同的书分为3组（每组至少1本），有4种分组的可能：，，． （1）当时， ①先分组，再分配给3个孩子的方案：种， ②先分组，再分配给3个孩子的方案：种， 合计方案数：种，； （2）当时，先分组，再分配3个孩子的方案： 种， （3）当时，先分组，再分配给3个小朋友的分法：种， 因此，． 8．（26-27高二上·广东中山·阶段检测）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. (1)分别求甲队和乙队获得冠军的概率； (2)分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； (3)求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的定义求概率； （2）设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇”，再分别讨论发生时乙队的位置和战胜情况， 利用独立事件的概率乘法公式求概率. （3）设“甲遇到第支球队”，再列举出甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况，利用古典概型求概率. 【详解】（1）设“甲获得冠军”，“乙获得冠军”. ， 由于剩下的七支队伍获得冠军的概率相等， 所以， 所以. （2）不妨设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇” 发生等价于乙队在编号2的位置，所以， 发生等价于乙队在编号3，4的位置，且甲和乙分别战胜第一轮的对手， 所以， 发生等价于乙队在编号5，6，7，8的位置，且甲和乙分别战胜第一轮和第二轮的对手， 所以. （3）由（1）可知，甲获得冠军的概率为， 设“甲与乙、丙两队都对决过且甲获得冠军”，设“甲获得冠军” 记甲等可能地遇到剩余的七支球队，为方便起见，设“甲遇到第支球队”. 其中表示甲队遇到乙队，表示甲队遇到丙队， 甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况构成的集合为： 共有35个事件，且这35个事件的概率相等，因此，； 因为 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $