第四章 概率与统计（复习讲义）数学人教B版高二选择性必修第二册

第4章 概率与统计 复习要点 1.理解并掌握从条件概率、随机变量到一元线性回归与独立性检验的核心概念与公式。 2. 掌握关键模型：条件概率的计算、离散型随机变量（特别是二项分布）的分布列与数字特征、理解核心思想：理解用概率刻画随机性，用统计从数据中推断总体规律的基本思想。 3.在具体情境中，正确判断并选用 “二项分布” 还是 “超几何分布” 复习重难点 重点：条件概率的求解、二项分布与超几何分布的数字特征； 难点：全概率公式与贝叶斯公式 知识点 条件概率与全概率公式 （1）条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 要点速测 （2）全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： （3）贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 要点速测 1.（25-26高二下·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若，，则_________． 知识点 事件的独立性 1．相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立． （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立． （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 要点速测 3．（25-26高二上·四川资阳·期末）（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（   ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件相互独立 D．事件A与事件B互斥 知识点随机变量及离散型随机随机变量的分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列． X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 3．两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率． 要点速测 4．（25-26高二下·北京·期末）随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 知识点二项分布与超几何分布 1．次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2．二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率． 3．超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 4．二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 要点速测 5．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在7件产品中有2件不合格品，从中任取3件，用随机变量表示取出的3件中不合格品的件数，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·北京房山·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 知识点随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 3．特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则; （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则 要点速测 7．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 知识点正态分布 1．正态曲线及正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3．三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； ． ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0．0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 要点速测 8．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知随机变量，随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9 知识点一元线性回归模型 1．变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2．样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：． ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱． 通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3．一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，． 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4．判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高． 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 5．非线性回归模型 （1）建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． （2）常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 要点速测 9．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 知识点独立性检验 1．2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 要点速测 10．（25-26高二下·全国·课后作业）某农科所试验新药防治玉米病虫害，得到样本数据并计算．依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（   ） A．若使用该新药，则有99.9％的玉米没有病虫害 B．有0.001的把握认为新药有效 C．新药无效 D．可以认为“防治玉米病虫害的新药有效”，此推断犯错误的概率不大于0.001 题型01 计算条件概率 ▌例1 5．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 解题技巧 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件和AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 ▌迁移练1-1（25-26高二下·贵州遵义·期中）对于事件A，B，，，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁、戊五位同学随机站成一排．在甲和乙相邻的条件下，甲和丙也相邻的概率为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高二下·山东东营·期末）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-4（25-26高二下·全国·课后作业）袋中红球和白球各5个，不放回逐一取球．在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为________． ▌迁移练1-5（25-26高二下·陕西榆林·期末）甲、乙两位旅游博主准备独立随机地去，，，这4个景点中的某一个景点打卡，且每人选择每个景点的概率相等，事件表示甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则_________. 题型02 条件概率性质的计算 ▌例2 （25-26高二下·湖北黄冈·期末）若随机事件A，B的概率满足，，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 ▌迁移练2-1（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． ▌迁移练2-2已知随机事件 ， ，，，，则______． ▌迁移练2-3（25-26高二上·江西九江·期末）已知，，，则______． ▌迁移练2-4（多选）已知随机事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 题型03 利用全概率公式求概率 ▌例3 （25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三类AI模型的应答准确率分别为0.9，0.8，0.7，选择三类模型的概率分别为0.5，0.3，0.2．则该问题的应答准确率为（   ） A．0.80 B．0.82 C．0.83 D．0.85 解题技巧 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和. ▌迁移练3-1（25-26高二下·全国·课后作业）某病人不使用新药天病愈的概率为，使用新药天病愈的概率为．若病人天病愈的总概率为，则病人使用新药的概率为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2（25-26高二下·吉林·期末）超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练3-3（25-26高二下·河北沧州·期末）乒乓球运动深受青少年学生的喜爱．据统计，某学校初一、初二两个年级中喜欢乒乓球运动的学生分别占本年级总人数的，，且这两个年级的学生人数之比为，现从这两个年级中随机抽取一名学生，则该学生喜欢乒乓球运动的概率为（    ） A．0.36 B．0.42 C．0.54 D．0.72 ▌迁移练3-4（25-26高二下·甘肃定西·期末）为弘扬中华文化，提高学生对诗词的兴趣，某高中举办了“中华诗词大会”活动．活动中，每道选择题有4个选项．选手若掌握该诗词，则一定答对；若未掌握，则从4个选项中随机猜一个．已知某选手答对题目的概率为0.55，则他掌握该诗词的概率为（     ） A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 ▌迁移练3-5（25-26高二下·陕西榆林·期末）某公司，两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，组生产的芯片合格率为，公司决定再将这些产品送专家鉴定，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为__________. 题型04 独立事件的乘法公式 ▌例4 （26-27高二上·北京平谷·阶段检测）一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击4次后被中止的概率为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用独立事件乘法公式求概率，首先要准确判断事件是否相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。解题时先明确所求事件由哪些子事件构成，确认它们彼此独立后，分别求出每个子事件的概率，再将这些概率相乘即可。若事件不独立，需改用条件概率公式。常见题型中，多次独立重复试验、不同对象各自独立完成任务等场景均可直接套用此公式，关键是先验证独立性再计算。 ▌迁移练4-1（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练4-3（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-4（25-26高二下·四川资阳·期末）已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（    ） A．事件与独立 B． C． D． ▌迁移练4-5（25-26高二下·四川资阳·期末）已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（    ） A．事件与独立 B． C． D． 题型05 离散型随机变量的分布列 ▌例5 （25-26高二下·陕西西安·期末）若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 ▌迁移练5-1（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26高二下·河北·期末）设随机变量的分布列（，2，3），则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-3（25-26高二下·广西百色·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则实数m的值为（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． ▌迁移练5-4（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-5（25-26高二下·吉林辽源·期中）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 题型06 二项分布问题 ▌例6 （25-26高二下·河南信阳·期末）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 解题技巧 求二项分布分布列及期望与方差，首先要判断试验是否符合n次独立重复试验，每次试验只有成功或失败两种结果，且成功概率p保持不变。确认符合后，随机变量X服从二项分布，记为X服从B(n,p)。分布列用组合数乘以p的k次方再乘以(1-p)的(n-k)次方，其中k取0到n的整数。期望直接用n乘以p，方差用n乘以p再乘以(1-p)。解题关键是先识别模型，再直接套公式，避免逐个计算概率。 ▌迁移练6-1（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2（25-26高二下·全国·课后作业）福袋中装有标号1，2，3，4，5的五个相同小球，一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与，则恰好有3人获奖的概率是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-3（25-26高二下·全国·课后作业）福袋中装有标号1，2，3，4，5的五个相同小球，一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与，则恰好有3人获奖的概率是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-4（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-5（25-26高二下·安徽宿州·期末）甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． (1)求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； (2)若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 题型07 超几何分布问题 ▌例7 （25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 解题技巧 求超几何分布分布列及期望与方差，首先要判断试验是否为不放回抽样，即从有限总体中抽取样本，每次抽取不放回，总体分为两类个体。确认符合后，随机变量X服从超几何分布，记为X服从H(N,M,n)，其中N为总体容量，M为成功类个体数，n为抽取次数。分布列用组合数计算，分子为从M个成功个体中取k个的组合数乘以从N-M个失败个体中取n-k个的组合数，分母为从N个总体中取n个的组合数。期望直接用n乘以M除以N，方差用n乘以M除以N再乘以(1-M/N)最后乘以(N-n)/(N-1)。解题关键是先识别不放回抽样模型，再直接套公式，避免与二项分布混淆。 ▌迁移练7-1（25-26高二下·河南信阳·期末）袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（25-26高二下·四川南充·期末）已知盒子中装有个红球和个白球，从中任取个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3（25-26高二下·河北沧州·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练7-4（25-26高二下·山东临沂·期末）某校高二、一班共有男生30人，女生20人，从该班学生中选出5人组成一个数学建模兴趣小组，小组中女生人数为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌迁移练7-5（25-26高二下·山西吕梁·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 题型8 均值方差在决策中的应用 ▌例8 （26-27高三上·湖北·阶段检测）某超市进行促销活动发放购物券，在一个不透明的袋子中放了8个小球，其中3个红球，3个黄球，2个绿球；已知一个红球代表10元代金券，一个黄球代表20元代金券，一个绿球代表30元代金券．对每一位顾客，有两种方案可以选择： 方案一：一次性抽出3个球，计算代金券总和； 方案二：依次不放回地每次抽出1个小球，直到抽出一个绿球即停止，计算已经抽出的球的代金券总和． (1)若某顾客选择方案一，求恰好代金券总和为60元的概率； (2)若某顾客选择方案二，求在至少获得100元代金券的条件下，抽出的球的个数为6的概率； (3)计算两种方案获得代金券总和的期望，并依据计算结果回答顾客应该选择哪种方案． 参考公式：期望的线性可加性，对任意随机变量X，Y，有． ▌迁移练8-1（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某游戏包含3轮挑战，每轮挑战需依次完成两个独立的任务，玩家甲挑战任务一成功的概率为；挑战任务二成功的概率为.并且每轮必须两个任务全部挑战成功，该轮才算过关. (1)求甲一轮挑战过关的概率； (2)记为甲“首次过关”的轮次数（若3轮均未过关，则记），写出的分布列并计算其期望； (3)玩家乙说：“在一轮挑战中，玩家甲把每轮的两个任务都训练到正确率各提升，不如把其中一个任务训练到完美（正确率变为1）提升大.”请你通过计算，判断乙的说法是否正确，并说明理由. ▌迁移练8-2（25-26高二下·上海宝山·期末）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了优惠活动，顾客消费满1000元（含1000元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（完全相同）的抽奖盒中，直接摸出3个球，中奖规则：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠. (1)顾客A选择方案2，已知他至少摸出1个红球的情况下，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了1000元， ①若他选择方案1，求他实付金额X的分布列和期望（结果精确到整数）； ②若他选择方案2，求他实付金额Y的分布列和期望（结果精确到整数）； 试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理. ▌迁移练8-3某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元.设一次抽奖随机取出的红球的个数为X. (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益(收益=奖金-花费)为Y元，求随机变量Y的期望和方差.从抽奖活动主办方的角度出发，若要实现盈利.你认为抽奖费用定价是否合理？请从数学的角度进行说明. 题型9 正态分布问题 ▌例9 （25-26高二下·福建南平·期末）若，且，则（     ） A． B． C． D． 解题技巧 解决正态分布问题，首先要明确其概率密度曲线关于均值对称，且曲线下的总面积恒为一。解题核心在于利用对称性简化计算，例如求某区间概率时，可转化为标准正态分布表查值。注意识别题目给出的均值和标准差，将一般正态变量标准化。对于“至少”“至多”等表述，要准确对应到区间的开闭。熟记常用概率值，如一个、两个、三个标准差内的概率，可快速判断结果合理性。 ▌迁移练9-1（25-26高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，实数满足，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 ▌迁移练9-2（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 ▌迁移练9-3（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 ▌迁移练9-4（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练9-5（2026高二·全国·专题练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高二年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从同一正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据：， 参考公式：若，有，，． 题型10 线性回归方程 ▌例10 （25-26高二下·福建南平·期末）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（     ） A．相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B．， C．当时，残差为 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 ▌迁移练10-1（25-26高二下·河南郑州·期末）已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-2（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-3（25-26高二下·福建厦门·期末）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-4（25-26高二下·福建福州·阶段检测）随着“碳中和”战略的推进，某市新能源汽车保有量逐年攀升．为了研究该市新能源汽车保有量y（单位：万辆）与年份代码x之间的关系，统计了该市2016年至2025年（年份代码x分别为1至10）的数据．经初步处理，得到如下统计量的值： ，，，，，其中表示的自然对数． (1)根据散点图分析，发现与之间不适宜建立线性回归方程，但与具有较强的线性相关性，请利用最小二乘法，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； (2)该市某社区计划推广“绿色出行”活动，拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中，随机抽取3人组成宣讲团．设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； (3)为了进一步提升服务质量，该社区对宣讲团成员进行培训考核．已知新能源车车主考核合格的概率为，燃油车车主考核合格的概率为，且各人考核是否合格相互独立．求抽取的宣讲团成员中，恰好有2人考核合格的概率． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 题型11 独立性检验 ▌例11 （25-26高二下·重庆北碚·期末）为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 ▌迁移练11-1（25-26高二下·河南·期末）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y独立 D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 ▌迁移练11-2（25-26高二下·河北石家庄·期末）下列说法中，正确的是（     ） A．两个变量的相关程度越强，相关系数越接近于1 B．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到,根据小概率值的独立性检验：,可判断与有关联 ▌迁移练11-3（25-26高二下·全国·课后作业）某高校调查学生性别和喜欢短视频是否有关联．男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频人数占男生人数的，女生中喜欢短视频人数占女生人数的．若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别有关联，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 ▌迁移练11-4（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）为研究分类变量与是否独立，零假设：与相互独立，得到关于与的抽样数据的列联表，计算得．若将原列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的倍，得到新的列联表及其对应的，则（    ） 附卡方计算公式及临界值表： A． B． C．依据小概率值的独立性检验，由原列联表没有充分证据推断不成立，可以认为与独立 D．依据小概率值的独立性检验，由新列联表推断不成立，即认为与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 ▌迁移练11-5（25-26高二下·陕西汉中·期中）为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对充电设施是否满意 对续航里程是否满意 满意 不满意 满意 80 20 不满意 40 60 (1)用频率估计概率，任意调查一名新能源汽车车主，设事件A为“该车主对续航里程满意”，事件B为“该车主对充电设施满意”，求和； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附：，其中. α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 难点一 利用贝叶斯公式求概率 利用贝叶斯公式求概率，关键在于识别题目中的“先验概率”与“似然度”。首先，明确所求的是在某个结果发生后，追溯其由特定原因导致的“后验概率”。解题时，先列出所有可能导致该结果的原因，并计算每种原因发生的概率及其导致该结果的条件概率。接着，利用全概率公式求出该结果发生的总概率作为分母。最后，将特定原因导致该结果的联合概率作为分子，两者相除即得答案。务必注意区分“原因推结果”与“结果推原因”的逻辑方向，避免混淆条件概率的分子分母。 难点精练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）某视频网站中“”合成视频占有率为．某鉴伪技术在视频是伪造的情况下，有的可能鉴定为“”；在视频真实的情况下，有的可能误判为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频确为“”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川泸州·期末）现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 4．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）从两台机器、生产的零件中，按的比例抽取样本．已知机器产出零件的合格率为，机器产出零件的合格率为．在的合格品中，一级精度率为；在的合格品中，一级精度率为．若抽取到的某件样本是一级精度，则它产自机器的概率为______． 7．（25-26高二下·河南郑州·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.现有某工厂利用检测机器人筛查零件，已知生产的零件次品率为，机器人检测的规则如下：①若是次品，机器人检测判定为次品的概率为；②若是正品，机器人误判为次品的概率为.现随机抽取一件零件，机器人检测结果显示为次品，则该零件实际为次品的概率______. 8．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 难点二 概率的最值问题 高中数学概率最值问题，核心是先把随机事件转化为函数。常见做法是先列出概率表达式，再把它看成关于某个参数的函数。若表达式是二次型，可用配方法或对称轴判断最值；若含多个变量，可结合基本不等式或均值不等式处理；若变量取值有限，也可通过枚举、比较相邻项大小来寻找最大或最小概率。解题时要注意概率本身的取值范围，不能只看函数极值而忽略实际意义。最后还要检验最值对应的参数是否满足题目条件。 难点精练 1．（多选）（25-26高二下·广东·期末）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（    ） A．三枪都命中的概率为 B．至少有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 2．（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 3．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期末）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最小 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最小 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 4．（25-26高二下·四川成都·期末）设表示次独立重复试验中随机事件发生的次数.已知，，则_________；变量表示对的贡献值，当最大时，___________. 5．（25-26高二下·四川南充·期末）如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大．    6．某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江丽水·期中）抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 2．（25-26高二下·江苏泰州·期末）若随机变量的概率分布如下： 2 3 4 0.3 0.1 则（     ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．（25-26高二下·重庆渝北·期中）掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东·期末）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知两个线性相关变量与的统计数据如下表，其经验回归方程为，则下列说法错误的是（    ） A．样本相关系数 B． C．样本中心点为 D．时，残差为 6．（26-27高二上·湖北·阶段检测）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·安徽·期末）某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（    ） （附：若随机变量，则） A．68 B．82 C．84 D．95 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算． 分组 数学成绩分 数学成绩<120分 合计 每天锻炼小时 60 40 100 每天锻炼<1小时 30 70 100 合计 90 110 200 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，． 下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关 B．在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大 C．若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍 D．值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关 二、多选题 9．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知甲盒产品中有个正品和个次品，乙盒产品中有个正品和个次品．若从甲盒中任取个产品，则（     ） A．这个产品均为正品的概率为 B．这个产品一个为正品一个为次品的概率为 C．这个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为 D．若将这个产品放入乙盒，再从乙盒任取个产品，则取出的是正品的概率为 10．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二下·陕西西安·期末）若随机变量X服从两点分布，且，则________． 13．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知随机变量，若，则____________. 14．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券．某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为___________；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为___________． 四、解答题 15．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）某“非遗”工坊推出两款文创产品：传统手工刺绣书签（简称款）和现代设计盲盒（简称款）．为了了解市场反响，工坊在展会期间随机抽取了200名消费者进行问卷调查，统计数据显示，购买款的有80人，其中青年（年龄小于35岁）占60%，购买款的有120人，其中中老年（年龄不小于35岁）有48人． (1)请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“产品选择”是否与“年龄段”有关联？ 【参考公式】 选款 选款 合计 青年 中老年 合计 80 120 200 (2)工坊对两款产品进行了定价心理测试，记录了消费者愿意支付的最高价格（单位：元）．经统计分析，两款产品的数字特征如下表： 产品类型 平均数 方差 款 55 25 款 55 225 已知两款产品消费者愿意支付的最高价格均满足正态分布．现有一位顾客愿意支付的最高价格为70元，请你结合上表数据与所学数学知识，判断这位顾客最高花70元更倾向于购买哪一款产品，并说明理由．【参考数据】若，则，，． 16．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立， (1)二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束，求比赛了2局就结束比赛的概率； (2)若二人约定：先胜3局者获胜，比赛结束；求甲获胜的概率． 17．（26-27高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）某国际学校举办国际象棋锦标赛，甲、乙、丙三名选手通过预选赛，进入决赛阶段．已知甲与乙对局时，甲获胜的概率为，甲与丙对局时，甲获胜的概率为．乙与丙对局时，乙获胜的概率为．决赛规则如下:首先确定第一轮对决的两名选手，另一人轮空;每一轮结束后，该轮的胜者与轮空者进行下一轮对决，败者轮空．每轮胜者得1分，败者得0分，率先累计获得2分者成为冠军，比赛结束． (1)假设首轮对阵为甲与乙进行第一轮对决，丙轮空；，且各轮比赛结果相互独立． ①求开局两轮后乙就获得冠军的概率；    ②求比赛结束时乙获得冠军的概率． (2)若，且乙在第一轮出场，并有权选择首轮对手．为最大化夺冠概率，乙应如何选择首轮对手？请进行分析． 18．（25-26高二下·山东东营·期末）满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布． (1)为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）； （参考数据：若，，） (2)若，函数（），证明：曲线是中心对称图形； (3)若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：． 能力进阶 1．（25-26高二下·山东聊城·期末）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）某智算中心由A，B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A，B的机会相等，A系统第一次运算成功的概率为0.9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A，B两个系统第二次运算成功的概率均为，每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的概率为0.97，则下列说法正确的是（    ） A． B．任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02 C．第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12 D．最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6 3．（2026高三下·全国·专题练习）一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（   ） A． B． C．0 D． 5．（多选）（25-26高二下·山东青岛·期末）甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，当其中人比另一人多胜轮就获得胜利，则（     ） A．两轮结束后出现平局的概率为 B．第4轮结束后甲获胜的概率为 C．至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D．甲获胜的概率为 6．（多选）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记（，1，2）表示“从甲袋中取出的2个球中含有i个红球”，B表示“从乙袋中取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A．事件，，两两互斥 B． C． D． 7．（25-26高二下·福建南平·期末）一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________． 8．（25-26高二下·河北保定·期末）已知，，均为正整数且，记随机变量，则的数学期望为__________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 概率与统计 复习要点 1.理解并掌握从条件概率、随机变量到一元线性回归与独立性检验的核心概念与公式。 2. 掌握关键模型：条件概率的计算、离散型随机变量（特别是二项分布）的分布列与数字特征、理解核心思想：理解用概率刻画随机性，用统计从数据中推断总体规律的基本思想。 3.在具体情境中，正确判断并选用 “二项分布” 还是 “超几何分布” 复习重难点 重点：条件概率的求解、二项分布与超几何分布的数字特征； 难点：全概率公式与贝叶斯公式 知识点 条件概率与全概率公式 （1）条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 要点速测 （2）全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： （3）贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 要点速测 1.（25-26高二下·山西晋中·期中）已知事件、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式得，故. 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若，，则_________． 【答案】0.25/ 【详解】因为，， 所以. 知识点 事件的独立性 1．相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立． （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立． （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 要点速测 3．（25-26高二上·四川资阳·期末）（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（   ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件相互独立 D．事件A与事件B互斥 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件的概念可判断AC；根据对立事件的概念可判断B；根据互斥事件的概念可判断D. 【详解】由题意可得事件“第二枚硬币正面朝上”， 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，有如下基本事件，正正，正反，反正，反反， 所以，，， 对于A，因为，所以事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是对立事件，故B错误； 对于C，因为，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，故D错误. 故选：AC 知识点随机变量及离散型随机随机变量的分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列． X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 3．两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率． 要点速测 4．（25-26高二下·北京·期末）随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（     ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可得答案. 【详解】因为，所以. 知识点二项分布与超几何分布 1．次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2．二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率． 3．超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 4．二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 要点速测 5．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在7件产品中有2件不合格品，从中任取3件，用随机变量表示取出的3件中不合格品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据超几何分布概率计算公式计算求解即可. 【详解】由题意可得. 6．（25-26高二下·北京房山·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率计算公式即可. 【详解】因为，所以. 知识点随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 3．特殊分布的均值与方差 （1）两点分布 若,则; （2）二项分布 若,则; （3）超几何分布 若离散型随机变量x服从超几何分布，则有若，则 要点速测 7．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，的取值为. 则，，. 则的分布列为： 0 1 2 可得. 知识点正态分布 1．正态曲线及正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3．三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； ． ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0．0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 要点速测 8．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知随机变量，随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9 【答案】A 【分析】正态分布的正态曲线关于直线对称，相同说明两条正态曲线形状完全相同，仅对称轴位置不同，利用对称性和已知概率求解即可. 【详解】根据概率的基本性质可知，，即， 因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称， 因为随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称，与到对称轴的距离相等，所以， 又因为相同，随机变量与对应的正态分布曲线形状完全相同，且与分别到各自对称轴的距离相等，所以， 结合，得 知识点一元线性回归模型 1．变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 正相关与负相关 如果从整体上看， 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关； 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性相关 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 非线性相关 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关 2．样本相关系数 ①样本相关系数r的计算公式：． ②样本相关系数r的性质： 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关 |r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱． 通常|r|大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关关系 3．一元线性回归模型 ①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，． 其中，称为样本点的中心． ②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量 4．判断回归模型的拟合效果 方法 决定系数法 残差图 残差平方和 公式 称为相应于点的残差， 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高． 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 5．非线性回归模型 （1）建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． （2）常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 要点速测 9．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据回归直线过样本中心点列方程求解即可. 【详解】由可知 ，. 因为回归直线过样本中心点，即， 将其坐标代入方程可得，解得， 故选：B. 知识点独立性检验 1．2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 要点速测 10．（25-26高二下·全国·课后作业）某农科所试验新药防治玉米病虫害，得到样本数据并计算．依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（   ） A．若使用该新药，则有99.9％的玉米没有病虫害 B．有0.001的把握认为新药有效 C．新药无效 D．可以认为“防治玉米病虫害的新药有效”，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】D 【详解】临界值表中．因为，所以依据小概率值的独立性检验，可以推断新药有效，且此推断犯错误的概率不大于0.001． 题型01 计算条件概率 ▌例1 5．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望____________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为____________． 【答案】 【详解】由题意可知，三次配送结果相互独立，每次准时送达的概率均为， 因此准时送达的次数， ； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“该骑手恰好准时送达两次”， 显然，故， ， ， 所以. 解题技巧 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件和AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 ▌迁移练1-1（25-26高二下·贵州遵义·期中）对于事件A，B，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，. ▌迁移练1-2（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁、戊五位同学随机站成一排．在甲和乙相邻的条件下，甲和丙也相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在甲乙相邻的条件下，把甲乙看成一个整体，条件样本数为． 若甲丙也相邻，则甲必须夹在乙、丙之间，内部顺序为“乙甲丙”或“丙甲乙”两种，再与另外两人排列，有种．因此所求条件概率为，故选A． ▌迁移练1-3（25-26高二下·山东东营·期末）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可. 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此， 表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. ▌迁移练1-4（25-26高二下·全国·课后作业）袋中红球和白球各5个，不放回逐一取球．在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】第一次已经取到白球后，袋中还剩9个球，其中红球仍有5个，白球4个． 因此在该条件下，第二次取到红球的概率为． ▌迁移练1-5（25-26高二下·陕西榆林·期末）甲、乙两位旅游博主准备独立随机地去，，，这4个景点中的某一个景点打卡，且每人选择每个景点的概率相等，事件表示甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则_________. 【答案】 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，则， 事件表示甲乙两人都去A景点，则， 所以. 题型02 条件概率性质的计算 ▌例2 （25-26高二下·湖北黄冈·期末）若随机事件A，B的概率满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式先求得事件A、B的联合概率，再代入另一条件概率公式变形求解. 【详解】对于随机事件，当时，，变形可得， 所以 当时，，变形可得， 所以.解题技巧 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 ▌迁移练2-1（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以. ▌迁移练2-2已知随机事件 ， ，，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，，， 则， 则． ▌迁移练2-3（25-26高二上·江西九江·期末）已知，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】由条件求出，再由条件概率公式求解． 【详解】因为，，，所以． 因为，所以． 故答案为：． ▌迁移练2-4（多选）已知随机事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A ：根据条件概率公式 ，得​，A正确； 对于B：根据概率加法公式 ，得：​，B正确； 对于C：​，C错误； 对于D： 根据对立事件概率，​， 因此 ​，D正确. 题型03 利用全概率公式求概率 ▌例3 （25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三类AI模型的应答准确率分别为0.9，0.8，0.7，选择三类模型的概率分别为0.5，0.3，0.2．则该问题的应答准确率为（   ） A．0.80 B．0.82 C．0.83 D．0.85 【答案】C 【分析】将模型的应答准确率根据甲，乙，丙分别选择并应答准确的三种情况按照全概率公式算出即可. 【详解】设模型的应答准确率为事件，设甲，乙，丙分别选择的模型为， 由全概率公式得 . 解题技巧 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和. ▌迁移练3-1（25-26高二下·全国·课后作业）某病人不使用新药天病愈的概率为，使用新药天病愈的概率为．若病人天病愈的总概率为，则病人使用新药的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算即可求解. 【详解】设使用新药的概率为．由全概率公式，， 解得，，故C正确. ▌迁移练3-2（25-26高二下·吉林·期末）超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件“任意购买一件买到优品”，事件“买到甲工厂的产品”，事件“买到乙工厂的产品”， 则，， 所以买到优品的概率． ▌迁移练3-3（25-26高二下·河北沧州·期末）乒乓球运动深受青少年学生的喜爱．据统计，某学校初一、初二两个年级中喜欢乒乓球运动的学生分别占本年级总人数的，，且这两个年级的学生人数之比为，现从这两个年级中随机抽取一名学生，则该学生喜欢乒乓球运动的概率为（    ） A．0.36 B．0.42 C．0.54 D．0.72 【答案】B 【详解】设随机抽取一名学生，该学生来自初一、初二年级分别为事件，，该学生喜欢乒乓球运动为事件， 用频率估计概率，则，，，， 所以. ▌迁移练3-4（25-26高二下·甘肃定西·期末）为弘扬中华文化，提高学生对诗词的兴趣，某高中举办了“中华诗词大会”活动．活动中，每道选择题有4个选项．选手若掌握该诗词，则一定答对；若未掌握，则从4个选项中随机猜一个．已知某选手答对题目的概率为0.55，则他掌握该诗词的概率为（     ） A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】记事件A表示“选手掌握该诗词”，事件B表示“选手答对题目”， 由题意知，，， 由全概率公式得， 所以，解得. ▌迁移练3-5（25-26高二下·陕西榆林·期末）某公司，两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，组生产的芯片合格率为，公司决定再将这些产品送专家鉴定，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为__________. 【答案】0.86 【详解】设事件抽到A组芯片，抽到B组芯片，芯片合格， ，，， . 题型04 独立事件的乘法公式 ▌例4 （26-27高二上·北京平谷·阶段检测）一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击4次后被中止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析甲恰好射击4次后被中止的情况，然后利用独立事件概率的计算公式进行求解即可. 【详解】已知甲击中目标的概率是，则甲未击中目标的概率为. 由于甲恰好射击4次后被中止，则甲的射击情况包含以下两种情况： 情况一：第一次与第二次击中，而第三次与第四次未击中； 情况二：第一次未击中，第二次击中，第三次与第四次未击中. 因此根据独立事件概率计算公式可得：甲恰好射击4次后被中止的概率为. 解题技巧 利用独立事件乘法公式求概率，首先要准确判断事件是否相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。解题时先明确所求事件由哪些子事件构成，确认它们彼此独立后，分别求出每个子事件的概率，再将这些概率相乘即可。若事件不独立，需改用条件概率公式。常见题型中，多次独立重复试验、不同对象各自独立完成任务等场景均可直接套用此公式，关键是先验证独立性再计算。 ▌迁移练4-1（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，每场比赛乙队获胜的概率是. 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. ▌迁移练4-2（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为1． 已知甲、乙能通过面试的概率都是，则甲、乙未能通过面试的概率都是， 故面试结束后两人都没通过的概率是． ▌迁移练4-3（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. ▌迁移练4-4（25-26高二下·四川资阳·期末）已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（    ） A．事件与独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件的独立性、全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】选项A：判断事件与是否独立，需验证： 由抽签原理，任意第个人中奖概率，因此， 计算（前两人都中奖）：，不满足独立定义，A错误； 选项B：由全概率公式计算：，B选项错误； 选项C：由上述计算，，C选项正确， 选项D：由条件概率公式：： ，， 因此：，D选项错误. ▌迁移练4-5（25-26高二下·四川资阳·期末）已知张奖券中只有张有奖，现有人依次不放回地各随机抽取张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽取并中奖”，则（    ） A．事件与独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件的独立性、全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】选项A：判断事件与是否独立，需验证： 由抽签原理，任意第个人中奖概率，因此， 计算（前两人都中奖）：，不满足独立定义，A错误； 选项B：由全概率公式计算：，B选项错误； 选项C：由上述计算，，C选项正确， 选项D：由条件概率公式：： ，， 因此：，D选项错误. 题型05 离散型随机变量的分布列 ▌例5 （25-26高二下·陕西西安·期末）若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量性质建立方程求解参数，再结合对立事件概率性质求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的所有概率之和为1，可得， 解得，即. 所以. ▌迁移练5-1（25-26高二下·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用离散型随机变量分布列的概率和为1的性质求出参数m，再计算X取1、2的概率之和即可. 【详解】.将（）代入得： 得，解得， 事件等价于或，两事件互斥， 因此 . ▌迁移练5-2（25-26高二下·河北·期末）设随机变量的分布列（，2，3），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，即， 所以. ▌迁移练5-3（25-26高二下·广西百色·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则实数m的值为（    ） X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求解． 【详解】，得． ▌迁移练5-4（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将转化为的取值范围，再利用离散型随机变量分布列的概率性质计算对应概率和即可. 【详解】由，解得，即， 利用分布列性质：离散型随机变量所有取值的概率之和为1， 因此， 即. ▌迁移练5-5（25-26高二下·吉林辽源·期中）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列. 【答案】(1) (2) 0 1 2 【分析】（1）法一：求得，利用条件概率公式求解即可；法二：，利用条件概率公式求解即可． （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列． 【详解】（1）设事件：第一次抽到品牌；设事件：第二次抽到品牌， 法一： ，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． 法二：，则， 所以每次不放回抽取，在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率为． （2）设挑选2台电脑中品牌的台数为，的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 题型06 二项分布问题 ▌例6 （25-26高二下·河南信阳·期末）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 ． 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数1、2人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为0、1人的概率，再根据“甲类组”的定义，计算出一个试用组为“甲类组”的概率； （2）先根据（1）的结果求出时一个试用组为“甲类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物治愈的有人”，，表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物治愈的有人”，． 依题意有，， ，． 故一个试用组为“甲类组”的概率 ． （2）由（1）可得，当时，一个试用组为“甲类组”的概率为， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 根据二项分布的性质，． 解题技巧 求二项分布分布列及期望与方差，首先要判断试验是否符合n次独立重复试验，每次试验只有成功或失败两种结果，且成功概率p保持不变。确认符合后，随机变量X服从二项分布，记为X服从B(n,p)。分布列用组合数乘以p的k次方再乘以(1-p)的(n-k)次方，其中k取0到n的整数。期望直接用n乘以p，方差用n乘以p再乘以(1-p)。解题关键是先识别模型，再直接套公式，避免逐个计算概率。 ▌迁移练6-1（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. ▌迁移练6-2（25-26高二下·全国·课后作业）福袋中装有标号1，2，3，4，5的五个相同小球，一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与，则恰好有3人获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一次摸球的总情况数为，号码和为3的倍数的三数组为，，，，共有4种，所以一次获奖概率为． 设5人中获奖人数为，则．因此． ▌迁移练6-3（25-26高二下·全国·课后作业）福袋中装有标号1，2，3，4，5的五个相同小球，一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖．若有5名同学参与，则恰好有3人获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一次摸球的总情况数为，号码和为3的倍数的三数组为，，，，共有4种，所以一次获奖概率为． 设5人中获奖人数为，则．因此． ▌迁移练6-4（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知随机变量，即随机变量服从二项分布， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. ▌迁移练6-5（25-26高二下·安徽宿州·期末）甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． (1)求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； (2)若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【分析】（1）先列出所有可能情况：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，再分别用独立事件概率乘法公式计算各情况概率，最后用互斥事件概率加法公式求和. （2）先计算单轮中“至多有1人完成拼豆”的概率，再根据二项分布的性质写出分布列、计算数学期望 【详解】（1）设事件为“甲在规定时间完成拼豆”，为“乙在规定时间完成拼豆”，为“丙在规定时间完成拼豆”， 由题意知相互独立，且， 对应对立事件概率为. 恰有1人完成拼豆包含3个互斥事件：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，因此所求概率 又，， 所以. （2）单轮内0人完成的概率， 由（1）得，单轮1人完成的概率为， 故单轮内至多有1人完成拼豆的概率. 3轮试验相互独立，每轮结果只有两种，故，的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 由二项分布期望公式得. 题型07 超几何分布问题 ▌例7 （25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和独立事件同时发生的概率，即可求解； （2）根据条件，求出的可能取值及对应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功， 则， 又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响， 所以. （2）易知的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 解题技巧 求超几何分布分布列及期望与方差，首先要判断试验是否为不放回抽样，即从有限总体中抽取样本，每次抽取不放回，总体分为两类个体。确认符合后，随机变量X服从超几何分布，记为X服从H(N,M,n)，其中N为总体容量，M为成功类个体数，n为抽取次数。分布列用组合数计算，分子为从M个成功个体中取k个的组合数乘以从N-M个失败个体中取n-k个的组合数，分母为从N个总体中取n个的组合数。期望直接用n乘以M除以N，方差用n乘以M除以N再乘以(1-M/N)最后乘以(N-n)/(N-1)。解题关键是先识别不放回抽样模型，再直接套公式，避免与二项分布混淆。 ▌迁移练7-1（25-26高二下·河南信阳·期末）袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ▌迁移练7-2（25-26高二下·四川南充·期末）已知盒子中装有个红球和个白球，从中任取个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布概率公式即可求解． 【详解】当任取个球时，则表示取到的红球个数为，取到的白球个数为， 所以． ▌迁移练7-3（25-26高二下·河北沧州·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知服从超几何分布，的取值为， 所以，，， 所以， . ▌迁移练7-4（25-26高二下·山东临沂·期末）某校高二、一班共有男生30人，女生20人，从该班学生中选出5人组成一个数学建模兴趣小组，小组中女生人数为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 且，. 所以. ▌迁移练7-5（25-26高二下·山西吕梁·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 【答案】(1) (2)分布列为： 期望，方差 (3)选小明同学代表班级参加总决赛更合适 【详解】（1）由题意，从6首古诗中抽取3首，小明可背诵其中4首，设小明可背诵的古诗数量为，则服从超几何分布，其中，，. ∵ 要求小明可以背诵2首古诗，即， ∴ 所求概率. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为. ∵ ， ， ， ∴ 的分布列为： ∴ 期望， 方差. （3）设小华能背诵的古诗数量为，由题意，小华每首古诗能背诵的概率均为，且各首背诵情况相互独立，故. ∴ ，. ∵ ，，说明两人平均背诵数量相同，但小明发挥更稳定， ∴ 选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 题型8 均值方差在决策中的应用 ▌例8 （26-27高三上·湖北·阶段检测）某超市进行促销活动发放购物券，在一个不透明的袋子中放了8个小球，其中3个红球，3个黄球，2个绿球；已知一个红球代表10元代金券，一个黄球代表20元代金券，一个绿球代表30元代金券．对每一位顾客，有两种方案可以选择： 方案一：一次性抽出3个球，计算代金券总和； 方案二：依次不放回地每次抽出1个小球，直到抽出一个绿球即停止，计算已经抽出的球的代金券总和． (1)若某顾客选择方案一，求恰好代金券总和为60元的概率； (2)若某顾客选择方案二，求在至少获得100元代金券的条件下，抽出的球的个数为6的概率； (3)计算两种方案获得代金券总和的期望，并依据计算结果回答顾客应该选择哪种方案． 参考公式：期望的线性可加性，对任意随机变量X，Y，有． 【答案】(1) (2) (3)方案一获得代金券总和的期望为56.25；方案二获得代金券总和的期望为60；应选择方案二 【分析】（1）根据题意，代金券总和为60元共2种情况，根据古典概型概率公式求解即可； （2）设至少获得100元代金券为事件A，抽出6个球为事件，根据题意得出的概率，结合条件概率公式即可求解； （3）方法一：设方案一的代金券总和为随机变量，抽出红、黄、绿球个数分别为随机变量，，，则，，均服从超几何分布，根据期望的线性可加性求解；方法二：设方案一的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80； 设方案二的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80，90，100，110，120；分别求解分布列和数学期望，比较即可得出结论． 【详解】（1）代金券总和为60元共2种情况：或， 因此． （2）设至少获得100元代金券为事件A，抽出6个球为事件， 由于最后一个一定是绿球（30元代金券），因此红球与黄球需抽出至少70元， 可以是：1红3黄，2红3黄，3红2黄，3红3黄，设其分别为事件，，，， 则，， ，， ，， 因此， ，故． （3）方法一：期望的线性可加性 设方案一的代金券总和为随机变量，抽出红、黄、绿球个数分别为随机变量，，， 则，，均服从超几何分布，因此，，， 因此， 设方案二的代金券总和为随机变量，抽出红、黄、绿球个数分别为随机变量，，， 显然， 对于红球、黄球，我们仅考虑每一个球与两个绿球的相对位置，只有当它出现在两个绿球前面时才能被取出，因此每个球被取出概率的均为， 因此，， 因此， 由于，因此应选择方案二． 方法二：直接列分布列 设方案一的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80， 其中，30为3红，40为2红1黄，50为1红2黄或2红1绿，60为1红1黄1绿或3黄，70为1红2绿或2黄1绿，80为1黄2绿． 因此， ， ， ， ， ， 可列出分布列为： 30 40 50 60 70 80 P 因此 ， 设方案二的代金券总和为随机变量，则可能取值为30，40，50，60，70，80，90，100，110，120， 由于一定会抽出1个绿球，因此只需考虑在此之前抽出的红球黄球数目即可， 其中，30为未抽出红黄球，40为1红，50为2红或1黄，60为3红或1红1黄，70为2红1黄或2黄，80为3红1黄或1红2黄，90为2红2黄或3黄，100为3红2黄或1红3黄，110为2红3黄，120为3红3黄． 因此， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 可列出分布列为： 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 P 由于，因此应选择方案二． ▌迁移练8-1（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某游戏包含3轮挑战，每轮挑战需依次完成两个独立的任务，玩家甲挑战任务一成功的概率为；挑战任务二成功的概率为.并且每轮必须两个任务全部挑战成功，该轮才算过关. (1)求甲一轮挑战过关的概率； (2)记为甲“首次过关”的轮次数（若3轮均未过关，则记），写出的分布列并计算其期望； (3)玩家乙说：“在一轮挑战中，玩家甲把每轮的两个任务都训练到正确率各提升，不如把其中一个任务训练到完美（正确率变为1）提升大.”请你通过计算，判断乙的说法是否正确，并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列为： 0 1 2 3 (3)乙的说法正确. 理由：方案一：任务一的正确率变为，任务二的正确率变为，则一轮过关的概率； 方案二：若任务一的正确率变为1，任务二的正确率不变，则一轮过关的概率；若任务一的正确率不变，任务二的正确率变为1，则一轮过关的概率； 则，，所以乙的说法正确. 【详解】（1）记事件表示“甲一轮挑战过关”，则“任务一成功且任务二成功”，因为任务一与任务二相互独立， 所以； （2）可能的取值为，，，. ， ， ， ； 所以的分布列为： ； （3）略 ▌迁移练8-2（25-26高二下·上海宝山·期末）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了优惠活动，顾客消费满1000元（含1000元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（完全相同）的抽奖盒中，直接摸出3个球，中奖规则：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠. (1)顾客A选择方案2，已知他至少摸出1个红球的情况下，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了1000元， ①若他选择方案1，求他实付金额X的分布列和期望（结果精确到整数）； ②若他选择方案2，求他实付金额Y的分布列和期望（结果精确到整数）； 试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理. 【答案】(1) (2)①方案：实付金额的期望约为元；②方案：实付金额的期望约为元，顾客选择方案更合理. 【分析】（1）利用对立事件算出“至少个红球”的总情况，再统计能享受优惠的情况，利用条件概率公式求解. （2）①方案为有放回抽样，服从二项分布，根据摸出红球数量对应不同实付金额，列出分布列后计算付款期望；需注意三次全红有额外减免.②方案为不放回抽样，属于超几何分布，分免单、五折、无优惠三种付款情况求分布列与期望；对比两种方案付款期望，期望越低平均花费越少，方案更划算. 【详解】（1）设事件：至少摸出个红球；事件：享受优惠（红或红）， 总基本事件数：， 的对立事件：个全蓝，， ， 包含：红、红蓝， ， ， 所以，在已知至少摸出个红球的条件下，顾客享受优惠的概率为. （2）方案1：单次摸到红球的概率，单次摸到蓝球的概率； 设摸到红球次数为，，则， （红蓝）：不减钱，实付，， （红）：减，实付，， （红）：减，实付，， （红）：共减，实付，， 当分别取时，实付金额分别为元，元，元，元， 的分布列为： 实付金额（元） 1000 850 700 350 概率 ， 因此，选择方案时，实付金额的期望精确到整数为元. 方案:红（免单）：实付，， 红蓝（折）：实付，， 其余（红蓝、红蓝）：无优惠，，， 的分布列为： 实付金额（元） 1000 500 0 概率 ， 因此，选择方案时，实付金额的期望精确到整数为元， 方案比较， 方案的实付金额期望更小，因此，从实付金额的期望值看，顾客选择方案更合理. ▌迁移练8-3某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元.设一次抽奖随机取出的红球的个数为X. (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益(收益=奖金-花费)为Y元，求随机变量Y的期望和方差.从抽奖活动主办方的角度出发，若要实现盈利.你认为抽奖费用定价是否合理？请从数学的角度进行说明. 【答案】(1) 0 1 2 (2) , ，从抽奖活动主办方的角度出发，抽奖费用定价不合理，可适当提高单次抽奖费用. 【分析】（1）首先确定X的取值，用超几何分布概率公式计算每个取值对应的概率，进而得到分布列，再根据期望公式计算； （2）依据收益的定义得出Y与X的线性关系，那么利用期望的线性性质，可计算，利用方差的线性运算性质，结合X的方差计算，从主办方盈利角度，若单次抽奖的期望收益为正则定价合理，所以通过判断的正负即可说明定价合理性. 【详解】（1）依题意，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （2）依题意，每次抽奖的收益， 所以期望, 随机变量X的方差， 方差 ， 因为，从抽奖活动主办方的角度出发，抽奖费用定价不合理，可适当提高单次抽奖费用. 题型9 正态分布问题 ▌例9 （25-26高二下·福建南平·期末）若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正态分布的对称性知，且， 所以. 解题技巧 解决正态分布问题，首先要明确其概率密度曲线关于均值对称，且曲线下的总面积恒为一。解题核心在于利用对称性简化计算，例如求某区间概率时，可转化为标准正态分布表查值。注意识别题目给出的均值和标准差，将一般正态变量标准化。对于“至少”“至多”等表述，要准确对应到区间的开闭。熟记常用概率值，如一个、两个、三个标准差内的概率，可快速判断结果合理性。 ▌迁移练9-1（25-26高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，实数满足，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】随机变量，实数满足， 由正态分布的对称性可知，解得. ▌迁移练9-2（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性确定均值 ，根据曲线的“瘦高”与“矮胖”确定标准差 的大小关系，利用密度函数最大值公式判断 的数值. 【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，曲线关于直线 对称，且在 处取得最大值 . 由图可知，甲曲线关于直线 对称，乙曲线关于直线 对称， 所以 ，， 则甲类水果的平均质量为 ，且 ，故选项 A、C 说法正确； 因为甲曲线比乙曲线更“瘦高”，说明甲类水果的质量分布更集中， 所以 ， 对于随机变量 ，其分布函数 单调递增， 因为 ，所以 ，故选项 B 说法正确； 由图可知，乙类水果质量服从的正态分布密度函数的最大值为 ， 即 ， 解得 ，故选项 D 说法错误. ▌迁移练9-3（25-26高二下·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性确定均值 ，根据曲线的“瘦高”与“矮胖”确定标准差 的大小关系，利用密度函数最大值公式判断 的数值. 【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，曲线关于直线 对称，且在 处取得最大值 . 由图可知，甲曲线关于直线 对称，乙曲线关于直线 对称， 所以 ，， 则甲类水果的平均质量为 ，且 ，故选项 A、C 说法正确； 因为甲曲线比乙曲线更“瘦高”，说明甲类水果的质量分布更集中， 所以 ， 对于随机变量 ，其分布函数 单调递增， 因为 ，所以 ，故选项 B 说法正确； 由图可知，乙类水果质量服从的正态分布密度函数的最大值为 ， 即 ， 解得 ，故选项 D 说法错误. ▌迁移练9-4（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，得， 则，得，等号成立时， 故的最大值为 ▌迁移练9-5（2026高二·全国·专题练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高二年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从同一正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据：， 参考公式：若，有，，． 【答案】(1)1587名； (2)， 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩X近似服从正态分布，由题意可得， 因为，所以， 即，解得， 因为甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， 所以， 即学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件B：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为， 又，故，即成绩在之外等价于， 所以， 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以， Y的数学期望为． 题型10 线性回归方程 ▌例10 （25-26高二下·福建南平·期末）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（     ） A．相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B．， C．当时，残差为 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】C 【分析】根据相关系数与线性相关程度的关系，平均数，残差，线性回归方程计算的结果判断各个选项； 【详解】对于A，根据表格作出散点图如下所示，    由图可知，变量和正相关，但相关系数的绝对值越接近1，线性相关程度越强，越接近0，相关程度越弱，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，根据公式计算回归系数， ，所以回归直线方程为，故D错误； 对于C，当时，预测值，残差为，故C正确. ▌迁移练10-1（25-26高二下·河南郑州·期末）已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为， 所以样本点在处的残差为. ▌迁移练10-2（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断. 【详解】因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误； 又因为经验回归方程过样本中心点， 对于A项，，则，故A错误； 对于B项，，则，故B正确． ▌迁移练10-3（25-26高二下·福建厦门·期末）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原指数拟合模型取对数转化为线性模型，利用线性回归方程过样本中心点的性质求解参数 【详解】对拟合模型两边同时取自然对数，可得， 由，可得线性变换后的回归方程为； 计算样本中心点： ， ， 由于线性回归直线必过样本中心点，将其代入线性回归方程得： ， 计算得，因此，故. ▌迁移练10-4（25-26高二下·福建福州·阶段检测）随着“碳中和”战略的推进，某市新能源汽车保有量逐年攀升．为了研究该市新能源汽车保有量y（单位：万辆）与年份代码x之间的关系，统计了该市2016年至2025年（年份代码x分别为1至10）的数据．经初步处理，得到如下统计量的值： ，，，，，其中表示的自然对数． (1)根据散点图分析，发现与之间不适宜建立线性回归方程，但与具有较强的线性相关性，请利用最小二乘法，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； (2)该市某社区计划推广“绿色出行”活动，拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中，随机抽取3人组成宣讲团．设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； (3)为了进一步提升服务质量，该社区对宣讲团成员进行培训考核．已知新能源车车主考核合格的概率为，燃油车车主考核合格的概率为，且各人考核是否合格相互独立．求抽取的宣讲团成员中，恰好有2人考核合格的概率． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， 【答案】(1) (2) 0 1 2 (3) 【分析】（1）对，两边取对数，令，转化为线性回归模型，结合最小二乘法计算公式计算求解即可； （2）列举随机变量可能取值，计算对应概率可得分布列，进而可计算数学期望； （3）根据独立事件的乘法公式以及全概率公式计算即可求解. 【详解】（1）对，两边取对数，令， 则与建立线性回归模型．， ，，，，其中表示的自然对数， 由题意可知：，，， ， 所以，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为：. （2）由题意，总人数为6人（4名燃油车主，2名新能源车主），从中抽取3人， 随机变量表示抽取的新能源车主人数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）设事件为“抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格”，表示抽取的新能源车主人数， 则， ， ， 所以 ， 故抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格的概率为． 题型11 独立性检验 ▌例11 （25-26高二下·重庆北碚·期末）为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【详解】零假设：新的学习方法与数学成绩无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误． ▌迁移练11-1（25-26高二下·河南·期末）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y独立 D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 【答案】C 【详解】因为，依据的独立性检验可知变量X与Y独立. ▌迁移练11-2（25-26高二下·河北石家庄·期末）下列说法中，正确的是（     ） A．两个变量的相关程度越强，相关系数越接近于1 B．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到,根据小概率值的独立性检验：,可判断与有关联 【答案】C 【详解】选项A：两个变量的相关程度越强，是相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 选项B：残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的波动越小， 回归方程的预报精确度越高，而不是越低，故B错误； 选项C：残差平方和是衡量模型拟合误差的核心指标，残差平方和越小， 代表模型对实际数据的偏差总和越小，模型的拟合效果越好，故C正确； 选项D：独立性检验中，只有计算得到的统计量大于对应显著性水平的临界值，才能判断两个变量有关联. 本题中，没有足够的统计依据判断X与Y存在关联，故D错误. ▌迁移练11-3（25-26高二下·全国·课后作业）某高校调查学生性别和喜欢短视频是否有关联．男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频人数占男生人数的，女生中喜欢短视频人数占女生人数的．若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别有关联，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求得的取值范围得最小值. 【详解】列出列联表： 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是． 要依据认为有关联，需，解得． 又，所以的最小值为12． ▌迁移练11-4（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）为研究分类变量与是否独立，零假设：与相互独立，得到关于与的抽样数据的列联表，计算得．若将原列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的倍，得到新的列联表及其对应的，则（    ） 附卡方计算公式及临界值表： A． B． C．依据小概率值的独立性检验，由原列联表没有充分证据推断不成立，可以认为与独立 D．依据小概率值的独立性检验，由新列联表推断不成立，即认为与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 【答案】BC 【分析】先推导单元格数据扩大后卡方值的变化判断AB；再结合临界值表判断CD. 【详解】选项A：设原列联表数据为，总样本量， 原卡方. 每个单元格数据扩大2倍后，新数据为，总样本量， 代入公式得：， 故A错误，B正确； 选项C：原列联表，依据的独立性检验规则， 不拒绝零假设，没有充分证据推断不成立，可以认为与独立，故C正确； 选项D：新列联表，依据的独立性检验规则， 不拒绝零假设，无法推断不成立，故D错误. ▌迁移练11-5（25-26高二下·陕西汉中·期中）为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对充电设施是否满意 对续航里程是否满意 满意 不满意 满意 80 20 不满意 40 60 (1)用频率估计概率，任意调查一名新能源汽车车主，设事件A为“该车主对续航里程满意”，事件B为“该车主对充电设施满意”，求和； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附：，其中. α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关. 【详解】（1）依题意得，     由条件概率公式得. （2）作出零假设：消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率无关. 由已知数据， 则依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关. 难点一 利用贝叶斯公式求概率 利用贝叶斯公式求概率，关键在于识别题目中的“先验概率”与“似然度”。首先，明确所求的是在某个结果发生后，追溯其由特定原因导致的“后验概率”。解题时，先列出所有可能导致该结果的原因，并计算每种原因发生的概率及其导致该结果的条件概率。接着，利用全概率公式求出该结果发生的总概率作为分母。最后，将特定原因导致该结果的联合概率作为分子，两者相除即得答案。务必注意区分“原因推结果”与“结果推原因”的逻辑方向，避免混淆条件概率的分子分母。 难点精练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）某视频网站中“”合成视频占有率为．某鉴伪技术在视频是伪造的情况下，有的可能鉴定为“”；在视频真实的情况下，有的可能误判为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频确为“”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设A表示“视频为合成”，B表示“被鉴定为”， 则，，． 由贝叶斯公式，， 代入得， 故该视频确为“”合成的可能性约为． 2．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解. 【详解】设事件表示选中号箱子，事件表示从选出的箱子中取出1个球是红球， 则，，， 所以， 则. 3．（25-26高二下·四川泸州·期末）现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】D 【分析】依次求出和即可由条件概率公式求解判断A；由全概率公式即可计算求解判断B；依次求出、即可由条件概率公式求解判断C；由贝叶斯公式依次计算、、即可判断D. 【详解】由题可知， ， 所以，A错误； ，， 所以，B错误； ，， 所以，C错误； ，，， 所以， 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小，D正确. 4．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 5．（25-26高二下·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： . 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）从两台机器、生产的零件中，按的比例抽取样本．已知机器产出零件的合格率为，机器产出零件的合格率为．在的合格品中，一级精度率为；在的合格品中，一级精度率为．若抽取到的某件样本是一级精度，则它产自机器的概率为______． 【答案】 【分析】先明确各事件的概率及条件概率，先利用全概率公式计算抽到一级精度样本的总概率，再利用贝叶斯公式计算该一级精度样本产自机器A的条件概率. 【详解】设事件A表示“样本产自机器A”，事件B表示“样本产自机器B”，事件C表示“样本为一级精度”. 则， ， ， 所以， 所以. 7．（25-26高二下·河南郑州·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.现有某工厂利用检测机器人筛查零件，已知生产的零件次品率为，机器人检测的规则如下：①若是次品，机器人检测判定为次品的概率为；②若是正品，机器人误判为次品的概率为.现随机抽取一件零件，机器人检测结果显示为次品，则该零件实际为次品的概率______. 【答案】 【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式得解. 【详解】依题意，设机器人检测结果显示是次品为事件B，该零件实际为次品为事件A， 则，，，， 故， 则所求概率为. 8．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 【答案】 【详解】设事件为“该同学选择抒情歌演唱”，事件为“该同学选择流行歌演唱”，事件为“该同学选择摇滚歌演唱”，事件为“该同学晋级下一轮”． 由题意可得：，，，，，． 根据全概率公式可得：， 即， 则他能晋级的概率为． 根据贝叶斯公式可得：， 则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为． 难点二 概率的最值问题 高中数学概率最值问题，核心是先把随机事件转化为函数。常见做法是先列出概率表达式，再把它看成关于某个参数的函数。若表达式是二次型，可用配方法或对称轴判断最值；若含多个变量，可结合基本不等式或均值不等式处理；若变量取值有限，也可通过枚举、比较相邻项大小来寻找最大或最小概率。解题时要注意概率本身的取值范围，不能只看函数极值而忽略实际意义。最后还要检验最值对应的参数是否满足题目条件。 难点精练 1．（多选）（25-26高二下·广东·期末）甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（    ） A．三枪都命中的概率为 B．至少有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】ABD 【分析】根据独立事件的概率运算公式，结合和事件的概率运算公式逐一判断即可. 【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确； 对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确； 对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为， 三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为 ， 若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为 ， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 2．（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 3．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期末）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最小 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最小 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 【答案】BD 【分析】根据独立事件求，，，利用作差法比较大小，进而分析判断即可. 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为， 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 则， ， 可得， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大，选项BD判断正确；选项C判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误. 4．（25-26高二下·四川成都·期末）设表示次独立重复试验中随机事件发生的次数.已知，，则_________；变量表示对的贡献值，当最大时，___________. 【答案】 12 3 【分析】利用二项分布的期望和方差的计算公式可得的值，再利用的单调性解决的最大值. 【详解】由已知可得，解得. 因为. 所以. 当，即时，；当，即时，. 因为，且，所以当时，；当时，. 所以当时，取得最大值. 5．（25-26高二下·四川南充·期末）如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大．    【答案】 【分析】由题意可得小球掉入号格子的概率为，由此列出不等式组求解即可. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左下落的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子需要向左10次，其概率为； 小球掉入1号格子需要向左9次，向右1次，其概率为； 小球掉入2号格子需要向左8次，向右2次，其概率为； 小球掉入3号格子需要向左7次，向右3次，其概率为； …… 依此类推，小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则， 即， 所以， 解得， 又因为为整数， 所以. 即小球落入8号格子的概率最大. 6．某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)应选择诗词基础知识题库． 【分析】（1）（i）法1：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法2：利用对立事件的概率求法求概率；（ii）应用独立重复试验的概率求法求甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率，结合（i）及乘法公式求概率； （2）根据已知分别求出甲选择不同题库得分的期望，比较它们的大小，即可得结论. 【详解】（1）（i）方法1：若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为3或2， 甲通过第一阶段的概率为． 方法2：若甲第一阶段被淘汰，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为0或1， 甲第一阶段被淘汰的概率为． 甲通过第一阶段的概率为． （ii）若甲的比赛成绩为10分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目， 由（i）可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率为， 又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为10分的概率为． （2）若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 则，， ，， ． 若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 由题意可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲第一阶段被淘汰的概率为， ，， ，， ， ， 为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库． 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江丽水·期中）抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【答案】B 【详解】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足； 出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足； 出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足； 出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足. 2．（25-26高二下·江苏泰州·期末）若随机变量的概率分布如下： 2 3 4 0.3 0.1 则（     ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【详解】由题意得，解得， 所以. 3．（25-26高二下·重庆渝北·期中）掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为“两次点数中的最小点数为3”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件，， 事件，，所以. 4．（25-26高二下·广东·期末）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分第一次取红球或白球两种情况讨论，再利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件：第一次取到红球； 事件：第一次取到白球； 事件：第二次取到2个红球， 则，， , 由全概率公式得 =. 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知两个线性相关变量与的统计数据如下表，其经验回归方程为，则下列说法错误的是（    ） A．样本相关系数 B． C．样本中心点为 D．时，残差为 【答案】D 【分析】根据经验回归方程进行检验计算判断可得. 【详解】选项A：经验回归方程斜率为，说明与正相关，因此样本相关系数，A说法正确； 选项B、C：，经验回归直线必过样本中心点， 代入回归方程得，因此样本中心点为，C说法正确； 再由，解得，B说法正确； 选项D：当时，预测值， 所以残差，因此D说法错误. 6．（26-27高二上·湖北·阶段检测）某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设该同学在笔试中结果为优秀为事件,实验操作中结果为优秀为事件，则， 因“该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀”为“该同学在这次测试中两项测试结果均不是优秀”的对立事件， 故其概率为. 7．（25-26高二下·安徽·期末）某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（    ） （附：若随机变量，则） A．68 B．82 C．84 D．95 【答案】B 【详解】由，可得均值，标准差. 区间 可化为 . 根据3σ准则的常用近似值. 由对称性， 所以. 100天中符合条件的天数服从二项分布，其中. 则期望，因此100天内约有天满足条件. 因此的值约为82. 8．（25-26高二下·河南郑州·期末）某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算． 分组 数学成绩分 数学成绩<120分 合计 每天锻炼小时 60 40 100 每天锻炼<1小时 30 70 100 合计 90 110 200 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，． 下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关 B．在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大 C．若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍 D．值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关 【答案】B 【详解】对于A，，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”有关，A错误； 设原列联表各单元格频数为，若各单元格频数比例不变，样本容量变为原来的倍， 则新的各单元格频数为，总样本量， 则， 即各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比， 对于B，在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大，B正确； 对于C，若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变， 则值增大为原来的2倍，C错误； 对于D，各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比，D错误. 二、多选题 9．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知甲盒产品中有个正品和个次品，乙盒产品中有个正品和个次品．若从甲盒中任取个产品，则（     ） A．这个产品均为正品的概率为 B．这个产品一个为正品一个为次品的概率为 C．这个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为 D．若将这个产品放入乙盒，再从乙盒任取个产品，则取出的是正品的概率为 【答案】ACD 【分析】根据古典概型概率公式和组合数的运算可求得AB正误；根据条件概率公式可求得C正确；根据全概率公式可求得D正确. 【详解】对于选项A，从甲盒中任取个产品，均为正品的概率为，A正确； 对于选项B，从甲盒中任取个产品，一个为正品一个为次品的概率为，B错误； 对于选项C，记事件为“从甲盒中任取个产品，至少有一个正品”，事件为“从甲盒中任取个产品，至少有一个次品”， 则，， ，C正确； 对于选项D，记事件为“从甲盒中任取个产品放入乙盒，抽得的正品数为个”，事件为“从甲盒中任取个产品放入乙盒，再从乙盒任取个产品，取出的是正品”， 则，，，，，， ，D正确. 10．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）有5张分别标着数字的卡片，从中随机选取一张，记下卡片的数字将卡片放回后再随机选取一张，记下卡片的数字记则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先明确有放回取数共种等可能样本，逐一计算取的对应概率，再验证各选项的概率大小、期望与方差计算结果即可得出正确选项. 【详解】这是有放回的独立抽样，总样本空间为个等可能的样本点，我们先逐一计算的所有可能取值对应的概率： 对应，共5个样本点，因此，A正确. 对应，共8个样本点，； 对应，共6个样本点，； 显然，即，B正确. 对应4个样本点，；对应2个样本点，. 期望，C错误. ，由方差公式 ，D正确. 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由取到个白球，则可得取到个黑球，所以得分， 所以，故A正确； 由，得，解得，所以，故B错误； 由，得，解得，所以，故C正确； 由题意可得，， ，， 所以，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·陕西西安·期末）若随机变量X服从两点分布，且，则________． 【答案】 【详解】设，则， 由题意得，解得. 13．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知随机变量，若，则____________. 【答案】 【详解】因为随机变量，所以， 所以. 14．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏．游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个类小正方体，6个面都印着奇数；1个类小正方体，6个面都印着偶数．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的环节是进行第三次投掷，第三次投掷不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券．某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为___________；在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为___________． 【答案】 【分析】空1：根据全概率公式，即可求解； 空2：根据全概率公式和条件概率公式，即可求解． 【详解】记事件分别表示第一次抽到类、类、类小正方体， 事件表示第次投掷后向上的面为奇数． ， 因此某位顾客第一次投掷后向上的面为奇数的概率为． 空2：①若第一次抽到的是类小正方体，记事件分别表示第二次抽到类、类、类小正方体， 则 ， ②若第一次抽到的是类小正方体，记事件分别表示第二次抽到类、类、类小正方体， 则 ， 故， 则， 因此在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，他最终获得的礼券金额是300的概率为． 四、解答题 15．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）某“非遗”工坊推出两款文创产品：传统手工刺绣书签（简称款）和现代设计盲盒（简称款）．为了了解市场反响，工坊在展会期间随机抽取了200名消费者进行问卷调查，统计数据显示，购买款的有80人，其中青年（年龄小于35岁）占60%，购买款的有120人，其中中老年（年龄不小于35岁）有48人． (1)请完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“产品选择”是否与“年龄段”有关联？ 【参考公式】 选款 选款 合计 青年 中老年 合计 80 120 200 (2)工坊对两款产品进行了定价心理测试，记录了消费者愿意支付的最高价格（单位：元）．经统计分析，两款产品的数字特征如下表： 产品类型 平均数 方差 款 55 25 款 55 225 已知两款产品消费者愿意支付的最高价格均满足正态分布．现有一位顾客愿意支付的最高价格为70元，请你结合上表数据与所学数学知识，判断这位顾客最高花70元更倾向于购买哪一款产品，并说明理由．【参考数据】若，则，，． 【答案】(1) 选款 选款 合计 青年 48 72 120 中老年 32 48 80 合计 80 120 200 没有的把握认为“产品选择”与“年龄段”有关． (2)款产品． 【详解】（1）已知购买款的有80人，其中青年（年龄小于35岁）占，即人． 选款 选B款 合计 青年 48 72 120 中老年 32 48 80 合计 80 120 200 设零假设“产品选择”与“年龄段”无关． 因为， 所以根据的独立性检验，没有的把握认为“产品选择”与“年龄段”有关． （2）设、两款消费者愿意支付的最高价格分别为，． 由题意知，，． ， 因为， 所以顾客更倾向于最高花70元购买B款产品． 16．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立， (1)二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束，求比赛了2局就结束比赛的概率； (2)若二人约定：先胜3局者获胜，比赛结束；求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）比赛2局结束，就是甲两连胜或者乙两连胜，把两种独立事件概率相加即可求解； （2）甲先胜3局获胜的情况一共有三种，分别计算对应概率再求和． 【详解】（1）比赛2局结束包含“甲连胜2局”和“乙连胜2局”两个互斥事件： 甲连胜2局的概率：， 乙连胜2局的概率：， 由互斥事件概率加法公式，所求概率． （2）计算“先胜3局者获胜”赛制下甲的获胜概率，包含3类互斥情况： 打3局获胜：甲连胜3局，概率； 打4局获胜：前3局甲恰好胜2局、第4局甲胜，概率； 打5局获胜：前4局甲恰好胜2局、第5局甲胜，概率， 该赛制下甲获胜总概率． 17．（26-27高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）某国际学校举办国际象棋锦标赛，甲、乙、丙三名选手通过预选赛，进入决赛阶段．已知甲与乙对局时，甲获胜的概率为，甲与丙对局时，甲获胜的概率为．乙与丙对局时，乙获胜的概率为．决赛规则如下:首先确定第一轮对决的两名选手，另一人轮空;每一轮结束后，该轮的胜者与轮空者进行下一轮对决，败者轮空．每轮胜者得1分，败者得0分，率先累计获得2分者成为冠军，比赛结束． (1)假设首轮对阵为甲与乙进行第一轮对决，丙轮空；，且各轮比赛结果相互独立． ①求开局两轮后乙就获得冠军的概率；    ②求比赛结束时乙获得冠军的概率． (2)若，且乙在第一轮出场，并有权选择首轮对手．为最大化夺冠概率，乙应如何选择首轮对手？请进行分析． 【答案】(1)①0.24；②0.336 (2)设事件为“第一轮乙对丙最终乙获胜”，为“第一轮乙对甲最终乙获胜”， 第一轮乙对丙，则乙获得冠军有以下三种情况： 第一种，第一轮乙获胜，第二轮乙获胜，则所对应的概率为； 第二种，第一轮乙获胜，第二轮甲获胜，第三轮丙获胜，第四轮乙获胜， 则所对应的概率为； 第三种，第一轮丙获胜，第二轮甲获胜，第三轮乙获胜，第四轮乙获胜， 则所对应的概率为； 故； 同理可得 则 ， 由于，故，所以, 故乙的最优策略是指定第一轮的对手为甲. 【分析】第（1）问逐一列举乙的夺冠路径：乙必须率先拿到分，路径只有连赢两轮、或中间输（或轮空）一场后再连赢两轮这三类；列举时每轮的轮空者由上一轮结果决定，且一旦有人先得分比赛即结束，据此排除半途被他人夺冠的路径，最后把三条路径的概率相加. 第（2）问用同样的办法分别求出首轮对丙（事件）与首轮对甲（事件）的夺冠概率，作差后提取公因式，大小比较化为判断与的大小；由题设得，故首轮应选甲. 【详解】（1）①开局两轮后乙就获得冠军的概率为 . ②乙开局赢下两轮的概率为, 乙第一轮失败，第二轮轮空（第二轮甲失败），第三轮胜利，第四轮胜利的概率为, 乙第一轮胜利，第二轮失败，第三轮轮空（第三轮甲胜利），第四轮胜利的概率为， 所以比赛结束时乙获得冠军的概率   . （2）略 18．（25-26高二下·山东东营·期末）满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布． (1)为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）； （参考数据：若，，） (2)若，函数（），证明：曲线是中心对称图形； (3)若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：． 【答案】(1) (2)已知，（）， 则，因为标准正态分布关于轴对称， 所以，即， 所以， 所以曲线关于点成中心对称图形； (3)由题可知的取值为， 表示第户是单元的最后一户住户的概率， 从户中选户，其中第户是单元的最后一户住户， 那么前户中有户是单元的住户， 所以， 根据期望的定义，则， 因为，所以， 由组合数的性质，可得 则. 【分析】（1）先做标准化变换转为标准正态分布，再利用标准正态对称性求出概率； （2）由定义（），结合正态分布的性质进行证明； （3）先写出对应的组合概率，代入期望公式，利用组合恒等变形证明. 【详解】（1）已知，令，则由题可知， 当时，，当时，， 所以， 因为标准正态分布关于轴对称，所以，； （2）略； （3）略. 能力进阶 1．（25-26高二下·山东聊城·期末）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件：经过3 次摸球未能停止摸球，：经过5 次摸球停止摸球，发生则一定发生，故，的对立事件是3次取3个编号（全排列），求出，表示：前4次恰好只出现2个编号（且两个编号都至少出现 1 次），第5次摸到剩下的第 3个编号，用组合计数算出，代入条件概率公式求值. 【详解】设事件：经过次摸球未能停止摸球； 事件：经过次摸球停止摸球， “3次摸球停止”等价于前3次恰好取到1、2、3三个编号， 即为3个元素全排列，共种情况， 摸3次球的总基本事件数为， 因此3次停止的概率， 则3次未能停止的概率：， 5次摸球的总事件数为， 选取前4次出现的2个编号有种， 前4次仅用这2个编号且均至少出现1次， 有效情况数：种（减去全程只出现单个编号的2种极端情况）， 第5次必须摸到剩余1个未出现的编号，仅1种情况， 综上，符合条件的总事件数：， 因此事件的概率：， 因为真包含于中，所以， 则. 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）某智算中心由A，B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A，B的机会相等，A系统第一次运算成功的概率为0.9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A，B两个系统第二次运算成功的概率均为，每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的概率为0.97，则下列说法正确的是（    ） A． B．任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02 C．第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12 D．最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6 【答案】C 【详解】对于A： 若任务第一次运算成功，概率为， 若任务第一次运算失败，第二次运算成功，概率为， 因为任务最终运算成功的概率为0.97，所以，故A错误； 对于B：任务分配给A系统且最终运算失败的概率为，故B错误； 对于C：第一次运算失败，第二次运算成功的概率为 ，故C正确； 对于D：最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为 ，故D错误. 3．（2026高三下·全国·专题练习）一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】建立位置与次数的关系，根据二项分布求概率的最大项，进而确定蚂蚁的最终位置. 【详解】设蚂蚁沿正方向前进了次，则沿负方向后退了次， 最终位置. 根据题意得，单次前进的概率，则前进次数， . . 令，即，所以， 所以，当时，； 当时，； 当时，. 因此， 当时，； 当时，. 因此蚂蚁最终可能停留在数轴的或位置. 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，求得随机变量X的取值，利用古典概型概率公式求得对应的概率，进而利用期望公式求得期望. 【详解】由题意得，随机变量X的取值为. 则，，， ，，， 所以. 5．（多选）（25-26高二下·山东青岛·期末）甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，当其中人比另一人多胜轮就获得胜利，则（     ） A．两轮结束后出现平局的概率为 B．第4轮结束后甲获胜的概率为 C．至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D．甲获胜的概率为 【答案】BD 【分析】选项A，根据两轮比赛的所有胜负情况，结合独立事件概率乘法公式计算对应事件的概率即可判断；选项B，根据前两轮必须是平局，后两轮甲全胜，结合独立事件概率乘法公式计算该概率；选项C，设至多轮结束，甲获胜概率为，乙获胜概率为，以为例，至多2轮结束时，求得，，再根据比值判断即可；选项D，设甲最终获胜的概率为，分类讨论甲获胜概率并建立关于的方程即可. 【详解】选项A，两轮结束后出现平局，即两人各胜1轮，共2种情况（甲胜第一轮乙胜第二轮，反之亦然）， 概率为 ，A错误. 选项B，第4轮结束甲获胜，说明前两轮是平局，后两轮甲连胜： ，B正确. 选项C，设至多轮结束，甲获胜概率为，乙获胜概率为， 以为例，至多2轮结束时，，， 比值为，而，两者不一定相等，故C错误. 选项D，设甲最终获胜的概率为，可得： 前两轮甲连胜，甲获胜，概率； 前两轮乙连胜，甲失败，概率； 前两轮平局，概率，此时回到初始状态，甲获胜概率仍为. 列方程得： 整理得：，D正确. 6．（多选）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记（，1，2）表示“从甲袋中取出的2个球中含有i个红球”，B表示“从乙袋中取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A．事件，，两两互斥 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据互斥事件的定义和判断方法，可判定A正确；根据条件概率的公式和全概率公式，可判定C错误，B和D都正确. 【详解】对于A，由表示“从甲袋中取出的2个球中含有0个红球”，即取出的2个球都是白球； 事件表示“从甲袋中取出的2个球中含有1个红球”， 事件表示“从甲袋中取出的2个球中含有2个红球”， 这个三个事件不可能同时发生，所以事件，，两两互斥，所以A正确； 对于B，根据条件概率的性质，对于任意事件和，有， 当时，可得，所以B正确； 对于C，由事件表示“从甲袋中取出的2个球中含有1个红球”， 此时乙袋中有个红球，个白球，共有个球， 根据条件概率的公式，所以C错误； 对于D，由全概率公式知， 表示取出的2个球都是白球，可得， 此时乙袋中有2个红球，5个白球，可得， 表示“从甲袋中取出的2个球中含有1个红球”， 可得， 此时乙袋中有3个红球，4个白球，可得， 表示“从甲袋中取出的2个球中含有2个红球”， 可得， 此时乙袋中有4个红球，3个白球，可得， 所以， 又因为，可得，所以D正确. 7．（25-26高二下·福建南平·期末）一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________． 【答案】 【详解】单次抽3个球时，某特定小球没被抽到的概率为， 因此两次都没被抽到的概率为， 可得，即 . 8．（25-26高二下·河北保定·期末）已知，，均为正整数且，记随机变量，则的数学期望为__________． 【答案】 【分析】先计算基本事件总数，再分析随机变量X的取值及对应概率，最后计算数学期望． 【详解】已知，，均为正整数且， 利用隔板法，将13个相同元素分给3个不同对象， 基本事件总数为． 已知表示，，中的最小数， 因为，，是正整数且， 所以的可能取值为1，2，3，4， 当时，，，中最小数为1， 先固定一个数为1，另外两数和为12，正整数解有11组， 排除重复计数后，满足条件的组合数为， 所以概率． 当时，，，中最小数为2， 固定一个数为2，另外两数和为11，正整数解有10组， 排除重复计数后，满足条件的组合数为， 所以概率． 当时，，，中最小数为3， 固定一个数为3，另外两数和为10，正整数解有9组， 排除重复计数后，满足条件的组合数为， 所以概率． 当时，，，中最小数为4，此时，，只能有两个是4，另外一个是5， 所以概率． 则的数学期望为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $