专题03 回归分析与独立性检验（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第二册

专题03 回归分析与独立性检验 常考题型·精准突破 题型01 相关系数的意义与计算 题型02 线性回归方程的计算与性质 （高频） 题型03 残差的计算 题型04 决定系数的计算与分析 题型05 非线性回归方程 （重） 题型06 等高条形图 题型07 独立性检验思想的应用（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 相关系数的意义与计算 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26高二下·河北承德·期末）已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 4．（25-26高二下·河北张家口·期末）样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（     ） A．1 B． C． D．-1 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________． 6．（25-26高二下·江苏·期末）某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 (1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. (2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 题型02 线性回归方程的计算与性质 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知y关于x的经验回归方程为.若，.则v关于u的经验回归方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知具有线性相关关系的变量，，其样本点为（）， ，，经验回归直线方程为，则（    ） A．8.6 B．9.4 C．12.4 D．12.6 3．（25-26高二下·甘肃武威·期末）若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26高二下·广西百色·期末）百色市某村为实现乡村振兴，开发本地资源办企业，最近研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，特对不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据做了统计： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 已知，． (1)求和的值； (2)求y关于x的一元线性回归方程；（参考公式：，） (3)如价格定为15元，预测网上月销量大约是多少万件？ 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个车间为了规定工时定额需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 实验顺序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 零件（个） 60 70 80 90 100 加工时间（分钟） 95 104 108 116 122 (1)求出y关于x的线性回归方程， 参考公式如下： (2)关于加工零件的个数及加工时间由（1）问你能得出什么结论？ 6．（2026·山西忻州·模拟预测）某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 (1)求经验回归方程； (2)根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 题型03 残差的计算 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润额（万元） 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）根据最小二乘法得到与的经验回归方程为，则样本点的随机误差的效应（残差）为______． 6．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差的绝对值为______. 7．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，则相应于点的残差为________________． 题型04 决定系数的计算与分析 1．（25-26高二下·重庆荣昌·阶段检测）在一组样本数据，，，的散点图中，其中，，若所有样本点都在直线上，则决定系数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．线性回归直线必过样本数据的中心点； 3．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（    ） A． B． C． D．不确定 4．下列说法中正确的是（   ） A．回归直线至少经过一个样本点 B．在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D．当样本相关系数时，成对样本数据正相关 5．在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则_____. 附：，，. 6．一组实验数据如下： 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 (1)根据表中数据，计算，. (2)根据表中数据计算样本相关系数.（保留两位小数）. (3)由数据用最小二乘法可得线性回归方程为，统计学中常用决定系数刻画回归效果，例如假设，就说明响应变量的差异有由解释变量引起.请计算本题的（保留两位小数），并指出本题中响应变量的差异在多大程度上由解释变量引起. （附：，，，） 题型05 非线性回归方程 1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 4．（25-26高二下·重庆·期末）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 5．（25-26高二下·重庆·期末）为研究光照时长（单位：h）与盆栽花卉株高增长量（单位：cm）的关系，测得6组试验数据，如下表格： 3 4 5 6 7 8 由散点变化可知与是非线性变化，现有两个备选拟合模型：①指数模型：（），②对数模型：，参考统计数据：令，，，，，，，，，参考数据：，， 线性回归系数公式：， (1)根据散点增长趋势选取合适模型，仅得出结论即可（不用说明理由）； (2)求出关于的非线性回归方程； (3)当每日光照时，预估花卉株高增长量. 6．（25-26高二下·山东青岛·期末）某公司对近五年的人工智能产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计如下表： 年投入额（百万元） 1 2 3 4 5 年销售量（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 该公司科研团队用两种模型①，②对数据进行拟合，得到模型①的回归方程为，并计算得模型②的残差平方和约为0.0462. (1)求模型①的残差平方和，根据两个模型的残差平方和，选择一个拟合效果更好的模型； (2)若某年投入额为8百万元，用拟合效果更好的模型预测产品该年的销售量. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式为，；设，，，，，，. 题型06 等高条形图 1．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（   ）    A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 2．（23-24高二下·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 4．（24-25高三上·江西新余·阶段检测）如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（    ）. A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性 B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说 C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话 D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误 5．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 6．（多选）（25-26高二下·四川宜宾·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是（   ） 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D．根据小概率值的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 7．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量x，y相关关系最强的是______． 题型07 独立性检验思想的应用 1．（25-26高二下·全国·课后作业）两个取值于的分类变量，的列联表如下．则与之间有关联的可能性最小时，整数（   ） 合计 10 18 28 26 合计 44 A．8 B．9 C．14 D．19 2．（25-26高二下·全国·课后作业）某高校调查学生性别和喜欢短视频是否有关联．男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频人数占男生人数的，女生中喜欢短视频人数占女生人数的．若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别有关联，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．（多选）（25-26高二下·广东深圳·期末）为研究分类变量与是否独立，零假设：与相互独立，得到关于与的抽样数据的列联表，计算得．若将原列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的倍，得到新的列联表及其对应的，则（    ） 附卡方计算公式及临界值表： A． B． C．依据小概率值的独立性检验，由原列联表没有充分证据推断不成立，可以认为与独立 D．依据小概率值的独立性检验，由新列联表推断不成立，即认为与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 4．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）某市随机抽查100天空气中PM2.5浓度和浓度，得到列联表如下，已知．则可以推断（   ） PM2.5浓度 合计 64 16 80 10 10 20 合计 74 26 100 A．PM2.5不超过75且不超过150的概率估计值是0.64 B．若表中天数都扩大到原来的10倍，的值不变 C．根据的独立性检验，可以认为PM2.5浓度与浓度有关 D．根据的独立性检验，可以认为PM2.5浓度与浓度无关 5．（25-26高二下·陕西汉中·期中）为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对充电设施是否满意 对续航里程是否满意 满意 不满意 满意 80 20 不满意 40 60 (1)用频率估计概率，任意调查一名新能源汽车车主，设事件A为“该车主对续航里程满意”，事件B为“该车主对充电设施满意”，求和； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附：，其中. α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 6．（25-26高二下·河南郑州·期末）郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： (1)求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？ 阅读时间\锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 15 少于1小时 10 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ 附：（i），其中. （ii）在线性回归方程中，，； 7．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示： 校园社团 抗压能力 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？ (2)从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高三上·广东汕头·期末）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 2．在卡方独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取时，如表所示，则有：，因此：与课本公式等价，故以下列联表的最小值为（    ） 1 2 3 4 30 30 25 45 A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 4．（多选）（2026·广西崇左·一模）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 5．（多选）为研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（   ）（参考公式：相关系数为） 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 A． B．当时，对应的残差为0.11 C．样本数据的上四分位数为1.2 D．去掉点后，与的样本相关系数变小 6．（多选）某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·全国·专题练习）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为______． 附：样本相关系数 8．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 9．（25-26高二下·广东东莞·期末）2026年美加墨世界杯激战正酣.球队甲在备战世界杯期间，球队数据分析师搜集了其他队伍球员的惯用脚以及射门方向偏好的相关数据，抽取惯用脚为左脚和右脚的球员各100人进行数据分析，得到如下2×2列联表： 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 右脚 70 合计 其中射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，惯用脚为右脚的球员中射门方向偏好球门左侧的有70人. (1)请根据已知条件将上述2×2列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析球员射门方向偏好是否与球员的惯用脚有关联. (2)学校为了提升学生对足球的兴趣，计划举行足球“班超”联赛，高二1班为了备战“班超”，利用课余时间在，两个点位进行射门练习.第一次随机选择一个位置射门，如果在该位置进球，则换到下一个位置继续练习，如果没有进球，则继续在该位置练习，如此循环往复.已知小明在位置练习进球的概率为0.6，在位置练习进球的概率为0.3，每次练习是相互独立的. （ⅰ）求小明第次在点位进行射门练习的概率. （ⅱ）由于时间限制，队长规定每个同学在每个点位射门进球1个，则练习结束，每个同学至多进行5次射门练习.设表示小明结束训练时射门的次数.求的分布列. 参考公式与相关数据：. 临界值表 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 10．（25-26高二下·广东广州·期末）假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型. (1)求参数的最小二乘估计； (2)现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值. 11．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）在独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数．取 时，则有 ． 因此：与等价． y 30 30 25 45 (1)请完成该列联表； (2)求该 列联表的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 回归分析与独立性检验 题型01 相关系数的意义与计算 1． 【答案】D 【分析】 样本相关系数的绝对值越接近，两个变量的线性相关程度越强，因此比较四组样本相关系数的绝对值即可. 【详解】 . 其中最大，所以丁组的线性相关程度最强. 2． 【答案】C 【分析】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丙的相关系数最大； 残差平方和越小，相关性越强，只有丙的残差平方和最小， 综上可知丙的试验结果体现了，两变量有更强的线性相关性. 3． 【答案】A 【详解】 . 4． 【答案】A 【详解】所有样本点都落在直线上,斜率,所以这组样本数据正相关且相关系数为1. 5． 【答案】 【分析】根据线性相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关性越强的性质，比较三组相关系数的绝对值大小即可完成排序. 【详解】线性相关系数的绝对值用于衡量成对数据线性相关性的强弱，越接近，线性相关性越强，的正负仅表示正相关或负相关，不影响相关性强弱的判定. 计算三组相关系数的绝对值：，，， 可得大小关系为， 因此、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为. 6． 【答案】(1)线性回归方程为：；当循环次数为1000次时电池的剩余容量为；相关系数，用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的. (2)分布列如下： 数学期望为. 【详解】（1）由题意得： ，， ，，所以， 则，所以线性回归方程为：， 将代入得：，即：当循环次数为1000次时电池的剩余容量为. 又因为，所以相关系数， ，表示完全负线性相关，说明循环次数与剩余容量之间存在极强的负线性关系，因此用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的。 （2）由题意可知：10块同批次电池中，4块达标，6块未达标，抽取的3块中达标的电池数为，则可能取值为0,1,2,3. ，，，， 所以达标的电池数的分布列为： 数学期望. 题型02 线性回归方程的计算与性质 1． 【答案】B 【详解】由，，得， 代入，得， 所以. 2． 【答案】B 【分析】根据题意，求得样本中心点为，将其代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由，，可得：， ，所以样本中心点为 根据经验回归方程经过样本中心点，可得： ，即. 3． 【答案】C 【详解】当时，，故预测值为7 4． 【答案】(1)， (2) (3)5.5万件 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用最小二乘法可求回归直线方程； （3）令，代入求解即可. 【详解】（1），； （2）因为，，，， 所以， 又， 所以y关于x的一元线性回归方程； （3）当时，， 所以价格定为15元，预测网上月销量大约是5.5万件. 5． 【答案】(1) (2)由回归直线方程可知，说明加工零件个数与加工时间呈正线性相关， 零件数每增加一个，加工时间平均增加 【详解】（1）由题意得，，， 而， ， 得到，， 所以，y关于x的线性回归方程. （2）由回归方程可知，斜率， 说明加工零件个数与加工时间呈正线性相关， 且零件个数每增加一个，加工时间平均增加. 6． 【答案】(1)； (2)估计提高分为10.5，至少应为6小时 【分析】（1）先求出，代入公式计算，进而求，即得经验回归方程； （2）根据经验回归方程估计出时的体测成绩的提高分，再由规定列不等式计算即得. 【详解】（1）由数据得，． 于是． 又． 所以． 从而． 故经验回归方程为． （2）当时，． 所以估计每周锻炼6小时时体测成绩提高分为10.5． 若训练效果明显，则，由，解得． 由于每周锻炼时间按整数小时估计，所以至少应为6小时． 题型03 残差的计算 1． 【答案】A 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为， 所以样本点在处的残差为. 2． 【答案】B 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 . 3． 【答案】C 【分析】首先计算预测值，再代入残差公式，即可求解. 【详解】当时，， 所以时，利润额的残差为. 4． 【答案】①② 【详解】根据线性回归的性质，线性回归直线一定过样本中心点，故①正确； 相关系数的符号表示相关方向，时两个变量正相关，时两个变量负相关，故②正确； 变量相关性越强，是相关系数的绝对值越接近1，正相关时接近1，负相关时接近，故③错误； 在残差图中，残差点所在带状区域越窄，说明残差波动越小，回归预报精确度越高； 带状区域越宽，说明残差波动越大，预报精确度越低，故④错误． 5． 【答案】 【分析】根据残差的定义，先计算对应的预测值，再用实际观测值减去预测值即可得到结果． 【详解】当时，， 所以样本点的随机误差的效应（残差）为． 6． 【答案】2.5 【分析】使用最小二乘法与残差的定义求解. 【详解】由线性回归方程为，令，得， 所以时，，残差为. 因此样本点的残差的绝对值为2.5. 7． 【答案】 【分析】先求得其经验回归方程，再根据残差的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，则， 当时，， 所以相应于点的残差为． 题型04 决定系数的计算与分析 1． 【答案】D 【分析】利用决定系数的概念计算即可. 【详解】由于所有样本点都在直线上，则残差平方和为0，此时决定系数. 2． 【答案】D 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 3． 【答案】C 【分析】根据决定系数的定义判断即可. 【详解】由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好， 所以. 故选：C. 4． 【答案】D 【分析】根据回归直线方程的性质、决定系数的性质，结合残差图的特征逐一判断即可. 【详解】A：回归直线过样本中心点，每个样本点不一定都在回归直线方程上，所以本选项说法不正确； B：因为在回归分析模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确； C：因为残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高， 所以本选项说法不正确， D：当样本相关系数时，成对样本数据正相关，因此本选项说法正确， 故选：D 5． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出回归直线方程，进而求出. 【详解】依题意， ，， 则，， 因此关于的线性回归方程为， 当时，，残差；当时，，残差； 当时，，残差；当时，，残差， 因此，所以. 故答案为：1 6． 【答案】(1)，， (2) (3),响应变量的差异有由解释变量引起. 【分析】（1）根据平均数的计算即可求解， （2）根据相关系数的计算公式即可求解， （3）根据所给公式，代入即可求解. 【详解】（1），， （2）， （3）由于， 响应变量的差异有由解释变量引起. 题型05 非线性回归方程 1． 【答案】A 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得， 由， 得， 所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，， 所以． 2． 【答案】B 【详解】由模型，可得，即， 因为变换后得到经验回归方程为， 所以，即，故. 3． 【答案】C 【分析】根据回归直线经过样本点中心可知经过 ，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项. 【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即 ， 于是，得， 则 ，，解得. A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误； B选项，由题知， 是指数相关的，因此 时， 的相关性更强，即，B选项错误； C选项， 时， ，C选项正确； D选项，令，则 ， 解得 ，D选项错误. 4． 【答案】(1)模型② (2)（i）；（ii）9人 【分析】（1）通过观察残差图中残差点的分布情况及带状区域宽度来判断模型拟合效果； （2）（i）令，将非线性模型转化为线性模型，利用最小二乘法公式计算回归系数，得到经验回归方程； （ii）根据年收益增量超过8亿元，建立不等式求解. 【详解】（1）选择模型②，理由如下 由残差图可知，模型②的残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且带状区域宽度比模型①窄，说明模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适. （2）（i）根据模型②，令，则与可用线性回归来拟合，有. 由表中数据可知，，，， ，则， ， 所以与的经验回归方程为， 即与的经验回归方程为. （ii）由题意，要使年收益增量超过8亿元，则，即， 整理得，，即，解得， 因为为研发人员增量，需为正整数，所以，故预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少9人. 5． 【答案】(1)选择模型 (2) (3) 【分析】（1）根据散点分布，即可确定对数模型； （2）令，将非线性模型转化为线性模型，代入公式计算，再计算，求得，即可得到回归方程； （3）把、代入回归方程即可计算预估值. 【详解】（1）由表格可知散点增长趋势较为平缓，故选择对数函数模型 （2）令，则模型化为线性形式，则 ， 又因为， 所以 故所求回归方程：. （3）当时，， 所以当每日光照时，预估花卉株高增长量预估株高增长量为. 6． 【答案】(1) 模型①的残差平方和为，拟合效果更好的是模型②； (2) 预测该年销售量约为千件. 【分析】（1）先计算模型①各样本的预测值，再求残差平方和，通过比较两个模型残差平方和的大小选择拟合效果更好的模型； （2）对模型②取对数转化为线性回归模型，用最小二乘法估计参数，代入计算预测销售量. 【详解】（1）已知模型①的回归方程为，依次计算各样本的残差平方： 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 因此模型①的残差平方和为， 由于残差平方和越小拟合效果越好，且，故模型②拟合效果更好. （2）对两边取自然对数，得，令，则转化为线性回归模型. 因为，，， ， 根据最小二乘法公式：，， 所以，当时，（千件）. 题型06 等高条形图 1． 【答案】C 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误； 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人， 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误； 已知，根据临界值表可得， 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于， 所以正确； 因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论， 所以错误. 2． 【答案】A 【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案. 【详解】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 3． 【答案】C 【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 4． 【答案】D 【分析】根据统计图中的数据进行分析，判断每个选项的正确性. 【详解】对于A选项，观察统计图，比较男性和女性未对父母说过“我爱你”的比例， 发现男性未说的比例高于女性，所以A选项正确. 对于B选项，分别对比男女对母亲和对父亲说“我爱你”的比例， 能看出无论男女对母亲说的比例都高于对父亲说的比例，所以B选项正确. 对于C选项，从统计图整体来看，未说过“我爱你”的人数比例较大， 所以大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话，C选项正确. 对于D选项，经常对父母说“我爱你”的人数总计比例较女生比例有所下降， 并不能直接说明统计图结果存在错误，有可能是实际调查结果就是如此，所以D选项错误. 故选：D 5． 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 6． 【答案】BD 【分析】本题关键在于： 1.先根据总人数和男女生人数差求出男、女生各自的人数，这是后续计算的基础； 2.等高条形图的高度代表比例，结合人数可直接算出各分类的具体人数； 3.独立性检验的核心是计算值，并与临界值比较，从而判断两个变量是否有关联. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，由题意得，解得， 即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下列联表， 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 由表可知，显然错误；男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多，正确； 在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为， ，错误； 零假设：是否经常锻炼与性别无关，则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，正确． 故选：. 7． 【答案】③ 【详解】由图可知，图③的差异最大，则相关关系最强. 题型07 独立性检验思想的应用 1． 【答案】C 【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解. 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 又为整数，结合选项可知当时，与的关系最弱. 2． 【答案】B 【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求得的取值范围得最小值. 【详解】列出列联表： 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是． 要依据认为有关联，需，解得． 又，所以的最小值为12． 3． 【答案】BC 【分析】先推导单元格数据扩大后卡方值的变化判断AB；再结合临界值表判断CD. 【详解】选项A：设原列联表数据为，总样本量， 原卡方. 每个单元格数据扩大2倍后，新数据为，总样本量， 代入公式得：， 故A错误，B正确； 选项C：原列联表，依据的独立性检验规则， 不拒绝零假设，没有充分证据推断不成立，可以认为与独立，故C正确； 选项D：新列联表，依据的独立性检验规则， 不拒绝零假设，无法推断不成立，故D错误. 4． 【答案】AC 【分析】根据列联表中的数据，结合古典概型概率计算公式，以及独立性检验的估计值，即可求解. 【详解】对于A，由表格中的数据，可得PM2.5不超过75且不超过150的概率为，所以A正确； 对于B，若表中天数都扩大为原来的10倍，也会随样本量成比例变化，不会保持不变，所以B错误； 对于C，由，依据的独立性检验，推断零假设不成立， 可以认为浓度与浓度有关，所以C正确、D错误． 5． 【答案】(1)， (2)认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关. 【详解】（1）依题意得，     由条件概率公式得. （2）作出零假设：消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率无关. 由已知数据， 则依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关. 6． 【答案】(1)，，，有关 (2)，77.5分 【分析】（1）根据列联表的性质填表，计算卡方值，利用独立性检验思想即得结论； （2）利用相关数据代入公式求出的值，即得回归方程，代入即可计算对应的估计值. 【详解】（1）由表知：，，， 零假设为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关 则， 依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关； （2）因，，则， 又，，则， 则 于是关于的一元线性回归方程为， 当时， 所以若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分. 7．【答案】(1)认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关； (2)分布列为 0 1 2 【分析】（1）求出的值，根据独立性检验的意义即可得答案； （2）由题意可知的所有可能取值为，，，求出对应的概率，即可得分布列，再由期望公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：学生参加校园社团与抗压能力强弱无关. 根据表中的数据，可得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关. （2）这6名学生中抗压能力弱的有人，抗压能力强的有人， 则的所有可能取值为，，. ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 故. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项. 【详解】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确. 因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确。 决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误 故选：D 2． 【答案】C 【分析】由已知，不全列联表，并分别计算出每行､每列的实际频数，然后带入公式列出关系式，借助的关系即可完成最值得求解. 【详解】由已知，可将上述列联表补充完整， 30 30 25 45 ，所以， ； ； ； ； ； ； ，① 由，设，，所以 ， 带入①式得： 令，设函数，该函数为对勾函数，函数在区间单调递减，在区间单调递增，而因为，所以当时最接近最小值，故时，时①式取得最小值，为. 故选：C. 3． 【答案】C 【分析】列出新的列联表，计算后比较即可. 【详解】由题，列出新的列联表如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 330 100 430 乙校 380 70 450 合计 710 170 880 代入卡方公式： ，其中， 所以， ， 所以认为 “学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握， 故AB错误. 且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误. 故选：C. 4． 【答案】ABC 【分析】A 选项通过推导可得，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入前式求得，故正确；B 选项可通过联立两个回归方程的截距公式解出样本均值和​，故正确；C 选项利用回归斜率乘积与相关系数的关系，结合斜率符号确定，故正确；D 选项因残差平方和需要原始数据或更多统计量，仅靠x的标准差无法计算，故错误。 【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确. 对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ， 由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 5． 【答案】AC 【分析】对于，求出，由一定满足线性回归方程，代入即可求解；对于，按照残差的概念求解即可；对于，按照上四分位数求解方法求解即可；对于，由相关系数公式计算判断即可. 【详解】对于，由题意知， 由经验回归方程过样本中心点， 代入，得，故正确； 对于，当时，，残差， 故错误； 对于，将排序，因为，所以上四分位位置为第四位， 所以，故正确； 对于， ， 去掉点后， 则 ， 则相关系数不变，故错误. 故选： 6． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合给定条件，求出数据修正前后的相关统计数据，再比较大小，即可得到答案． 【详解】由题意知，数据修正前：， ，， ， ，， 数据修正后：， ，， ， ，，， 因此，，，而，则， 所以ABD正确，C错误． 故选：ABD． 7． 【答案】 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可． 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为． 8．【答案】9 【分析】由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值. 【详解】解：由题意知：, 则， 解得：或， 因为：且，， 综上得：，， 所以：. 故答案为：9. 【点睛】本题考查独立性检验的应用问题. 9．【答案】(1) 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 20 80 100 右脚 70 30 100 合计 90 110 200 球员射门方向偏好与球员的惯用脚有关联 (2)（i）;（ii） X 2 3 4 5 P 【分析】（1）根据已知数据求解，即可得列联表；求出的值，与临界值表比较，即可得结论； （2） （i）如果第次在A点射门，那么第i次在A点的情况是第次没进球；如果第次在B点射门，那么第i次在A点的情况是第次进球，由此建立​和​的递推关系，结合初始值求解递推数列即可；（ii）X是结束训练的射门次数，取值为2到5，所以分别分析每个取值对应的射门顺序和进球、未进球的情况，结合独立事件概率乘法计算对应概率，最终列出分布列. 【详解】（1）由于射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，故人数为， 由此可得列联表： 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 20 80 100 右脚 70 30 100 合计 90 110 200 零假设：球员射门方向偏好与球员的惯用脚无关联， 则， 故依据 的独立性检验，拒绝原假设，认为球员射门方向偏好与惯用脚有关联. （2）（ⅰ）第一次随机选位置，故， 第 i 次在A射门分两种情况：①第 次在A且未进球，留在A；②第 次在B且进球，换去A； 因此递推关系： ， 即， 则，故是以为首项，为公比的等比数列， 故，即； （ii）X 的可能取值为 2，3，4，5，分别计算概率： （两次进球结束）：两次分别在两个位置都进球， 得到; （三次结束，第三次进第二个球）： 若A不进 → A再进 → 换到B → B进 → 结束（共3次）， 概率为； 若A进 → 换到B → B不进 → B再进 → 结束（共3次）， 概率为； 若B不进 → B再进 → 换到A → A进 → 结束， 概率为； 若B进 → 换到A→ A不进 → A再进 → 结束（共3次）， 概率为； 故； ：（四次结束，第四次进第二个球）， 起始于A时，A不进 → A不进 → A进 → B进 → 结束 概率为， A不进 → A进 → B不进 → B进 → 结束， 概率为， A进 → B不进 → B不进 → B进 → 结束， 概率为， 起始于B，B不进 → B不进 → B进 → A进 → 结束， 概率为， B不进 → B进 → A不进 → A进 → 结束， 概率为， B进 → A不进 → A不进 → A进 → 结束， 概率为， 故； （前四次未完成两个进球）： , 因此 X的分布列为： X 2 3 4 5 P 10． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将展开，结合二次函数最值计算即可求解； （2）①将数据代入公式即可求解；②由数据确定单次抽到“大偏差”的概率为，再结合二项分布，计算概率，进而可求解. 【详解】（1）残差平方和 ， 由二次函数性质可知，当且仅当时残差平方和最小， 故的最小二乘估计； （2）①由观测数据求得， 则， 故所求经验回归方程为. ②计算样本点的残差的绝对值如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0.5 1 2 0.5 1.5 0.5 故“大偏差”样本点共有2个，频率为， 即单次抽到“大偏差”的概率， 因此，， 由，解得， 由，解得， 又因为，且， 所以当最大时，. 11． 【答案】(1) 列联表为： 5x (x∈N*) y 30 30 25 45 (2) 【分析】（1）根据给定条件，补全列联表. （2）分别计算出每行、每列的实际频数，并代入公式列出关系式，再借助的关系即可完成最值求解． 【详解】（1）略 （2）因为 ，所以 ，，， ，，，， ，① 由 ，设 ， ，所以 ， 代入①式得： ， 令 ，设函数，则该函数在区间 单调递减，在区间 单调递增， 当且仅当，即时取到最小值. 因为，解得,, 又因为所以当 时最接近最小值， 故 时， 时，①式取得最小值，则最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 回归分析与独立性检验 常考题型·精准突破 题型01 相关系数的意义与计算 题型02 线性回归方程的计算与性质 （高频） 题型03 残差的计算 题型04 决定系数的计算与分析 题型05 非线性回归方程 （重） 题型06 等高条形图 题型07 独立性检验思想的应用（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 相关系数的意义与计算 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】 样本相关系数的绝对值越接近，两个变量的线性相关程度越强，因此比较四组样本相关系数的绝对值即可. 【详解】 . 其中最大，所以丁组的线性相关程度最强. 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丙的相关系数最大； 残差平方和越小，相关性越强，只有丙的残差平方和最小， 综上可知丙的试验结果体现了，两变量有更强的线性相关性. 3．（25-26高二下·河北承德·期末）已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【答案】A 【详解】 . 4．（25-26高二下·河北张家口·期末）样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（     ） A．1 B． C． D．-1 【答案】A 【详解】所有样本点都落在直线上,斜率,所以这组样本数据正相关且相关系数为1. 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）分别对三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为，则三组相关性的强弱从弱到强排序依次为_______________． 【答案】 【分析】根据线性相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关性越强的性质，比较三组相关系数的绝对值大小即可完成排序. 【详解】线性相关系数的绝对值用于衡量成对数据线性相关性的强弱，越接近，线性相关性越强，的正负仅表示正相关或负相关，不影响相关性强弱的判定. 计算三组相关系数的绝对值：，，， 可得大小关系为， 因此、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为. 6．（25-26高二下·江苏·期末）某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 (1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. (2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 【答案】(1)线性回归方程为：；当循环次数为1000次时电池的剩余容量为；相关系数，用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的. (2)分布列如下： 数学期望为. 【详解】（1）由题意得： ，， ，，所以， 则，所以线性回归方程为：， 将代入得：，即：当循环次数为1000次时电池的剩余容量为. 又因为，所以相关系数， ，表示完全负线性相关，说明循环次数与剩余容量之间存在极强的负线性关系，因此用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的。 （2）由题意可知：10块同批次电池中，4块达标，6块未达标，抽取的3块中达标的电池数为，则可能取值为0,1,2,3. ，，，， 所以达标的电池数的分布列为： 数学期望. 题型02 线性回归方程的计算与性质 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知y关于x的经验回归方程为.若，.则v关于u的经验回归方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 代入，得， 所以. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知具有线性相关关系的变量，，其样本点为（）， ，，经验回归直线方程为，则（    ） A．8.6 B．9.4 C．12.4 D．12.6 【答案】B 【分析】根据题意，求得样本中心点为，将其代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由，，可得：， ，所以样本中心点为 根据经验回归方程经过样本中心点，可得： ，即. 3．（25-26高二下·甘肃武威·期末）若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】当时，，故预测值为7 4．（25-26高二下·广西百色·期末）百色市某村为实现乡村振兴，开发本地资源办企业，最近研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，特对不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据做了统计： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 已知，． (1)求和的值； (2)求y关于x的一元线性回归方程；（参考公式：，） (3)如价格定为15元，预测网上月销量大约是多少万件？ 【答案】(1)， (2) (3)5.5万件 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用最小二乘法可求回归直线方程； （3）令，代入求解即可. 【详解】（1），； （2）因为，，，， 所以， 又， 所以y关于x的一元线性回归方程； （3）当时，， 所以价格定为15元，预测网上月销量大约是5.5万件. 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个车间为了规定工时定额需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 实验顺序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 零件（个） 60 70 80 90 100 加工时间（分钟） 95 104 108 116 122 (1)求出y关于x的线性回归方程， 参考公式如下： (2)关于加工零件的个数及加工时间由（1）问你能得出什么结论？ 【答案】(1) (2)由回归直线方程可知，说明加工零件个数与加工时间呈正线性相关， 零件数每增加一个，加工时间平均增加 【详解】（1）由题意得，，， 而， ， 得到，， 所以，y关于x的线性回归方程. （2）由回归方程可知，斜率， 说明加工零件个数与加工时间呈正线性相关， 且零件个数每增加一个，加工时间平均增加. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 (1)求经验回归方程； (2)根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 【答案】(1)； (2)估计提高分为10.5，至少应为6小时 【分析】（1）先求出，代入公式计算，进而求，即得经验回归方程； （2）根据经验回归方程估计出时的体测成绩的提高分，再由规定列不等式计算即得. 【详解】（1）由数据得，． 于是． 又． 所以． 从而． 故经验回归方程为． （2）当时，． 所以估计每周锻炼6小时时体测成绩提高分为10.5． 若训练效果明显，则，由，解得． 由于每周锻炼时间按整数小时估计，所以至少应为6小时． 题型03 残差的计算 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为， 所以样本点在处的残差为. 2．（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 【答案】B 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 . 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润额（万元） 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先计算预测值，再代入残差公式，即可求解. 【详解】当时，， 所以时，利润额的残差为. 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）下列命题中正确的命题有_________．（填序号） ①线性回归直线必过样本数据的中心点； ②当相关性系数时，两个变量正相关； ③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 【答案】①② 【详解】根据线性回归的性质，线性回归直线一定过样本中心点，故①正确； 相关系数的符号表示相关方向，时两个变量正相关，时两个变量负相关，故②正确； 变量相关性越强，是相关系数的绝对值越接近1，正相关时接近1，负相关时接近，故③错误； 在残差图中，残差点所在带状区域越窄，说明残差波动越小，回归预报精确度越高； 带状区域越宽，说明残差波动越大，预报精确度越低，故④错误． 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）根据最小二乘法得到与的经验回归方程为，则样本点的随机误差的效应（残差）为______． 【答案】 【分析】根据残差的定义，先计算对应的预测值，再用实际观测值减去预测值即可得到结果． 【详解】当时，， 所以样本点的随机误差的效应（残差）为． 6．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差的绝对值为______. 【答案】2.5 【分析】使用最小二乘法与残差的定义求解. 【详解】由线性回归方程为，令，得， 所以时，，残差为. 因此样本点的残差的绝对值为2.5. 7．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，则相应于点的残差为________________． 【答案】 【分析】先求得其经验回归方程，再根据残差的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，则， 当时，， 所以相应于点的残差为． 题型04 决定系数的计算与分析 1．（25-26高二下·重庆荣昌·阶段检测）在一组样本数据，，，的散点图中，其中，，若所有样本点都在直线上，则决定系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用决定系数的概念计算即可. 【详解】由于所有样本点都在直线上，则残差平方和为0，此时决定系数. 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．线性回归直线必过样本数据的中心点； 【答案】D 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 3．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据决定系数的定义判断即可. 【详解】由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好， 所以. 故选：C. 4．下列说法中正确的是（   ） A．回归直线至少经过一个样本点 B．在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D．当样本相关系数时，成对样本数据正相关 【答案】D 【分析】根据回归直线方程的性质、决定系数的性质，结合残差图的特征逐一判断即可. 【详解】A：回归直线过样本中心点，每个样本点不一定都在回归直线方程上，所以本选项说法不正确； B：因为在回归分析模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确； C：因为残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高， 所以本选项说法不正确， D：当样本相关系数时，成对样本数据正相关，因此本选项说法正确， 故选：D 5．在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则_____. 附：，，. 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出回归直线方程，进而求出. 【详解】依题意， ，， 则，， 因此关于的线性回归方程为， 当时，，残差；当时，，残差； 当时，，残差；当时，，残差， 因此，所以. 故答案为：1 6．一组实验数据如下： 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 (1)根据表中数据，计算，. (2)根据表中数据计算样本相关系数.（保留两位小数）. (3)由数据用最小二乘法可得线性回归方程为，统计学中常用决定系数刻画回归效果，例如假设，就说明响应变量的差异有由解释变量引起.请计算本题的（保留两位小数），并指出本题中响应变量的差异在多大程度上由解释变量引起. （附：，，，） 【答案】(1)，， (2) (3),响应变量的差异有由解释变量引起. 【分析】（1）根据平均数的计算即可求解， （2）根据相关系数的计算公式即可求解， （3）根据所给公式，代入即可求解. 【详解】（1），， （2）， （3）由于， 响应变量的差异有由解释变量引起. 题型05 非线性回归方程 1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得， 由， 得， 所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，， 所以． 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由模型，可得，即， 因为变换后得到经验回归方程为， 所以，即，故. 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 【答案】C 【分析】根据回归直线经过样本点中心可知经过 ，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项. 【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即 ， 于是，得， 则 ，，解得. A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误； B选项，由题知， 是指数相关的，因此 时， 的相关性更强，即，B选项错误； C选项， 时， ，C选项正确； D选项，令，则 ， 解得 ，D选项错误. 4．（25-26高二下·重庆·期末）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 【答案】(1)模型② (2)（i）；（ii）9人 【分析】（1）通过观察残差图中残差点的分布情况及带状区域宽度来判断模型拟合效果； （2）（i）令，将非线性模型转化为线性模型，利用最小二乘法公式计算回归系数，得到经验回归方程； （ii）根据年收益增量超过8亿元，建立不等式求解. 【详解】（1）选择模型②，理由如下 由残差图可知，模型②的残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且带状区域宽度比模型①窄，说明模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适. （2）（i）根据模型②，令，则与可用线性回归来拟合，有. 由表中数据可知，，，， ，则， ， 所以与的经验回归方程为， 即与的经验回归方程为. （ii）由题意，要使年收益增量超过8亿元，则，即， 整理得，，即，解得， 因为为研发人员增量，需为正整数，所以，故预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少9人. 5．（25-26高二下·重庆·期末）为研究光照时长（单位：h）与盆栽花卉株高增长量（单位：cm）的关系，测得6组试验数据，如下表格： 3 4 5 6 7 8 由散点变化可知与是非线性变化，现有两个备选拟合模型：①指数模型：（），②对数模型：，参考统计数据：令，，，，，，，，，参考数据：，， 线性回归系数公式：， (1)根据散点增长趋势选取合适模型，仅得出结论即可（不用说明理由）； (2)求出关于的非线性回归方程； (3)当每日光照时，预估花卉株高增长量. 【答案】(1)选择模型 (2) (3) 【分析】（1）根据散点分布，即可确定对数模型； （2）令，将非线性模型转化为线性模型，代入公式计算，再计算，求得，即可得到回归方程； （3）把、代入回归方程即可计算预估值. 【详解】（1）由表格可知散点增长趋势较为平缓，故选择对数函数模型 （2）令，则模型化为线性形式，则 ， 又因为， 所以 故所求回归方程：. （3）当时，， 所以当每日光照时，预估花卉株高增长量预估株高增长量为. 6．（25-26高二下·山东青岛·期末）某公司对近五年的人工智能产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计如下表： 年投入额（百万元） 1 2 3 4 5 年销售量（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 该公司科研团队用两种模型①，②对数据进行拟合，得到模型①的回归方程为，并计算得模型②的残差平方和约为0.0462. (1)求模型①的残差平方和，根据两个模型的残差平方和，选择一个拟合效果更好的模型； (2)若某年投入额为8百万元，用拟合效果更好的模型预测产品该年的销售量. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式为，；设，，，，，，. 【答案】(1) 模型①的残差平方和为，拟合效果更好的是模型②； (2) 预测该年销售量约为千件. 【分析】（1）先计算模型①各样本的预测值，再求残差平方和，通过比较两个模型残差平方和的大小选择拟合效果更好的模型； （2）对模型②取对数转化为线性回归模型，用最小二乘法估计参数，代入计算预测销售量. 【详解】（1）已知模型①的回归方程为，依次计算各样本的残差平方： 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 因此模型①的残差平方和为， 由于残差平方和越小拟合效果越好，且，故模型②拟合效果更好. （2）对两边取自然对数，得，令，则转化为线性回归模型. 因为，，， ， 根据最小二乘法公式：，， 所以，当时，（千件）. 题型06 等高条形图 1．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（   ）    A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 【答案】C 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误； 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人， 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误； 已知，根据临界值表可得， 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于， 所以正确； 因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论， 所以错误. 2．（23-24高二下·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案. 【详解】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 4．（24-25高三上·江西新余·阶段检测）如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（    ）. A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性 B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说 C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话 D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误 【答案】D 【分析】根据统计图中的数据进行分析，判断每个选项的正确性. 【详解】对于A选项，观察统计图，比较男性和女性未对父母说过“我爱你”的比例， 发现男性未说的比例高于女性，所以A选项正确. 对于B选项，分别对比男女对母亲和对父亲说“我爱你”的比例， 能看出无论男女对母亲说的比例都高于对父亲说的比例，所以B选项正确. 对于C选项，从统计图整体来看，未说过“我爱你”的人数比例较大， 所以大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话，C选项正确. 对于D选项，经常对父母说“我爱你”的人数总计比例较女生比例有所下降， 并不能直接说明统计图结果存在错误，有可能是实际调查结果就是如此，所以D选项错误. 故选：D 5．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 6．（多选）（25-26高二下·四川宜宾·期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是（   ） 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D．根据小概率值的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 【答案】BD 【分析】本题关键在于： 1.先根据总人数和男女生人数差求出男、女生各自的人数，这是后续计算的基础； 2.等高条形图的高度代表比例，结合人数可直接算出各分类的具体人数； 3.独立性检验的核心是计算值，并与临界值比较，从而判断两个变量是否有关联. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，由题意得，解得， 即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下列联表， 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 由表可知，显然错误；男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多，正确； 在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为， ，错误； 零假设：是否经常锻炼与性别无关，则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，正确． 故选：. 7．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量x，y相关关系最强的是______． 【答案】③ 【详解】由图可知，图③的差异最大，则相关关系最强. 题型07 独立性检验思想的应用 1．（25-26高二下·全国·课后作业）两个取值于的分类变量，的列联表如下．则与之间有关联的可能性最小时，整数（   ） 合计 10 18 28 26 合计 44 A．8 B．9 C．14 D．19 【答案】C 【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解. 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 又为整数，结合选项可知当时，与的关系最弱. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）某高校调查学生性别和喜欢短视频是否有关联．男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频人数占男生人数的，女生中喜欢短视频人数占女生人数的．若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别有关联，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求得的取值范围得最小值. 【详解】列出列联表： 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是． 要依据认为有关联，需，解得． 又，所以的最小值为12． 3．（多选）（25-26高二下·广东深圳·期末）为研究分类变量与是否独立，零假设：与相互独立，得到关于与的抽样数据的列联表，计算得．若将原列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的倍，得到新的列联表及其对应的，则（    ） 附卡方计算公式及临界值表： A． B． C．依据小概率值的独立性检验，由原列联表没有充分证据推断不成立，可以认为与独立 D．依据小概率值的独立性检验，由新列联表推断不成立，即认为与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 【答案】BC 【分析】先推导单元格数据扩大后卡方值的变化判断AB；再结合临界值表判断CD. 【详解】选项A：设原列联表数据为，总样本量， 原卡方. 每个单元格数据扩大2倍后，新数据为，总样本量， 代入公式得：， 故A错误，B正确； 选项C：原列联表，依据的独立性检验规则， 不拒绝零假设，没有充分证据推断不成立，可以认为与独立，故C正确； 选项D：新列联表，依据的独立性检验规则， 不拒绝零假设，无法推断不成立，故D错误. 4．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）某市随机抽查100天空气中PM2.5浓度和浓度，得到列联表如下，已知．则可以推断（   ） PM2.5浓度 合计 64 16 80 10 10 20 合计 74 26 100 A．PM2.5不超过75且不超过150的概率估计值是0.64 B．若表中天数都扩大到原来的10倍，的值不变 C．根据的独立性检验，可以认为PM2.5浓度与浓度有关 D．根据的独立性检验，可以认为PM2.5浓度与浓度无关 【答案】AC 【分析】根据列联表中的数据，结合古典概型概率计算公式，以及独立性检验的估计值，即可求解. 【详解】对于A，由表格中的数据，可得PM2.5不超过75且不超过150的概率为，所以A正确； 对于B，若表中天数都扩大为原来的10倍，也会随样本量成比例变化，不会保持不变，所以B错误； 对于C，由，依据的独立性检验，推断零假设不成立， 可以认为浓度与浓度有关，所以C正确、D错误． 5．（25-26高二下·陕西汉中·期中）为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对充电设施是否满意 对续航里程是否满意 满意 不满意 满意 80 20 不满意 40 60 (1)用频率估计概率，任意调查一名新能源汽车车主，设事件A为“该车主对续航里程满意”，事件B为“该车主对充电设施满意”，求和； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附：，其中. α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关. 【详解】（1）依题意得，     由条件概率公式得. （2）作出零假设：消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率无关. 由已知数据， 则依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关. 6．（25-26高二下·河南郑州·期末）郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： (1)求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？ 阅读时间\锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 15 少于1小时 10 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ 附：（i），其中. （ii）在线性回归方程中，，； 【答案】(1)，，，有关 (2)，77.5分 【分析】（1）根据列联表的性质填表，计算卡方值，利用独立性检验思想即得结论； （2）利用相关数据代入公式求出的值，即得回归方程，代入即可计算对应的估计值. 【详解】（1）由表知：，，， 零假设为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关 则， 依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关； （2）因，，则， 又，，则， 则 于是关于的一元线性回归方程为， 当时， 所以若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分. 7．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示： 校园社团 抗压能力 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？ (2)从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】(1)认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关； (2)分布列为 0 1 2 【分析】（1）求出的值，根据独立性检验的意义即可得答案； （2）由题意可知的所有可能取值为，，，求出对应的概率，即可得分布列，再由期望公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：学生参加校园社团与抗压能力强弱无关. 根据表中的数据，可得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关. （2）这6名学生中抗压能力弱的有人，抗压能力强的有人， 则的所有可能取值为，，. ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 故. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高三上·广东汕头·期末）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 【答案】D 【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项. 【详解】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确. 因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确。 决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误 故选：D 2．（2022·湖北·模拟预测）在卡方独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取时，如表所示，则有：，因此：与课本公式等价，故以下列联表的最小值为（    ） 1 2 3 4 30 30 25 45 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，不全列联表，并分别计算出每行､每列的实际频数，然后带入公式列出关系式，借助的关系即可完成最值得求解. 【详解】由已知，可将上述列联表补充完整， 30 30 25 45 ，所以， ； ； ； ； ； ； ，① 由，设，，所以 ， 带入①式得： 令，设函数，该函数为对勾函数，函数在区间单调递减，在区间单调递增，而因为，所以当时最接近最小值，故时，时①式取得最小值，为. 故选：C. 3．（25-26高三上·河南·期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【分析】列出新的列联表，计算后比较即可. 【详解】由题，列出新的列联表如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 330 100 430 乙校 380 70 450 合计 710 170 880 代入卡方公式： ，其中， 所以， ， 所以认为 “学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握， 故AB错误. 且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误. 故选：C. 4．（多选）（2026·广西崇左·一模）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 【答案】ABC 【分析】A 选项通过推导可得，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入前式求得，故正确；B 选项可通过联立两个回归方程的截距公式解出样本均值和​，故正确；C 选项利用回归斜率乘积与相关系数的关系，结合斜率符号确定，故正确；D 选项因残差平方和需要原始数据或更多统计量，仅靠x的标准差无法计算，故错误。 【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确. 对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ， 由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 5．（多选）为研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（   ）（参考公式：相关系数为） 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 A． B．当时，对应的残差为0.11 C．样本数据的上四分位数为1.2 D．去掉点后，与的样本相关系数变小 【答案】AC 【分析】对于，求出，由一定满足线性回归方程，代入即可求解；对于，按照残差的概念求解即可；对于，按照上四分位数求解方法求解即可；对于，由相关系数公式计算判断即可. 【详解】对于，由题意知， 由经验回归方程过样本中心点， 代入，得，故正确； 对于，当时，，残差， 故错误； 对于，将排序，因为，所以上四分位位置为第四位， 所以，故正确； 对于， ， 去掉点后， 则 ， 则相关系数不变，故错误. 故选： 6．（多选）某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合给定条件，求出数据修正前后的相关统计数据，再比较大小，即可得到答案． 【详解】由题意知，数据修正前：， ，， ， ，， 数据修正后：， ，， ， ，，， 因此，，，而，则， 所以ABD正确，C错误． 故选：ABD． 7．（2026高二·全国·专题练习）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为______． 附：样本相关系数 【答案】 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可． 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为． 8．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 【答案】9 【分析】由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值. 【详解】解：由题意知：, 则， 解得：或， 因为：且，， 综上得：，， 所以：. 故答案为：9. 【点睛】本题考查独立性检验的应用问题. 9．（25-26高二下·广东东莞·期末）2026年美加墨世界杯激战正酣.球队甲在备战世界杯期间，球队数据分析师搜集了其他队伍球员的惯用脚以及射门方向偏好的相关数据，抽取惯用脚为左脚和右脚的球员各100人进行数据分析，得到如下2×2列联表： 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 右脚 70 合计 其中射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，惯用脚为右脚的球员中射门方向偏好球门左侧的有70人. (1)请根据已知条件将上述2×2列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析球员射门方向偏好是否与球员的惯用脚有关联. (2)学校为了提升学生对足球的兴趣，计划举行足球“班超”联赛，高二1班为了备战“班超”，利用课余时间在，两个点位进行射门练习.第一次随机选择一个位置射门，如果在该位置进球，则换到下一个位置继续练习，如果没有进球，则继续在该位置练习，如此循环往复.已知小明在位置练习进球的概率为0.6，在位置练习进球的概率为0.3，每次练习是相互独立的. （ⅰ）求小明第次在点位进行射门练习的概率. （ⅱ）由于时间限制，队长规定每个同学在每个点位射门进球1个，则练习结束，每个同学至多进行5次射门练习.设表示小明结束训练时射门的次数.求的分布列. 参考公式与相关数据：. 临界值表 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 20 80 100 右脚 70 30 100 合计 90 110 200 球员射门方向偏好与球员的惯用脚有关联 (2)（i）;（ii） X 2 3 4 5 P 【分析】（1）根据已知数据求解，即可得列联表；求出的值，与临界值表比较，即可得结论； （2） （i）如果第次在A点射门，那么第i次在A点的情况是第次没进球；如果第次在B点射门，那么第i次在A点的情况是第次进球，由此建立​和​的递推关系，结合初始值求解递推数列即可；（ii）X是结束训练的射门次数，取值为2到5，所以分别分析每个取值对应的射门顺序和进球、未进球的情况，结合独立事件概率乘法计算对应概率，最终列出分布列. 【详解】（1）由于射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，故人数为， 由此可得列联表： 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 20 80 100 右脚 70 30 100 合计 90 110 200 零假设：球员射门方向偏好与球员的惯用脚无关联， 则， 故依据 的独立性检验，拒绝原假设，认为球员射门方向偏好与惯用脚有关联. （2）（ⅰ）第一次随机选位置，故， 第 i 次在A射门分两种情况：①第 次在A且未进球，留在A；②第 次在B且进球，换去A； 因此递推关系： ， 即， 则，故是以为首项，为公比的等比数列， 故，即； （ii）X 的可能取值为 2，3，4，5，分别计算概率： （两次进球结束）：两次分别在两个位置都进球， 得到; （三次结束，第三次进第二个球）： 若A不进 → A再进 → 换到B → B进 → 结束（共3次）， 概率为； 若A进 → 换到B → B不进 → B再进 → 结束（共3次）， 概率为； 若B不进 → B再进 → 换到A → A进 → 结束， 概率为； 若B进 → 换到A→ A不进 → A再进 → 结束（共3次）， 概率为； 故； ：（四次结束，第四次进第二个球）， 起始于A时，A不进 → A不进 → A进 → B进 → 结束 概率为， A不进 → A进 → B不进 → B进 → 结束， 概率为， A进 → B不进 → B不进 → B进 → 结束， 概率为， 起始于B，B不进 → B不进 → B进 → A进 → 结束， 概率为， B不进 → B进 → A不进 → A进 → 结束， 概率为， B进 → A不进 → A不进 → A进 → 结束， 概率为， 故； （前四次未完成两个进球）： , 因此 X的分布列为： X 2 3 4 5 P 10．（25-26高二下·广东广州·期末）假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型. (1)求参数的最小二乘估计； (2)现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将展开，结合二次函数最值计算即可求解； （2）①将数据代入公式即可求解；②由数据确定单次抽到“大偏差”的概率为，再结合二项分布，计算概率，进而可求解. 【详解】（1）残差平方和 ， 由二次函数性质可知，当且仅当时残差平方和最小， 故的最小二乘估计； （2）①由观测数据求得， 则， 故所求经验回归方程为. ②计算样本点的残差的绝对值如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0.5 1 2 0.5 1.5 0.5 故“大偏差”样本点共有2个，频率为， 即单次抽到“大偏差”的概率， 因此，， 由，解得， 由，解得， 又因为，且， 所以当最大时，. 11．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）在独立性检验中，，其中为列联表中第行列的实际频数，为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数．取 时，则有 ． 因此：与等价． y 30 30 25 45 (1)请完成该列联表； (2)求该 列联表的最小值． 【答案】(1) 列联表为： 5x (x∈N*) y 30 30 25 45 (2) 【分析】（1）根据给定条件，补全列联表. （2）分别计算出每行、每列的实际频数，并代入公式列出关系式，再借助的关系即可完成最值求解． 【详解】（1）略 （2）因为 ，所以 ，，， ，，，， ，① 由 ，设 ， ，所以 ， 代入①式得： ， 令 ，设函数，则该函数在区间 单调递减，在区间 单调递增， 当且仅当，即时取到最小值. 因为，解得,, 又因为所以当 时最接近最小值， 故 时， 时，①式取得最小值，则最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $