专题02 四种分布问题（超几何分布、二项分布、正态分布、两点分布）（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第二册

专题02 四种分布问题 常考题型·精准突破 题型01 两点分布问题 题型02 求超几何分布的概率 题型03 超几何分布的分布列及数字特征（重） 题型04 独立重复试验的概率 题型05 二项分布的分布列及数字特征（重） 题型06 二项分布中的概率最值问题 （难） 题型07 正态曲线的性质 题型08 求正态分布的概率（高频） 题型09 几种特殊分布的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 两点分布问题 1．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 又， 两式相加得：， 故． 2．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量X服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 解得. 3．（25-26高二下·广东清远·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的性质及方差的性质求解即可. 【详解】由题意可设，， 所以，解得. 若服从两点分布，则， 所以， 所以. 4．（25-26高二下·福建厦门·期中）随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】因为随机变量服从两点分布，其中，则. 所以，故A选项正确； ，故C选项正确； ，故B选项正确； ，故D选项错误． 5．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用两点分布的概率性质、两点分布期望方差公式，结合期望和方差的线性运算性质，逐一计算验证各选项得出结论. 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则________． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用两点分布的性质，即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 7．（25-26高二下·山东菏泽·期末）若随机变量服从两点分布，且，则__________． 【答案】0.24 【详解】若随机变量服从两点分布，设，则， 则两点分布期望，方差； 由得，所以. 题型02 求超几何分布的概率 1．（25-26高二下·四川眉山·期末）一批零件共有5个，其中有2个不合格．随机抽取3个零件进行检测，至少有1件不合格的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“3件全为合格品”的概率为， 故至少有1件不合格的概率为. 2．（25-26高二下·北京·期末）现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题是超几何分布的定义考查，根据超几何分布概率公式，恰好对应从个隐藏款中选个、个普通款中选个的组合数除以总选法数，也就是选中隐藏款个数的概率. 【详解】题意中总共有8个盲盒，其中3个隐藏款、5个普通款，从中任选5个，选中的隐藏款个数服从超几何分布, 由可知，分子含义是从3个隐藏款里选2个，同时从5个普通款里选3个的组合数， 恰好对应“选购5个盲盒时，选中的隐藏款恰好为2个”的概率，也就是. 3．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（ ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．至多有2个先进班级 【答案】B 【分析】根据超几何分布的概率公式逐一判断即可. 【详解】从7个班级中选3个，总的组合数为： . 选到0个先进班：； 选到1个先进班：； 选到2个先进班：； 选到3个先进班：； A：至少1个先进班级：，A错误 B：有1个或2个先进班级：，B正确； C：有2个或3个先进班级：，C错误； D： 至多有2个先进班级：，D错误. 4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）一箱产品共有12件，其中有若干件为次品，从这一箱产品中任取2件，恰有1件次品的概率为，且，则这箱产品中次品的个数可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先利用超几何分布公式列出关于次品数n的概率表达式，将其代入已知的概率区间构建一元二次不等式组即可. 【详解】设这一箱产品中有件次品，服从超几何分布， 则从这一箱产品中任取2件，恰有1个次品的概率， 又因为，所以， 即，解得或， 又因为，所以这箱产品中次品件数可能为3或9，结合选项A正确. 5．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）袋中有个大小相同的球，其中个黑球，个白球，现从中任取个球，取出一个黑球记分，取出一个白球记分，则下列结论中正确的是（   ） A．取出的白球个数服从二项分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出个白球的概率为 D．取出球总得分最大的概率为 【答案】BD 【分析】利用超几何分布即可求解. 【详解】对于A，该取球试验是不放回抽取，所以取出的白球个数不可能服从二项分布，故A错误； 对于B，取出的黑球个数的概率为，所以服从超几何分布，故B正确； 对于C，取出个白球的概率，故C错误； 对于D，若取出球总得分最大，则取出的个球均为黑球，其概率为，故D正确． 6．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）在等差数列中，，.现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为，则下列结论正确的是（    ） A．服从超几何分布 B．服从二项分布 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC，由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差， 则通项为， 由，得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数， 因此，不服从二项分布，服从超几何分布，正确，B错误； 所以正确；且正确． 7．（25-26高二下·湖北十堰·期末）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则__________． 【答案】 【详解】X服从超几何分布，. 题型03 超几何分布的分布列及数字特征（重） 1．（25-26高二下·重庆璧山·期末）从装有6个白球，2个红球的密闭容器中不放回任意抽取2个球，取得红球个数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据超几何分布的期望公式，可得取得红球个数的期望为：. 2．（25-26高二下·重庆·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得服从超几何分布，按照超几何分布的期望公式求得，由期望的线性性质，求得的值. 【详解】易知的可能取值为，且服从超几何分布， 所以， 所以. 3．（25-26高二下·河南商丘·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 【答案】/ 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以， . 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和独立事件同时发生的概率，即可求解； （2）根据条件，求出的可能取值及对应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功， 则， 又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响， 所以. （2）易知的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余为正品．现随机不放回抽检片，若为片中次品的个数． (1)求的分布列与期望； (2)证明：； (3)该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷．为检验该光谱分析仪检测性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随机不放回抽检片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳定．记为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当时，证明：． 【答案】(1)分布列： 0 1 2 3 . (2)总体，次品总数，抽取件不放回，次品数， 期望公式. ，等式得证. (3)由题意， 代表抽取片时次品少于3片的概率. 抽取片，次品少于3片等价于：先抽取片有件次品，再抽1片后总次品数仍小于3，利用条件概率： 作差： 当时，，且， 故，即，得证. 【分析】(1)样本量，直接计算取0、1、2、3的概率写出分布列，再按定义求期望； (2)有两条解题路径，既可直接套用超几何分布期望公式化简证明，也可以构造新增抽取的随机变量，借助期望性质递推证明； (3)先利用超几何分布写出的组合数表达式，再借助条件概率建立两者关系式，作差判断差值恒正，完成不等式证明. 【详解】（1） 的可能取值为0，1，2，3， ，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望：. （2）略 （3）略 6．（25-26高二下·山西长治·期末）长治市质监部门根据质量管理考核指标对该地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图． (1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01） (2)我市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)平均数为：（分），分 (2)的分布列为 0 1 2 3 4 【分析】（1）平均数用组中值乘各组频率累加求解；先累计前置区间频率锁定中位数所在组，利用中位数左侧累积概率列方程插值计算; （2）先统计总体、两类个体数量，判定服从超几何分布，枚举所有取值并组合公式算概率列分布列；可直接用超几何期望公式快速得结果. 【详解】（1）由题意，这家食品生产企业考核成绩的平均数为：（分） 由频率分布图可知样本中考核成绩在区间内的频率为， 样本中考核成绩在区间内的频率为， 所以中位数内，所以， 解得分． （2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有： （家）， 其中考核成绩在内的企业有（家）， 所以可能取值有． 则，，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 题型04 独立重复试验的概率 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：， 由， ， 恰好击中2次的概率为． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，三道题是否答对相互独立，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设答对题目数为，则． 所求概率为． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： . 4．（多选）（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列正确的是（     ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BD 【详解】对于A，三次都正确的概率为，所以A错误； 对于B，发送收到，说明两次正确一次错误，则概率为，所以B正确； 对于C，采用三次传输方案，发送1，译码为1，有两种情况， 情况一：三次都是，此时概率为， 情况二：两次，一次，此时概率为， 所以译码为1的概率为，，所以C错误； 对于D，当时，发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 采用三次传输方案译码为0有两种情况，分别是三次收到和两次一次，此时概率为， 可知，因为，所以， 即，即，所以D正确； 5．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 【答案】 【分析】根据题意得出比赛结束场次为第2场、第4场或第5场，计算相应概率并求和． 【详解】甲同学最终获胜分以下三种情况： （1）甲以的比分获胜，即甲连胜2场，概率为； （2）甲以的比分获胜，即前2场1胜1负，第3,4场连胜，概率为； （3）甲以的比分获胜，即前2场比分，前4场比分，第5场获胜，概率为. 所以甲同学最终获胜的概率为. 6．（26-27高二上·重庆·开学考试）甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． (1)求比赛了2局就结束比赛的概率； (2)求甲获胜的概率； (3)若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 【答案】(1)(2)(3)先胜3局的约定对甲更有利，该赛制下甲获胜概率更高。 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （2）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （3）分别计算两类赛制下对应事件的概率，再比较甲的获胜概率大小即可. 【详解】（1）比赛2局结束包含“甲连胜2局”和“乙连胜2局”两个互斥事件： 甲连胜2局的概率：，乙连胜2局的概率：， 由互斥事件概率加法公式，所求概率. （2）甲获胜包含“2局获胜”和“3局获胜”两个互斥事件： 2局获胜：即甲连胜2局，概率为， 3局获胜：前2局甲恰好胜1局、第3局甲胜，概率为， 故甲获胜的概率. （3）计算“先胜3局者获胜”赛制下甲的获胜概率，包含3类互斥情况： 打3局获胜：甲连胜3局，概率； 打4局获胜：前3局甲恰好胜2局、第4局甲胜，概率； 打5局获胜：前4局甲恰好胜2局、第5局甲胜，概率， 该赛制下甲获胜总概率. 通分比较得，即先胜3局的赛制下甲获胜概率更高，因此该约定对甲更有利. 题型05 二项分布的分布列及数字特征（重） 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】构造表示正面向上次数的二项分布随机变量，建立总得分与该变量的线性关系，结合期望的线性运算性质求解. 【详解】设为4次抛掷中正面向上的次数，由题意得，所以， 设总得分为，则， 所以 . 2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知随机变量，即随机变量服从二项分布， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球．取到1次白球得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】盒内总球数为个， 取白球概率，取黑球概率，取黄球概率， 设单次得分为，则， 有放回取3次，总得分， ． 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由题意可得服从二项分布：从而可得的可能取值为，求出对应的概率，列出分布列，根据期望和方差公式求解即可. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，； 设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 5．（25-26高二下·山东东营·期末）某校引入智能学情诊断系统做学情测评，待检测样本为100名学生，其中拔尖生25人，待提升学生75人．对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别出待提升学生的概率为． (1)从这100名学生中随机抽选2人，求抽到的2人均是拔尖生的概率； (2)现从100名学生中随机抽选3人进行测评，每次抽选1人，测评后返回人群，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式求解. （2）先利用全概率公式求从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率，再利用二项分布求概率的分布列和期望. 【详解】（1）设事件：从这100名学生中随机抽选2人，抽到的2人均是拔尖生， 则. （2）从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率为：. 由题意，取值为0，1，2，3， 所以，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为. 6．（25-26高二下·山东青岛·期末）某科技公司研发了一款新型智能驾驶系统，为了确保系统在复杂环境下的稳定性，现对该系统进行仿真测试，已知测试题库中共有10种不同的虚拟场景，其中包含3种极端天气场景（暴雨、暴雪、浓雾）和7种常规天气场景．测试过程中，系统将随机邀请6位算法工程师，每位工程师从这10种场景中随机抽取3种进行测试，每位工程师完成测试后，系统将自动重置场景库，且不同工程师之间的测试相互独立． (1)求工程师甲抽取的3种场景中，恰好包含1种极端天气场景的概率； (2)设为6位工程师中，抽取的3种场景里至少包含1种极端天气场景的工程师人数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)设为这6位工程师测试后，所有被测试到的极端天气场景的总测试时长（每测试1种极端天气场景需花费50小时算力），求的数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． (3)270 【详解】（1）设事件为甲工程师抽取的3种场景中恰好包含1种极端天气场景， 由古典概型概率公式得． （2）设事件为某一位工程师抽取的场景中至少包含1种极端天气场景， ． 由题意可知，随机变量服从二项分布． 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． （3）设为一名工程师抽取的场景中包含极端天气场景数，的可能取值为，，，， 服从超几何分布，所以. 所以． 题型06 二项分布中的概率最值问题 （难） 1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求解. 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．1或7 B．7或10 C．1或4 D．4或7 【答案】D 【分析】先算出质点向左平移了次的概率，再利用组合数的性质得到的取值，从而可计算质点最可能移动到的位置的坐标. 【详解】设质点向左平移了次，则向右平移了次，其概率为. 所以. 由的性质得，取得最大值时或. 当时，质点最终移动到的位置的坐标为； 当时，质点最终移动到的位置的坐标为. 所以质点最可能移动到的位置的坐标为或. 【点睛】本题关键是利用二项式组合数判断概率大小，结合单次位移列式计算终点坐标，注意正负向位移单位不同，不可仅凭移动次数判断位置. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值. 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 4．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【答案】800 【分析】设患者治愈人数为，可得，从而，利用和研究的单调性即可求解. 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 5．（25-26高二下·四川南充·期末）如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大．    【答案】 【分析】由题意可得小球掉入号格子的概率为，由此列出不等式组求解即可. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左下落的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子需要向左10次，其概率为； 小球掉入1号格子需要向左9次，向右1次，其概率为； 小球掉入2号格子需要向左8次，向右2次，其概率为； 小球掉入3号格子需要向左7次，向右3次，其概率为； …… 依此类推，小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则， 即， 所以， 解得， 又因为为整数， 所以. 即小球落入8号格子的概率最大. 6．（25-26高二下·河南新乡·期末）某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． (1)从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． (2)若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． (3)若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)时，取得最大值 (3) 3 4 5 6 【详解】（1）设事件为“抽到甲生产的零件”，事件为“抽到乙生产的零件”，事件为“该零件合格”． 由全概率公式得． （2）的所有可能取值为，     则 即     整理得解得，而，因此， 所以当时，取得最大值． （3）的所有可能取值为3，4，5，6．     ， ， 的分布列为 3 4 5 6    . 7．（25-26高二下·广东·期末）某景点提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是． (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买产品的家庭个数比例为2：1，现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买产品的情况，记为购买产品的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)已知某家庭第二次购买的是产品，求该家庭第一次购买的是产品的概率； (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买产品的概率最大？并求最大的概率值． 【答案】(1) 0 1 2 ，； (2)； (3)有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 【分析】（1）由比例确定家庭数分别为4和2，抽取3个家庭中的个数服从超几何分布，列出分布列并求期望； （2）利用全概率公式求第二次买的总概率，再用贝叶斯公式反推第一次买的条件概率； （3）第二次购买的家庭数 ，用相邻项比值法确定使概率最大的值，并计算对应最大概率． 【详解】（1）购买，产品的家庭个数分别为4个和2个， 所以的可能取值为0，1，2， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； （2）设“第次购买产品”，（i=1，2），则“第次购买产品”， 则与为对立事件， 由题意， 故． ， 该家庭第一次购买的是产品的概率； （3）每个家庭第二次购买产品的概率为 设有家选择产品，每家购买产品概率均为，故， 的可能取值为，设有家选择产品的概率最大，则 故 即 整理得， 又，故， 此时 故有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 题型07 正态曲线的性质 1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 2．Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（    ） A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足，则服从Logistic分布 C．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 【答案】C 【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断A选项；利用Logistic分布的定义可判断B选项；根据Logistic分布的概率公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，A错； 对于B选项，根据Logistic分布的定义可知， 若连续随机变量满足，则不服从Logistic分布，B错； 对于C选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则， 所以，，， 故，C对； 对于D选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则，， 所以，， 因为，所以，，D错. 故选：C. 3．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 4．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 5．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 6．柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|)＝，P()＝，则P(X)＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称， 由P(|X|)＝，可得，因为P()＝， 所以，因此， 所以， 故选：C 题型08 求正态分布的概率（高频） 1．（25-26高二下·全国·课后作业）据统计，某脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合与的已知概率，拆分区间，分段计算后求和即可. 【详解】由题得，则． 因为， 所以，因此，果实横径在内的概率为． 2．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知随机变量（），若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称， 所以. 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）在某次数学考试中，学生成绩，若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，至少有名学生的成绩不低于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在内的概率为，所以， 故， 记任意选取名学生，至少有名学生的成绩不低于为事件， 则. 4．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量，且，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由随机变量，且，， 可得， 所以. 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知随机变量服从正态分布，则（   ） 附：若随机变量服从正态分布，则， A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的参数含义、对称性以及题目给出的概率取值，逐一验证四个选项的正确性可得. 【详解】因为随机变量，因此正态分布的均值，标准差，结合正态分布的性质进行判断： 对选项A：正态分布的期望，故A错误； 对选项B：正态分布的方差，故B错误； 对选项C：因为，，所以，且， 由正态分布的对称性可知， 所以，故C正确； 对选项D：因为， 所以，故D错误. 6．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（   ） （附：若，则） A．1570人 B．2720人 C．3414人 D．6827人 【答案】C 【分析】利用正态分布关于均值对称的性质，结合给定的区间概率计算出成绩在分的概率，再乘以总考生数得到人数. 【详解】由题知数学成绩，因此均值，标准差，正态分布曲线关于对称， 数学成绩在之间的概率，即， 总考生共10000人，因此该分数段人数约为人. 7．（25-26高二下·福建莆田·期末）已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则（     ） （附：若，则，，） A．0.1359 B．0.1573 C．0.2718 D．0.34135 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性求解得参数值，将所求概率转化为标准正态分布下的概率进行求解. 【详解】已知，令，则，即与服从同一分布， 因为，即， 所以，即， 因为，即， 所以，解得， 因此，故选项A正确. 题型09 几种特殊分布的实际应用 1．（多选）（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B．若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C．若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上 出发，则应选择坐公交车 【答案】BCD 【分析】根据所给数据求出坐公交车的均值方差判断A，由正态分布及所给图象分析可判断BCD. 【详解】坐公交车所花时间的均值为： ， 方差为 ，故A错误； 根据题意，可以得到， 7：50 之后出发，并选择坐公交车，有 以上的可能性会超过 ，即8 点之后到校，会迟到，故B正确； 由题中图可知， ，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上 出发，有可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上 出发，只有 可用，则应选择坐公交车，故D正确． 二、解答题 2．（25-26高二下·河北邢台·期末）为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且． (1)估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数； (2)假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望． 【答案】(1)5人 (2)1 【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率，进而估计人数. （2）由（1）的结论，利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】（1）由成绩近似服从正态分布，且， 得， 所以这100名学生中成绩在95分以上的学生人数约为. （2）由（1）得，100名学生中安全意识极高的学生共5人， 从100人中抽取20人，安全意识极高的人数服从超几何分布， 所以的期望. 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】(1)分布列： 数学期望 (2)甲班代表更好 【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值有、、，结合超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则，计算出、的值，并求出的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 4．（25-26高二下·河北·期末）质检车间对生产的大批量零件进行抽检，每件产品为次品的概率为（），每次抽取相互独立． (1)若有放回抽取4件产品，当时，求恰好抽到2件次品的概率； (2)若采取逐件抽检，抽到次品就停止．求在第2件抽检合格的条件下，第3件同样抽检合格的概率； (3)技术员想要估计次品率，设计了两套试验方案： 方案1：逐件有放回抽检，一旦抽到次品，或是累计抽满4件就立刻停止试验； 方案2：有放回逐次抽取4件产品． 分别求出两套方案中，次品出现频率的数学期望，并根据期望判断哪一套方案用来估计更加科学． 【答案】(1) (2) (3)方案1：次品出现的频率用随机变量表示，则的可能取值为0，，，，1， ，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， 方案2：次品出现的频率用随机变量表示，因为， 所以，即，则， 所以方案2估计的值更合理， 【分析】（1）满足二项分布，利用相关公式可得概率； （2）设出事件，根据题利用由条件概率公式进行求解； （3）方案1：次品出现的频率用随机变量表示，求出可能的取值及其对应的概率，从而可求出，方案2：次品出现的频率用随机变量表示，则，根据二项分布的期望公式求出，然后比较后可得结论 【详解】（1）设次品数为，则， 则． （2）设事件“第2件合格”，事件“第3件合格”， 则，， 所以． （3）略 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）某果园的精品苹果成箱包装，每箱个．每箱苹果在交付客户之前要对苹果作检验，如检验出坏果，则更换为好果．检验时，先从这箱苹果中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有苹果作检验．设每个苹果为坏果的概率都是，且各个苹果是否为坏果相互独立． (1)记个苹果中检验出的坏果数量为，若时，的值最大，求． (2)现对一箱苹果检验了个，结果恰有（1）中所得的个坏果．已知每个苹果的检验费用为元，若有坏果流入市场，则果园要对每个坏果支付元的赔偿费用． （ⅰ）若不对该箱余下的苹果作检验，这一箱苹果的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对该箱余下的所有苹果作检验？ 【答案】(1) (2)（i）；（ii）应该对该箱余下的所有苹果作检验 【分析】（1）根据题意得到随机变量服从二项分布，从而得到其分布列，化简，即可得到的单调性，进而确定的值最大时的值； （2）（ⅰ）根据题意得到余下苹果中的坏果数量服从二项分布，从而求出，再求出与的关系，进而根据期望的线性性质即可求出； （ⅱ）比较检验总费用与的大小，即可得到答案． 【详解】（1）由题意得个苹果中坏果的数量服从二项分布， 则随机变量的分布列为，， 又， 当，即时，随着的增大而增大； 当，即时，随着的增大而减小， 所以当时，最大，即． （2）（ⅰ）记该箱余下的个苹果中的坏果数量为， 由题意得服从二项分布，则， 又检验费用与赔偿费之和为， 所以． （ⅱ）若对该箱余下的所有苹果作检验，则这一箱苹果的检验总费用为， 又，即不检验余下苹果的期望总费用更高， 所以应该对该箱余下的所有苹果作检验． 6．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在一次数学模拟测试中，多项选择题部分按如下规则给分：没有四个选项全对的，全部选对的得分，部分选对得部分分（没有选错选项但没选全时，若正确答案是‌两个选项‌：只选对个得‌分‌ ；若正确答案是‌三个选项‌：只选对个得‌分‌，选对个得‌分‌ ），有选错的得分.小马同学在一次考试中做第题多选题，他已经确保、选项正确以及选项错误，对较难的选项，根据对题目的分析和感觉，预估有的可能性这个选项是正确的.因此小马同学有两种方案可供选择，方案一：选择，方案二：选择. (1)记小马同学的得分为，试写出上述两种方案下的分布列； (2)小马同学在这道题中做何种选择更为合理？从期望的角度作出解释． 【答案】(1)方案一，的分布列为 方案二，的分布列为 (2)选择更为合理 【分析】（1）分析出两种方案下的可能取值，及其对应的概率，可得出的分布列； （2）计算出小马同学选择两种方案下得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）方案一：选择，由题意可知的可能取值有、， 若，则选项为其中一个正确选项，则， 若，则选项为错误选项，则， 小马最终得分为随机变量的分布列为 方案二：选择，由题意可知的可能取值有、， 若，则选项为错误选项，则， 若，则选项为其中一个正确选项，则， 小马最终得分为随机变量的分布列为 （2）若小马同学选择方案一，则其得分的期望为， 若小马同学选择方案二，则其得分的期望为， 因为，因此小马在这道题中选择更为合理. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小王，小李两人闯关成功与否互不影响，每次试验小王，小李成功的概率都不变，可分析各自成功的次数满足二项分布，利用二项分布的概率模型进行分析对应随机变量的取值所满足事件A的情况，带入二项分布公式即可． 【详解】设小王、小李闯关成功的次数分别为X，Y，则X，Y均服从二项分布． 由题意，得事件， 且事件，，互斥， X与Y相互独立． 因为， 所以． 2．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正态分布曲线的对称性，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 3．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 【答案】B 【分析】将乙盒中原有的1个黑球与从甲盒抽取的黑球数结合，利用超几何分布的期望公式计算可判断数列的单调性；结合乙盒总球数的变化，分析概率随抽取球数的变化趋势可判断的单调性. 【详解】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为， 服从超几何分布，且， 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，， 因为，所以， 因为，所以当从增加到时， 随的增大而增大，所以数列严格增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个， 所以 ， 因为，所以当从增加到时， 单调递减，所以严格减. 故选：B. 5．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用二项分布得到，，，，再由即可判断A；根据即可判断B；分别计算即可判断C；根据即可判断D． 【详解】因为， 所以，， ，， 因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则 ，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． 6．（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 【答案】 / 【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为. 【详解】①已知，正态曲线图像关于对称， 故， 因此. ②由题意，，满足，且与独立， 由全概率公式：  (1) 令，则, 即等价于  (2) (1)(2)两式相加 结合第一空的结论， 得. 7．（25-26高二下·江苏扬州·期末）袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． (1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 【答案】(1)，，，，． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，根据二项分布的概率计算公式及方差公式计算求解即可； （2）（i）根据题意结合超几何分布可得，利用作商法计算可得最大值；（ii）由题意可得，根据期望计算公式计算可解. 【详解】（1）由题意得，的取值集合是， ，， ，， ． （2）（i）由题意得， 所以， 令，解得， 将，，，代入可得， 将，，代入可得， 综上，取最大值时，． （ii）的取值集合是， 则，可得， ， 故． 8．（25-26高二下·陕西渭南·期末）某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据题意进行几何转化，再利用点亮数服从二项分布建模，对进行等价转化，进而求出相应概率； （2）对应3种互斥情况，求出相应概率，进而利用条件概率公式计算求解； （3）先定义指示变量，再利用期望线性性计算求解． 【详解】（1）圆周上6个等距点对应正六边形顶点，由圆周角定理，直角三角形的斜边为圆的直径， 共3条直径，每条直径与其余4个点分别构成4个直角三角形，共计个直角三角形， 随机变量，即， 当且仅当恰好点亮3个点，且3个点恰好构成1个直角三角形， 总共个直角三角形，每个直角三角形对应“3个点亮、其余3个不亮”的互斥事件， 单个直角三角形被点亮的概率： ， 故． （2），仅发生在时，即4个点恰好是2条直径的端点，则 ， ，仅发生在时，即5个点恰好是2条直径的端点， 每条直径对应3个直角顶点，共6个直角三角形，则 ， ，仅发生在时，3条直径全部完整，共个直角三角形， ， 则， 且， 由条件概率公式得． （3）设个直角三角形对应指示变量，其中表示第个直角三角形的 三个顶点全被点亮，否则，则， 对每个，3个顶点全被点亮的概率为，故， 由线性期望得：． 9．（23-24高二下·重庆·期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 【答案】(1)0.0449；0.0459 (2)必须作改进； (3). 【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望； （2）由可知，，即可作出判断； （3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解. 【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973， 镓含量的概率为0.0027 ， ； （2）由估计得， ，发现最小值， 该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进； （3）设余下的数据的平均数，则， 即. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四种分布问题 常考题型·精准突破 题型01 两点分布问题 题型02 求超几何分布的概率 题型03 超几何分布的分布列及数字特征（重） 题型04 独立重复试验的概率 题型05 二项分布的分布列及数字特征（重） 题型06 二项分布中的概率最值问题 （难） 题型07 正态曲线的性质 题型08 求正态分布的概率（高频） 题型09 几种特殊分布的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 两点分布问题 1．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知随机变量X服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东清远·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建厦门·期中）随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则________． 7．（25-26高二下·山东菏泽·期末）若随机变量服从两点分布，且，则__________． 题型02 求超几何分布的概率 1．（25-26高二下·四川眉山·期末）一批零件共有5个，其中有2个不合格．随机抽取3个零件进行检测，至少有1件不合格的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期末）现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（ ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．至多有2个先进班级 4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）一箱产品共有12件，其中有若干件为次品，从这一箱产品中任取2件，恰有1件次品的概率为，且，则这箱产品中次品的个数可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）袋中有个大小相同的球，其中个黑球，个白球，现从中任取个球，取出一个黑球记分，取出一个白球记分，则下列结论中正确的是（   ） A．取出的白球个数服从二项分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出个白球的概率为 D．取出球总得分最大的概率为 6．（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）在等差数列中，，.现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为，则下列结论正确的是（    ） A．服从超几何分布 B．服从二项分布 C． D． 7．（25-26高二下·湖北十堰·期末）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则__________． 题型03 超几何分布的分布列及数字特征（重） 1．（25-26高二下·重庆璧山·期末）从装有6个白球，2个红球的密闭容器中不放回任意抽取2个球，取得红球个数的期望为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南商丘·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余为正品．现随机不放回抽检片，若为片中次品的个数． (1)求的分布列与期望； (2)证明：； (3)该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷．为检验该光谱分析仪检测性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随机不放回抽检片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳定．记为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当时，证明：． 6．（25-26高二下·山西长治·期末）长治市质监部门根据质量管理考核指标对该地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图． (1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01） (2)我市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望． 题型04 独立重复试验的概率 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，三道题是否答对相互独立，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．下列正确的是（     ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 5．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 6．（26-27高二上·重庆·开学考试）甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． (1)求比赛了2局就结束比赛的概率； (2)求甲获胜的概率； (3)若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 题型05 二项分布的分布列及数字特征（重） 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球．取到1次白球得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则（    ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 5．（25-26高二下·山东东营·期末）某校引入智能学情诊断系统做学情测评，待检测样本为100名学生，其中拔尖生25人，待提升学生75人．对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别出待提升学生的概率为． (1)从这100名学生中随机抽选2人，求抽到的2人均是拔尖生的概率； (2)现从100名学生中随机抽选3人进行测评，每次抽选1人，测评后返回人群，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望． 6．（25-26高二下·山东青岛·期末）某科技公司研发了一款新型智能驾驶系统，为了确保系统在复杂环境下的稳定性，现对该系统进行仿真测试，已知测试题库中共有10种不同的虚拟场景，其中包含3种极端天气场景（暴雨、暴雪、浓雾）和7种常规天气场景．测试过程中，系统将随机邀请6位算法工程师，每位工程师从这10种场景中随机抽取3种进行测试，每位工程师完成测试后，系统将自动重置场景库，且不同工程师之间的测试相互独立． (1)求工程师甲抽取的3种场景中，恰好包含1种极端天气场景的概率； (2)设为6位工程师中，抽取的3种场景里至少包含1种极端天气场景的工程师人数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)设为这6位工程师测试后，所有被测试到的极端天气场景的总测试时长（每测试1种极端天气场景需花费50小时算力），求的数学期望． 题型06 二项分布中的概率最值问题 （难） 1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．1或7 B．7或10 C．1或4 D．4或7 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（25-26高二下·甘肃武威·期末）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 5．（25-26高二下·四川南充·期末）如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大．    6．（25-26高二下·河南新乡·期末）某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． (1)从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． (2)若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． (3)若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 7．（25-26高二下·广东·期末）某景点提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是． (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买产品的家庭个数比例为2：1，现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买产品的情况，记为购买产品的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)已知某家庭第二次购买的是产品，求该家庭第一次购买的是产品的概率； (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买产品的概率最大？并求最大的概率值． 题型07 正态曲线的性质 1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 2．Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（    ） A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量 B．若连续随机变量满足，则服从Logistic分布 C．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 D．若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则 3．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 5．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|)＝，P()＝，则P(X)＝（    ） A． B． C． D． 题型08 求正态分布的概率（高频） 1．（25-26高二下·全国·课后作业）据统计，某脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在内的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知随机变量（），若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）在某次数学考试中，学生成绩，若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，至少有名学生的成绩不低于的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量，且，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知随机变量服从正态分布，则（   ） 附：若随机变量服从正态分布，则， A． B． C． D． 6．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（   ） （附：若，则） A．1570人 B．2720人 C．3414人 D．6827人 7．（25-26高二下·福建莆田·期末）已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则（     ） （附：若，则，，） A．0.1359 B．0.1573 C．0.2718 D．0.34135 题型09 几种特殊分布的实际应用 1．（多选）（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B．若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C．若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上 出发，则应选择坐公交车 2．（25-26高二下·河北邢台·期末）为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且． (1)估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数； (2)假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望． 3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 4．（25-26高二下·河北·期末）质检车间对生产的大批量零件进行抽检，每件产品为次品的概率为（），每次抽取相互独立． (1)若有放回抽取4件产品，当时，求恰好抽到2件次品的概率； (2)若采取逐件抽检，抽到次品就停止．求在第2件抽检合格的条件下，第3件同样抽检合格的概率； (3)技术员想要估计次品率，设计了两套试验方案： 方案1：逐件有放回抽检，一旦抽到次品，或是累计抽满4件就立刻停止试验； 方案2：有放回逐次抽取4件产品． 分别求出两套方案中，次品出现频率的数学期望，并根据期望判断哪一套方案用来估计更加科学． 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）某果园的精品苹果成箱包装，每箱个．每箱苹果在交付客户之前要对苹果作检验，如检验出坏果，则更换为好果．检验时，先从这箱苹果中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有苹果作检验．设每个苹果为坏果的概率都是，且各个苹果是否为坏果相互独立． (1)记个苹果中检验出的坏果数量为，若时，的值最大，求． (2)现对一箱苹果检验了个，结果恰有（1）中所得的个坏果．已知每个苹果的检验费用为元，若有坏果流入市场，则果园要对每个坏果支付元的赔偿费用． （ⅰ）若不对该箱余下的苹果作检验，这一箱苹果的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对该箱余下的所有苹果作检验？ 6．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在一次数学模拟测试中，多项选择题部分按如下规则给分：没有四个选项全对的，全部选对的得分，部分选对得部分分（没有选错选项但没选全时，若正确答案是‌两个选项‌：只选对个得‌分‌ ；若正确答案是‌三个选项‌：只选对个得‌分‌，选对个得‌分‌ ），有选错的得分.小马同学在一次考试中做第题多选题，他已经确保、选项正确以及选项错误，对较难的选项，根据对题目的分析和感觉，预估有的可能性这个选项是正确的.因此小马同学有两种方案可供选择，方案一：选择，方案二：选择. (1)记小马同学的得分为，试写出上述两种方案下的分布列； (2)小马同学在这道题中做何种选择更为合理？从期望的角度作出解释． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 5．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）若随机变量，随机变量服从两点分布，且，已知与相互独立，则（   ） A．恒小于 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 6．（2026·重庆渝中·三模）一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 7．（25-26高二下·江苏扬州·期末）袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． (1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 8．（25-26高二下·陕西渭南·期末）某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y． (1)求； (2)求； (3)求． 9．国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四种分布问题 常考题型·精准突破 题型01 两点分布问题 1． 【答案】C 【详解】因为， 又， 两式相加得：， 故． 2． 【答案】C 【详解】由题可得， 解得. 3． 【答案】A 【分析】根据二项分布的性质及方差的性质求解即可. 【详解】由题意可设，， 所以，解得. 若服从两点分布，则， 所以， 所以. 4． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】因为随机变量服从两点分布，其中，则. 所以，故A选项正确； ，故C选项正确； ，故B选项正确； ，故D选项错误． 5． 【答案】ACD 【分析】利用两点分布的概率性质、两点分布期望方差公式，结合期望和方差的线性运算性质，逐一计算验证各选项得出结论. 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 6． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用两点分布的性质，即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 7． 【答案】0.24 【详解】若随机变量服从两点分布，设，则， 则两点分布期望，方差； 由得，所以. 题型02 求超几何分布的概率 1． 【答案】C 【详解】“3件全为合格品”的概率为， 故至少有1件不合格的概率为. 2． 【答案】D 【分析】该题是超几何分布的定义考查，根据超几何分布概率公式，恰好对应从个隐藏款中选个、个普通款中选个的组合数除以总选法数，也就是选中隐藏款个数的概率. 【详解】题意中总共有8个盲盒，其中3个隐藏款、5个普通款，从中任选5个，选中的隐藏款个数服从超几何分布, 由可知，分子含义是从3个隐藏款里选2个，同时从5个普通款里选3个的组合数， 恰好对应“选购5个盲盒时，选中的隐藏款恰好为2个”的概率，也就是. 3． 【答案】B 【分析】根据超几何分布的概率公式逐一判断即可. 【详解】从7个班级中选3个，总的组合数为： . 选到0个先进班：； 选到1个先进班：； 选到2个先进班：； 选到3个先进班：； A：至少1个先进班级：，A错误 B：有1个或2个先进班级：，B正确； C：有2个或3个先进班级：，C错误； D： 至多有2个先进班级：，D错误. 4． 【答案】A 【分析】先利用超几何分布公式列出关于次品数n的概率表达式，将其代入已知的概率区间构建一元二次不等式组即可. 【详解】设这一箱产品中有件次品，服从超几何分布， 则从这一箱产品中任取2件，恰有1个次品的概率， 又因为，所以， 即，解得或， 又因为，所以这箱产品中次品件数可能为3或9，结合选项A正确. 5． 【答案】BD 【分析】利用超几何分布即可求解. 【详解】对于A，该取球试验是不放回抽取，所以取出的白球个数不可能服从二项分布，故A错误； 对于B，取出的黑球个数的概率为，所以服从超几何分布，故B正确； 对于C，取出个白球的概率，故C错误； 对于D，若取出球总得分最大，则取出的个球均为黑球，其概率为，故D正确． 6． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC，由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差， 则通项为， 由，得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数， 因此，不服从二项分布，服从超几何分布，正确，B错误； 所以正确；且正确． 7． 【答案】 【详解】X服从超几何分布，. 题型03 超几何分布的分布列及数字特征（重） 1． 【答案】B 【详解】根据超几何分布的期望公式，可得取得红球个数的期望为：. 2． 【答案】D 【分析】由题意可得服从超几何分布，按照超几何分布的期望公式求得，由期望的线性性质，求得的值. 【详解】易知的可能取值为，且服从超几何分布， 所以， 所以. 3． 【答案】/ 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以， . 4． 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和独立事件同时发生的概率，即可求解； （2）根据条件，求出的可能取值及对应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功， 则， 又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响， 所以. （2）易知的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 5． 【答案】(1)分布列： 0 1 2 3 . (2)总体，次品总数，抽取件不放回，次品数， 期望公式. ，等式得证. (3)由题意， 代表抽取片时次品少于3片的概率. 抽取片，次品少于3片等价于：先抽取片有件次品，再抽1片后总次品数仍小于3，利用条件概率： 作差： 当时，，且， 故，即，得证. 【分析】(1)样本量，直接计算取0、1、2、3的概率写出分布列，再按定义求期望； (2)有两条解题路径，既可直接套用超几何分布期望公式化简证明，也可以构造新增抽取的随机变量，借助期望性质递推证明； (3)先利用超几何分布写出的组合数表达式，再借助条件概率建立两者关系式，作差判断差值恒正，完成不等式证明. 【详解】（1） 的可能取值为0，1，2，3， ，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望：. （2）略 （3）略 6． 【答案】(1)平均数为：（分），分 (2)的分布列为 0 1 2 3 4 【分析】（1）平均数用组中值乘各组频率累加求解；先累计前置区间频率锁定中位数所在组，利用中位数左侧累积概率列方程插值计算; （2）先统计总体、两类个体数量，判定服从超几何分布，枚举所有取值并组合公式算概率列分布列；可直接用超几何期望公式快速得结果. 【详解】（1）由题意，这家食品生产企业考核成绩的平均数为：（分） 由频率分布图可知样本中考核成绩在区间内的频率为， 样本中考核成绩在区间内的频率为， 所以中位数内，所以， 解得分． （2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有： （家）， 其中考核成绩在内的企业有（家）， 所以可能取值有． 则，，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 题型04 独立重复试验的概率 1． 【答案】A 【详解】由题意知：， 由， ， 恰好击中2次的概率为． 2． 【答案】A 【详解】设答对题目数为，则． 所求概率为． 3． 【答案】A 【分析】先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： . 4． 【答案】BD 【详解】对于A，三次都正确的概率为，所以A错误； 对于B，发送收到，说明两次正确一次错误，则概率为，所以B正确； 对于C，采用三次传输方案，发送1，译码为1，有两种情况， 情况一：三次都是，此时概率为， 情况二：两次，一次，此时概率为， 所以译码为1的概率为，，所以C错误； 对于D，当时，发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 采用三次传输方案译码为0有两种情况，分别是三次收到和两次一次，此时概率为， 可知，因为，所以， 即，即，所以D正确； 5． 【答案】 【分析】根据题意得出比赛结束场次为第2场、第4场或第5场，计算相应概率并求和． 【详解】甲同学最终获胜分以下三种情况： （1）甲以的比分获胜，即甲连胜2场，概率为； （2）甲以的比分获胜，即前2场1胜1负，第3,4场连胜，概率为； （3）甲以的比分获胜，即前2场比分，前4场比分，第5场获胜，概率为. 所以甲同学最终获胜的概率为. 6． 【答案】(1)(2)(3)先胜3局的约定对甲更有利，该赛制下甲获胜概率更高。 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （2）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （3）分别计算两类赛制下对应事件的概率，再比较甲的获胜概率大小即可. 【详解】（1）比赛2局结束包含“甲连胜2局”和“乙连胜2局”两个互斥事件： 甲连胜2局的概率：，乙连胜2局的概率：， 由互斥事件概率加法公式，所求概率. （2）甲获胜包含“2局获胜”和“3局获胜”两个互斥事件： 2局获胜：即甲连胜2局，概率为， 3局获胜：前2局甲恰好胜1局、第3局甲胜，概率为， 故甲获胜的概率. （3）计算“先胜3局者获胜”赛制下甲的获胜概率，包含3类互斥情况： 打3局获胜：甲连胜3局，概率； 打4局获胜：前3局甲恰好胜2局、第4局甲胜，概率； 打5局获胜：前4局甲恰好胜2局、第5局甲胜，概率， 该赛制下甲获胜总概率. 通分比较得，即先胜3局的赛制下甲获胜概率更高，因此该约定对甲更有利. 题型05 二项分布的分布列及数字特征（重） 1． 【答案】C 【分析】构造表示正面向上次数的二项分布随机变量，建立总得分与该变量的线性关系，结合期望的线性运算性质求解. 【详解】设为4次抛掷中正面向上的次数，由题意得，所以， 设总得分为，则， 所以 . 2． 【答案】D 【详解】已知随机变量，即随机变量服从二项分布， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3． 【答案】D 【详解】盒内总球数为个， 取白球概率，取黑球概率，取黄球概率， 设单次得分为，则， 有放回取3次，总得分， ． 4． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由题意可得服从二项分布：从而可得的可能取值为，求出对应的概率，列出分布列，根据期望和方差公式求解即可. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，； 设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 5． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式求解. （2）先利用全概率公式求从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率，再利用二项分布求概率的分布列和期望. 【详解】（1）设事件：从这100名学生中随机抽选2人，抽到的2人均是拔尖生， 则. （2）从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率为：. 由题意，取值为0，1，2，3， 所以，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为. 6． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． (3)270 【详解】（1）设事件为甲工程师抽取的3种场景中恰好包含1种极端天气场景， 由古典概型概率公式得． （2）设事件为某一位工程师抽取的场景中至少包含1种极端天气场景， ． 由题意可知，随机变量服从二项分布． 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． （3）设为一名工程师抽取的场景中包含极端天气场景数，的可能取值为，，，， 服从超几何分布，所以. 所以． 题型06 二项分布中的概率最值问题 （难） 1． 【答案】B 【分析】求解. 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 2． 【答案】D 【分析】先算出质点向左平移了次的概率，再利用组合数的性质得到的取值，从而可计算质点最可能移动到的位置的坐标. 【详解】设质点向左平移了次，则向右平移了次，其概率为. 所以. 由的性质得，取得最大值时或. 当时，质点最终移动到的位置的坐标为； 当时，质点最终移动到的位置的坐标为. 所以质点最可能移动到的位置的坐标为或. 【点睛】本题关键是利用二项式组合数判断概率大小，结合单次位移列式计算终点坐标，注意正负向位移单位不同，不可仅凭移动次数判断位置. 3． 【答案】C 【分析】根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值. 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 4． 【答案】800 【分析】设患者治愈人数为，可得，从而，利用和研究的单调性即可求解. 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 5． 【答案】 【分析】由题意可得小球掉入号格子的概率为，由此列出不等式组求解即可. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左下落的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子需要向左10次，其概率为； 小球掉入1号格子需要向左9次，向右1次，其概率为； 小球掉入2号格子需要向左8次，向右2次，其概率为； 小球掉入3号格子需要向左7次，向右3次，其概率为； …… 依此类推，小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则， 即， 所以， 解得， 又因为为整数， 所以. 即小球落入8号格子的概率最大. 6． 【答案】(1) (2)时，取得最大值 (3) 3 4 5 6 【详解】（1）设事件为“抽到甲生产的零件”，事件为“抽到乙生产的零件”，事件为“该零件合格”． 由全概率公式得． （2）的所有可能取值为，     则 即     整理得解得，而，因此， 所以当时，取得最大值． （3）的所有可能取值为3，4，5，6．     ， ， 的分布列为 3 4 5 6    . 7． 【答案】(1) 0 1 2 ，； (2)； (3)有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 【分析】（1）由比例确定家庭数分别为4和2，抽取3个家庭中的个数服从超几何分布，列出分布列并求期望； （2）利用全概率公式求第二次买的总概率，再用贝叶斯公式反推第一次买的条件概率； （3）第二次购买的家庭数 ，用相邻项比值法确定使概率最大的值，并计算对应最大概率． 【详解】（1）购买，产品的家庭个数分别为4个和2个， 所以的可能取值为0，1，2， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； （2）设“第次购买产品”，（i=1，2），则“第次购买产品”， 则与为对立事件， 由题意， 故． ， 该家庭第一次购买的是产品的概率； （3）每个家庭第二次购买产品的概率为 设有家选择产品，每家购买产品概率均为，故， 的可能取值为，设有家选择产品的概率最大，则 故 即 整理得， 又，故， 此时 故有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 题型07 正态曲线的性质 1． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 2． 【答案】C 【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断A选项；利用Logistic分布的定义可判断B选项；根据Logistic分布的概率公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，A错； 对于B选项，根据Logistic分布的定义可知， 若连续随机变量满足，则不服从Logistic分布，B错； 对于C选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则， 所以，，， 故，C对； 对于D选项，若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布， 则，， 所以，， 因为，所以，，D错. 故选：C. 3． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 4． 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 5． 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 6． 【答案】C 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称， 由P(|X|)＝，可得，因为P()＝， 所以，因此， 所以， 故选：C 题型08 求正态分布的概率（高频） 1． 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合与的已知概率，拆分区间，分段计算后求和即可. 【详解】由题得，则． 因为， 所以，因此，果实横径在内的概率为． 2． 【答案】B 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称， 所以. 3． 【答案】D 【详解】因为在内的概率为，所以， 故， 记任意选取名学生，至少有名学生的成绩不低于为事件， 则. 4． 【答案】B 【详解】由随机变量，且，， 可得， 所以. 5． 【答案】C 【分析】根据正态分布的参数含义、对称性以及题目给出的概率取值，逐一验证四个选项的正确性可得. 【详解】因为随机变量，因此正态分布的均值，标准差，结合正态分布的性质进行判断： 对选项A：正态分布的期望，故A错误； 对选项B：正态分布的方差，故B错误； 对选项C：因为，，所以，且， 由正态分布的对称性可知， 所以，故C正确； 对选项D：因为， 所以，故D错误. 6． 【答案】C 【分析】利用正态分布关于均值对称的性质，结合给定的区间概率计算出成绩在分的概率，再乘以总考生数得到人数. 【详解】由题知数学成绩，因此均值，标准差，正态分布曲线关于对称， 数学成绩在之间的概率，即， 总考生共10000人，因此该分数段人数约为人. 7． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性求解得参数值，将所求概率转化为标准正态分布下的概率进行求解. 【详解】已知，令，则，即与服从同一分布， 因为，即， 所以，即， 因为，即， 所以，解得， 因此，故选项A正确. 题型09 几种特殊分布的实际应用 1． 【答案】BCD 【分析】根据所给数据求出坐公交车的均值方差判断A，由正态分布及所给图象分析可判断BCD. 【详解】坐公交车所花时间的均值为： ， 方差为 ，故A错误； 根据题意，可以得到， 7：50 之后出发，并选择坐公交车，有 以上的可能性会超过 ，即8 点之后到校，会迟到，故B正确； 由题中图可知， ，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上 出发，有可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上 出发，只有 可用，则应选择坐公交车，故D正确． 2． 【答案】(1)5人 (2)1 【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率，进而估计人数. （2）由（1）的结论，利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】（1）由成绩近似服从正态分布，且， 得， 所以这100名学生中成绩在95分以上的学生人数约为. （2）由（1）得，100名学生中安全意识极高的学生共5人， 从100人中抽取20人，安全意识极高的人数服从超几何分布， 所以的期望. 3． 【答案】(1)分布列： 数学期望 (2)甲班代表更好 【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值有、、，结合超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则，计算出、的值，并求出的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 4． 【答案】(1) (2) (3)方案1：次品出现的频率用随机变量表示，则的可能取值为0，，，，1， ，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， 方案2：次品出现的频率用随机变量表示，因为， 所以，即，则， 所以方案2估计的值更合理， 【分析】（1）满足二项分布，利用相关公式可得概率； （2）设出事件，根据题利用由条件概率公式进行求解； （3）方案1：次品出现的频率用随机变量表示，求出可能的取值及其对应的概率，从而可求出，方案2：次品出现的频率用随机变量表示，则，根据二项分布的期望公式求出，然后比较后可得结论 【详解】（1）设次品数为，则， 则． （2）设事件“第2件合格”，事件“第3件合格”， 则，， 所以． （3）略 5． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）应该对该箱余下的所有苹果作检验 【分析】（1）根据题意得到随机变量服从二项分布，从而得到其分布列，化简，即可得到的单调性，进而确定的值最大时的值； （2）（ⅰ）根据题意得到余下苹果中的坏果数量服从二项分布，从而求出，再求出与的关系，进而根据期望的线性性质即可求出； （ⅱ）比较检验总费用与的大小，即可得到答案． 【详解】（1）由题意得个苹果中坏果的数量服从二项分布， 则随机变量的分布列为，， 又， 当，即时，随着的增大而增大； 当，即时，随着的增大而减小， 所以当时，最大，即． （2）（ⅰ）记该箱余下的个苹果中的坏果数量为， 由题意得服从二项分布，则， 又检验费用与赔偿费之和为， 所以． （ⅱ）若对该箱余下的所有苹果作检验，则这一箱苹果的检验总费用为， 又，即不检验余下苹果的期望总费用更高， 所以应该对该箱余下的所有苹果作检验． 6． 【答案】(1)方案一，的分布列为 方案二，的分布列为 (2)选择更为合理 【分析】（1）分析出两种方案下的可能取值，及其对应的概率，可得出的分布列； （2）计算出小马同学选择两种方案下得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）方案一：选择，由题意可知的可能取值有、， 若，则选项为其中一个正确选项，则， 若，则选项为错误选项，则， 小马最终得分为随机变量的分布列为 方案二：选择，由题意可知的可能取值有、， 若，则选项为错误选项，则， 若，则选项为其中一个正确选项，则， 小马最终得分为随机变量的分布列为 （2）若小马同学选择方案一，则其得分的期望为， 若小马同学选择方案二，则其得分的期望为， 因为，因此小马在这道题中选择更为合理. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【分析】根据小王，小李两人闯关成功与否互不影响，每次试验小王，小李成功的概率都不变，可分析各自成功的次数满足二项分布，利用二项分布的概率模型进行分析对应随机变量的取值所满足事件A的情况，带入二项分布公式即可． 【详解】设小王、小李闯关成功的次数分别为X，Y，则X，Y均服从二项分布． 由题意，得事件， 且事件，，互斥， X与Y相互独立． 因为， 所以． 2． 【答案】A 【分析】结合正态分布曲线的对称性，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 3． 【答案】D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 4． 【答案】B 【分析】将乙盒中原有的1个黑球与从甲盒抽取的黑球数结合，利用超几何分布的期望公式计算可判断数列的单调性；结合乙盒总球数的变化，分析概率随抽取球数的变化趋势可判断的单调性. 【详解】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为， 服从超几何分布，且， 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，， 因为，所以， 因为，所以当从增加到时， 随的增大而增大，所以数列严格增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个， 所以 ， 因为，所以当从增加到时， 单调递减，所以严格减. 故选：B. 5． 【答案】AC 【分析】利用二项分布得到，，，，再由即可判断A；根据即可判断B；分别计算即可判断C；根据即可判断D． 【详解】因为， 所以，， ，， 因为与相互独立， 所以， ，A正确，B错误. ， ， 则 ，C正确； ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以等号取不到，D错误． 6． 【答案】 / 【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为. 【详解】①已知，正态曲线图像关于对称， 故， 因此. ②由题意，，满足，且与独立， 由全概率公式：  (1) 令，则, 即等价于  (2) (1)(2)两式相加 结合第一空的结论， 得. 7． 【答案】(1)，，，，． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，根据二项分布的概率计算公式及方差公式计算求解即可； （2）（i）根据题意结合超几何分布可得，利用作商法计算可得最大值；（ii）由题意可得，根据期望计算公式计算可解. 【详解】（1）由题意得，的取值集合是， ，， ，， ． （2）（i）由题意得， 所以， 令，解得， 将，，，代入可得， 将，，代入可得， 综上，取最大值时，． （ii）的取值集合是， 则，可得， ， 故． 8． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据题意进行几何转化，再利用点亮数服从二项分布建模，对进行等价转化，进而求出相应概率； （2）对应3种互斥情况，求出相应概率，进而利用条件概率公式计算求解； （3）先定义指示变量，再利用期望线性性计算求解． 【详解】（1）圆周上6个等距点对应正六边形顶点，由圆周角定理，直角三角形的斜边为圆的直径， 共3条直径，每条直径与其余4个点分别构成4个直角三角形，共计个直角三角形， 随机变量，即， 当且仅当恰好点亮3个点，且3个点恰好构成1个直角三角形， 总共个直角三角形，每个直角三角形对应“3个点亮、其余3个不亮”的互斥事件， 单个直角三角形被点亮的概率： ， 故． （2），仅发生在时，即4个点恰好是2条直径的端点，则 ， ，仅发生在时，即5个点恰好是2条直径的端点， 每条直径对应3个直角顶点，共6个直角三角形，则 ， ，仅发生在时，3条直径全部完整，共个直角三角形， ， 则， 且， 由条件概率公式得． （3）设个直角三角形对应指示变量，其中表示第个直角三角形的 三个顶点全被点亮，否则，则， 对每个，3个顶点全被点亮的概率为，故， 由线性期望得：． 9． 【答案】(1)0.0449；0.0459 (2)必须作改进； (3). 【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望； （2）由可知，，即可作出判断； （3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解. 【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973， 镓含量的概率为0.0027 ， ； （2）由估计得， ，发现最小值， 该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进； （3）设余下的数据的平均数，则， 即. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $