精品解析：内蒙古乌海市第一中学2026-2027学年高二第一次月考数学试卷

乌海市第一中学2026—2027学年高二第一次月考卷 一．单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义求出，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，所以． 故选：B. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立三角形面积公式与余弦定理，等量代换化简得到. 【详解】因为的面积为，所以， 又∵， ， 则. 3. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 4. 直线：，：，若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由直线与直线平行， 得，解得， 所以. 5. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断，可判断出正确的选项. 【详解】选项A中，m，n可能平行，也可能异面，故A不正确； 选项B中，m，n可能平行，可能相交也可能异面，故B不正确； 选项C中，由，，，则平面的法向量互相垂直，可得，故C正确. 选项D中，，可能平行也可能相交，故D不正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 6. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 事件与事件不是互斥事件 B. 事件M发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件的定义判断A；由互斥事件加法求概率判断B；根据判断C；根据对立事件的概率求法求发生的概率即可判断D. 【详解】对于A，由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A正确； 对于B，由题设知：，B错误； 对于C，因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确； 对于D，， 表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”， 故，所以，D正确. 7. 如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示: 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 8. 已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交， 由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A 二．多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线恒过定点 D. 过点并在两坐标轴上截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可知A正确；将直线方程化为斜截式，即可确定在轴上的截距，知B错误；根据直线过定点的求法可知C正确；可将所求直线分为经过原点和不经过原点两类，由此可得D错误. 【详解】对于A，由得：，即直线斜率， 直线的倾斜角为，A正确； 对于B，由得：，则其在轴上的截距为，B错误； 对于C，由知：直线恒过定点，C正确； 对于D，当直线过坐标原点，即直线为时，其在两坐标轴上截距相等； 当直线不过坐标原点，可设其方程为：，，则其方程为：； 过点并在两坐标轴上截距相等的直线方程为：和，D错误. 故选：AC. 10. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若C是钝角，则 C. 若，则满足条件的三角形只有一个 D. 若，则的周长的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边判断A；利用正弦函数性质判断B；利用正弦定理判断C；利用余弦定理及基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，A正确； 对于B，由C是钝角，得，即，则，，B错误； 对于C，由，则，因此满足条件的三角形只有一个，C正确； 对于D，由余弦定理得， ，当且仅当时取等号，则，的周长的最大值为6，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（ ） A. P、Q、M、N四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 直线MN与AC所成角余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面， 而直线，点平面， 因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱， 矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为， 则，C正确； 对于D，取中点，连接，由是中点，得， 则是异面直线与所成角或其补角， 由已知，，，平面， 所以平面，故平面， 又平面，于是，而， 则，因此，D正确. 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接， 过作，垂足为，可知为四棱台的高，     则，， 所以，． 故该棱台的体积为． 13. 长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接，作垂直，垂足为，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求点到直线的距离. 【详解】如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 连接，作垂直，垂足为， 由，，，得，， 所以， 又，所以点到直线的距离. 故答案为： 14. 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 __． 【答案】 【解析】 【分析】在直线中，令，得，设直线的倾斜角为，则，的倾斜角为，利用正切函数两角和公式求得直线的斜率，从而得的方程，由此能求出与两坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】在直线中，令得，∴， 直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线， 设直线的倾斜角为，则，则的倾斜角为， ∴的斜率， ∴的方程为，即， 令，得，∴与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴所围成的三角形面积为： ． 故答案为：． 四．解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线得斜率关系，从而得直线的方程，联立，解得即可求得的坐标； （2）设，结合中线方程求得的值，从而得的坐标，从而求直线的斜率，从而得直线的方程. 【小问1详解】 由题意知，，则，故， 则直线的方程为，即， 联立，得顶点； 【小问2详解】 设，则中点的坐标为， 将其代入中线方程，得，故， 则， 所以直线的方程为，即. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面AFG. 【答案】（1） 因为底面为矩形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 又，为中点，则， 平面，，所以平面. （2） 连接交于点，连接， 由四边形为矩形，分别为中点，所以， 则，即为中点，又因为为中点，有， 平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）先证平面，有，再由，可证平面PBC； （2）连接交于点，由，得为中点，可得，线面平行的判定定理得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1），； （2）平均数69.5，第60百分位数71.7； （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，； （2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可； （3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【小问1详解】 解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即， 所以； 【小问2详解】 解：又频率分布直方图可得众数为70， 平均数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以第60百分位数在第三组，且为； 【小问3详解】 解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有,，,，,，，，,．,，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有,，,，,，，,，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 18. 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求及线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1），BC＝6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出，再利用余弦定理即可求得a，即得答案. （2）求出，即可求出，利用角平分线性质可推出,从而，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意在中，，∴， ∴，而，，∴， 由余弦定理得（舍去），即. 【小问2详解】 在中，，，， ∴， ∵AE平分∠BAC，， 由正弦定理得：， 其中， ∴，则,, ∵AD为BC边的中线，∴， ∴. 19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴； （2） （3） 存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，则， ∴，解得． 即，， 设，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或， ∴当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离的向量方法，求出结果即可； （3）根据线面角的正弦值的向量方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据公式列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得，即平面的一个法向量为， ∴点M到平面PBC的距离为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌海市第一中学2026—2027学年高二第一次月考卷 一．单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 直线：，：，若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 6. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 事件与事件不是互斥事件 B. 事件M发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 7. 如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线恒过定点 D. 过点并在两坐标轴上截距相等的直线方程为 10. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若C是钝角，则 C. 若，则满足条件的三角形只有一个 D. 若，则的周长的最大值为6 11. 如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（ ） A. P、Q、M、N四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 直线MN与AC所成角余弦值为 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________. 13. 长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 14. 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 __． 四．解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面AFG. 17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 18. 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求及线段的长； （2）求的面积． 19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $