专题 第27章反比例函数与一次函数综合题专项训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

反比例函数与一次函数综合题 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 2．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，直线 与双曲线 交于点 ，． (1)反比例函数解析式______，直线 解析式______； (2)若 时， 的取值范围______； (3)求 的面积． 3．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在轴上是否存在点，使的面积为，若存在，请求出点的坐标． 4．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 5．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 10．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 11．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出不等式的解集________． 12．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知点的横坐标为． (1)直接写出反比例函数解析式为 ； (2)直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为 ； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 15．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2) ， ； (3)满足不等式的x的取值范围是 ； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 16．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 17．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． (1)求的值； (2)若，根据图象直接写出当时的取值范围； (3)连接、，求的面积． 18．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求，n的值； (2)观察图象，写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点处，连接，，求的面积． 19．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，，是直线和双曲线的两个交点． (1)求直线和双曲线的函数表达式． (2)过点A作直线，使其与双曲线仅有一个公共点，求直线的表达式． 20．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 21．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 22．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 23．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 24．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 25．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 26．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 27．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点F为反比例函数图象上一点，若，求点F的坐标． (3)若点，都在该反比例函数图象上，且，请直接写出，的大小关系． 28．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 29．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 30．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点B作轴交y轴于点E，连接，求的面积； (3)一次函数的图象与y轴交于点D，连接，，点M在x轴上，若，求点M的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)反比例函数关系式：；一次函数的关系式： (2)8 (3) 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ， 将代入得， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：当时，解得， 即， ， ； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，， ∴不等式的解集为． 2．(1)， (2) 或 (3) 【分析】（1）把代入求，再把，代入直线求，； （2）图象法，根据两函数图象的位置以及交点坐标直接作答； （3）用 轴分段和面积公式求 的面积． 【详解】（1）解：把代入得， ∴． 把代入得，，即． 把，代入，得， 解得， ∴． （2）解：由图象可知，当或时，双曲线在直线的下方，即． （3）解：设直线与轴交于点，连接、， 令得，即． ． 3．(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点的坐标代入反比例函数求，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）观察图像，找到一次函数在反比例函数下方对应的范围； （3）设点的坐标为，求出直线与轴的交点，以为底，拆分为和列方程，解绝对值方程得到坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点， 将点代入， 可得， 则反比例函数为， 将点代入， 可得，解得， 则点的坐标为， 将点和点代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时， 自变量的取值范围为或， 故的解集为或． （3）解：设点的坐标为，直线与轴交于点， 对于， 当，， 则点的坐标为， 可得， ，， 则， 的面积为， 则， 可得， 解得或， 故点的坐标为或． 4．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）把、两点代入一次函数求出坐标，再代入求反比例解析式； （2）求出直线与轴交点，将转化成求面积； （3）根据函数图象，在部分找反比例在一次函数上方对应的范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 则点的坐标为， 把代入，得，解得， 则点的坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图，设直线交轴于点， 当时，， 则的坐标为，即， 据（1）可知点的坐标为，点的坐标为， 故． （3）解：，即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点的坐标为， 故当时，的解集为． 5．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标满足解析式，先求出反比例函数，再得到P点坐标，代入两点求一次函数解析式．； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数， ， 反比例函数的表达式为 ． 将代入， ， ． 把、代入，得 ，． 解得 ，． 一次函数的表达式为 ． （2）解：如图，设一次函数与轴相交于点， 对于，令，则， ， ， 又，， ． 6．(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为： (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 即， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 7．(1) (2)或 【分析】（1）先将点代入求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出反比例函数关系式，然后将两个关系式联立求出点B的坐标即可； （2）先求出点C的坐标，再将两个函数关系式联立，并根据只有一个公共点求出a值，然后根据函数值的大小求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴ 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； （2）解：令，， ∴点． ∵直线经过点， ∴， ∴直线的关系式为． 将两个关系式联立，得， ∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴有两个相等的实数根， 即， 解得， ∴直线． 将直线和反比例函数联立，得 ， 解得． 当时，；当时，， 所以当或时，． 8．(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． 9．(1)， (2)和 (3)或 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． （2）解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． （3）解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 10．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用点的坐标求出的长度，从而确定点的坐标，使用待定系数法求解即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，观察图象得出答案； （3）根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， ， 把及代入， 则，解得， ∴． （2）解：令，代入中， 则， 解得， 直线与轴交于点， 根据图象可知，当时，的取值范围为； （3）解：由条件可得， ， ， ， 的面积不小于的面积， ， 或． 11．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)6 (3)或 【分析】（1）先根据反比例函数的图象过点，可得反比例函数解析式，再可得，把，代入，即可求解； （2）先求得的长，再根据，即可求解； （3）将不等式变形为，再根据图象即可得结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）解：将不等式变形，得， 根据图象可得，不等式的解集为或． 12．(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）将点的横纵坐标相乘，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再观察图象，即可求解； （3）先求出，再表示出，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点在上，点的横坐标为， ∴， ∴． 由图象知，一次函数值大于反比例函数值时，或． （3）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴存在点，使得，点的坐标为或． 13．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入求得，然后将点坐标代入反比例函数求得； （2）不等式表示一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点），结合图象直接写出解集即可； （3）先求出直线的解析式，确定其与轴的交点的坐标，再根据翻折的对称性，求出点的坐标，设与轴交于点，过点作轴于点，分别表示出相关线段的长，最后由即可求得的面积． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ． 将点代入，得． （2）解：由函数图象可知，不等式的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的的取值范围， 结合两个交点和以及反比例函数的两支图象，可得解集为或． （3）解：将，代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数为． 令，则， 一次函数与轴交点的坐标为． 轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处， 点的坐标为． 如图，设与轴交于点，过点作轴于点， 则，，，，． ． 14．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 15．(1)； (2)2；； (3)； (4)或． 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式求解出a的值即可； （2）先由勾股定理求得的长度，结合可得点B的坐标，然后根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求解； （3）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可； （4）先求得的面积，从而得到的面积，然后根据三角形面积公式可求得的长度，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴， 根据题意，把、代入一次函数，得 ， 解得， （3）解：根据图象可知，当的图象在的图象的上方时，此时， ∴满足不等式的x的取值范围是； （4）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴的面积， ∵为x轴上一点，且的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴m的值为或． 16．(1)直线的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，解得， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入，得， 点的坐标为，则， ∴ ， ． ∵ ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式，求得的值，再将求得的点坐标代入反比例函数解析式，即可求得的值； （2）联立一次函数和反比例函数，解得两个交点的横坐标，结合图象，可直接写出时的取值范围； （3）设直线与轴交于点，分别求出点，点的坐标，再由计算的面积． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， 将代入一次函数解析式得，， 点的坐标为， 又点同时在反比例函数的图象上， 将，代入反比例函数解析式得，， 解得． （2）解：联立一次函数和反比例函数的解析式，得到方程组， ， 整理得，， ， 解得，． 两个交点的横坐标分别是和，对应点的横坐标为． 观察图象，当一次函数的图象在反比例函数图象上方，即时， 对应的取值范围是点和点横坐标之间的区域，即． （3）解：如图，设直线与轴交于点． 在一次函数中，令，则， 点的坐标为，即． 当时，点的纵坐标为， 点的坐标为， 又点的坐标为， ． 18．(1)k2=-2， (2)或 (3)2 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，再求出点B坐标，据此可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）求出点的坐标，再结合点B和点C的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入，得， ∴反比例函数的解析式为． 将点B的坐标代入，得． （2）解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， ∴不等式的解集为或． （3）解：∵点A的坐标为， ∴翻折后的点的坐标为． 将A，B两点的坐标代入，得解得 ∴直线的函数解析式为， ∴点C的坐标为． 如图，过点和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N． ，，， ． 19．(1)； (2) 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，求出点坐标，再把A、B两点代入一次函数，解二元一次方程组，求出直线解析式． （2）由直线过点得到a、c的关系式，联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程；利用仅有一个公共点，即判别式求出参数，得到直线表达式． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 双曲线解析式为． 令，代入， 解得， ． 将，分别代入，得 ，解得， 直线解析式为． （2）解：点在直线上， ， 整理得， 直线解析式为． 联立两个函数解析式： 整理得 直线与双曲线仅有一个公共点， 这个一元二次方程有两个相等的实数根，即． 解得． 把代入， 直线表达式为． 20．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 21．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，代入求，n，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）根据题意，得，根据三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，两点，， ，， 解得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：不等式即， 观察图象得：此时或． （3）解：根据题意，与y轴的交点为， ，， ． 22．(1)反比例函数的解析式为 (2)存在， 【分析】（1）求出点坐标后代入反比例函数解析式求出，回代即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点、坐标，根据得出，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵点的横坐标为，且在正比例函数的图象上，过点作轴于，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，解得， ∵， ∴存在，． 23．(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入，求得，进而求得，将，代入，求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设一次函数与轴的交点为，由，得到，令，求出，根据，进而得，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或； （3）解：设一次函数与轴的交点为， 由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ， ，即， ， 或． 24．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 25．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把代入求，得到反比例函数的解析式，把代入反比例函数的解析式，确定点B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）先确定将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为，与反比例函数的表达式联立，转化为一元二次方程，根据图象有且只有一个公共点，利用根的判别式等于零，求的值即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ，解得， 故反比例函数的解析式为； 把代入，得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：根据图象，得不等式的解集为． （3）解：根据题意，将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为， 根据题意，得， 整理，得， 根据题意，两个函数的图象有且只有一个公共点， ， 或， 解得或， ，且，， 故n的值为或． 26．(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象与性质及一次函数的性质进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式，求出的长，据此可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ∵点和点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 将点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入得，， ∴点坐标为． 将点和代入一次函数得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， ∴时，的取值范围是或． （3）解：∵的面积为， ∴， 解得， ∴点坐标为或． 27．(1) (2)或 (3)当或时，，当时， 【分析】（1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． （3）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：因为点 在直线上， 所以， 解得， 故点坐标为， 将点A坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解： ∵点A坐标为， 又， 即， ， 故点纵坐标为3或， 将代入得，， 将代入得，， 所以点的坐标为或． （3）解：当或时，则点在双曲线的同一支， 由于，则在每一象限内，随着的增大而减小，故此时 当时，此时点在第三象限，点E在第一象限，故， 综上：当或时，，当时，． 28．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将代入，可求出，进而得到反比例函数，令求出的值即为的值，将代入可求出； （2）先求出点的坐标，根据，即可求解； （3）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 当时，， ， 将代入得， 解得； （2）如图， 由（1）可得一次函数的表达式为， 当时，， 解得， 点， ， ； （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度为， 令， 整理得， 平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ， 解得，， 当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点， ． 29．(1)一次函数的解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先根据已知条件求出两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据两图象的交点，观察得出的解集； （3）先求出的面积，然后分当点在轴上和在轴上，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，， ， 两点的坐标分别为， 把两点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解： 两点的坐标分别为， 根据两函数的图象可得：不等式的解集为或． （3） 解：设直线交轴于点，交轴于点， 在中，令，得：，令，得： 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 综上所述：点的坐标为或或或． 30．(1)， (2)12 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得的值，得到点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先由（1）得，然后求出BE的长，再根据即可求出答案； （3）在函数中，令，求出点的坐标，再通过，可求出，然后根据，求出，接着设点，则，根据三角形的面积有，即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴将代入中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点B在反比例函数图象上， ∴将点B的坐标代入中，得， 解得， ． 将，分别代入中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：如图， 由（1）得， 轴交y轴于点E， ． ， ． （3）解：如图，当时，， ∴ 由（1）得， ， ． 设点M的坐标为， ①当点M在点O左侧时，， ． ， ， 解得， ； ②当点M在点O右侧时，， ． ， ， 解得， ， 综上所述，点M的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数与一次函数综合题 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 2．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，直线 与双曲线 交于点 ，． (1)反比例函数解析式______，直线 解析式______； (2)若 时， 的取值范围______； (3)求 的面积． 3．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在轴上是否存在点，使的面积为，若存在，请求出点的坐标． 4．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 5．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 10．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 11．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出不等式的解集________． 12．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知点的横坐标为． (1)直接写出反比例函数解析式为 ； (2)直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为 ； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 15．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2) ， ； (3)满足不等式的x的取值范围是 ； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 16．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 17．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． (1)求的值； (2)若，根据图象直接写出当时的取值范围； (3)连接、，求的面积． 18．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求，n的值； (2)观察图象，写出不等式的解集； (3)将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点处，连接，，求的面积． 19．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，，是直线和双曲线的两个交点． (1)求直线和双曲线的函数表达式． (2)过点A作直线，使其与双曲线仅有一个公共点，求直线的表达式． 20．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 21．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 22．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 23．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 24．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 25．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 26．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 27．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点F为反比例函数图象上一点，若，求点F的坐标． (3)若点，都在该反比例函数图象上，且，请直接写出，的大小关系． 28．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 29．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 30．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点B作轴交y轴于点E，连接，求的面积； (3)一次函数的图象与y轴交于点D，连接，，点M在x轴上，若，求点M的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $