第三章 勾股定理（复习课件）数学新教材苏科版八年级上册

第三章 勾股定理 复习课件 苏科版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 1.理解和掌握勾股定理，及其逆定理；知道勾股数的意义，会判断一组数是不是勾股数； 02 工具掌握 2.能应用勾股定理解决简单的问题；会应用该定理判断一个三角形是不是直角三角形； 深化理解 3.经历探索用不同的方法验证勾股定理的过程； 思想与应用 4.感受勾股定理的合理性和其文化价值。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.构造直角三角形，利用勾股定理、勾股定理逆定理解决问题； 2.利用勾股定理证明三条线段的平方关系问题。 1.勾股定理的理解、证明、应用； 2.勾股定理的逆定理的理解与应用； 3.勾股数的概念与判断。 4 知识图谱 勾股定理 定理内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 定理证明 赵爽弦图 毕达哥拉斯拼图 勾股数 正整数 逆定理 几何原本方法 加菲尔德总统证明 满足关系 三边满足,则三角形是直角三角形 逆定理应用：证明三角形是直角三角形 5 考点串讲 ——1：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条 等于 的平方。 2.几何语言： 在Rt△中，， 则 3.勾股定理的常用变式： ， 直角边的平方和 斜边 6 考点串讲 ——2：勾股定理的证明 1.赵爽弦图法 3.毕达哥拉斯拼图法 2.加菲尔德总统拼图法 4.几何原本方法 勾股定理的证明基本思路：利用两种不同的方法计算同一个图形的面积 7 考点串讲 ——3：勾股定理逆定理 1.勾股定理逆定理：三角形的三边长,满足 ,那么这个三角形是直角三角形 . 2.几何语言： 在△ABC中，， 如果，那么 3. 根据勾股定理逆定理判断一个三角形是直角三角形的步骤: （1）找：找出三角形三边中的最长边; （2）算：计算出其他两边的平方和与最长边的平方； （3）比：比较其他两边的平方和与最长边的平方是否相等，若相等，则最长边所对的角为直角。 8 考点串讲 ——4：勾股数 1.勾股数：如果三个 数满足关系,则称为勾股数。 2.判断勾股数的方法：（必须同时满足以下两个条件） （1）三个数都是 ； （2）两个 的平方和等于 的平方。 正整 正整数 较小数 最大数 9 题型全解 题型01 利用勾股定理解决折叠问题 例1如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AB，CD上一个动点，将正方形沿PQ折叠，点D的对应点M始终落在BC上，已知AB=8，当点M为BC中点时，DQ的长为 ( )   A.3 B.4 C.5 D.6 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=8， ∵点M为BC中点，∴MC=BC=4， 设DQ=，则CQ=CDDQ=， ∵折叠，∴MQ=DQ=， ∴在Rt△QMC中，， ∴， 解得：， ∴DQ=5． 10 题型全解 题型01 利用勾股定理解决折叠问题 方法总结 1.根据折叠关系，标出对应相等的线段，相等的角； 2.找直角三角形（这是解决问题的关键）； 3.设出合适的未知数； 4.根据勾股定理列出等式（方程）； 5.解方程； 6.写答案。 题型全解 题型02 根据勾股定理求图形面积 例2如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是 ． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴S正方形C=S正方形E-S正方形D，S正方形C=S正方形A+S正方形B， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴S正方形C=12-3=9，S正方形C=7+S正方形B， ∴7+S正方形B=9， ∴S正方形B=2． 12 题型全解 题型02 根据勾股定理求图形面积 方法总结 勾股定理是直角三角形三边的数量关系，其实也是以直角三角形三边向外作正方形之间的面积关系，多数有关面积的问题也要借助这个关系来解决问题，甚至这种关系可以多次利用，像本题例2中的情况。 题型全解 题型03 根据勾股定理解决实数与数轴问题 例3如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1．连接AC，在AC上截取CD=BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是 ( ) A. B.1 C. D. 【详解】解：由题意可知，点A表示0，点B表示2， ∴AB=2， ∵BC⊥AB，BC=1， ∴在Rt△ABC中，AC===， ∵CD=BC=1， ∴AD=ACCD=， ∵以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E， ∴AE=AD= ， ∵点A表示的数为0，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的实数是． 14 题型全解 题型03 根据勾股定理解决实数与数轴问题 方法总结 1.在利用勾股定理解决实数与数轴问题时，要注意求数轴上某个点对应的数本质上就是求该点到原点的距离，所以可以构造直角三角形利用勾股定理求出该距离。 2.但是要注意的易错点是，注意该点的位置是在原点的左侧还是右侧，如果是在左侧，一定要注意该点表示的数是负数，这一点要注意！ 题型全解 题型04 根据勾股定理证明线段平方关系 例4如图所示，△ABC和△ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． (1)证明：△ACP≌△ABF； (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∠B=∠ACB=45°， ∵AP⊥AD，∴∠PAD=∠BAC=90°，∴∠BAC∠DAC=∠PAD∠DAC，∴∠BAF=∠CAP， ∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，∵∠ACP=∠ACB=45°，∴∠ABF=∠ACP， 在△ABF与△ACP中， ∴△ABF≌△ACP(ASA)； 16 题型全解 题型04 根据勾股定理证明线段平方关系 例4如图所示，△ABC和△ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． (2)BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由． (2)BF²+CG²=FG²，理由如下：如图1，连接PG，由(1)可得，△ABF≌△ACP， ∴BF=CP，AF=AP， ∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD=90°，∴∠FAG=∠PAG=45°， 在△AFG与△APG中， ∴△AFG≌△APG(SAS)，∴FG=PG， 在Rt△PGC中，PG²=CG²+CP²，∴BF²+CG²=FG²． 17 题型全解 题型04 根据勾股定理证明线段平方关系 方法总结 1.构造直角三角形，将要证明的线段集中到一个直角三角形内； 2.利用勾股定理写出相应的数量关系式； 以上两步是解决这种问题的关键，尤其是第一步，有时需要多个条件配合，将三个线段往一起集中，此时一般可以借助三角形的全等关系，图形的轴对称或图形的旋转的性质，或者等边三角形、等腰直角三角形等特殊三角形的性质等将条件转化，集中到一个直角三角形中，这是解决这类问题的关键。 题型全解 题型05 关于勾股定理验证问题 例5小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片ABC和DEF， 其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a， AC=DF=b(a<b)，AB=DE=c． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定， 使纸片DEF的边EF落在纸片ABC的边AC上，点E与点C重合，连接AD、DB得到四边形ACBD，利用四边形ACBD的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 19 题型全解 题型05 关于勾股定理证明问题 证明：如图，作DG⊥CB，垂足为点G， 设AB与CD的交点为H， ∵BC=EF，AC=DF，AB=DE，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠CAB=∠FDE， ∵∠FDE+∠ACH=90°， ∴∠CAB+∠ACH=90°， ∴∠AHC=90°， ∴AB⊥CD， ∴S四边形ACBD=S△ACB+S△ADBAB⋅CH+AB⋅DH=AB⋅DE= ∵∠CFD=∠FCB=∠G=90°， ∴四边形FCGD为长方形， ∴DG=FC=a， ∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=AC⋅DF+BC⋅DG=+， ∴. 20 题型全解 题型05 关于勾股定理证明问题 勾股定理证明的思路总结 1.用两种方式表示同一个图形的面积（等积法，关键一步） 2.列面积等式： 3.展开化简，消去同类项，得到。 核心思想：同一个图形，两种算面积的方法，建立等式。 。 题型全解 题型06 勾股定理的实际应用问题 例6如图，某日两艘渔船A和渔船B与灯塔C的位置如图所示，其中渔船A在灯塔C的北偏西57°方向上，与灯塔C的距离是400海里，渔船B在灯塔C的南偏西33°方向上，与灯塔C的距离是300海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离AB； (2)若灯塔C发射的信号有效覆盖半径为300海里， 已知渔船B沿AB所在直线向渔船A靠拢的过程中， BD段可以接收到信号，AD段无法接收到信号， 请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的 里程(线段BD的长)是多少？ 22 题型全解 题型06 勾股定理的实际应用问题 【详解】(1)解：由题意得，∠ACB=，AC=400海里，BC=300海里，∴由勾股定理得AB==500海里， 答：渔船A与渔船B之间的距离AB为500海里； (2)解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC=∠BEC=90°， ∵S△ABC=AC⋅BC=CE⋅AB，∴×300×400=×500CE，∴CE=240海里， 在Rt△EBC中，由勾股定理得 BE===180海里， 在Rt△EDC中，由勾股定理得DE==180海里，∴BD=DE+BE=360海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程(线段BD的长)是360海里． 23 题型全解 题型06 勾股定理的实际应用问题 方法总结 ① 审题建模：从实际问题中找出直角三角形； ② 标注已知量，设未知数； ③ 代入勾股定理列式； ④ 计算求解，检验合理性； ⑤ 作答：回归实际问题； 题型全解 题型07 勾股数的概念 例7同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6， ， ；7， ， ； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： (Ⅰ)如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数； (Ⅱ)如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则(Ⅰ)(Ⅱ)，求出符合要求的所有勾股数； 25 题型全解 题型07 勾股数的概念 【详解】(1)解：依题意，6，8，10；7，24，25； (2)解：根据法则(Ⅰ)，∵k是大于1的奇数，∴k≠12， 则=12或． ∴k=5或不是奇数，舍去)．∴k=5．∴==13． ∴勾股数为5、12、13． 根据法则(Ⅱ)， 则k=12或=12或=12， ∴k=12或2 (舍去)或2 (舍去)． 则=35，=37， ∴勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 26 题型全解 题型07 勾股数的概念 易错总结 1.勾股数的概念非常简单，就两个条件： （1）三个数必须是正整数； （2）三个数满足; 2.第一个条件是非常容易被忽略的，一定要注意！ 题型全解 题型08 勾股定理逆定理的应用 例8如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=10，CD=15，AD=17，∠CAB=90°． (1)求AC的长； (2)求四边形ABCD的面积． 【详解】(1)解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=6， BC=10． ∴AC=． (2)解：∵在△ACD中，AC=8，CD=15，AD=17， ∴． ∴． ∴∠ACD=90°． ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB⋅AC+CD⋅AC = ×6×8+×8×15=84． 28 题型全解 题型08 勾股定理逆定理的应用 方法总结 利用勾股定理逆定理解决实际问题的一般步骤： 1.排序：把三条边的长度从小到大排列； 2.分别计算：两条较短边的平方和、最长边的平方； 3.若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则三角形是直角三角形，最长边对直角； 4.得出结论：写明哪条边所对的角是直角。 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则AC的长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2.5 针对训练 C 2．在△ABC中，∠B=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是 ( ) A. B. C. D. B 3.一架无人机从地面点O起飞，先垂直上升40米到达A点，再水平飞行30米到达B点，则点O到点B的距离为 ( ) A.50米 B.60米 C.65米 D.70米 A 4．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为36、64，则阴影部分的面积为 ( ) A.52 B.76 C.100 D.124 针对训练 B 5．下列各组数中，是“勾股数”的一组是 ( ) A.1，， B.0.3，0.4，0.5 C.9，40，41 D.2，2，3 C 6．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是 ( ) A. B. C. D. 针对训练 D 7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，CD=，则= ．    针对训练 21 【详解】解：∵AC⊥BD，AB=4，CD=， ∴在Rt△AOB中，=16， ∴在Rt△COD中，=5， 又∵在Rt△AOD中，， 在Rt△BOC中，， ∴ =()+() =()+() = =16+5 =21． 8．将直角边分别是2和4的Rt△ABC放置在数轴上如图所示，直角顶点C表示的数是4，点A与原点重合，以点C为圆心，以斜边中线CD的长为半径画弧，与数轴交于点E．则点E表示的数是 ．    9.如图，在△ABC中．AD⊥BC于点D，若AB=BC=13，AD=5，求△ACD的面积． 针对训练 -- 10.如图，将直角三角形纸片ABC折叠，使得点A与点B重合，折痕为DE，∠ACB=90°，AB=10，BC=6． (1)求折痕DE的长；(2)求四边形BCED的面积． 针对训练 【详解】(1)解：连接BE， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=8． 由折叠可知， AD=BD=5，AE=BE，∠ADE=90°． 设AE=BE=，则CE=AC-AE=． 在Rt△BCE中，由勾股定理得：， ∴，解得，即． 在Rt△ADE中，AD=5，AE=，由勾股定理得：DE==． (2)解：∵S△ABC=ACBC==24，S△ADE=ADDE= ×5×=． ∴S四边形BCED=S△ABC-S△ADE=24-=． 11.在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中MN=MD．由于道路施工，道路DM被阻断，现决定在公路边新建一个站点P(M、N、P在同一直线上)，并新建一条道路DP．测得DN=千米，DP=4千米，NP=1千米． (1)请判断道路DP是不是从村庄D到公路的最短路径？并说明理由； (2)新道路DP比原道路DM短多少千米？ 针对训练 【详解】(1)道路DP是从村庄到公路的最短路径；理由如下： ∵， ∴∠DPN=90°，∴DP⊥MN，∴DP是从村庄D到公路的最短路径； (2)解：设DM=(千米)，则MN=MD=(千米)，∴MP=(千米)， ∵DP⊥MN，∴∠DPM=90°，∴，∴， 解得，∴DM=8.5(千米)，∴DMDP=8.54=4.5(千米)， ∴新道路DP比原道路DM短4.5千米． 12.如图①，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形， 直角顶点为点A，△ABC固定不动，△AMN绕点A旋转． (1)如图②，将△AMN绕点A旋转，使点M落在BC边上， 连接CN．直接写出图中的全等三角形： ， 直接写出线段CN，CM，CB之间满足的等量关系； (2)如图②,试探索线段MA，MB，MC之间满足的等量关系，并证明你的结论． 针对训练 【详解】(1)解：∵△ABC和△AMN都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=90°，∴∠BAM+∠CAM=∠CAN+∠CAM， ∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴BM=CN， ∵BC=BM+CM，∴CN+CM=CB．故答案为：△BAM≌△CAN，CN+CM=CB． (2)MB²+MC²=2MA²．证明如下： 由(1)知△BAM≌△CAN，∴∠ACN=∠B=45°，BM=CN，∴∠BCN=90°， ∴CN²+MC²=MN²，∴MB²+MC²=MN²．在Rt△MAN中MN²=MA²+AN²=2MA²， ∴MB²+MC²=2MA²． 单元总结/易错复盘 ·核心概念 1.勾股定理及其变形； 2.勾股定理逆定理； 3.勾股数； 吃透每个核心概念的内涵是关键。 ·重点方法 1.勾股定理的应用； 2.勾股定理逆定理的应用； 理清各种方法之间的关系，灵活运用是重点。 ·答题注意事项 1.直角三角形给出两条边长求第三边长，注意如果不能确定是什么边，要分类讨论； 2.勾股定理和逆定理的应用，需要构造直角三角形。 38 苏科版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $