主题4 第10章 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

课时冲关67　离散型随机变量的分布列及均值与方差

 [基础训练组]

1．若随机变量X的分布列为

 

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]　　　　　 B．[1,2]

C．(1,2]  D．(1,2)

解析：C　[由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]

2．已知随机变量X满足E(2－2X)＝4，D(2－2X)＝4，下列说法正确的是(　　)

A．EX＝－1，DX＝－1  B．EX＝1，DX＝2

C．EX＝－1，DX＝4  D．EX＝－1，DX＝1

解析：D　[根据方差和期望的性质可得：E(2－2X)＝－2EX＋2＝4，得EX＝－1，D(2－2X)＝4DX＝4，得DX＝1.]

3．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止．设某学生每次实验成功的概率为p(0＜p＜1)，实验次数为随机变量X，若X的数学期望EX＞1.39，则p的取值范围是(　　)

A．(0,0.6)  B．(0,0.7)

C．(0.6,1)  D．(0.7,1)

解析：B　[由题意得，X的所有可能取值为1,2,3，

P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝1－p－(1－p)p＝(1－p)2，

所以EX＝1×p＋2×(1－p)p＋3×(1－p)2

＝p2－3p＋3，

令EX＝p2－3p＋3＞1.39.

解得p＜0.7或p＞2.3，又因为0＜p＜1，所以0＜p＜0.7，即p的取值范围是(0,0.7)．]

4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，Eξ， Dξ，分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　　)

A．P(0＜ξ＜3.5)＝  B．E(3ξ＋2)＝7

C．Dξ＝2  D．D(3ξ＋1)＝6

解析：C　[因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1，

对于A，P(0＜ξ＜3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，故A不正确；对于B，Eξ＝1×＋2×＋5×＝2，

∴E(3ξ＋2)＝3Eξ＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；对于C，Dξ＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确；对于D，∵Dξ＝2，∴D(3ξ＋1)＝9×Dξ＝18，故D不正确．]

5．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两白球，可获得价值b百元代金券；摸到两红球，可获得价值ab百元代金券(a，b均为整数)．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多________百元代金券(　　)

A．5.4　　 B．9

C．12　　 D．18

解析：D　[若摸到一红球一白球的概率P＝＝，

若摸到2白球的概率P＝＝，若摸到2红球的概率P＝＝，

设可获得百元代金券为变量X＝a，b，ab分布列如下，

 

EX＝a×＋b×＋ab×＝5.4，a，b∈Z，

手气最好者获得ab百元代金券，

即6a＋3b＋ab＝54, b＝，

则ab＝＝－6＋90≤

－12＋90＝18，

当a＋3＝，即a＝3，b＝6时等号成立，

所以ab的最大值为18.

估计手气最好者至多获得18个百元代金券．]

6．(多选)离散型随机变量X的分布列如下表所示，m，n是非零实数，则下列说法正确的是(　　)

 

A.m＋n＝1

B．X服从两点分布

C．2 024＜EX＜2 025

D．DX＝mn

解析：ACD　[对于A中，由分布列的性质，则满足m＋n＝1，所以A正确；对于B中，根据二点分布知，随机变量X的取值为0和1，所以B不正确；对于C中，由期望的公式，可得EX＝2 024m＋2 025n＝2 024(1－n)＋2 025n＝2 024＋n，因为0＜n＜1，所以2 024＜2 024＋n＜2 025，即2 024＜EX＜2 025，所以C正确；对于D中，由方差的公式，可得DX＝[2 024－(2 024＋n)]2·m＋[2 025－(2 024－n)]2·n＝n2·m＋(1－n)2·n＝mn2＋m2n＝mn(m＋n)＝mn，即DX＝mn，所以D正确．]

7．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的(　　)

A．游客至多游览一个景点的概率

B．P(X＝2)＝

C．P(X＝4)＝