3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

授课老师： 3.2抛物线的简单几何性质 2026-10-30 1 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置 y2=2px (p＞0) y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) 四种抛物线及其标准方程 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l 回顾复习 定义： 平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)的距离相等的点的轨迹 思考：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 新知探究 由抛物线 y2 =2px(p>0) 有 所以抛物线的范围为 1.范围 新知探究 关于x轴对称 即点(x,-y)也在抛物线上, 故抛物线y2 =2px(p>0)关于x轴对称. 则(-y)2 = 2px , 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 2.对称性 (x,-y) (x,y) 新知探究 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. ∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0. 即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0). 3.顶点 (0,0) 新知探究 由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1. 4.离心率 抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示. 新知探究 5.开口大小 越大，开口越大 由抛物线 y2 =2px(p>0) 当 新知探究 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e==1其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离 开口大小 p越大，开口越大 x x y y 新知探究 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)关于x轴对称，并且经过点M(5，-4)； (2)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4； (3)焦点F在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线 若（1）改为关于坐标轴对称，求标准方程 例 1 例题讲解 (1)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，则这个三角形的边长为　　　　.  例 2 4p 例题讲解 11 (2)已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|， 且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为　　　　. x= 12 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△OMF的面积为4，则抛物线的方程为 A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=x √ 练1 巩固应用 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： 6.焦半径 M(x0,y0) 新知探究 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： 7.焦点弦 x y O l F A (x1,y1) B (x2,y2) 新知探究 A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径. |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大 8.通径 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. x l F y O 新知探究 (课本例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 例 3 例题讲解 过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 练2 巩固应用 谢谢大家 授课老师： 2026-10-30 19 $