第15章 轴对称 单元复习（7大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 知识点1　轴对称图形与对称轴 　　1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 　　2.对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，这时也说这个图形关于这条直线对称。 　　3.常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、矩形、圆等都是轴对称图形，其中圆的对称轴有无数条。 知识点2　成轴对称与轴对称图形的区别联系 比较 两个图形成轴对称 轴对称图形 对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称 对称轴 在两个图形之间，通常只有一条 过图形自身，至少有一条 联系 把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称 知识点3　轴对称的性质 　　1.全等：成轴对称的两个图形全等。 　　2.垂直平分：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 　　3.对称轴画法：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，作对应点连线的垂直平分线即得对称轴。 知识点4　作轴对称图形 　　1.轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换，其实质是图形的翻折，翻折得到的图形与原图形全等。 　　2.作图方法：①找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；②画——画各特殊点关于对称轴的对称点；③连——按原图形依次连接各对称点。 　　3.坐标轴对称：点关于轴对称的点的坐标为；关于轴对称的点的坐标为。 知识点5　线段的垂直平分线 　　1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 　　2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 　　3.判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 　　4.尺规作图：分别以线段AB两端点为圆心、以大于线段一半的长为半径作弧，两弧交于两点，过这两点的直线CD即为垂直平分线。 知识点6　等腰三角形的性质与判定 　　1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫腰，第三边叫底边。 　　2.性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 　　3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。 　　4.判定：定义法（两边相等）；或如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 知识点7　等边三角形的性质与判定 　　1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 　　2.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 　　3.判定：定义法（三边相等）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 【基础必考题型】 【题型1】判断轴对称图形 1.核心知识点： 　　轴对称图形的定义；对称轴的识别。 2.解题方法技巧： 　　①沿某条直线折叠后两边能重合即为轴对称图形； 　　②常见轴对称图形：线段、角、等腰（边）三角形、正方形、圆等； ③情境题（软件图标、体育图标、汉字、剪纸）先抽象图形再判断。 【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）下列图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）下列表示计算机视觉交互应用的图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列是部分银行的标志图，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·辽宁·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】找轴对称图形的对称轴 1.核心知识点： 　　对称轴；对称轴的条数。 2.解题方法技巧： 　　①对称轴是使图形沿其对折后两边重合的直线； 　　②对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线； ③等边三角形有3条对称轴，正方形有4条，圆有无数条。 【例题2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知正五边形，请用直尺画出它所有的对称轴． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）画出图中所示图形的对称轴．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式题2-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）作出如图所示轴对称图形的对称轴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【题型3】利用轴对称性质求解 1.核心知识点： 　　轴对称的性质：图形全等、对称点连线被对称轴垂直平分。 2.解题方法技巧： 　　①由轴对称得对应边相等、对应角相等； 　　②利用对称点连线被垂直平分进行线段转化； ③结合全等三角形、周长与面积关系求解。 【例题3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，为上任意一点（不与点重合），将点分别以为对称轴，画出对称点，并连接，则的度数为______． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点 M，若，，则下列说法不一定正确的是（    ） A．且 B． C． D．与的周长相等 【题型4】线段垂直平分线的性质 1.核心知识点： 　　垂直平分线的性质：线上的点到线段两端点距离相等。 2.解题方法技巧： 　　①垂直平分线上的点与两端点连线段相等，用于求周长、角度； 　　②等腰三角形中利用垂直平分线实现等量代换； ③结合三角形内角和求角度。 【例题4】.（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等腰中，腰的垂直平分线交另一腰所在的直线于点，垂足为，若，，则的长为___________． 【变式题4-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型5】线段垂直平分线的判定 1.核心知识点： 　　垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 2.解题方法技巧： 　　①证明两点都在线段的垂直平分线上，两点连线即垂直平分线； 　　②由点到两端点距离相等，推出点在垂直平分线上； ③与角平分线、等腰三角形综合证明。 【例题5】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 【变式题5-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式题5-3】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 【培优高频题型】 【题型6】尺规作线段的垂直平分线 1.核心知识点： 　　尺规作垂直平分线；垂直平分线的应用。 2.解题方法技巧： 　　①分别以两端点为圆心、以大于一半长为半径作弧，两弧交于两点，连线即垂直平分线； 　　②生活情境（找等距点、作观景台）转化为作垂直平分线； ③保留作图痕迹，不写作法。 【例题6】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【变式题6-3】.（26-27八年级上·福建厦门·开学考试）如图，在中． (1)求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长 【题型7】画轴对称图形及对称点的坐标 1.核心知识点： 　　坐标轴对称点的坐标规律。 2.解题方法技巧： 　　①关于轴对称：，横坐标不变纵坐标相反； 　　②关于轴对称：，纵坐标不变横坐标相反； ③循环变换找规律，利用周期求解。 【例题7】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，有以下几个点：，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)直接写出，，的坐标； (3)在内有一点，直接写出点关于直线的对称点的坐标（结果用含，的式子表示）． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（________，________）（结果用含，的式子表示） (3)若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求，的值． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上，已知和关于直线l对称． (1)请在图上把和补充完整； (2)若以直线l为y轴的坐标系中，每小格代表一个单位长度，点的坐标为，则点B的坐标为________． 【变式题7-3】.（2026八年级上·甘肃·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请作关于轴对称的，边上的点在上的对应点的坐标是______； (2)请作关于轴对称的． 【题型8】等腰（边）三角形的边角计算 1.核心知识点： 　　等腰三角形的腰与底、顶角与底角；等边三角形的三边与三角；三角形内角和与三边关系。 2.解题方法技巧： 　　①已知等腰三角形两边时，分类讨论腰与底，并用三边关系验证取舍； 　　②已知等腰三角形一角时，判断该角是顶角还是底角，利用两底角相等与内角和为分类求解； 　　③等边三角形三边相等、三角均为，连接各边中点所得三角形仍为等边三角形； ④结合含直角三角形性质，将边角关系转化为线段倍分求解。 【例题8】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（     ） A．或 B． C． D．或 【变式题8-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． (1)当点为的中点时，求证：； (2)线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【变式题8-3】.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，中，．，的延长线与相交于点F．连接、． (1)求证：； (2)若．求的长． 【压轴素养题型】 【题型9】等腰三角形与垂直平分线、角平分线综合 1.核心知识点： 　　垂直平分线；角平分线；等腰三角形的三线合一。 2.解题方法技巧： 　　①利用垂直平分线转化线段相等； 　　②利用角平分线转化角相等，结合等角对等边证等腰； ③三线合一用于证明垂直、平分、角相等。 【例题9】.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在等边中，点是线段上一点，作射线，点关于射线的对称点为，连接并延长交射线于点． (1)若，则_________，_________； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，在上截取，连接，在的外部作，且交的延长线于点． (1)证明：； (2)延长到，使，连接、．请在备用图里补全图形，猜想与的数量关系并加以证明． 【变式题9-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是____ ． (2)如图2，在中，是边BC的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【题型10】利用轴对称求最短路径（将军饮马） 1.核心知识点： 　　轴对称变换；两点之间线段最短。 2.解题方法技巧： 　　①作定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一动点； 　　②利用“两点之间线段最短”求最值； 　　③将军饮马模型：作对称点后连线，交点即最值点。 【例题10】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）最短路径问题： 例：如图①所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：如图②，只有A关于l的对称点与点C、B在一直线上时，才能使最小．作点A关于直线“街道”的对称点，然后连接，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：如图③，点A是锐角内部任意一点，在的两边上各取一点B，C，组成，当B、C在什么位置时，周长最小？ (1)在图中找出符合条件的点B和C，并画出． (2)若，，求周长的最小值． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； (2)若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： (3)如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·广东清远·期末）问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 易错点 　　1.混淆轴对称图形与两个图形成轴对称：轴对称图形是一个图形自身对称，成轴对称是两个图形之间的对称关系。 　　2.等腰三角形分类讨论遗漏：已知一边或一角时，需分类讨论腰与底、顶角与底角，并验证三角形三边关系。 　　3.误用含30°直角三角形性质：该性质仅适用于直角三角形且锐角为30°，一般三角形或非30°角不适用。 　　4.对称轴理解错误：对称轴是直线，不是线段，且是任意一对对应点连线的垂直平分线。 重点 　　1.轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对称点连线被对称轴垂直平分。 　　2.线段垂直平分线的性质与判定，以及尺规作图。 　　3.等腰三角形、等边三角形的性质与判定，三线合一、等边对等角、等角对等边。 　　4.含30°角的直角三角形的性质。 难点 　　1.利用轴对称求最短路径（将军饮马模型）。 　　2.等腰三角形的分类讨论问题。 　　3.轴对称与全等三角形、动点最值、存在性的综合探究。 　　4.坐标轴对称与图形变换综合的规律探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（     ） A．3， B．，3 C．3，4 D．，4 3．如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（     ） A． B． C． D．和 二、填空题 4．如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 5．如图，在四边形中，，．若，，则四边形的面积为__________． 6．如图，已知线段，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，则的大小为_________． 三、解答题 7．如图，，，求证：是等腰三角形． 8．如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边m饮马，然后到位于直线l上的草场上喂马，最后回到B地，请帮他设计一条路线，使其行走的路程最短． 9．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 10．如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称 知识点1　轴对称图形与对称轴 　　1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 　　2.对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，这时也说这个图形关于这条直线对称。 　　3.常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、矩形、圆等都是轴对称图形，其中圆的对称轴有无数条。 知识点2　成轴对称与轴对称图形的区别联系 比较 两个图形成轴对称 轴对称图形 对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称 对称轴 在两个图形之间，通常只有一条 过图形自身，至少有一条 联系 把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称 知识点3　轴对称的性质 　　1.全等：成轴对称的两个图形全等。 　　2.垂直平分：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 　　3.对称轴画法：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，作对应点连线的垂直平分线即得对称轴。 知识点4　作轴对称图形 　　1.轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换，其实质是图形的翻折，翻折得到的图形与原图形全等。 　　2.作图方法：①找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；②画——画各特殊点关于对称轴的对称点；③连——按原图形依次连接各对称点。 　　3.坐标轴对称：点关于轴对称的点的坐标为；关于轴对称的点的坐标为。 知识点5　线段的垂直平分线 　　1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 　　2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 　　3.判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 　　4.尺规作图：分别以线段AB两端点为圆心、以大于线段一半的长为半径作弧，两弧交于两点，过这两点的直线CD即为垂直平分线。 知识点6　等腰三角形的性质与判定 　　1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫腰，第三边叫底边。 　　2.性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 　　3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。 　　4.判定：定义法（两边相等）；或如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 知识点7　等边三角形的性质与判定 　　1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 　　2.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 　　3.判定：定义法（三边相等）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 【基础必考题型】 【题型1】判断轴对称图形 1.核心知识点： 　　轴对称图形的定义；对称轴的识别。 2.解题方法技巧： 　　①沿某条直线折叠后两边能重合即为轴对称图形； 　　②常见轴对称图形：线段、角、等腰（边）三角形、正方形、圆等； ③情境题（软件图标、体育图标、汉字、剪纸）先抽象图形再判断。 【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）下列图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）下列表示计算机视觉交互应用的图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行逐一判断即可． 【详解】 解：A. 沿此直线对折，两边能完全重合，是轴对称图形，故此项正确； 选项B、C、 D均找不到一条直线对折，使得直线两边的图形能完全重合，所以都不是轴对称图形，故此三项均错误． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列是部分银行的标志图，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·辽宁·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．根据轴对称图形的概念分别判断得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 【题型2】找轴对称图形的对称轴 1.核心知识点： 　　对称轴；对称轴的条数。 2.解题方法技巧： 　　①对称轴是使图形沿其对折后两边重合的直线； 　　②对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线； ③等边三角形有3条对称轴，正方形有4条，圆有无数条。 【例题2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知正五边形，请用直尺画出它所有的对称轴． 【答案】解：如图所示，即为所求． 【分析】根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可． 【详解】解：略． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）画出图中所示图形的对称轴．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，直线即为所画对称轴． 【分析】作出对应点连线段的垂直平分线即可． 【详解】略 【变式题2-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）作出如图所示轴对称图形的对称轴． 【答案】如图，直线即为所求． 【详解】略 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【答案】解：如图所示即为所作． 【详解】略 【题型3】利用轴对称性质求解 1.核心知识点： 　　轴对称的性质：图形全等、对称点连线被对称轴垂直平分。 2.解题方法技巧： 　　①由轴对称得对应边相等、对应角相等； 　　②利用对称点连线被垂直平分进行线段转化； ③结合全等三角形、周长与面积关系求解。 【例题3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，为上任意一点（不与点重合），将点分别以为对称轴，画出对称点，并连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质和三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，由对称得，由三角形内角和求得即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由对称得， ∴ ； ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据轴对称的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是轴对称图形，对称轴是直线， ∴， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点 M，若，，则下列说法不一定正确的是（    ） A．且 B． C． D．与的周长相等 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出角的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点，∴对称轴l是线段的垂直平分线，即且，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，，∵，，， ，故B正确，不符合题意； C项：根据题目中的条件，无法证明，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称，∴，由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等，∴它们的周长也相等，故D正确，不符合题意． 【题型4】线段垂直平分线的性质 1.核心知识点： 　　垂直平分线的性质：线上的点到线段两端点距离相等。 2.解题方法技巧： 　　①垂直平分线上的点与两端点连线段相等，用于求周长、角度； 　　②等腰三角形中利用垂直平分线实现等量代换； ③结合三角形内角和求角度。 【例题4】.（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·天津河东·阶段检测）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解： 是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又 ， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等腰中，腰的垂直平分线交另一腰所在的直线于点，垂足为，若，，则的长为___________． 【答案】或 【分析】分等腰是锐角三角形和等腰是钝角三角形两种情况分别画出图形，利用垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：若等腰是锐角三角形，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 若等腰是钝角三角形，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 即的长为或 ． 【变式题4-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，结合，利用证得，从而得到； （2）先利用证明，得到，设，则，，，利用建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 在和中， ， ， ． 设，则． 已知，， ， ， 由（1）得， ， 解得． 的长为． 【题型5】线段垂直平分线的判定 1.核心知识点： 　　垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 2.解题方法技巧： 　　①证明两点都在线段的垂直平分线上，两点连线即垂直平分线； 　　②由点到两端点距离相等，推出点在垂直平分线上； ③与角平分线、等腰三角形综合证明。 【例题5】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上， ∴过点的直线垂直平分线段． 【分析】（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题5-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 点A和点D在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)4 【分析】（1）根据题目条件证明，从而，，利用垂直平分线的判定即可证明； （2）由，再根据，利用面积之间的关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，的周长为18， ， 由（1）得， ，， ， ， ． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点F在线段的垂直平分线上， 又∵点O与点F不重合，且两点确定一条直线， ∴垂直平分． 【详解】（1）见答案 （2）见答案 【变式题5-3】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 【答案】(1)证明：连接           ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，，           在和中， ， ∴，           ∴，           ∴点在的垂直平分线上； (2)2 【分析】（1）连接，，根据证明得，可证点D在的垂直平分线上； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）略． （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【培优高频题型】 【题型6】尺规作线段的垂直平分线 1.核心知识点： 　　尺规作垂直平分线；垂直平分线的应用。 2.解题方法技巧： 　　①分别以两端点为圆心、以大于一半长为半径作弧，两弧交于两点，连线即垂直平分线； 　　②生活情境（找等距点、作观景台）转化为作垂直平分线； ③保留作图痕迹，不写作法。 【例题6】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图方式可知直线是线段的垂直平分线，得到，进而转化线段求出的周长． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)8 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到； （2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，由（1）知 ∴ ∵， ∴的周长． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ， ，， ． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·福建厦门·开学考试）如图，在中． (1)求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由的周长为，可求出，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长． 【题型7】画轴对称图形及对称点的坐标 1.核心知识点： 　　坐标轴对称点的坐标规律。 2.解题方法技巧： 　　①关于轴对称：，横坐标不变纵坐标相反； 　　②关于轴对称：，纵坐标不变横坐标相反； ③循环变换找规律，利用周期求解。 【例题7】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，有以下几个点：，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)直接写出，，的坐标； (3)在内有一点，直接写出点关于直线的对称点的坐标（结果用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得点P关于直线l的对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得，，； （3）解：点的坐标为，即． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（________，________）（结果用含，的式子表示） (3)若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求，的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）分别找到A，B，C三点关于直线的对称点，依次连接三个对称点画出轴对称图形即可； （2）根据关于直线对称的点的坐标规律，纵坐标不变，横坐标满足到距离相等，推导出对称点坐标为； （3）利用关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的性质列出方程组，解方程组求出m，n的值． 【详解】（1）解：关于直线对称的点纵坐标不变，横坐标满足到距离相等，，，， ，，，即，，； （2）解：设， 关于直线对称的点纵坐标不变，横坐标满足到距离相等， ， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：由题意得， 解得， 此时点是内的一点，满足题意． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上，已知和关于直线l对称． (1)请在图上把和补充完整； (2)若以直线l为y轴的坐标系中，每小格代表一个单位长度，点的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的定义作图即可； （2）找出原点的位置，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：若点的坐标为，则原点O如下图所示，因此点B的坐标为． 【变式题7-3】.（2026八年级上·甘肃·专题练习）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请作关于轴对称的，边上的点在上的对应点的坐标是______； (2)请作关于轴对称的． 【答案】(1)如图，就是所求作的三角形 点的坐标是． (2)如图，就是所求作的三角形 【分析】（1）先确定，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，，即可得到，再根据轴对称的性质可得点的坐标； （2）先确定，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，，即可得到． 【详解】（1）解：画图略， 边上的点在上的对应点的坐标是． （2）略 【题型8】等腰（边）三角形的边角计算 1.核心知识点： 　　等腰三角形的腰与底、顶角与底角；等边三角形的三边与三角；三角形内角和与三边关系。 2.解题方法技巧： 　　①已知等腰三角形两边时，分类讨论腰与底，并用三边关系验证取舍； 　　②已知等腰三角形一角时，判断该角是顶角还是底角，利用两底角相等与内角和为分类求解； 　　③等边三角形三边相等、三角均为，连接各边中点所得三角形仍为等边三角形； ④结合含直角三角形性质，将边角关系转化为线段倍分求解。 【例题8】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】等腰三角形腰上的高既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，需分两类情况讨论；每类都在直角三角形中，通过“倍长这条直角边”作辅助线，构造全等三角形，进而得到等边三角形，先推出“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出底角． 【详解】解：分两种情况讨论． （1）当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，垂足D在上，如图． 在中，，于点D， ． 在直角三角形中，． 延长到点E，使，连接，则． ，， ． 在和中， （公共边），，， ∴， （全等三角形的对应边相等）， ， 是等边三角形， ，即， ，即． ， ． （2）当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，垂足D在的延长线上，如图． 在中，，交的延长线于点D，为钝角， ． 在直角三角形中，． 同(1)得， ． ， ， ． 综上，这个等腰三角形的底角为或． 【点睛】①腰上的高既可在三角形内部，也可在三角形外部，必须分类讨论，只算一种必然漏解；②教材中只有“角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质定理，“直角边等于斜边的一半，则所对锐角为”不能直接使用，应先倍长该直角边，构造全等三角形得到等边三角形推证后再用；③钝角情形中，与互补，顶角应为，不要把直接当作顶角，否则会漏掉这一解． 【变式题8-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴. 【变式题8-2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． (1)当点为的中点时，求证：； (2)线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (2)，理由如下， ，，，， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）等边对等角，用证明，根据全等的性质得到； （2）等面积法，，，，，代入进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-3】.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，中，．，的延长线与相交于点F．连接、． (1)求证：； (2)若．求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)4 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，，进而得到为等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结果； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】等腰三角形与垂直平分线、角平分线综合 1.核心知识点： 　　垂直平分线；角平分线；等腰三角形的三线合一。 2.解题方法技巧： 　　①利用垂直平分线转化线段相等； 　　②利用角平分线转化角相等，结合等角对等边证等腰； ③三线合一用于证明垂直、平分、角相等。 【例题9】.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质结合条件得，进一步求出，再根据即可求出，进而得，即可证明是等腰三角形． （2）由（1）得：，，根据垂直定义得，再根据度角所对边等于斜边的一半即可得，进而得，再根据，计算即可得的长为． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由（1）得：，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式题9-1】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在等边中，点是线段上一点，作射线，点关于射线的对称点为，连接并延长交射线于点． (1)若，则_________，_________； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2) (3)，理由如下： 如图，在上截取，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴，   ∴， ∴， 故． 【分析】（1）连接，先证明，，求出，再利用等腰三角形性质及三角形内角和求解即可． （2） 连接，设，利用等边三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． （3） 如图，在上截取使得，判定是等边三角形，证明，根据对称性得到，代换证明即可． 【详解】（1）解：连接， 在等边中，， ∵点关于射线的对称点为， ， ∵， ， ， ∴； 在中， ； （2）解：连接， 在等边中，， ∵点关于射线的对称点为， ， 设， ， ， ∴； 在中， ； （3）略 【变式题9-2】.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，在上截取，连接，在的外部作，且交的延长线于点． (1)证明：； (2)延长到，使，连接、．请在备用图里补全图形，猜想与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． (2)补全的图形如图所示，． 证明：如上图，过点B作于点G， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即． ∵于点G， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“等边对等角”和三角形外角的定义，结合已知条件，可得到，根据“等角对等边”证明． （2）由推出，结合推出，证明，得到；注意到E、A、D、F四点共线，过B作，利用得G为中点，进而证G为中点，由垂直平分线性质得，故，等量代换即得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是____ ． (2)如图2，在中，是边BC的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长到点，使，连接，， 是边的中点， ， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， ； (3)解：， 理由如下： 如图3，延长，交于点， ， ， 在和中，， ， ， 是的平分线 ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，再根据三角形三边关系求解即可； （2）延长到点，使，连接，，证明和，得到，根据三角形三边关系求解即可； （3）延长，交于点，证明，得到，根据是的平分线得到，即可得证． 【详解】（1）如图，延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）略 （3）略 【题型10】利用轴对称求最短路径（将军饮马） 1.核心知识点： 　　轴对称变换；两点之间线段最短。 2.解题方法技巧： 　　①作定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一动点； 　　②利用“两点之间线段最短”求最值； 　　③将军饮马模型：作对称点后连线，交点即最值点。 【例题10】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）最短路径问题： 例：如图①所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：如图②，只有A关于l的对称点与点C、B在一直线上时，才能使最小．作点A关于直线“街道”的对称点，然后连接，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：如图③，点A是锐角内部任意一点，在的两边上各取一点B，C，组成，当B、C在什么位置时，周长最小？ (1)在图中找出符合条件的点B和C，并画出． (2)若，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）分别作点A关于的对称点，连接分别交于点B，点C，则点B，点C即为所求； （2）连接，由轴对称的性质可得，，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得，， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为10． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； (2)若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： (3)如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 【答案】(1) (2)周长的最小值为10 (3) 【分析】（1）分别作出点关于和的对称点和，连接与和的交点即为点和点，即为所求； （2）连接、和，根据轴对称的性质得到，，，，可知，即是边长为10的等边三角形，即可求出周长的最小值； （3）如图，作关于的对称点，再作关于的对称点，连接交于C，交于D，四边形即为所求． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接、和， ∵点和点关于对称， ，， 同理，， ， 又， ． 又， 是边长为10的等边三角形， 则， 即周长的最小值为10； （3）略． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·广东清远·期末）问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短 (2) (3)①所作图形如下： ② 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）连接，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）①过点P分别作，的对称点，，连接与，交点即为点C，D，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得， ∴当点B，C，三点共线时，， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短， （2）解：连接，如图所示： ∵点与点关于直线成轴对称， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴当点，C，三点共线时，有最小值， ∴周长的最小值为； （3）解：①略 ②∵，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 易错点 　　1.混淆轴对称图形与两个图形成轴对称：轴对称图形是一个图形自身对称，成轴对称是两个图形之间的对称关系。 　　2.等腰三角形分类讨论遗漏：已知一边或一角时，需分类讨论腰与底、顶角与底角，并验证三角形三边关系。 　　3.误用含30°直角三角形性质：该性质仅适用于直角三角形且锐角为30°，一般三角形或非30°角不适用。 　　4.对称轴理解错误：对称轴是直线，不是线段，且是任意一对对应点连线的垂直平分线。 重点 　　1.轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对称点连线被对称轴垂直平分。 　　2.线段垂直平分线的性质与判定，以及尺规作图。 　　3.等腰三角形、等边三角形的性质与判定，三线合一、等边对等角、等角对等边。 　　4.含30°角的直角三角形的性质。 难点 　　1.利用轴对称求最短路径（将军饮马模型）。 　　2.等腰三角形的分类讨论问题。 　　3.轴对称与全等三角形、动点最值、存在性的综合探究。 　　4.坐标轴对称与图形变换综合的规律探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项：不是轴对称图形，不符合题意； 选项：是轴对称图形，符合题意； 选项：不是轴对称图形，不符合题意； 选项：不是轴对称图形，不符合题意． 2．已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（     ） A．3， B．，3 C．3，4 D．，4 【答案】A 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，； 解得，. 3．如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（     ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】根据等腰三角形定义，由两边相等判断即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， ，， ， 不是等腰三角形 ∵与不一定相等， 不一定是等腰三角形， 只有是等腰三角形． 二、填空题 4．如图，等边三角形中，是上的高，若，则________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质可得，利用等边三角形三线合一的性质可得为中点，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在四边形中，，．若，，则四边形的面积为__________． 【答案】24 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∵，， ∴四边形的面积为． 6．如图，已知线段，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，则的大小为_________． 【答案】/度 【分析】由作图得为等边三角形、是的垂直平分线，从而、；再由知为等腰直角三角形，把拆成与之和即可求． 【详解】解：分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点（如图）． ，． 为等边三角形， ． ，， 点、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ，为的中点． 点在线段上， ． 以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点， ． 为等腰直角三角形， ． 点在上， ． 点、分别在的两侧， ． 三、解答题 7．如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】利用证明，得出，根据等角对等边得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】略 8．如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边m饮马，然后到位于直线l上的草场上喂马，最后回到B地，请帮他设计一条路线，使其行走的路程最短． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了最短路程问题，作点A作关于直线m的对称点，作点B作关于直线l的对称点，连接交直线m于点C，交直线l于点D，则行走路程最短的路线如图． 【详解】解：作点A作关于直线m的对称点，作点B作关于直线l的对称点，连接交直线m于点C，交直线l于点D，则行走路程最短的路线如图所示． 9．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)解：，，关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求，． (2)解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 10．如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2)6 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后利用三角形的外角性质可得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，由（1）可知，在中，求得，利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， 在中，， ∴； ∴， ∵垂直平分， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $