1.4 充分条件与必要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1 1.4 充分条件与必要条件 2 1.4.1 充分条件与必要条件+1.4.2 充 要条件 3 01 知识绘 02 重难斩 4 知识点1 充分条件与必要条件 重点 1.命题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题， 判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若<m></m>，则<m></m>”“如果<m></m>，那么<m></m>”等形式.其中<m></m>称为命题的 条件，<m></m>称为命题的结论. 2.充分条件与必要条件 一般地，“若<m></m>，则<m></m>”为真命题，是指由<m></m>通过推理可以得出<m></m>.这时，我们就说，由<m></m>可以推出<m></m>，记作<m></m>, 并且说，<m></m>是<m></m>的充分条件，<m></m>是<m></m>的必要条件. . . . . 5 求甚解【1】对充分条件的理解 充分条件是使某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成 立，只要具备此条件就足够了.例如，<m></m>.并且当命题不具备此条件时，结论也有可能成立.例 如，<m></m>，所以“<m></m>”是“<m></m>”的充分条件. 【2】对必要条件的理解 必要条件是在充分条件的基础上得出的.例如，“<m></m>”是“<m></m>”的必要条件.<m></m> 辨析 6 在具体解题时，要注意分清什么是条件，什么是结论.如“是的什么条件”中，是条件， 是结论;而“ 的什么条件是”中，是结论， 是条件. 例 设,，若是的充分条件，则实数的取值范围为______；若的一个充分条件是，则实数 的取值范围为______. 【解析】若是的充分条件，则有，即，故.若的一个充分条件是 ，则有 ，即，故 . 7 3.充要条件 如果“若<m></m>，则<m></m>”和它的逆命题“若<m></m>，则<m></m>”均是真命题，即既有<m></m>，又有<m></m>，就记作<m></m>. 此时,<m></m>既是<m></m>的充分条件，也是<m></m>的必要条件.我们说<m></m>是<m></m>的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果<m></m>是<m></m>的 充要条件,那么<m></m>也是<m></m>的充要条件. 概括地说,如果<m></m>,那么<m></m>与<m></m>互为充要条件.<m></m> 归纳 . . 8 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件 若,但 是 的充分不必要条件 若，但 是 的必要不充分条件 若,且 是 的充要条件 若，且 是 的既不充分也不必要条件 9 （1）搞清充分必要性的推导方向.判断充分必要性时，先把问题变成正常的描述，即什么是什么的什么条 （2）研究充分必要性时，两个方向都要描述.即判断是的什么条件，主要是判断及 这两个命 题是否成立.若成立，则是的充分条件，同时是的必要条件；若成立，则是 的必要条件，同 时是的充分条件；若两者都成立，则与 互为充要条件. （3）符号“ ”的含义有很多种，如“等价于”“当且仅当”等，可根据具体问题分析其含义.拓展 示例 10 充分、必要、充要条件的传递性 充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下： （1）若是的充分条件，是的充分条件，即,，则有，即是 的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即,，则有，即是 的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即,，则有，即是 的充要条件. 示例 若是的必要不充分条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，则是 的____________条件. 充分不必要 【解析】 , . 11 知识点2 从不同角度理解充分条件、必要条件、充要条件 基本点 1.从命题的角度理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作<m></m>和<m></m>，则原命题与逆命题同<m></m>与<m></m>之间有如下关系： （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则<m></m>是<m></m>的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则<m></m>是<m></m>的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则<m></m>和<m></m>互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题，则<m></m>是<m></m>的既不充分也不必要条件. 12 2.从集合的角度理解充分必要性 设非空集合<m></m>,<m></m>. 条件 且 图示 _____________________________ __________________________ __________________________ ___________________ 结论 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件 是 的充要条件 是 的既不充分也不必要条件 13 <m></m> 理解 <m></m> 注意 我们可以利用简单的电路图来理解： 如图①所示，开关<m></m>闭合是灯泡<m></m>亮的充分不必要条件； 如图②所示，开关<m></m>闭合是灯泡<m></m>亮的必要不充分条件； 如图③所示，开关<m></m>闭合是灯泡<m></m>亮的充要条件； 如图④所示，开关<m></m>闭合是灯泡<m></m>亮的既不充分也不必要条件. 14 （1）若,则是 的充分条件； （2）若，则是 的要条件.件，这样充分必要性才不会颠倒. 划重点（1）判断集合间的关系时，注意与条件的对应关系； （2）从集合角度判断充分、必要性是一种比较简便的方法. 15 能力进阶 要点1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 基本点 判断充分条件、必要条件、充要条件的几种方法 （1）定义法：直接判断“若<m></m>，则<m></m>”“若<m></m>，则<m></m>”的真假，并得出结论. （2）集合法：命题可化为参数的取值范围的形式时，利用集合间的包含关系判断. （3）特殊值法：利用特殊值举反例排除错误情况进而判断，此方法只能通过举反例来证明不是充分条件或 不是必要条件，若找不到例子否定，则需要进行论证. （4）传递法：利用充分条件与必要条件的传递性进行推导及判断. 16 角度1 定义法 例1 下列各题中，判断是 的什么条件． （1）， ； 【解】因为，即，但是，即,所以是 的充分不必要条件. （2）是直角三角形， 是等腰三角形； 【答案】因为是直角三角形是等腰三角形，是等腰三角形是直角三角形，所以 是 的既不充分也不必要条件． （3）四边形的对角线互相平分， 四边形是矩形； 【答案】因为四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，所以是 的必要不充分条件． （4）或， . 【答案】因为或，或，所以是 的充要条件． 17 角度2 集合法 例2 设，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为，所以，即.设集合, ,因 为,所以“”是“ ”的必要不充分条件. 18 本题的重点是根据绝对值不等式解出 的取值范围,再结合集合关系进行判断. 19 角度3 特殊值法 例3 ［福建厦门第一中学2025高一期中］设，是实数，则“”是“ ”的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】充分性:不妨令,，此时满足，但，充分性不成立.必要性:不妨令 , ，此时满足，但，必要性不成立.故“”是“ ”的既不充分也不必要条件. 20 角度4 传递法 例4 若是的充分不必要条件，是的充要条件，则是 的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】根据，，的关系，画出如图所示的结构关系图.由图可知，，，所以是 的必要不充分条 件.故选B． 21 高分突破 要点2 充要条件的证明 重难点 一般地，证明“成立的充要条件为”时，在证明充分性时应以为“已知条件”， 为该步中要证明的“结论”， 即；证明必要性时则是以为“已知条件”，为该步中要证明的“结论”，即 . 例5 求证：“方程的两个根均大于1”的充要条件是“ ”. 【证明】①必要性：若方程有两个大于1的根，不妨设两个根分别为， ，则 即 即解得 . 22 ②充分性：当时， 设方程的两个根分别为， ， 则 . 又 ， 所以，，故， . 综上可知，“方程的两个根均大于1”的充要条件是“ ”. 23 要点3 充分条件、必要条件、充要条件的探求 基本点 探求充分条件、必要条件、充要条件的方法 （1）寻求<m></m>的充分条件<m></m>，即求使<m></m>成立的条件<m></m>,即<m></m>，也就是寻找<m></m>的“子集”. （2）寻求<m></m>的必要条件<m></m>，即求以<m></m>为条件可推出的结论<m></m>,即<m></m>，也就是寻找<m></m>是谁的“子集”. （3）寻求<m></m>的充要条件<m></m>有两种方法： ①等价法：将<m></m>进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过 程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证. ②非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，即从必要性和充分性两方面说明. 24 例6 设，则 的一个必要不充分条件是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意，当时， 一定成立； 当成立时，不一定成立.所以是 的一个必要不充分条件. 25 要点4 含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用 重难点 利用充分条件、必要条件求参数范围的步骤 （1）化简<m></m>,<m></m>;（2）将<m></m>与<m></m>的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系;（3）利用集合间的关系 建立不等关系;（4）求解参数范围. 注意：①在求参数范围时，要注意边界或端点值的检验，可以代入端点值验证是否满足条件从而确定取舍； ②含有参数的问题，要注意分类讨论． 26 角度1 根据充分条件求参数的取值范围 例7 设集合，非空集合.若“”是“ ”的充分 条件，则实数 的取值范围为___________. 【解析】由题意得,因为“”是“”的充分条件，所以 . ①当中含有一个元素时，，即，解得或 . 当时，不是集合的子集，舍去；当时， ，符合题意. ②当中含有两个元素时，则，则有 无解. 综上，实数的取值范围为 . 27 例8 ［广东广州2025高一月考］若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围为 __________. 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，得，则 ， 所以实数的取值范围是 . 28 角度2 根据必要条件求参数的取值范围 例9 ［河北石家庄二中2025高一月考］设,，若是的必要条件，则实数 的取值 范围是___________. 【解析】因为是的必要条件，所以 ， 所以解得，则实数的取值范围是 . 29 例10 ［上海黄浦区2025高一月考］已知或，或.若 是 的必要不充分条件， 则实数 的取值范围是___________. 【解析】设集合或，或 ， 因为 是 的必要不充分条件，所以 , 当，即时，集合 ，符合题意. 当，即时，需满足解得，此时的取值为 ， 所以 . 30 A组·学业基础 1.〈要点1〉设，：关于的方程有一个实数解，则是 的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】：关于的方程有一个实数解，则当时，方程为，解得 ， 符合题意；当时，若方程有一个实数解，则，即 .所以 或，所以是 的充分不必要条件.故选A. 31 2.〈要点1〉［福建莆田第一中学2025高一期中］用表示不大于实数的整数，例如，， ， 则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】当,时,,但不能得到 . 由得，又，所以由一定能得到 . 所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 32 3.〈要点1〉（多选）有限集合中元素的个数记作，设， 都为有限集合，则下列命题中是假命题的是 ( ) BCD A.“ ”的充要条件是“ ” B.“”的充要条件是“ ” C.“”的必要不充分条件是“ ” D.“”的充要条件是“ ” 【解析】由 ，知中元素个数为集合，的元素之和，即 ，必 要性成立；由，即中元素个数为集合，的元素之和，知 ， 充分性成立，A是真命题. 若，假设,，则此时 不成立，充分性不成立，B是假命题. 若，假设,，则此时，故“”不是“ ” 的必要条件，C是假命题. 若，假设,，则此时不成立，D是假命题.故选 . 33 4.〈要点1〉若是的充分条件，是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件，则是 的______条件 （填“充分”或“必要”）. 必要 【解析】因为是的必要条件，是的充分条件，是 的必要条件， 所以可以推出，可以推出，可以推出 ， 所以与 互为充要条件. 由于是 的充分条件， 所以可以推出，则可以推出 ， 所以是 的必要条件. 34 B组·应考能力 5.〈要点3〉［湖南衡阳第八中学2025高一月考］已知，则使得 成立的一个充分不必要条件是( ) A A. B. C.或 D. 【解析】由题意得，解得或 ， 故使得成立的一个充分不必要条件应为或 的真子集， 其中 满足要求，其他选项不满足.故选A. 35 6.〈要点3〉［江苏淮阴中学2025高一期中］设,，则“ ”的充要条件为( ) A A.,至少有一个为1 B.,都为1 C.,都不为1 D. 【解析】由，得，可得或，即, 至少有一个为1，所以“ ”的充要条件为, 至少有一个为1，故只有A符合，其他选项均不符.故选A. 36 7.〈要点3〉［重庆北碚区2025高一期中］已知：关于的方程的根为正实数，则使得 成立的 一个必要不充分条件是( ) B A. B. C. D. 【解析】关于的方程 的根为正实数， 则需满足或 解得 ， 结合选项可知 满足，故选B. 37 8.〈要点4〉已知条件,，若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】由，可得，因为是的充分不必要条件，所以，故 .故选A. 38 9.〈要点4〉（多选）已知，，且是的必要条件，则 的值可以是 ( ) BCD A. B. C. D.0 【解析】设， , 因为是的必要条件，所以 . 当 时，由无解可得 ，符合题意； 当 时，或，当时，，解得 ， 当时，，解得 . 综上，的取值为0，，.故选 . 39 10.〈要点4〉［山东济宁2025高一检测］若“”是“”的充分条件，则实数 的值为 _______. 1或 【解析】依题意，“”是“ ”的充分条件， 所以 ， 所以，解得或 . 40 11.〈要点4〉［天津河西区2025高一期中］已知集合，集合 ， ,.若是的必要不充分条件，则 的取值范围为_ ______. 【解析】由是的必要不充分条件，得 . 当 时，，即 ，满足题意； 当 ，即时，要使，则 且等号不同时取到， 解得，又 ，故无解. 综上所述，若是的必要不充分条件，则的取值范围为 . 41 12.〈要点2〉设，，分别为内角所对的三边，求证：“方程与 有 公共根”的充要条件是“ ”. 【证明】充分性：因为 ，所以方程可化为 ，所以 ，即，所以该方程有两个根, , .同理，另一方程可化为 ，所以 ，即，所以该方程有两个根, , ，可以发现 ，所以这两个方程有公共根. 必要性：设 是两方程的公共根，所以由①②得，若 ，则①式 为,即,与三角形的边长大于0矛盾，所以，所以 ，代入①式得 ，整理得，所以 . 综上，“方程与有公共根”的充要条件是“ ”. 42 $