专题4.1 函数（2大知识点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题4.1 函数 教学目标 1. 结合实例理解常量、变量的意义，掌握函数的核心概念，能准确判断两个变量间是否存在函数关系。 2. 会用列表法、解析式法、图象法表示函数，能确定自变量的取值范围并求函数值。 3. 经历函数概念的形成过程，初步建立模型思想，能运用函数知识解决简单实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）深刻理解函数的本质特征，即“自变量每一个确定值，因变量有唯一确定值对应”，掌握函数三要素。 （2）熟练掌握函数的三种表示方法，能根据具体情境选择合适方法表示函数关系。 2.难点 （1）难以抽象概括函数概念的本质，对“唯一确定对应”的理解易模糊，判断函数关系时易出错。 （2）不易将实际问题转化为函数模型，在确定自变量取值范围时，易忽略实际情境的限制条件。 知识点01 函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列图形中不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数函数的概念，熟悉掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念逐一判断图象即可． 【详解】解：根据函数的定义：当每取一个值时，都有一个值和一一对应． ∵这三个图象当每取一个值时，都有一个值和一一对应， ∴这三个图象能表示为是的函数； ∵此图象当时，的取值会有两个与其对应， ∴此图不能表示为是的函数； 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 知识点02 函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 【微点拨】 1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2. 【即学即练2】 1．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 【答案】(1)行驶路程，剩油量 (2) (3)42，40 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识． （1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案； （2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式； （3）分别令，及代入即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量， 故答案为：行驶路程，剩油量； （2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：， 由题意可得， ∴，解得 故答案为：； （3）当时，； 当时，，解得； 故答案为：42，40． 2．（24-25八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4内只进水不出水，在随后的14内既进水又出水，在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量）（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)每分钟的进水量为_____，每分钟的出水量为_____； (2)求m的值； (3)若在某一时间x（）时，容器内水量恰好为30，直接写出此时x的值为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查通过图象求信息． （1）通过图象先求出每分钟进水量，再求出每分钟出水量即可； （2）通过图象先求出第时容器内的水量，继而求出m的值； （3）先用第时容器内的水量减去某一时间x时容器内水量恰好为30，结果除以每分钟出水量，后加上即可得到x的值． 【详解】（1）解：由图可知， ∵从某时刻开始的4内只进水不出水， ∴每分钟进水量为：， ∵在随后的14内既进水又出水， ∴每分钟出水量为：， 故答案为：； （2）解：由图可得， ∵第时容器内的水量有：， ∴， ∴m的值为； （3）解：∵在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数， ∵第时容器内的水量有：， ∴由题意得：， 故答案为：． 题型01 函数的概念及图象识别 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列表达式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据函数定义逐项判断即可． 【详解】解：ABC：对于式子有意义的任意一个x，有且仅有一个确定的y的值与之对应，符合函数的定义； D：可化为，当时，对x的一个取值，有2个y的值与之对应，不符合函数的定义， 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（   ） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，函数图象的识别，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：①对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故①符合题意； ②对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故②不符合题意； ③对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故③不符合题意； ④对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故④符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 【详解】解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个． 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于x的一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，据此结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、对于x的一个值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的一个值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数，符合题意； D、对于部分x的值，y都有两个值或三个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； 故选：C． 题型02 函数的三种表示方法之列表法 【典例2】（24-25七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格中信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意； C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意； D、当 时，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【答案】C 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、函数的三种表示方法 【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可． 【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意； B、根据表格，刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加，正确，不符合题意； C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，解得，不正确，符合题意； D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意； B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意； C、从第3天到第4天，周积分的增长量为分，因此选项C符合题意； D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有分、分，分的不等，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提． 题型03 函数的三种表示方法之解析式 【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、函数的三种表示方法 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【答案】(1)，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量 (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的概念、函数的三种表示方法 【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键； （1）由加热时间每增加，液体温度升高，可得则每秒液体升高的温度为，从而可得解析式； （2）直接根据每秒液体升高的温度为，再列式计算即可； 【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量； 加热时间每增加，液体温度升高， 则每秒液体升高的温度为，得， ∴y与t之间的关系式是，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量． （2）解：， 当时，， ∴该液体的沸点是． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．． 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．． 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里） 【答案】(1)刹车时车速，刹车距离 (2)20米 (3) (4)汽车是超速行驶，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加m，可得答案； （4）结合（3）的结论得出可得车速为，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， 当刹车时车速为时，刹车距离是20m； 故答案为：20； （3）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， 与v之间的关系式为：， 故答案为：； （4）解：当时，， ， ， 答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 题型04 函数的三种表示方法之图象法 【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的图象大致为图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断、一定错误； 用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变， 当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化的情况． (1)上午8时的温度是多少？16时呢？ (2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？ (3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？ (4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？ (5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？ 【答案】(1)上午8时的温度是，16时的温度是 (2)这一天的最高温度是是在 14时达到的；最低温度为，是在 4时达到的 (3)这一天的温差为，经过了 (4)4时到14时温度在上升，0时到4时和14时到24时温度在下降 (5)点A 表示0时温度为，点 B 表示16时温度为； 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获得有关信息． （1）根据图象求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）用最高点表示的温度减去最低点的温度即可求出温差；用最高点表示的时间减去最低点的时间求解即可； （4）根据图象的变化趋势求解即可； （5）根据横坐标，纵坐标的含义求解即可； 【详解】（1）解：上午8时的温度是，16时的温度是； （2）解：这一天的最高温度是，是在 14时达到的；最低温度为，是在 4时达到的； （3）解：这一天的温差为，经过了； （4）解：4时到14时温度在上升，0时到4时和14时到24时温度在下降； （5）解：点A 表示0时温度为，点 B 表示16时温度为； 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 题型05 求自变量的取值范围 【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的范围：二次根式的被开方数是非负数． 利用二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解；根据题意得， 所以． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴． 故答案为：． 题型06 求自变量的值或函数值 【典例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ． 【答案】77 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入计算即可． 【详解】解：当时，， 即它的华氏度数是． 故答案为：77 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时， ． 【答案】720 【分析】本题主要考查了利用自变量的值求函数值的计算，把自变量的值代入函数关系式中求出相应的函数值是解题的关键； 把代入关系式计算，可得结果． 【详解】由题知，当时，． 故答案为：720 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 【答案】86 【分析】本题考查了函数值，此题是通过代入法求得s的值，属于基础题．把代入关系式求得相应的s的值即可． 【详解】解：把代入关系式，得 ， 故答案为：86 ． 题型07 动点问题画函数图象 【典例7】（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 【答案】135 【分析】本题考函数图像的应用，解题的关键是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，长方形的面积公式及应用．通过观察折线统计图可知，点从点移动到点用4秒，点从点移动到点用2秒，点从点移动到点用3秒，根据路程速度×时间，分别求出的距离，根据长方形的面积公式，把数据代入公式求出长方形的面积与长方形的面积差即可． 【详解】解：观察图像可得： 的长：（厘米）， 的长：（厘米）， 的长：（厘米） 图甲中的图形面积是：（平方厘米）． 答：图中甲的面积是135平方厘米． 故答案为：135． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答： (1)______，______； (2)当在上时，求的最小值； (3)求的长． 【答案】(1)10，9 (2)8 (3) 【分析】本题考查了动点运动的函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处，即可求解； （2）过作，如图，当与重合时，最小，此时，再由勾股定理求出，即可求解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处， ∴； 故答案为：10；9 （2）解：过作，如图，当与重合时，最小，此时． 在中，由勾股定理得，． 所以的最小值为8； （3）解：， ． 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【详解】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 题型08 从函数的图象获取信息 【典例8】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【答案】C 【分析】本题考查路程—时间图象的识别，根据图象，按照路程速度时间即可逐项判断． 【详解】解：A：由题图知，时，物体通过的路程为说法正确，不符合题意． B：整个时间内，物体通过的路程为，则物体的平均速度，B说法正确，不符合题意． C：由图可知，物体通过的总路程为，故C说法错误，符合题意； D：内物体速度， 内物体速度， 故物体在内的速度比内的速度大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得：刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，过了一段时间到达琪琪家减速停车，则速度减少到0，琪琪上车后，小林开车加速行驶，速度从0开始增加，一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， 能近似的刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是D选项． 故选：D． 【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图． 结合图象信息，小成给出如下说法： 小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫． 其中正确的说法是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键． 根据小强步行米，需要分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离进而分别判断得出答案． 【详解】解：由图象得出小强步行米，需要分钟， 所以小强的运动速度为：分， 当第分钟时，小林运动分钟， 运动距离为：， 小林的运动速度为：分， 故正确； 当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确； 此时小林运动分钟， 运动总距离为：， 小强运动时间为：分钟， 小强出发分钟时到达少年宫，故错误； 由知小林先到达少年宫，故错误； 综上，正确的结论有， 故选：A． 【变式3】（2025九年级·河南·专题练习）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ） A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小 B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D．草莓生长最快时的温度约为 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的信息，进行判断即可得． 【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确； 由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确； 由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确； 由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确； 故选：C． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（    ） A．和是变量， B．人的身高与年龄 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：对于任意的，一个x的值，有两个y的值与之对应，不符合函数定义； B：人的身高与年龄之间没有一个确定的关系，故不存在函数关系； C：三角形的面积公式为：面积底高，即面积还与高有关，故三角形的底边长与面积不存在函数关系； D：路程速度时间，速度一定，则对于给定的任意一个时间，均有且仅有一个确定的路程与之对应，这符合函数关系的定义． 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（   ） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，函数图象的识别，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：①对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故①符合题意； ②对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故②不符合题意； ③对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故③不符合题意； ④对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故④符合题意； 故选：C． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，在自变量的取值范围（定义域）内，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①中，满足对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ②中，对于正数x的任意值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数； ③中，满足对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ④中，满足对于的任意值，y都有唯一值与之对应，故y是x的函数； ∴y是x的函数的个数是3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式的判断，观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故，经验证，符合表格中数据， 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南开封·期末）是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大，用材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛．如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了发热材料，其电阻值()随温度()变化的关系图象如图2所示，下列说法中不正确的有（   ）个． ①由图2，可知该发热材料的“居里点温度”是 ②当时，该发热材料的电阻值为 ③当时， ④发热部分的电阻值随温度的升高而增大 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大时，函数值的增减情况；根据函数图象逐一分析即可． 【详解】解：①由图2，可知该发热材料的“居里点温度”是；故此项不正确；             ②当时，该发热材料的电阻值为；故此项正确； ③当时，；故此项正确； ④由图2，可知当时，随温度的升高而电阻值减小，当时，随温度的升高而电阻值增大，故此项不正确；， 故选：B. 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键．根据形如的式子叫作二次根式解答． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数，则当自变量时，函数值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知梯形上底的长是，下底的长是，高是，面积是．则y与x的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，函数关系式．根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系，根据图象，下列结论：①乙先出发1小时后，甲才出发；②乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离A地；③甲到达B地后乙到达B地；④甲的速度为，乙的速度为．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象逐一判断即可，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：根据图象可得乙先出发1小时后，甲才出发，故①正确，符合题意； 根据图象可得在乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离地，故②正确，符合题意； 根据图象可得乙的速度为，则乙走到B地的时间为，，故甲到达地后乙到达地，故③正确，符合题意； 甲的速度为，故④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． 10．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 【答案】或3 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，几何图形与函数图象的关联信息，正确理解几何图形与函数图象的关联信息是解题的关键； 根据动点P所在的位置与图象的关系求出，，然后根据动点P在边和上分析即可． 【详解】解：根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴， 由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， 当时，设点P运动的时间为x秒，有两种情况： 当动点P在边上时，由得 ； 当动点P在边上时，由得 ， 综上，当时，秒或3秒， 故答案为：或3． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件个数（个）与生产时间（小时）之间的函数关系如图．    (1)根据图象填空 ①甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，______因机器故障停止生产______小时； ②当______时，甲、乙生产的零件个数相同． (2)谁在哪一时间段内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数． 【答案】(1)①甲，甲，2 ；②3或5.5 (2)甲在小时内的生产速度最快．他在这段时间内每小时生产零件10个 【分析】本题考查了从图象中获取信息，解题的关键是根据题意得到相关的信息． （1）根据图象直接填写即可；根据图象中两函数图象交点即为甲、乙生产的零件个数相等时的信息． （2）根据图象即可得到生产速度最快的时间段，再根据题意即可求出最快的速度． 【详解】（1）解：①由图象可知，甲先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，甲因机器故障停止生产小时； 故答案为：甲，甲，2； ②由图象可知，当或时，两函数图象相交，即为甲、乙生产的零件个数相等， 故答案为：3或5.5． （2）由图象可知甲在小时内倾斜角度最大，生产速度最快； 此时甲每小时生产零件的个数为（个）． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数关系式，求函数的函数值和自变量的值，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据函数图象可得快递物品质量不超过3千克时收费8元，据此可得a、b的值，再根据质量为15千克时快递费为26元可求出c的值； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出当时y的值，当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；； （2）解：当时，y与x之间的关系式为； （3）解：当时，； 当时，得， 解得：． 答：该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克． 13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【答案】(1)3；6；18 (2) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 14．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示． (1)请问 ， ， ； (2)图2中(？)处该填 ； (3)当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，得出，根据当点运动到点点时，，取得最大值，求得，进而勾股定理求得，即可求解； （2）根据（1）的结论，结合函数图象，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即， 当点运动到点点时，，取得最大值，此时 在中， ∴； 故答案为：，，． （2）解：由（1）可得， ∴当时，取得最小值，此时运动到点，则 故答案为：． （3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则 ∴ 15．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． (1)求出、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与三角形的面积，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）由图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为6，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即， 此时， 即， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 则，，而， 当点在上方时，则， 的面积， 解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积， 解得：（满足条件）； 综上分析可知，或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 函数 教学目标 1. 结合实例理解常量、变量的意义，掌握函数的核心概念，能准确判断两个变量间是否存在函数关系。 2. 会用列表法、解析式法、图象法表示函数，能确定自变量的取值范围并求函数值。 3. 经历函数概念的形成过程，初步建立模型思想，能运用函数知识解决简单实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）深刻理解函数的本质特征，即“自变量每一个确定值，因变量有唯一确定值对应”，掌握函数三要素。 （2）熟练掌握函数的三种表示方法，能根据具体情境选择合适方法表示函数关系。 2.难点 （1）难以抽象概括函数概念的本质，对“唯一确定对应”的理解易模糊，判断函数关系时易出错。 （2）不易将实际问题转化为函数模型，在确定自变量取值范围时，易忽略实际情境的限制条件。 知识点01 函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列图形中不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 知识点02 函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 【微点拨】 1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2. 【即学即练2】 1．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 2．（24-25八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4内只进水不出水，在随后的14内既进水又出水，在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量）（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)每分钟的进水量为_____，每分钟的出水量为_____； (2)求m的值； (3)若在某一时间x（）时，容器内水量恰好为30，直接写出此时x的值为_____． 题型01 函数的概念及图象识别 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列表达式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（   ） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 【变式2】（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型02 函数的三种表示方法之列表法 【典例2】（24-25七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期末）李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（    ） A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的车速为 D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（   ） 学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7 周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350 A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B．周积分随学习天数的增加而增加 C．从第天到第天，周积分的增长量为分 D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同 题型03 函数的三种表示方法之解析式 【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 【变式3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．． 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．． 请回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ； (3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ； (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里） 题型04 函数的三种表示方法之图象法 【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的图象大致为图中的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化的情况． (1)上午8时的温度是多少？16时呢？ (2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？ (3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？ (4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？ (5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？ 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 题型05 求自变量的取值范围 【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 题型06 求自变量的值或函数值 【典例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时， ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 题型07 动点问题画函数图象 【典例7】（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答： (1)______，______； (2)当在上时，求的最小值； (3)求的长． 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 题型08 从函数的图象获取信息 【典例8】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图． 结合图象信息，小成给出如下说法： 小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫． 其中正确的说法是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2025九年级·河南·专题练习）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ） A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小 B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D．草莓生长最快时的温度约为 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（    ） A．和是变量， B．人的身高与年龄 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（   ） A．②④ B．①③ C．①④ D．③④ 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 5．（24-25七年级下·河南开封·期末）是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大，用材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛．如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了发热材料，其电阻值()随温度()变化的关系图象如图2所示，下列说法中不正确的有（   ）个． ①由图2，可知该发热材料的“居里点温度”是 ②当时，该发热材料的电阻值为 ③当时， ④发热部分的电阻值随温度的升高而增大 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）函数中，自变量x的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）若函数，则当自变量时，函数值 ． 8．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知梯形上底的长是，下底的长是，高是，面积是．则y与x的关系式是 ． 9．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系，根据图象，下列结论：①乙先出发1小时后，甲才出发；②乙出发1.5小时后两人相遇，这时他们离A地；③甲到达B地后乙到达B地；④甲的速度为，乙的速度为．其中正确的有 ．（填序号） 10．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某车间的甲、乙两名工人同时生产同种零件，他们生产的零件个数（个）与生产时间（小时）之间的函数关系如图．    (1)根据图象填空 ①甲、乙中，______先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，______因机器故障停止生产______小时； ②当______时，甲、乙生产的零件个数相同． (2)谁在哪一时间段内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 14．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示． (1)请问 ， ， ； (2)图2中(？)处该填 ； (3)当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)． 15．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． (1)求出、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $