吉林省吉林市第五中学2026-2027学年度八年级上学期期中教学质量检测数学试卷

吉林市第五中学2026-2027学年度八上期中教学质量检测 数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 5. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为_______． 8. 若，，则_______． 9. 如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，______触礁的危险．（“有”或“无”） 10. 如果与相乘的结果是，那么______． 11. 如图， 在中，，，是的两条高线， P是上一个动点，连接，． 若，， 则的最小值是_____． 三、解答题（12-14题每小题6分，15-17题每小题7分，18-19题每小题8分，20-21题每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 如图，已知，，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图是的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上． （1）在图①中画出一个，使点C在格点上； （2）在图②中画出一个等腰，使点D在格点上； （3）在图③中画出—个等腰直角，使点E在格点上． 16. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 17. 已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求： （1）的值； （2）的值． 18. 如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． （1）用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； （2）若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 19. 如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）求的度数． 20. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 21. 已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 22. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 吉林市第五中学2026-2027学年度八上期中教学质量检测 数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题3分，共15分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】3 【9题答案】 【答案】有 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 三、解答题（12-14题每小题6分，15-17题每小题7分，18-19题每小题8分，20-21题每小题10分，22题12分，共87分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【14题答案】 【答案】化简为，值为 【15题答案】 【答案】（1） 如图①，即为所求（答案不唯一）． （2） 如图②，等腰即为所求（答案不唯一）． （3） 如图③，等腰直角即为所求． 【16题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）12 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）4680元 【19题答案】 【答案】（1） 证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2） 【20题答案】 【答案】（1）是 （2），，， （3）31和39 【21题答案】 【答案】（1） （2） ，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3） 证明：如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3）2或4 （4）或5 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第五中学2026—2027学年度八上期中教学质量检测 数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． DeepSeek B．ChatGPT C．文心一言 D．纳米AI 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒，若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A． B． C． D． 4．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 5．如图，在和中，，添加一个条件，不能证明 和全等的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 8．若，，则 ． 9．如图，一艘轮船以海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上．若在小岛周围海里内有暗礁，若轮船继续向前航行， 触礁的危险．（填“有”或“无”） 10．如果与相乘的结果是，那么 ． 11．如图，在中，，、是的两条高线，是上一个动点，连接，．若，，则的最小值是 ． 三、解答题（12—14题每小题6分，15—17题每小题7分，18—19题每小题8分，20—21题每小题10分，22题12分，共87分） 12．计算：． 13．如图，已知，，．求证：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．如图是的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点和点均在格点上． （1）在图①中画出一个直角三角形，使点在格点上； （2）在图②中画出一个等腰三角形，使点在格点上； （3）在图③中画出一个等腰直角三角形，使点在格点上． 16．如图，交的延长线于点，于点，，． （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 17．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求： （1）的值； （2）的值． 18．如图，某社区有一块长为（）米，宽为（）米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． （1）用含，的式子表示“工”字型区域的面积并化简； （2）若，，预计种植草坪每平方米的费用为元，求修建绿化带所需要的费用． 19．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 20．阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新的两位数．若原来的两个两位数的乘积与交换位置后的两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”． 例如：，所以43和68与34和86都是“友好数对”． （1）和 “友好数对”；（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究过程如下，请将证明过程补充完整： 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，两个新数依次表示为 和 ， 因为它们是“友好数对”，所以 ， 即，，，之间的等量关系为： ； （3）若一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个两位数是“友好数对”，请直接写出这两个两位数为 ． 21．在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证：． 22．如图，在直角三角形中，，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒（ ）． （1）在点从运动到的过程中，线段的长为 ；（用含的代数式表示） （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求的值； （4）分别过点、作于点，于点，当时，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $