1.6 线段垂直平分线的性质 同步课时练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章　三角形

1.6　线段垂直平分线的性质　同步课时练

【教材版本】浙教版八年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 理解线段垂直平分线的概念，知道它同时满足「与线段垂直」和「平分线段」两个条件；

2. 掌握线段垂直平分线的性质定理，会用性质定理证明线段相等、求线段的长度与三角形的周长；

3. 会用直尺和圆规作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线，并能说明作法的道理。

【知识梳理】

一、线段垂直平分线的概念

◆  拉弓射箭时，两段弓弦 AB，AC 的长度相等，箭所在的直线 AD 经过 BC 的中点，并且与 BC 垂直。像 AD 这样的直线，就是线段 BC 的垂直平分线。

◆  垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

◆  如图1，直线 l 与 AB 相交于点 O，∠AOB＝90°，且 OA＝OB，这时直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线。

图1　直线 l 垂直平分线段 AB 于点 O

◆  定义中的两个条件要同时满足：直线与线段垂直、直线经过线段的中点。只说「过中点」或只说「与线段垂直」，都不能断定它是线段的垂直平分线。

二、线段垂直平分线的性质定理

◆  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

◆  已知：如图2，直线 l⊥AB 于点 O，且 OA＝OB，C 是直线 l 上的任意一点。求证：CA＝CB。

图2　C 是 AB 的垂直平分线 l 上的任意一点

◆  证明：当点 C 与点 O 重合时，显然 CA＝CB。当点 C 与点 O 不重合时，因为 l⊥AB（已知），所以 ∠COA＝∠COB＝90°（垂直的定义）。在 △CAO 与 △CBO 中，因为 OA＝OB（已知），∠COA＝∠COB（已证），OC＝OC（公共边），所以 △CAO≌△CBO（SAS），所以 CA＝CB（全等三角形的对应边相等）。

◆  由这个定理，求三角形的周长时常常把两条折线段换成一条线段：如某条边的垂直平分线与另一条边相交，就把这个交点与端点连起来，用等长的线段替换，使周长变成两条线段的和。

三、用直尺和圆规作线段的垂直平分线

◆  作法：① 分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点 C，D；② 作直线 CD。直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。

◆  半径要大于 AB 长度的一半，两弧才能相交；若半径太小，两弧不相交，就找不到点 C，D。

◆  道理：连结 AC，BC，AD，BD。由作法得 AC＝BC，AD＝BD，又 CD＝CD，所以 △ACD≌△BCD（SSS），所以 ∠ACD＝∠BCD。设 CD 与 AB 交于点 O，则 △ACO≌△BCO（SAS），所以 AO＝BO，∠AOC＝∠BOC＝90°，即 CD 垂直平分 AB。

四、过一点作已知直线的垂线

◆  已知直线 l 和直线外一点 A。以点 A 为圆心、适当长为半径作弧，与 l 交于 M，N 两点；再分别以 M，N 为圆心、大于 MN 长度一半的长为半径作弧，两弧交于点 P（点 P 与点 A 在 l 的两侧）；作直线 AP，则 AP⊥l。

◆  道理：AM＝AN，PM＝PN，所以点 A，P 都在线段 MN 的垂直平分线上，直线 AP 就是线段 MN 的垂直平分线，于是 AP⊥l，并且经过 MN 的中点。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）下列说法中，正确的是（　　）

A. 线段的垂直平分线是一条线段

B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

C. 经过线段中点的直线就是这条线段的垂直平分线

D. 线段的垂直平分线与这条线段相交，但不一定垂直

2.（5分）如图3，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上。若 PA＝5 cm，则 PB 的长为（　　）

A. 2.5 cm　　B. 5 cm　　C. 10 cm　　D. 不能确定

图3　直线 l 是 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上

3.（5分）下列条件中，能判定直线 l 是线段 AB 的垂直平分线的是（　　）

A. l 经过线段 AB 的中点　　B. l 与线段 AB 垂直

C. l 经过线段 AB 的中点，且与 AB 垂直　　D. l 上有一个点到点 A，B 的距离相等

4.（5分）如图4，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。若 AC＝4，BC＝7，则 △ACD 的周长是（　　）

A. 11　　B. 15　　C. 18　　D. 22