微专题04 解析几何 定点、定值与切线讲义-2027届高三数学二轮复习

定点、定值与切线

解析几何 · 微专题 04

2027 届高三数学二轮复习

一、本讲导航

解析几何中的定点、定值与切线问题，其共同实质是将几何条件转化为含参数的代数关系，并通过化简消去参数。题目中出现“过定点”“斜率为定值”“与圆相切”“点在定直线上”等表述时，宜先完成条件翻译，再选择设元方式，而不宜立即联立。具体可从以下三个方面入手。

· 明确变化量与不变量。 判断动直线、动点或动弦中何者在变，椭圆、圆或定点中何者不变。

· 明确结论类型。 求定值需消参，求定点需解方程组，求定直线需证明某坐标不变。

· 选择设元方式。 设点、设直线、设斜率或设离心角，应依据题设条件选择使参数最少者。

下文以一道定线问题为例，说明上述分析过程，并将其迁移至切线定值、角平分证明与定点存在性问题。

二、真题入场

已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且 轴．

（1）求 的方程；

（2）过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ．证明： 轴．

三、命题拆解

本题条件可分为三个层次：椭圆的形状、过定点的直线、以及与中点有关的交点。三个层次各自确定一个关键量，宜分别处理。

 

定焦点 → 定椭圆 → 设直线 → 证纵坐标相等

解题时需注意以下四点：

· 第一，由 轴确定 。 不宜先设 再反推焦点位置。

· 第二，过 的直线可能竖直。 设 可避免斜率讨论。

· 第三， 是 与 的交点。 需求出 的表达式，不能仅凭图形判断。

· 第四， 轴等价于 。 不要误证 轴。

四、一题多解

解法一 · 设线联立（通法）

第 1 步 由 轴且 得 ，．又 ，，解得 ，，故 ．

第 2 步 ．设 ，，，代入得 ，故 ，．

第 3 步 直线 与 交于 ，由 共线得 ．

第 4 步 要证 轴，只需 ，即 ．代入韦达定理，左边 ，故结论成立．

第 5 步 当 为 时，， 仍垂直于 轴．综上， 轴．

适用信号 题干给出定点与中点，且目标为“证明某点在定直线上”时，设 可避免斜率不存在的讨论；运算代价是一次联立；适用边界是交点坐标可用韦达整体表示．

解法二 · 设斜率联立（斜率法）

第 1 步 同解法一得 ，．

第 2 步 因 与椭圆无交点，故过 的直线必有斜率．设 ，代入得 ，故 ，．

第 3 步 由 共线得 ．

第 4 步 要证 ，只需 ，即 ．

第 5 步 代入韦达定理：，成立．故 轴．

适用信号 斜率存在且便于用 、 整体处理时，可设斜截式；运算代价是一次联立；适用边界是需先说明竖直线与椭圆无交点．

 

五、三级变式链

变式 1（换情境）· 切线与定值

已知椭圆 的离心率为 ，椭圆被直线 截得的线段长为 ．

（1）求 的标准方程；

（2）斜率为 的直线与圆 相切，且该直线交椭圆于 ，（）， 是椭圆的上顶点．记直线 ， 的斜率分别为 ，，求 ．

变式意图 本题将定线问题换为切线定值问题：先由弦长确定椭圆，再由相切确定切线，最后求斜率之比。