1.3 集合的基本运算 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1 1.3 集合的基本运算 2 01 知识绘 02 重难斩 3 知识点1 并集 重点 1.并集的概念 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“ 并 ”）. 理解1 示例1 对并集的理解 （1）仍是一个集合，由所有属于集合或属于集合 的元素组成. （2）求集合与 的并集时，公共元素只能出现一次（元素的互异性）. 示例1 设集合，,则 ________________. . . 4 【解析】在同一数轴上分别作出集合， . 由图可知 . 求甚解【1】符号表示：,或 . 【2】图形表示：并集中的“或”表示只要满足其中一个条件即可,其中“,或 ”包含了三种情况：“ ，”“，”“， ”,如图所示. 6 2.并集的运算性质 性质 说明 满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 ， 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 7 知识点2 交集 重点 1.交集的概念 一般地，由所有属于集合<m></m>且属于集合<m></m>的元素组成的集合，称为集合<m></m>与<m></m>的交集，记作<m></m>（读作“<m></m>交 <m></m>”）.<m></m> 理解2 <m></m> 示例2 对交集的理解 （1）<m></m>仍是一个集合，<m></m>中的任意元素都是<m></m>与<m></m>的公共元素，同时<m></m>与<m></m>的公共元素都属于<m></m>. （2）两个集合<m></m>与<m></m>没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是<m></m> .例如：<m></m>， <m></m>，则<m></m> .原因是<m></m>为数集，<m></m>为点集，两者不可能有公共元素，故<m></m> . . . 8 示例2 已知集合，2，3，4，，， ，则图中阴影部分表示的集合为____. 【解析】根据题意，图中阴影部分表示集合，的所有公共元素组成的集合，即 . 集合，2，3，4，，，， . 9 求甚解 【1】符号表示:,且 . 【2】图形表示：交集中的“且”即“同时”的意思，交集中的元素必须同时是两个集合中的元素，“ ， ”如图所示. 10 2.交集的运算性质 性质 说明 满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 交集关系与子集关系的转化 ， 两个集合的交集是其中任一集合的子集 11 知识点3 全集与补集 重点 1.全集与补集的概念 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作<m></m>. 对于一个集合<m></m>，由全集<m></m>中不属于集合<m></m>的所有元素组成的集合称为集合<m></m>相对于全集<m></m>的补集，简称为集 合<m></m>的补集，记作<m></m>（读作“<m></m>在全集<m></m>中的补集”）.<m></m> 理解 <m></m> 示例 对补集的理解 （1）“<m></m>”的三层意义：<m></m>,且<m></m>;<m></m>是<m></m>的一个子集，即<m></m>；<m></m>表示一个集合. （2）全集是一个相对概念，它随着研究对象的不同而改变.例如<m></m>表示<m></m>为全集时<m></m>的补集，如果全集为实数 集<m></m>，那么符号中的<m></m>也必须改为<m></m>（即<m></m>）,如果全集为有理数集<m></m>,那么符号中的<m></m>也必须改为<m></m>（即<m></m>）. 12 示例 已知集合，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由于集合，，在同一数轴上分别作出集合， ,由图可知， . 13 求甚解 【1】符号表示:，且 . 【2】图形表示：补集是相对于全集而言的，与全集不可分割，若没有定义全集，那么不存在补集，补集中 的元素一定在全集中，如图所示. 14 2.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 ， 全集的补集为空集，空集的补集为全集 <m></m> 拓展 等价转化关系： <m></m>. 15 划重点 用图示法解决集合的混合运算问题 在进行集合的交、并、补综合运算时，为了保证运算的准确性、有效性、简洁性，通常借助于<m></m>图和数 轴，数形结合分析得出结果. （1）用<m></m>图来表示集合的混合运算: 一般来说，用列举法表示的集合或研究比较抽象的集合之间的关系时，用<m></m>图比较方便，但是用<m></m>图 解决集合的运算问题时，要注意集合的交集、并集、补集的<m></m>图表示.如图所示： ①表示；②表示;③表示;④表示 （2）当集合为连续型实数集时，特别是和不等式相关的集合之间的运算，通常用数轴分析得出结果，这样 可以将抽象问题具体化，但在解答的过程中要特别注意端点是否可以取等号. 16 知识点4 德·摩根 定律 拓展点 集合运算中的两个重要等式，即德·摩根定律（图解）.<m></m> 示例 示例 已知全集，，，则集合 ( ) C A.或 B. C. D. 【解析】方法一：或，则 . 方法二：,，, . 17 （1）（简记为“交的补” “补的并”）. 18 （2）（简记为“并的补” “补的交”）. 19 知识点5 集合中元素个数的计算（容斥原理） 拓展点 我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，， ， 则 . 一般地，对任意两个有限集合，，有. 图示1 用图形理解如下： 20 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： . 图示2 用图形理解如下： 21 能力进阶 要点1 集合交、并、补的运算 基本点 解决集合交、并、补运算的技巧 （1）所给集合是有限集:先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解 答过程中常常借助<m></m>图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错. （2）所给集合是无限集：常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补运算. 解答过程中要注意边界问题. 22 例1 已知全集，集合，，求,, ， ， . 【解】如图所示. ，，， , . 或 ， 或 ， 或 ， ， 或（提示:也可以转化为 进行求解）. 23 除先分别将每部分求出后再运算外，还可先用德·摩根定律转化后再运算. 24 要点2 利用 图求集合 基本点 例2 （多选）［山东青岛第二中学2025高一段考］设全集,，集合， ，若 ，， ，则( ) ACD A. B. C.集合的真子集个数为31 D. 【解析】由题意知，作出 图，如图所示. 由图可知, ，故A正确，B错误； 集合的真子集个数为 ，故C正确； ，故 ，故D正确. 25 在研究比较抽象的集合之间的关系时，通常作出 图，将抽象问题直观化，用重叠区域表 示集合间的交集运算，通过合并区域表示集合间的并集运算. 26 高分突破 要点3 集合运算的综合应用 重点 集合运算中求参数的值或取值范围常涉及集合交、并运算与集合间关系的转化，如若，则 ，若 ，则等，然后利用集合间的关系求解，但要注意考虑集合是否会为 ，谨防遗漏导致解题错误. 例3 ［四川眉山2025高一期末］已知集合,3,,,，且,，则实数 的值为___. 2 【解析】由,，得，解得或.当时， ，不满足集合中元素的互 异性，故舍去；当时，符合题意.所以 . 27 例4 ［广西玉林北流四校2024高一期中联考］已知集合, . （1）当时，求 ． 【解】当时， ， , . 28 （2）若____，求实数的取值范围（在， 这两个条件中任选一个填入题干横线中并解答）． 【答案】若选，则 ． 当 时，, ； 当 时，可得 不等式组无解． 综上，实数的取值范围是 . 若选，则, ． 解得 , 实数的取值范围是 . 29 结构不良题是一种题目条件不完备，需考生自行选择并补充条件的特殊开放题，答题时先从固 定的已知条件入手，可通过化简、变形等手段分析推论，然后观察题目给出的备选条件，从中选择一个熟悉的、 有把握的条件，最后结合已知条件或推论完成作答即可，考查对知识和方法的掌握程度及创新能力. 30 要点4 补集思想的应用（正难则反） 重点 例5 已知集合或,.若 ，求实数 的取值范围. 【解】当 时，将集合， 在数轴上表示，如图. 由图得解得 或 . 当 时，实数的取值范围为或 . 当 时，实数 的取值范围是其补集， 所求实数的取值范围为或 . 31 的反面是 ，求 较困难时，可考虑先求其反面，“正难则反”是 一种重要的解题策略.解题时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这 就是“补集思想”. 若 ，则集合，可能的情况有，均为空集；与中只有一个空集；， 均非空但无 公共元素.注意分类讨论. 32 要点5 容斥原理的应用 重点 例6 某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14.若这三天中至少有一天开车上班的教 师人数是20，则这三天都开车上班的教师人数至多是 ( ) C A.8 B.7 C.6 D.5 【解析】设周三、周二、周一开车上班的教师组成的集合分别为，，，集合，， 中元素个数分别为 ，， ， 则，，， . 因为，且，， ， 所以 ，即 .故选C. 33 要点6 与集合间的关系有关的新定义问题 难点 例7 （多选）［河南开封2024高一期中联考］当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构 成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方的子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合 ，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是( ) BCD A. B. C.0 D.1 【解析】当时，,此时 ,故C满足. 当时， . 若，则，此时 ，故A不满足. 若，则，此时 ，故B满足. 若，则,，此时 ，故D满足. 34 A组·学业基础 1.〈要点1〉已知全集，，则 ( ) B A. B.{或} C. D.{或 } 【解析】因为全集，，所以{或 }.故选B. 35 2.〈要点1〉［湖南娄底2025高一月考］已知集合{,且}，，则 ____________. 【解析】由题意可知，，则 . 36 3.〈要点2〉［山东青岛2025高一月考］已知全集{为小于20的质数}，且 ， ，，则 _________. 【解析】 全集{为小于20的质数} ， 且，， ， 由图可知 . 37 4.〈要点1〉已知全集，集合，，求， ， . 【解】方法一：因为， ， 所以 ， ， ． 38 方法二：画出图，如图所示，由图可得， ， ． 39 B组·应考能力 5.〈要点3〉（多选）设全集为，A,B为的子集，且 ，则下列结论中正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ，A正确； 因为，所以 ，B正确； 当时， ，C错误； 因为，所以，D正确.故选 . 40 6.〈要点3〉［山西太原2025高一期中］已知集合， ，若 ，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为集合，， ， 所以，故实数的取值范围为 . 故选D. 41 7.〈要点3〉（多选）已知，，若 ，则实数 的值可能为 ( ) ACD A.0 B. C.3 D. 【解析】当 时，，解得 ； 当 ，即或时，设方程的两个根分别为, ， 则，，解得，所以 . 综上，.故选 . 42 8.〈要点2,6〉［河南周口2024高一月考］在如图所示的图中，， 是非空集合，定义集合 为图中阴影部分表示的集合．若{,且}， ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题中图可知, . 因为{,且}，，所以 ， ，所以 .故选D. 43 9.〈要点5〉（多选）［浙江杭州第二中学2025高一期中］某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、 400米、1 500米三个比赛，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和 400米比赛都参加的有4人，100米和1 500米比赛都参加的有3人，400米和1 500米比赛都参加的有3人，则下列 说法正确的是( ) AB A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人 C.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1 500米比赛的有3人 44 【解析】根据题意，设{ 为参加100米比赛的同学}， { 为参加400米比赛的同学}， { 为参加1 500米比赛的同学}， 则,, , 且,, , 则 ， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有 （人）， 只参加400米比赛的有 （人）， 只参加1 500米比赛的有 （人）. 故选 . 45 10.〈要点6〉（多选）［湖北部分示范高中2024高一联考］我们把集合的所有子集组成的集合叫做集合 的幂 集，记为,用表示有限集 的元素个数.下列说法中正确的是( ) AC A.若，则 B.存在集合，使得 C.若 ，则 D.若，则 【解析】若，则的子集之一就是，所以 ，故A正确； 若,，则，不存在,使得 ,故B错误； 若 ，则,的公共子集只有 ，故 ，故C正确； 若，不妨设，,则，所以, ，显然 ，故D错误.故选 . 46 11.〈要点6〉［山东威海2025高一期末］已知集合，，若 ，则 的取值范围为_________________. {或} 【解析】因为，所以，由得或 . 若 ，则方程无解，所以 ； 若，则，解得 ； 若，则，解得 . 综上可得，或 . 47 12.〈要点3〉［四川成都外国语学校2025高一期中］已知集合， . 若，则实数 的取值范围为___________. 【解析】由，得 ， 当 时，，解得，满足 ； 当 时，，解得 . 所以实数的取值范围是 . 48 13.〈要点5〉［河北石家庄2024高一月考］某班有学生45人，其中体育爱好者33人，音乐爱好者24人，还有4人 既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为____. 16 【解析】因为45人中有4人既不爱好体育也不爱好音乐，所以体育爱好者或音乐爱好者有 （人）. 因为体育爱好者有33人，音乐爱好者有24人，所以该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 . 49 14.〈要点1,4〉已知全集为，集合，， . （1）求 ； 【解】 ， , ,{或 }. 50 （2）若 ，求实数 的取值范围. 【解】方法一（反面解答）：当 时，将集合， 在数轴上表示，如图①. 图① 当时， ， 当时， . 实数的取值范围是 . 51 方法二（正面解答）：当 时，将集合， 在数轴上表示，如图②. 图② 当时， . 实数的取值范围是 . 52 15.〈要点6〉［安徽合肥2025高一月考］已知集合为非空数集，对于集合，定义对 中任意两个不同元素相 加后取其绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，我们定义这一过程为自相加，重新组成的集合叫做集 合的1次自相加集合，再次进行次自相加操作，组成的集合叫做集合的次自相加集合.若集合 的任意 次自相加集合都不相等，则称集合为完美自相加集合，同理，我们可以定义出的1次自相减集合，集合 的1 次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为, . （1）已知有两个集合，集合，集合,，判断集合和集合 是否是完美自相 加集合，并说明理由； 53 【解】和 是完美自相加集合.理由如下： 易知所有元素均为非负数的集合自相加后， 新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的两个最小元素之和，显然集合 的两个最小 元素为1,2，所以的最小元素为 , 对集合 进行任意次自相加操作后，最小值在变大， 故不可能有相等集合，所以 是完美自相加集合. 集合 表示所有奇数构成的集合，任意两个奇数相加都是偶数，所以 ，对再进行1次自相加操作，由上述结论易知，集合 的2次自相 加集合中元素的最小值是 的两个最小元素之和，故后面集合进行任意次自相加，最小值都在变大， 故 是完美自相加集合. 54 （2）对（1）中的集合 进行11次自相加操作后，求所得集合的元素个数； 【解】由自相加性质可知，对于集合 ，进行1次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间元素必然是连续的整数, 所以对集合 进行1次自相加之后， 得到的集合的最小的两个元素为3,4，最大的两个元素为6,7； 进行2次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为7,8，最大的两个元素为12,13； 进行3次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为15,16，最大的两个元素为24,25； 进行4次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为31,32，最大的两个元素为48,49； 进行5次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为63,64，最大的两个元素为96,97； 55 进行6次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为127,128，最大的两个元素为192,193； 进行7次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为255,256，最大的两个元素为384,385； 进行8次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为511,512，最大的两个元素为768,769； 进行9次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为1023,1024，最大的两个元素为1536,1537； 进行10次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为2047,2048，最大的两个元素为3072,3073； 进行11次自相加操作，得到的集合的最小的两个元素为4095,4096，最大的两个元素为6144,6145. 因为所得集合中的元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后，所得集合的元素个数为 . 56 （3）若且，集合， ，求 的最小值. 【解】因为且，集合 , 所以,},要使 , 则,解得，又因为 , 所以 的最小值为675. 57 C组·素养培优 16.［北京大学自主招生］一群学生参加数学、物理、化学学科夏令营，每名学生至少参加一门学科考试．已知 有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总人数是只参加一门 学科考试的学生数的2倍，也是参加三门学科考试的学生数的3倍，则学生总人数为( ) A A.108 B.120 C.125 D.前三个选项均错误 58 【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，， ,参加了两门学科考试的学生 中参加物理和化学、化学和数学、数学和物理考试的学生数分别为，， ，同时参加了三门学 科考试的学生数为 ，如图．根据题意， 有 ①②③式相加，可得 , 由④式可得， . 因此，解得．因此学生总人数为 ．故选A. 59 $