河南洛阳市新安县第一高级中学2026-2027学年上学期高三10月能力提升练习数学试卷

高三10月提升练习数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数z=(1+2)i,则z的虚部为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知随机变量X~N(1,o2),若P(X≥2)=0.2，则P(X≥0)=() A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.8 3.在平面直角坐标系中，已知点A(-1,O),B(I,0),C(0,3),则点G(0,1)是△ABC的() A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 4.设直线1：y=V3(x-4)与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点，则|AB|的值为() A.1 B.3 C.2 D.2V3 5.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,a=17,S,=S,则当Sn取到最大值时，n=() A.7 B.8 C.9 D.10 6.己知四边形ABCD是圆台OO2的轴截面，其中AB=2CD=4,AD=BC=3,则从B点沿圆台侧 面到达D点的最短路径的长为() A.7 B.35 c.37 D.5W5 7.设曲线y=sinx与曲线y=c0sx在点P πV2 42 处的切线分别为l,1,,在直线与1，相交所形成的 四个角中，记其中较小的角为0，则c0s0=( B.V2 2 D. 2W2 A. C. 3 3 3 8.已知集合A={L,2,3,4},若f(x)是A→A的函数，且满足fLf(x)]=1,则函数f(x)的个数是() A.4 B.10 C.13 D.23 第1页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.为调研某校高一年级800名学生的物理期末考试成绩，随机抽取100名学生作为样本，绘制出频率分布 直方图，如图所示，则() ↑频率 组距 A.a=0.020 0.030外---------- 0.025 B.样本成绩的众数估计值为75 2 C.样本成绩的中位数估计值为70 0.010 0.005f-- D.该校高一物理期末成绩不低于80分的学生约有280人 OL 0405060708090100成绩/分 10.已知函数f(x)=2x-tanx,x∈ 则( 3’3 A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x) 在 -33 单调递减 C.f(x)的最大值为兀-1 D.f(x)在 上有唯一零点 2 3’3 11.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=BC=V2,PA=PC=1,PB=V3,M,N分别为棱PB,AC 上的动点，则（) A.PA⊥BC B.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为3π CMW的最小值为V6 D.当MN=V5时，线段MN中点的轨迹长度为5， 6 2 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若(2x-1)=a+ax+a2x2+…+ax,则a1+a2+…+a6的值为 1B已知风自线C:子君=10>0，b>0)的太、右点公到丙斤，5，水P在网直C士，且 ∠FPR-子.P阿=2P则双曲线C约离心率为 /共6页 14若实数，名满足e+x-3=0,n为+3x-1=0,则五+ 一的值为 X2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且asin C=V3 ccos A. (1)求角A的大小； (2)设D为BC的中点，当△ABC的面积为√3时，求AD的最小值. 16.有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰 子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为X,第二次掷出的点数为Y. (1)求P(X-Y=)的值： (2)设随机变量Z=X+Y,求Z的分布列与数学期望. 17.已知椭圆C:2+ 2三1(a>b>0)的离心率为2，其右顶点为T2,0)·直线I过抛物线C y2=4x的焦点，且与C2交于M,N两点，直线OM,ON分别与椭圆C在y轴的右侧部分交于P,Q 两点(O为坐标原点). (1)求椭圆C的标准方程： (2)记直线OM,ON的斜率分别为k,k2,求证：k1·k2为定值： (3)记△OTP,△OT9的面积分别为S1,S2,求S·S2的最大值. 图.已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=,P是平面ABCD外一点，且PD=D: (2>0). (1)当九=1时，求证：A,B,E,P四点共面： (2)若平面PBD⊥平面ABCD,平面PECD⊥平面ABCD, (i)求证：直线PD⊥平面ABCD; (ii)求入的值，使直线BD与平面PBE所成角最大. 第2页 19.己知函数f(x)=x-lnx-1. (1)求函数f(x)的单调区间及最小值： 2)若数列{a,}满足a=2,an=1+2f(a,)neN, (i)证明：an>l,neN; (i)记b=a。-l,数列{b.}的前n项和为Sn,证明：Sn≤2- 2 共6页 10月提升练答案 1.A 2.D 3D 4C 5C 6B 7A 8B 9ABD 10ACD 11BCD 8.【详解】情况一：值域中只有一个元素1，即值域为{，对x∈A,f(x)=1,只有1个函数符合题意： 情况二：值域中有两个元素，即值域为1，a},a=2,3,4, f()=l,f(a)=1,其余两个不属于{L,a的元素，其函数值只能在{礼，a}中选，且至少有一个是a,有 2-1=3种情况，所以符合题意的函数有3×3=9个： 情况三：值域中有三个或三个以上元素，假设值域{L,a,b},满足f(a)=1,f(b)=l,f(I)=1,剩余一个 元素不可能同时取到a和b两个函数值，矛盾； 综上所述，满足题意的f(x)一共有1+9=10个. 10定现A淘的资约=2x-m,答引 f(-x)=2(-x)-tan(-x)=-2x+tanx=-(2x-tanx)=-f(x), 所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，选项A正确： 迷项B对/因求号：f国=2王令f)=0,解得as=±2 x=t -4 B 当xe(子引时：easx<3f)<0,f单消花减 M 当e(景》时，osx>分f倒>0.f网单消途始： 当任哥引.os分闭0.四车河 第3页 上递减。 因此函数在r=平处取符极大值。 =2x-tanT=-1≈0.57， 4 42 因为f引=2x(）m（到-5+5*-036， -2×号m胥行-5036，所以f的发大m为号-1，莲项c瑞： 选项D、因为f(x)是奇函数，显然f(0)=0, 当x∈0,4 时，f(x)单调递增，f(x)>f(O)=0, 当x∈ 由奇函数对称性， 上有唯一零点，选项D正确， 11.因为AB=BC=V2,PB=V3,PA=PC=1,所以PA⊥AB,PC⊥BC, 因为PA=PC=1,AC=V2,所以PA⊥PC, 又因为AB=AC=BC=√2，PA=PC=1,PB=V3,所以三棱锥P-ABC可以补形成正方体. 选项A,假设PA⊥BC,由上可知PA⊥AB,BC∩AB=B,所以PA⊥平面ABC, 即PA⊥AC,而在△APC中己经证明PA⊥PC,假设矛盾，故A错误： 选项B三棱锥P-ABC的外接球，就是正方体的外接球，正方体的外接球直径为PB=V3,S#=3π，故B 正确； 共6页 选项C棱PB,AC为异面直线，所以MN最小时就是公垂线段长， 正方体中易知BO⊥AC,OP⊥AC,且BO∩OP=O,所以AC⊥平面POB, 设AC∩OP=H,在平面POB内作GH⊥PB,GHC平面POB,所以AC⊥GH, 即GH为棱PB,AC的公垂线段， √2 己知△PGH~△POB,所以GH PH GH 2,则GH= 选项C正确： OBPB'1√3 6 B 选项D如图所示建立空间直角坐标系 P(0,0,0),A1,0,0),C(0,1,0),B1,1,1), M在体对角线PB上：M(L,t,t),t∈[O,1], N在底面对角线AC上：N(I-S,s,0)s∈[0,1， 段w帅为Kk当4se0L 令K(xz,则x=+1-8e1+y,1 2 y22=21se0,, 由2号得=22：由y生得s=2y-2z,把这两武代入x=+)5. 2 整理得x+y-2z=2点K恒在平面上， 1wP=0-s-0+s-0+f=20-2+(2y-42+(2z=习 1 展开并整理得：8y2+20z2-16yz-4y+。=0 2 设平面x+y-2z=)的法向量n=(cy2),在平面上任取点0,0，-寻S0,20,7,00) -0-a0 RS.n=0 则n=(1,1,-2) 在平面x+y-2z=。取两个互相垂直的单位方向向量：只= 。(1,-1,0）。(1,1,1) √2 e2= 3 在平百上一点取点K,40, --1) KK=aq+e-e子 -+B 2 3 1aBy=-万+5,2=B 425= =十 =十 y-2=}0+B-B-1a 4√2'V3V34√2 8y2+202-16g-4y+号80-+12z2-4+号 =+-骨+0+ =0 2这是圆的标准方程：圆心在@石）.半径，=后 1 2W3 6 1 a= -COS0 551 2W 对应空间中圆心( 212'(根据圆的参数方程可知 1 B= (1+sin0) 2N3 2=B=1 V52,推出1= 2B 1+sin0 3=3∈0，]c0,1, y-z= 1 cos0 H-s1a-1-2a=26 2-224=2 ∈[0,1] 线段MW中点K的轨迹是完整的圆，放轨迹长度为2心=V5元 π，故选项D正确 3 12.013.V714.3 14由xh5+3x-1=0得5>0，则n,+3-=0,即e+(←h5)-3=0. X2 设f(x)=e+x-3,∴.∫'(x)=e+1>0,则函数f(x)在(-o,+o)上单调递增 第4页供6页 由e+x-3=0,e+(-lnx2)-3=0,得f(x)=0,f(-nx)=0. ∴f(x)=f(-lnx),得x=-lnx2,即ln2=-x∴x2=e,得。=e X. :e+5-3=0,c5+x=35+=5+ 1=e+x=3. X2 15.【答案】(1)A=元 (2)V5 3 由正弦定理，得sin AsinC=V3 sinCcos4,因为C∈(0，π)，sinC≠0， 所以sinA=V3cosA,即tanA=V3,因为A∈(0，)，解得A=亚 3 【小问2详解】因为△ABC的面积为5，即。besin A=V3,即】besin元=V3,解得bc=4: 3 又因为D=B+4C，即2D=B+4C,两边平方得4D2=AB2+4C+2AB.AC,即 2 4AD2=c2+b2+2bccos A,4AD2=c2+b2+2bccos =b2+c2+bc≥3bc, 31 即AD2≥3bc=3,即AD2V5,b=c时等号成立，所以4D的最小值为5. 2 16.(1) (2)E(Z)=4 9 Z 2 3 4 5 6 P 1 9 2-9 3 2 9 9 【小问1详解】因为X与Y相互独立，且每次掷出的点数出现的概率都相等， 1.1.112 所以P(X-Y=1)=P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=2)=二×5+。×5=2 33339 因此，PX-Y=)的值为2 【小问2详解】随机变量Z取值的所有可能结果为：2,3,4,5,6， PZ=2)=PX=l,Y=0=3x39 111 112 P(Z=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=2×-×-= 339 第5页 111 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=2)=3×5×5 333 112 P(Z=5)=P(X=2,Y=3)+P(X=3,Y=2)=2×-×二= 3391 111 P(Z=6=P(X=3,Y=3)=二×二=二 339 因此Z的分布列为： Z 2 3 4 5 6 P 19 29 3-9 2-9 1 80=2g+9号+4g+5号+6g94 9999 1n1号+y12k=丛=44定的. 4 (3) 七x21 M 【小间1详解】因为a=V2,又e=C-2 a 2 所以c=1,所以62=d-c2=1,故所求能圆C的标准方程为。+y=1。 【小问3详解】因为kr=koM=k,kog=kow=k2,显然k≠0，k2≠0. 2k2 联立 速2水，同，可得哈+2 x2+2y2=2, 由(2)知kk=4,故得6=32+： 32 因为S=,品方记w=8:则w=S= -坛后-含器品 16k2 三一X 2k4+65k+32 W=16≤16=16 即 2K+ 32 2+652、64+6581,即w≤4，当且仅当k=+2时取到等号 9 共6页 综上，S·S,的最大值为 18.【答案】(1)证明：因为入=1，所以DP=CE,所以四边形PDCE为平行四边形，所以DC∥PE, DC=PE.又因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥DC,AB=DC, 从而有AB∥PE,AB=PE,所以四边形ABEP为平行四边形，所以A,B,E,P四点共面. (2)(i)证明：设IC平面PBD,且I≠PD,I⊥BD.因为平面PBD⊥平面ABCD,BD为交线， 所以I⊥平面ABCD.设mC平面PECD,且m≠PD,m⊥CD.因为平面PECD⊥平面ABCD,CD 为交线，所以m⊥平面ABCD.因为l⊥平面ABCD,m⊥平面ABCD,所以I∥m. 又因为I丈平面PECD,mC平面PECD,所以lI∥平面PECD. 因为平面PBDO平面PECD=PD,所以II∥PD,所以PD⊥平面ABCD (ii)=2. (i)由(i)知，PD⊥平面ABCD.又已知四边形ABCD是菱形，且∠BAD= ,记G为边BC的中 点，故可以D为原点，DA,DG,DP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设PD=DA=1,则D(0,0,0),P(0,0,1), 9 Ds-7 所以DB g歌要m- B 设i=(x,y,z)是平面PBE的一个法向量， 1. 一X一 [2-1 2 2y+z=0 V= 则 ,特取x=1,得 1 -x+。z=0 z= sino-1D8nl 记直线BD与平面PBE所成的角为O,则 22-+2 第6页 √5 3 sin0= 即 √722-4元+4 6 所以当}=}，即元=2时，sin0≤2，即0≤开 2 综上，当元=2时，直线BD与平面PBE所成角最大，且最大角为C 19.【答案】(1)函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞)，最小值为0. (2)(i)用反证法证明：由4=2，假设存在最小的正整数k(k≥2)，使得a≤1，则ak>1,由(1) 得fa)>0.所以4=1+2a)>,与a1子盾，因跳假设不成立，即结论得证。 因为a,-am=a-（1+分fa小=a-1-a-ha,-). 即a,-an=2(a.+lha,-,因为a,>l,所以na,>0,得2(a,+na,->0.即a。-an>0, 即an+1<an,因此数列{an}单调递减，得an≤a=2,得an1<an≤2. 因为久=a,-1,即a,=b+l,am=htl,代入am=1+a,)小得+1=1+f么+)， 即 f6+)，甲[a+1-h6+小--[-h6+明，即 ha+).因为6=a-10,m以h6+小>0.6&=6+小<0， 1、 ba= p助8会分当n226得有=4-2-11.05 2 2-11 11 1 n∈N.故S,=6+6+6++b.≤1+2+2+ 22、 2,即Sn≤2- 2- 【小问1详解】因为f)的定义域为(0，+0)，且f)=1-1=x-, 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0,故x=1是f(x)的唯一极小值点，故f(x)min=f()=0, 综上，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+o),最小值为0. 供6页