1.2 集合间的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1 1.2 集合间的基本关系 2 01 知识绘 02 易错记 03 重难斩 3 知识点1 图 重点 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 图. （1）表示集合的 图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线； （2）用 图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共 同特征不明显. 4 知识点2 子集 重点 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合 的子集， 记作（或），读作“包含于”（ 或“包含”）. 理解 图示1 符号的“开口”方向可通过“小于等于”或“大于等于”符号来理解. <m></m>的<m></m>图表示 根据子集的含义，可得到如下性质： （1）任何一个集合是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作 ; （2）传递性：对于集合,,,如果，且，那么.如,, ，易 知,且,同时 . 划重点 （1）的符号表示：对任意，都有 . （2）当集合中存在不属于集合的元素时，我们就说集合不是集合 的子集. 5 知识点3 集合相等 基本点 一般地，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合 的元素，那 么集合与集合相等，记作 . 也就是说，若<m></m>，且<m></m>，则<m></m>.<m></m> 图示2 <m></m>的<m></m>图表示 划重点 集合与集合相等，就是集合与集合 中的元素完全一致.用集合间的基本关系可表示 为“若,且,则”；还可类比实数中的结论“若,且,则”. 方法 判断两个集合是否相等的方法 若,且,则;反之，若,则,且 .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证 ,只需证与 都成立即可. 6 知识点4 真子集 重点 1.真子集的含义 如果集合<m></m>，但存在元素<m></m>，且<m></m>，就称集合<m></m>是集合<m></m>的真子集，记作<m></m>（或<m></m>），读 作“<m></m>真包含于<m></m>”（或“<m></m>真包含<m></m>”）.<m></m> 图示 <m></m> 辨析 <m></m>的<m></m>图表示 7 子集与真子集的关系 集合<m></m>是集合<m></m>的真子集，需要满足以下两个条件： ①集合<m></m>是集合<m></m>的子集； ②存在元素<m></m>,且<m></m>. 所以若集合<m></m>是集合<m></m>的真子集，则集合<m></m>一定是集合<m></m>的子集；反之，不成立. 根据真子集的含义，可得到如下性质: （1）任何集合都不是它本身的真子集; （2）传递性：对于集合<m></m>，<m></m>,<m></m>，如果<m></m>，且<m></m>，那么<m></m>. 划重点 <m></m>的符号表示：对任意<m></m>，都有<m></m>，但存在元素<m></m>，且<m></m>. 8 2.区别元素与集合、集合与集合间的关系 元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系，用符号表示为“<m></m> ”或“<m></m> ”，例如<m></m>,<m></m>； 集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的关系，用符号表示为“<m></m> ”或“<m></m>”，例如<m></m>,<m></m>，2，<m></m>， 2，<m></m>. 9 求基解 包含关系<m></m>与属于关系<m></m>的区别 （1）<m></m>表示含有一个元素<m></m>的集合，<m></m>表示集合<m></m>包含<m></m>，这是两个集合之间的关系，如<m></m>,<m></m>,<m></m>; （2）<m></m>表示<m></m>是集合<m></m>中的一个元素，这是元素与集合间的关系，如<m></m>,<m></m>,<m></m>.<m></m> 示例 示例 用“ ”“ ”“ ”或“ ”填空. 2___ ； 1___ ； ,0,___ ； ,___ ； ___ . 10 知识点5 空集的含义 重点 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为<m></m>.<m></m> 应用 因为空集是任何非空集合的真子集，所以在遇到“<m></m>”或“<m></m>且<m></m> ”时，一定要注意分<m></m> 和<m></m> 两种情况讨论，这里<m></m> 的情况易被忽视，应引起足够的重视，因此应注意理解式子： <m></m> . . 11 （1）规定：空集是任何集合的子集；空集只有一个子集，即它本身. （2）性质：空集是任何非空集合的真子集，即非空 . 求基解 与0，， 的关系 与0 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 不含任何元素； 含一个元 素0 不含任何元素； 含一个元素， 该元素是 关系 或 12 易错点 忽视对空集的讨论而致错 重点 例1 若集合，,且，则实数 的值为__________. 0或或2 【解析】， ， 或或 . ①当 时， ； ②当 时， ，可得 ； ③当 时， ，可得 . 综上所述，的值为0或 或2. 13 在子集问题中，易忽视空集的特殊性而致错，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 在解题过程中，若未指明集合非空，则要考虑空集. 14 能力进阶 要点1 判断集合关系 基本点 判断集合关系的方法 （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或<m></m>图. 15 例1 判断下列两个集合之间的关系： （1），是8的约数 ； 【解】， ，如图. . （2）, ； 【答案】, ， 用数轴表示如下： . 16 （3）,,, }. 【答案】方法一：任取，则,., ， ， ，则.同理可得，.由，且，得 . 方法二：集合 ，，，,1,3,5,7,,集合 ,,,,,1,3,5,，根据规律可知集合 与 所含元素相同， . 17 在判定时，可先判定，然后在集合中找到一个元素不属于集合，即可判定 . 若和同时成立，则能准确表达集合， 之间的关系.注意数形结合思想和分类讨论思想的应用. 18 高分突破 要点2 有关子集与真子集的相关问题 重点 角度1 求子集（真子集） 求集合的子集（真子集）的两个关注点 （1）要注意两个特殊的子集：<m></m> 和集合本身； （2）可按集合中含有元素的个数由少到多，一一写出，保证不重不漏. 例2 ［浙江衢州五校联盟2025高一联考］若集合，则集合 可用列举法表示为( ) D A. B. ,0, C. ,, D. ,,, 【解析】因为，所以 ,,,，所以 ,,, . 故选D. . . 19 注意区分本题中的是集合还是元素，因为，所以是集合，集合中的元素是表示 的 所有集合. 20 角度2 判断子集（真子集）的个数 判断子集（真子集）个数的方法 （1）当一个集合中的元素个数较少时，我们可以一一列举出全部子集.注意别漏掉空集. （2）若一个集合中含有<m></m>个元素，则该集合的子集有<m></m>个，非空子集有<m></m>个，真子集有<m></m>个， 非空真子集有<m></m>个. （3）集合<m></m>中含有<m></m>个元素，集合<m></m>中含有<m></m>个元素.若<m></m>，则符合条件的集合<m></m>有 <m></m>个.若<m></m>或<m></m>，则符合条件的集合<m></m>有<m></m>个，若<m></m>，则符合条件的集合<m></m>有 <m></m>个. 例3 已知集合，集合满足，则集合 的个数为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】方法一（列举法）由子集的定义可知集合有 ,,,,,,, ,共8个．故选C. 方法二（计数法）集合有3个元素，所以子集个数为 . 21 角度3 求子集（真子集）中的元素之和 例4 ［四川成都九县区2025高一期中］集合 的所有子集中的元素之和为( ) B A.126 B.128 C.130 D.132 【解析】因为，所以集合的所有子集为 ,,,,,,,,, ， ,,,, ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，故所有子集中的元素之和为 . 22 若,, ,，则出现在，,，,， ，,, ,中，即 在所 求和中出现的次数等于集合,, ,的子集个数（即次）.同理，,, ,出现的次数也为 次， 故所求的和为 . 23 要点3 利用集合间的关系求参数问题 重难点 对于两个集合与，或中含有待定的参数（字母），若已知集合与 的关系，求参数的取值或取值范 围时，常采用分类讨论与数形结合的方法. （1）分类讨论.若，在未指明非空时，应分为 和 两种情况来讨论. （2）数形结合.对 这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上画出来， 分清端点处的实心点和空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解. 注意：若集合中元素是一一列举出来的，可转化为方程（组），进行解方程，每个解都需检验是否满足集 合中元素的互异性. 例5 ［安徽阜阳2025高一期末］设集合,,，，若，则 ____. 【解析】根据题意，，则或 . 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，得或 （舍）. 所以 . 24 例6 已知集合 . （1）若，，为常数，求实数 的取值范围. 【解】①若 ，满足，则，解得 . ②若 ，满足 ， 则 解得 . 由①②可得，符合题意的实数的取值范围为 . 25 （2）若，，为常数，求实数 的取值范围. 【答案】若 ，数轴表示如下： 依题意有 即 此时的取值范围是 . 26 （3）若,，为常数，求实数 的取值范围. 【答案】①若 ，则，解得 . ②若 ，则或 解两个不等式组，得（提示：虽然结果与满足时相同，但过程需注意的两端点值不能与 的两 端点值同时相等）. 由①②可得，符合题意的实数的取值范围为 . 27 （4）若，为常数，是否存在实数，使得?若存在，求出 的值；若不存 在，请说明理由. 【答案】假设存在满足题意的实数.若 ， 则必有且 ,此时无解， 即不存在使得的实数 . 28 A组·学业基础 1.〈要点1〉（多选）下列选项中正确的有( ) BC A. B. C. D. 【解析】空集没有任何元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；方程 无解，C正确；由元素0 构成的集合并不是空集，D错误.故选 . 29 2.〈要点1〉若 ，则( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以 .故选A. 30 3.〈要点1〉［天津部分学校2025高一月考］若,,，则集合, 间的关 系为( ) B A. B. C. D. 【解析】，所以 .故选B. 31 4.〈易错点〉（多选）［山东日照2025高一联考］设集合, ， 若满足，则实数 可以是( ) ABC A.0 B. C. D.3 【解析】，由题知 ， 当 时， ，满足要求； 当时， ； 当时， . 综上，或或 . 故选 . 32 B组·应考能力 5.〈要点2〉［河北石家庄2024高一月考］已知集合， , 则满足条件的集合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由题得,, ，易知 .因为，所以根据子集和真子集的定义，集合 必须含有元素1,2， 且不能等于集合，所以或或 .故选C. 33 6.〈要点2〉［四川绵阳2024高一质量测试］若集合 有且仅有两个子集，则实 数 的所有可能值的和为( ) A A.9 B.8 C.7 D.0 【解析】因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素.当 时， ，满足题意；当时，由题得,所以，所以 . 综上，实数的所有可能值的和为 .故选A. 34 7.〈要点3〉［重庆渝北区2025高一段考］设，，若，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】当 时，，解得 ，符合题意； 当 时，或 解得或，所以 ， 故实数的取值范围为 . 故选B. 35 8.〈要点3〉（多选）［四川成都2025高一期末］已知集合，，若，则 的值可 以为( ) BD A. B.0 C.1 D.2 【解析】因为，,2, ， 所以且且 ， 所以且且且 . 因为，所以或 ， 所以或或 （舍去）， 故选 . 36 9.〈要点2〉对于任意两个正整数,，定义某种运算“”，法则如下：当,都是正奇数时， ； 当,至多有一个为正奇数时，.则在此定义下，集合 的真子 集的个数是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，当，都是正奇数时，；当，至多有一个为正奇数时， . 若，都是正奇数，则由，可得，此时符合条件的数对为，， ， ， 共8个； 若，至多有一个为正奇数，则由，可得，符合条件的数对为，，， ， ，共5个. 所以集合 中的元素个数是13， 所以集合的真子集的个数是 故选C． 37 10.〈要点2〉已知集合，则集合_______;若集合满足，则集合 _______. 【解析】解方程，得或 ， 集合，.集合满足 ， 集合 . 38 11.〈要点2〉［江苏泰州2025高一月考］设集合，若，则集合 的所有非空子集 中元素之和为____. 64 【解析】由，得的所有非空子集为,,,,，, ， 若，则集合的所有非空子集中元素之和为 . 39 12.〈要点2〉［江西上饶第一中学2025高一月考］已知集合，对于它的任一非空子集 ，可以将 中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为 ， 对 的所有非空子集，这些和的总和为____.（用数字作答） 96 【解析】因为元素1，2，3，4，5，6在集合 的所有非空子集中分别出现的次数是一样的， 它们每一个出现的次数都相当于另外五个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为，则对 的所有非空 子集中的元素执行乘 再求和操作， 则这些和的总和是 . 40 13.〈要点2〉［北京西城区2025高一月考］已知集合，写出所有符合要求的集合 . 【解】因为集合 ， 所以集合可以为 ,,,,,,, . 14.〈要点3〉已知集合，，若，求实数 的取值范围. 【解】由已知可得集合 ，进而分两种情况讨论： ①当 时，此时符合 ， 则，解得 ； ②当 时，要使 ， 则解得 . 综上,实数的取值范围是 . 41 15.〈要点3〉已知为实数，， . （1）当时，求 的取值集合； 【解】因为的解为或，且 ， 所以，即，故 ， 此时，， 成立， 故的取值集合为 . （2）当时，求 的取值集合. 【解】①当时， ，则 成立； ②当时，，则或，解得或 . 综上，的取值集合为 . 42 16.〈要点2，3〉［吉林四平一中2024高一月考］已知集合 , . （1）若，存在集合使得为的真子集且为的真子集，求集合 ； 【解】当时，方程的根的判别式，所以 . 由，故 . 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为, , ,,, . 43 （2）若集合是集合的一个子集，求实数 的取值范围. 【解】当 时，满足是的一个子集，此时对于方程，有，所以 . 当 时，因为，所以当时，，即 ，此时 ，因为，所以此时不是的子集.当时，， ， 此时不是的子集.当时，，，此时不是 的子集. 综上，满足条件的实数的取值范围是 . 44 C组·素养培优 17.［全国高中数学联赛］已知集合，，，则是集合 的子集但 不是集合的子集，也不是集合 的子集的集合个数为_____. 196 【解析】集合的子集个数为，其中是集合或集合的子集个数为 ，所以满足条件的集合个数为 . 45 $