1.3 集合的基本运算(第2课时)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.3 集合的基本运算 第2课时：补集的运算 新知探索 在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围. 例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引入无理数后，数的研究范围扩充到实数.在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充.在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果. 方程的解集，在有理数范围内只有一个解2， 即 在实数范围内有三个解： 即. 新知探索 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作(通常也把给定的集合作为全集) 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即且，可用图表示. 例析 例5.设是小于9的正整数求， 解：根据题意可得，， 所以 例6.设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形求 解：根据三角形分类可得， 是锐角三角形或钝角三角形 是直角三角形 练习 方法技巧： 求解补集的方法 (1)如果所给的集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助图来求解.这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错. (2)如果所给的集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过程中注意端点值能否取到. 练习 练习 性质 ； ___， ___； ___； ___， ___ 课 前 预 习 8 探究点一 补集的简单运算 例1（1） 已知全集，集合，则 ( ) B A.5 B. C. D. [解析] 因为全集，集合，所以 .故选B. （2）已知集合，或，则 ( ) B A.或 B. C.或 D. [解析] 因为集合，或，所以 . 故选B. 课 中 探 究 9 变式（1） 集合, ,则图中阴影部分表示 的集合为( ) D A. B. C. D. [解析] 由，得,则. 由 ，得， 则题图中阴影部分表示的集合是 .故选D. 课 中 探 究 10 （2）已知集合，3，5，，，4，，，4， ， 则集合 ______________. ，3，5， [解析] 因为集合，3，5，，，4，，所以 ，2，3，4， 5，6，. 又，4，，所以，3，5， . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 求集合的补集的方法： （1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. （2）图法：借助 图可直观地求出补集. （3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端 点取值. 课 中 探 究 12 探究点二 并集、交集、补集的综合运算 例2（1） 已知全集 ，集合 , ， 或， 图如 图所示，则阴影部分所表示的集合中的元素共有( ) B A.8个 B.6个 C.5个 D.4个 [解析] 因为或，所以 . 题图中阴影部分表示的集合为， 因为 ,，所以 ，所以该集合中共有6个元素，故选B. 课 中 探 究 13 （2）[2024·长沙高一期中] 已知集合， ， ．求： ① ； 解：因为集合，， ，所 以或， ，因此 . ② ． 解：因为，，所以 ， 又因为集合，所以或 . 课 中 探 究 14 变式（1） （多选题）[2024·湖北宜都一中高一期中] 已知集合， ，则( ) AB A. B. C. D. [解析] 集合，， ， 所以 ， ，故A,B正确； ，， ，故C，D 错误.故选 . 课 中 探 究 15 （2）已知全集，， ，则如图所示 的 图中阴影部分表示的集合是_________. [解析] 由于全集，， ，故 ，,则，故 图中阴影部 分表示的集合为 . 课 中 探 究 16 练习 方法技巧： 解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集. (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出，再交交集；求时，先求出，再求补集. (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解. 探究点三 利用集合间的关系求参 例3 已知集合, . （1）若,求 ; 解：当时,集合,因为 ,所以 或 . 课 中 探 究 18 （2）在, , 这三个条件中任选一个 作为已知条件,求实数 的取值范围. 解：若选①,由,可得,所以解得 . 若选②,由 ,可得,则解得 . 若选③,由,可得,则解得 . 课 中 探 究 19 练习 方法技巧： 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集的定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解. 变式（1） [2024·重庆一中高一月考] 设全集,3, ，集合 ,,，则实数 ____. [解析] 由,3,，,,，得 ， 即，解得. 当时， ，不满足集合中元素的互异性； 当时，,3,，,，满足题意. 综上， . 课 中 探 究 21 （2）已知全集,集合, ,且 ,求实数 的取值范围. 解:若 ,则,即,此时,所以； 若 , 则,即,此时或 , 又,所以或,所以或 （舍去）. 综上，实数的取值范围为或 . 课 中 探 究 22 $