专题13 抛物线的几何性质（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

专题13 抛物线的几何性质 重点目标： 1. 熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等基础几何性质，能由四类标准方程快速读取对应几何量. 2. 理解抛物线离心率的专属特征，明确其与椭圆、双曲线离心率的本质区别. 3. 熟记焦半径、通径的定义与定值结论，掌握基础几何量的快速计算方法，适配必考题型. 4. 能利用抛物线几何性质求解线段长度、坐标、最值、参数值等基础综合问题. 5. 掌握抛物线简单几何图像规律，能根据参数判断开口大小、图像变化趋势. 难点目标： 1. 灵活运用焦半径公式、抛物线定义实现点点、点线距离转化，突破最值类题型解题难点. 2. 掌握抛物线焦点弦的各类二级结论，能熟练解决焦点弦求值、角度、斜率综合题型. 3. 攻克抛物线定点、定值、定直线压轴题型，掌握圆锥曲线通用解题逻辑与套路. 4. 熟练处理含参抛物线几何性质问题，结合参数变化分析图像、弦长、最值的变化规律. 5. 综合运用抛物线几何性质、直线方程、不等式、平面几何知识，解决中档压轴大题. 1、 重点知识 （一）抛物线通用基础几何性质 · 抛物线核心参数：，为焦点到准线的距离，决定抛物线开口大小，越大开口越开阔. 1. 对称性：所有抛物线均为轴对称图形，仅有一条对称轴，无中心、无渐近线（区别于椭圆、双曲线）. 2. 顶点：抛物线仅有一个顶点，是图像与对称轴的唯一交点，也是图像上到焦点、准线距离最近的点. 3. 离心率：圆锥曲线唯一固定离心率，是抛物线专属判定特征. 4. 取值范围：根据开口方向单侧无限延伸，仅有单向取值范围，区别于椭圆有界、双曲线双向无界. （二）四类标准方程对应几何性质汇总 1. 开口向右：对称轴x轴，顶点，范围. 2. 开口向左：对称轴x轴，顶点，范围. 3. 开口向上：对称轴y轴，顶点，范围. 4. 开口向下：对称轴y轴，顶点，范围. （三）焦半径与通径核心基础结论 1. 焦半径定义：抛物线上任意一点到焦点的距离，可通过定义转化为点到准线的距离，无需距离公式硬算. 2. 常用焦半径公式： 开口向右：点，焦半径； 开口向上：点，焦半径. 3. 通径定义与定值：过焦点且垂直对称轴的弦，通径长恒为，是抛物线最短焦点弦. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 圆锥曲线特征混淆：误给抛物线添加中心、渐近线，混淆三类曲线对称性、离心率特征. 2. 焦半径公式记错：混淆横竖开口抛物线的焦半径表达式，导致线段长度计算错误. 3. 范围判断失误：单向取值范围判断错误，混淆x轴、y轴开口对应的变量取值约束. 4. 最值误区：忽略抛物线顶点是到焦点、准线距离最近的点，错判最值位置. （二）焦点弦综合拔高难点 · 以为例，过焦点直线交抛物线于，核心秒杀结论： 1. 坐标定值：，，恒为定值. 2. 弦长公式：焦点弦长，结合韦达定理快速求弦长. 3. 倒数定值：，是高考经典定值模型. 4. 角度性质：焦点弦端点与顶点连线夹角、垂直关系等衍生几何性质. （三）抛物线最值难点 1. 距离最值模型：利用定义转化，求解“抛物线上动点到定点+焦点”最短距离、到定直线最短距离. 2. 弦长最值模型：焦点弦中通径最短，斜率先存在时焦点弦长大于. 3. 面积最值模型：抛物线内接三角形、焦点三角形面积最值，结合弦长与高求解. （四）定点定值定直线难点 1. 定点问题：动直线与抛物线相交，恒过定点；动抛物线恒过定点，是解析几何高频压轴. 2. 定值问题：直线斜率、线段乘积、比值、角度恒为定值，核心方法为联立韦达、整体代换. 3. 定直线问题：动点恒在定直线上、动点到定直线距离恒定，适配高考拔高题型. （五）含参抛物线综合难点 1. 参数的几何约束：根据弦长、面积、角度条件反求的取值范围. 2. 动抛物线性质分析：参数变化引发开口大小、焦点位置变化，结合单调性分析最值变化规律. 3. 含参直线与抛物线位置关系：联立方程结合判别式，分析相交、相切、相离条件. （六）深度拓展拔高知识 1. 抛物线光学性质：平行对称轴的光线射入抛物线，反射后过焦点；过焦点光线反射后平行对称轴，用于创新情境题. 2. 切点弦结论：抛物线外一点引两条切线，切点弦直线方程秒杀公式，简化大题运算. 3. 中点弦点差法：抛物线弦中点斜率公式，快速求解中点、定点、斜率综合问题. 4. 圆锥曲线对比拔高：汇总椭圆、双曲线、抛物线的对称性、离心率、最值、弦长结论，适配多选压轴. 5. 抛物线与函数融合：结合二次函数、导数知识求解抛物线切线、最值，衔接高二导数考点. （七）本节高频失分点汇总 1. 混淆三类圆锥曲线性质，给抛物线强加渐近线、中心等错误特征. 2. 横竖开口抛物线焦半径、弦长公式混用，计算全程出错. 3. 焦点弦定值结论记忆混乱，正负符号、数值记错. 4. 不会利用定义转化距离，最值题型只会联立硬算，解题效率极低. 5. 含参问题不结合图像几何特征，漏解参数范围、遗漏特殊情况. 6. 忽略抛物线单向取值范围，导致最值、坐标范围求解错误. 题型01 由抛物线方程研究其几何性质 【典例1】抛物线的焦准距是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据抛物线标准方程求出即可得解. 【详解】化为标准方程为， 所以，， 即焦点与准线的距离为， 故选：A 【变式1】抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，求抛物线的焦点坐标. 【详解】当时，开口向上，焦点在轴正半轴上，此时，所以抛物线焦点坐标为； 当时，开口向下，焦点在轴负半轴上，此时，所以抛物线焦点坐标为. 故选：D 【典例2】（多选）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．焦点到准线的距离为4 C．开口向上，焦点为 D．准线方程为 【答案】AB 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】对于A、C项，由已知可得，，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、C错误； 对于B项，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故B正确； 对于D项，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AB. 【变式2】（多选）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．对称轴为轴 C．焦点为 D．准线方程为 【答案】BD 【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案. 【详解】由抛物线方程可知，其为开口向上的抛物线，故A错误； 对称轴为轴，故B正确； 由得，则焦点坐标为，故C错误； 准线方程为，故D正确. 故选：BD 【典例3】（多选）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先将方程化为标准方程得，，再根据抛物线图形与椭圆或双曲线图形判断即可. 【详解】解：将对应方程化为标准方程得，， 所以抛物线的焦点在轴上，故排除D选项， 对于A选项，由图可知，，，矛盾，故A错误； 对于B选项，由图可知，，，满足，故B正确； 对于C选项，由图可知，，，，满足，故C正确； 故选：BC. 【变式3】曲线与曲线在同一坐标系中的示意图可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可判断出异号，知为双曲线；由抛物线方程可确定的焦点和开口方向，由此得到结果. 【详解】若，，则，不存在， 又，异号，则曲线为双曲线， 曲线，，则为焦点在轴，开口向左的抛物线，只有D选项符合． 故选：D. 题型02 由抛物线几何性质求标准方程 【典例1】顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可. 【详解】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为， 又，则，故抛物线的标准方程为. 故选：C 【变式1】若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 【典例2】已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程，可得焦点坐标，结合直线斜率即可知直线方程；联立直线方程与抛物线方程，结合线段的中点纵坐标及韦达定理即可求得的值，进而得抛物线的标准方程. 【详解】抛物线， 则焦点坐标为， 过焦点且斜率为1的直线方程为，即， 所以，化简可得， 直线交抛物线于、两点，线段的中点纵坐标为2， 则，而， 解得，所以， 故选：B. 【变式2】已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答. 【详解】将两圆、的方程相减得：， 显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2， 圆的圆心到直线距离小于其半径， 因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：C 题型03 直线与抛物线位置关系的有关问题 角度1：判断位置关系 【典例】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式】已知抛物线：，直线l过它的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与P的取值有关 【答案】B 【分析】如图所示，中点为，过作准线的垂线，垂足分别为，计算得到，得到答案. 【详解】如图所示：中点为，过作准线的垂线，垂足分别为. 则，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 故选：. 角度2：根据位置关系求直线方程 【典例】（多选）下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】讨论直线的斜率，结合方程联立，以及直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】当直线的斜率存在且时,设， 与抛物线方程联立得，令，解得， 则直线的方程为； 当时,直线的方程为，此时直线平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点； 当不存在时,直线与抛物线也只有一个公共点，此时直线的方程为. 故选：ABD 【变式】（多选）已知直线l过点，与抛物线相交所得弦长为8，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】本题已知直线与抛物线相交所得弦长，求直线方程，只需联立利用弦长公式进行求解. 【详解】①当直线l的斜率不存在时，直线与抛物线交于，弦长为4，不合题意． ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为，联立消去y，得，．弦长为，解得，得，所以直线l的方程为或． 角度3：根据相交的弦长有关问题 【典例1】抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由此可得抛物线方程，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法结合抛物线焦点弦公式求结论. 【详解】抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为， 由已知，所以， 故抛物线的方程为，焦点的坐标为， 因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 又， 故选：D. 【变式1】抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点是双曲线的一个焦点可求出参数,由题意写出直线的方程然后和抛物线方程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式即可求出答案. 【详解】由抛物线C:()可知焦点F(0,),由双曲线的上焦点坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,)是双曲线的一个焦点,可得,得,得抛物线方程为，由题意得直线的方程为,设A,B 联立消化简得,则有:,, 所以由弦长公式. 故选:D. 题型04 抛物线的中点弦及点差法 【典例1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【变式1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案. 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为. 故选：C. 【典例2】已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且的中点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出即可. （2）用横截式设出直线的方程以及的坐标，联立直线与抛物线方程，得到及韦达定理，再利用线段的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段的长度，用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可求出的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义知，解得，则抛物线的方程为 故：答案为. （2）由线段的中点为知直线的斜率存在且不为0， 设直线，，联立直线与抛物线方程， 有，即，所以有， 且，则 所以，即 所以直线，， 点到直线的距离. 所以. 故：答案为. 【变式2】已知抛物线 的焦点为. (1)求的值； (2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）解，即可得出答案； （2）点差法求出直线的斜率，得到直线的方程，根据抛物线的定义求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出面积. 【详解】（1）由已知可得，，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为. 设，，则有，，显然， 两式作差可得，，即. 因为的中点为，所以，则， 即，所以直线斜率为，此时直线方程为，即. 联立与抛物线的方程可得，， ，直线与抛物线有两个交点，满足. 所以，直线方程为. 又，根据抛物线的定义可知. 点到直线的距离， 所以的面积. 题型05抛物线的综合问题 【典例】已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求的取值范围． 【答案】（1）y2＝4x；（2）． 【分析】（1）写出直线l方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式列方程得出的值. （2）设C(x0，y0)，得出圆C的方程，令，利用韦达定理可得出关于的表达式，从而得出的取值范围. 【详解】解：（1）直线l的方程为，联立，消去y整理得. 设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为，则，故直线l被抛物线E截得的线段长为，得p＝2， ∴抛物线E的方程为y2＝4x. （2）由（1）知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是 令，得. 又∵，∴恒成立． 设 则，. ∵，∴∈． ∴的取值范围是． 【变式】已知抛物线的焦点为，以为圆心作半径为1的圆，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，为上一点，过作圆的两条切线，分别交于另外两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义可得，联立直线与抛物线，结合韦达定理求解即可； （2）设点，，，分别求出，，的直线方程，进而可得的面积公式，再利用与圆相切的条件，用表示并得到的取值范围，再利用导数求面积的最小值即可. 【详解】（1）由题意可知，直线的方程为， 联立消去得， 设点，，则， 所以，即，解得， 所以的方程为. （2）由（1）知圆，设点，，，显然， 则直线的方程为， 直线的方程为， 直线的方程为， 由的方程可得，， 则的面积为，所以． 因为与圆相切，所以点到直线的距离为， 整理得，同理可得， 所以是方程的两根， 所以，，解得， 的面积化为， 设，则， 令，得， 所以在单调递减，在单调递增， 故面积的最小值为． 【巩固训练】 1．已知抛物线C：的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为点在C上， 所以，解得， 所以F到直线l的距离为2． 2．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 3．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义结合中点坐标公式，由中点到轴的距离推导弦长的值. 【详解】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 4．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂直平分线性质和抛物线定义，从而求出交点坐标. 【详解】如图所示： 由题意可知，抛物线的准线为：，点在抛物线的准线上， 设线段的垂直平分线与抛物线的交点为，则有，由抛物线定义可知， ，则，可得，所以交点. 5．（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 6．（多选）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 7．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【分析】结合题意确定点的坐标，代入抛物线方程求出的值，得到抛物线的具体方程， 进而联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标,再结合焦半径公式求解. 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 8．已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________ 【答案】4 【详解】如图，作垂直于准线，由抛物线定义可知，因为，所以，, 所以，代入抛物线解析式得，所以. 9．已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 【答案】(1) 抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. (2) 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示中点坐标； （2）利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 10．已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【强化训练】 1．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 2．已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】当直线不存在斜率时，直线的方程为， 当时，，该方程无实根，此时直线与抛物线无交点； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 当时，， 此时直线与抛物线 有且只有一个交点，符合题意； 当时，要想直线与抛物线有且只有一个公共点， 只需， 方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根， 显然不是方程的实根， 所以满足条件的直线共有3条. 3．在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为， 过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为， 由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为， 将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得， 解得或， 由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得， 所以点的坐标为， 又因为，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为. 4．过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 5．（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 6．（多选）已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 【答案】AC 【分析】根据图形的周长得，由离心率计算得，进而判断A，再由计算，得抛物线的方程，即可得抛物线的准线方程，即可判断B，由椭圆的方程与抛物线的方程联立解出点的坐标，即可判断CD. 【详解】由题意得：图形的周长为，所以， 又，所以，所以，故A正确； 由，所以，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故B错误； 所以椭圆， 由，化简得，解得或（舍去）， 当时，，解得， 所以，所以，故C正确， 图形的面积为，故D错误. 7．已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 【答案】1 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，直线的斜率存在，设直线方程为：， 由消去得，设，， 由韦达定理得，则， 由抛物线的定义知，，， 所以，， 所以. 8．平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 【答案】3 【分析】设平行于x轴的直线方程为，然后求出的坐标，进而判断四边形的形状，进而求出面积. 【详解】由题意可得，，设平行于x轴的直线方程为. 则，因为， 所以，化简解得. 根据对称性，不妨取，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为. 9．已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据三点共线时，线段的和最小，然后再结合两点间的距离公式求解； （2）将直线与抛物线方程联立，表示出弦长，然后根据的面积为，建立方程，解方程即可. 【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得， 设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得， 又知，， 所以 ， 由到直线l的距离为， 所以， 即，得， 解得或，经检验均满足， 所以的值为或 10．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 抛物线的几何性质 重点目标： 1. 熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等基础几何性质，能由四类标准方程快速读取对应几何量. 2. 理解抛物线离心率的专属特征，明确其与椭圆、双曲线离心率的本质区别. 3. 熟记焦半径、通径的定义与定值结论，掌握基础几何量的快速计算方法，适配必考题型. 4. 能利用抛物线几何性质求解线段长度、坐标、最值、参数值等基础综合问题. 5. 掌握抛物线简单几何图像规律，能根据参数判断开口大小、图像变化趋势. 难点目标： 1. 灵活运用焦半径公式、抛物线定义实现点点、点线距离转化，突破最值类题型解题难点. 2. 掌握抛物线焦点弦的各类二级结论，能熟练解决焦点弦求值、角度、斜率综合题型. 3. 攻克抛物线定点、定值、定直线压轴题型，掌握圆锥曲线通用解题逻辑与套路. 4. 熟练处理含参抛物线几何性质问题，结合参数变化分析图像、弦长、最值的变化规律. 5. 综合运用抛物线几何性质、直线方程、不等式、平面几何知识，解决中档压轴大题. 1、 重点知识 （一）抛物线通用基础几何性质 · 抛物线核心参数：，为焦点到准线的距离，决定抛物线开口大小，越大开口越开阔. 1. 对称性：所有抛物线均为轴对称图形，仅有一条对称轴，无中心、无渐近线（区别于椭圆、双曲线）. 2. 顶点：抛物线仅有一个顶点，是图像与对称轴的唯一交点，也是图像上到焦点、准线距离最近的点. 3. 离心率：圆锥曲线唯一固定离心率，是抛物线专属判定特征. 4. 取值范围：根据开口方向单侧无限延伸，仅有单向取值范围，区别于椭圆有界、双曲线双向无界. （二）四类标准方程对应几何性质汇总 1. 开口向右：对称轴x轴，顶点，范围. 2. 开口向左：对称轴x轴，顶点，范围. 3. 开口向上：对称轴y轴，顶点，范围. 4. 开口向下：对称轴y轴，顶点，范围. （三）焦半径与通径核心基础结论 1. 焦半径定义：抛物线上任意一点到焦点的距离，可通过定义转化为点到准线的距离，无需距离公式硬算. 2. 常用焦半径公式： 开口向右：点，焦半径； 开口向上：点，焦半径. 3. 通径定义与定值：过焦点且垂直对称轴的弦，通径长恒为，是抛物线最短焦点弦. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 圆锥曲线特征混淆：误给抛物线添加中心、渐近线，混淆三类曲线对称性、离心率特征. 2. 焦半径公式记错：混淆横竖开口抛物线的焦半径表达式，导致线段长度计算错误. 3. 范围判断失误：单向取值范围判断错误，混淆x轴、y轴开口对应的变量取值约束. 4. 最值误区：忽略抛物线顶点是到焦点、准线距离最近的点，错判最值位置. （二）焦点弦综合拔高难点 · 以为例，过焦点直线交抛物线于，核心秒杀结论： 1. 坐标定值：，，恒为定值. 2. 弦长公式：焦点弦长，结合韦达定理快速求弦长. 3. 倒数定值：，是高考经典定值模型. 4. 角度性质：焦点弦端点与顶点连线夹角、垂直关系等衍生几何性质. （三）抛物线最值难点 1. 距离最值模型：利用定义转化，求解“抛物线上动点到定点+焦点”最短距离、到定直线最短距离. 2. 弦长最值模型：焦点弦中通径最短，斜率先存在时焦点弦长大于. 3. 面积最值模型：抛物线内接三角形、焦点三角形面积最值，结合弦长与高求解. （四）定点定值定直线难点 1. 定点问题：动直线与抛物线相交，恒过定点；动抛物线恒过定点，是解析几何高频压轴. 2. 定值问题：直线斜率、线段乘积、比值、角度恒为定值，核心方法为联立韦达、整体代换. 3. 定直线问题：动点恒在定直线上、动点到定直线距离恒定，适配高考拔高题型. （五）含参抛物线综合难点 1. 参数的几何约束：根据弦长、面积、角度条件反求的取值范围. 2. 动抛物线性质分析：参数变化引发开口大小、焦点位置变化，结合单调性分析最值变化规律. 3. 含参直线与抛物线位置关系：联立方程结合判别式，分析相交、相切、相离条件. （六）深度拓展拔高知识 1. 抛物线光学性质：平行对称轴的光线射入抛物线，反射后过焦点；过焦点光线反射后平行对称轴，用于创新情境题. 2. 切点弦结论：抛物线外一点引两条切线，切点弦直线方程秒杀公式，简化大题运算. 3. 中点弦点差法：抛物线弦中点斜率公式，快速求解中点、定点、斜率综合问题. 4. 圆锥曲线对比拔高：汇总椭圆、双曲线、抛物线的对称性、离心率、最值、弦长结论，适配多选压轴. 5. 抛物线与函数融合：结合二次函数、导数知识求解抛物线切线、最值，衔接高二导数考点. （七）本节高频失分点汇总 1. 混淆三类圆锥曲线性质，给抛物线强加渐近线、中心等错误特征. 2. 横竖开口抛物线焦半径、弦长公式混用，计算全程出错. 3. 焦点弦定值结论记忆混乱，正负符号、数值记错. 4. 不会利用定义转化距离，最值题型只会联立硬算，解题效率极低. 5. 含参问题不结合图像几何特征，漏解参数范围、遗漏特殊情况. 6. 忽略抛物线单向取值范围，导致最值、坐标范围求解错误. 题型01 由抛物线方程研究其几何性质 【典例1】抛物线的焦准距是（    ） A． B． C．3 D．6 【变式1】抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．焦点到准线的距离为4 C．开口向上，焦点为 D．准线方程为 【变式2】（多选）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．对称轴为轴 C．焦点为 D．准线方程为 【典例3】（多选）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】曲线与曲线在同一坐标系中的示意图可能为（    ）． A． B． C． D． 题型02 由抛物线几何性质求标准方程 【典例1】顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（    ）. A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型03 直线与抛物线位置关系的有关问题 角度1：判断位置关系 【典例】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式】已知抛物线：，直线l过它的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与P的取值有关 角度2：根据位置关系求直线方程 【典例】（多选）下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（多选）已知直线l过点，与抛物线相交所得弦长为8，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 角度3：根据相交的弦长有关问题 【典例1】抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（    ） A． B． C． D． 题型04 抛物线的中点弦及点差法 【典例1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且的中点为，求的面积． 【变式2】已知抛物线 的焦点为. (1)求的值； (2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积. 题型05抛物线的综合问题 【典例】已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求的取值范围． 【变式】已知抛物线的焦点为，以为圆心作半径为1的圆，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，为上一点，过作圆的两条切线，分别交于另外两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，求面积的最小值． 【巩固训练】 1．已知抛物线C：的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 3．已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知是抛物线的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为（    ） A．或 B． C． D． 5．（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 6．（多选）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 7．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 8．已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________ 9．已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 10．已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【强化训练】 1．直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．已知抛物线，过点作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 6．（多选）已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 7．已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 8．平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 9．已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 10．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $