专题14 圆锥曲线的轨迹问题（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

专题14 圆锥曲线的轨迹问题 重点目标： 1. 掌握直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法五种求轨迹方程的基本思路与操作步骤. 2. 能够根据题目条件.快速识别轨迹类型.选择合适方法求解动点的轨迹方程. 3. 牢记轨迹方程求解的检验要点.会判断并剔除不符合题意的点、线段或部分曲线. 4. 能利用圆锥曲线定义.简化轨迹方程运算.识别椭圆、双曲线、抛物线的轨迹模型. 5. 掌握轨迹方程在距离、最值、定点定值基础题型中的简单应用. 难点目标： 1. 区分“求轨迹方程”与“求轨迹”两个概念.完整说明轨迹对应的曲线形状、范围. 2. 处理含约束条件下的轨迹问题.准确挖掘隐藏限制条件.做好去点、去支、去段. 3. 灵活运用相关点法、交轨法.处理双动点、动直线交点类复杂轨迹问题. 4. 合理引入参数.完成参数方程消参.并且控制消参过程中不扩大、不缩小变量范围. 5. 解决轨迹问题与向量、垂直、角度、面积等条件结合的综合题型.转化几何条件为代数等式. 6. 辨析轨迹中的增根、漏解问题.规范轨迹题的答题书写格式.适配高考阅卷要求. 1、 重点知识 · 轨迹问题核心逻辑：动点满足的几何条件翻译成关于的等式.即轨迹方程；轨迹是方程对应的图形. 1. 直接法（直译法）：设动点.翻译几何等量关系.化简得到方程；步骤：建系、设点、列式、化简、检验.适合等量关系直白的题目. 2. 定义法：梳理动点满足圆锥曲线第一定义.直接写出曲线标准方程.再求范围.优先使用.大幅减少计算量.是期中期末、高考高频方法. 3. 相关点法（代入法）：一个动点随已知曲线上动点运动.设主动点、从动点坐标.建立坐标关系.反代回已知曲线方程. 4. 参数法：选取合适参数（角度、斜率、时间、线段长等）.写出, .消去参数得到普通方程. 5. 交轨法：两条含参动曲线的交点为动点.联立动曲线方程.消去参数得到交点轨迹方程.多用于两条动直线相交模型. 6. 基础检验原则：化简变形为等价变形；注意题目中点的可达性、分母不为0、根号非负等限制. 7. 基础综合模型：轨迹求出后.再研究曲线上动点的距离、最值问题.属于轨迹方程常规应用. 2、 难点知识 1. 几何条件转化难点：垂直、角平分线、距离之比、面积、向量数量积等几何条件.转化时容易出现坐标列式错误. 2. 范围控制问题：五大方法都极易忽略范围.比如双曲线定义中差的绝对值、直线斜率不存在、动点不能与定点重合.需要单独标注. 3. 交轨法易错点：联立消参容易产生增根；两条动直线本身存在限制.最终轨迹往往只是圆锥曲线的一部分. 4. 参数法深层拓展：参数选择的优劣直接决定运算难度；消参方式多样.三角消参、代数消参.消参前后变量范围要保持一致. 5. 轨迹的完备性与纯粹性：完备性—所有满足条件的点都在方程上；纯粹性—方程上所有点都满足条件.高考轨迹大题核心采分点. 6. 综合融合拓展：轨迹和定点、定值、存在性问题融合；轨迹与平面几何、圆、向量综合；动圆、动弦衍生的轨迹.属于压轴常考方向. 7. 逆向题型：已知轨迹方程.反推动点满足的几何条件；判断轨迹形状.属于新考法. 8. 拓展深化：部分复杂轨迹不是圆锥曲线（三次曲线、分段轨迹）.这类问题一般不要求记忆曲线名称.只需要写出方程和范围. 题型01 圆锥曲线的轨迹求法问题 角度1：直接法 【典例】在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 【变式】已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，切线方程为，此直线和抛物线联立方程组，得到的一元二次方程，由切线是抛物线的切线，得到，得到，此方程的两个根为和，利用韦达定理得到和，将整理，从而通过计算得到动点的轨迹方程. 【详解】设，切线方程为， 与联立得， 由，整理得，则方程的两个根为和， 则，，由，即， 得，即，所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 角度2：定义法 【典例】已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 由，得圆内含于圆内，设动圆半径为, 依题意，，，则， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，， 所以M的方程为. 故选：B 【变式】已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 角度3：相关点法 【典例】点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是___________. 【答案】 【分析】设出点和三角形的重心，利用重心坐标公式得到点和三角形的重心坐标的关系，，代入椭圆方程即可求得轨迹方程，再利用，，三点不共线得到. 【详解】设，， 由，得， 即，， 因为为的重心， 所以，， 即，， 代入，得， 即， 因为，，三点不共线，所以， 则的重心的轨迹方程是. 故答案为：. 【变式】在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点并利用向量关系得出，代入椭圆方程替换即可得点的轨迹方程. 【详解】根据题意可设点，则， 又点在椭圆上，所以， 易知，由可得， 因此，代入即可得， 整理可得点的轨迹方程为. 故选：A 角度4：参数法 【典例】设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同的两点，线段的中点为，则点的轨迹方程为________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，设，，然后联立直线方程与抛物线方程，运用韦达定理得到，继而得出，再根据中点坐标公示得出点的坐标，消去参数得到轨迹方程. 【详解】设直线的方程为，设，， 联立，得，则, 所以，， 由中点坐标公式得：， 则由消去得，得点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式】单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 【答案】（，） 【分析】先设圆上动点 的参数方程，写出过 的切线方程，再与两条固定切线（）联立求出 的坐标，接着联立梯形对角线 与 的方程求得交点，得到交点坐标关于参数的表达式，最后消去参数，得到轨迹方程，注意排除与 重合情形. 【详解】设单位圆上点 坐标为，，， 当时，直线的斜率为，为坐标原点， 故过点的切线斜率为， 所以过点的切线方程为， 当时，， 若，切线方程为，满足关系， 若，切线方程为，满足关系， 则 点切线方程为， 与两条竖直切线 、 的交点分别为 、, 所以直线方程为：， 直线方程为：， 设交点的坐标为， 联立两直线方程可解得， 因为不与重合，所以，所以， 所以，， 所以， 即交点的轨迹方程为（，）. 角度5：交轨法 【典例】在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（在一三象限部分） 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以.   已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为.   因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得①. 对于直线的方程，可得②. 由①②可得：若则；若则； 又因为，所以，化为.   综上，和的交点的轨迹方程为（在一三象限部分） 故选：D. 【变式】已知椭圆的左、右焦点是、，、是椭圆上两点，且在轴同侧. 若， 为与的交点. 设，直线，则__（用表示），的轨迹方程为_________（用表示）． 【答案】 【分析】延长交椭圆于，分别设A，D的坐标，由，得到点B与点D的关系，设，与椭圆联立，表示直线，，两式相乘和取倒数相加，结合韦达定理求解. 【详解】如图，延长交椭圆于． 设，，，，由，得，， 由题意可知，的斜率不为0，可设， 则①，②， ， ． 联立，得． ，， ， 由①②得，， ， 又为与的交点， 所以， ， 整理得：． 故答案为：， 题型03 圆锥曲线轨迹的应用问题 【典例】若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】化简，得动点的轨迹方程，由此得动点的轨迹，判断A，B ，C，根据的几何意义，可求得其取值范围，判断D. 【详解】由方程，得， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在第一、三象限的部分. 所以曲线C关于原点成中心对称图形，所以①正确； 所以曲线C与两坐标轴围成的面积为，所以②正确； 所以曲线C总长为，所以③正确； 令，则为点与点连线的斜率， 直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 又， 所以的取值范围是， 所以④错误． 【变式】若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 题型04圆锥曲线轨迹问题与其他板块的小综合问题 角度1：轨迹问题与立体几何的小综合 【典例1】（求长度）已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锥体的体积公式结合外接球的性质可得半径和四棱锥的底边边长，进而根据锐角三角函数可得，即可判断点的轨迹为为圆心，半径的圆，即可求解. 【详解】由题意，设球的半径为．如图所示，连接交于点，连接，则，，平面，所以，解得． 在中，因为，，所以． 因为正方形的中心到各边的距离为，所以点的轨迹为平面内，以点为圆心，半径的圆，故点的轨迹长度为． 故选:D．    【变式1】在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可． 【详解】连接、，交于点，连接， 为菱形，， 所以，，， 所以为二面角的平面角， 于是， 又因为， 所以， 取中点，取中点，连接、、，所以、， 所以、，，相交， 所以平面， 所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为， 因为，，， 所以的周长为， 所以点轨迹的长度为． 故选：A． 【典例2】（求周长）四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，且，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持平面，则动点的轨迹周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过E作平面平面，可得动点的轨迹周长即为的周长，求出即可. 【详解】取中点，中点，连接， 因为是中点，，平面，平面，平面， 因为是中点，，平面，平面，平面， ，平面平面， 所以平面中任意直线平行于平面，则平面， 又在四棱锥表面上运动， 所以动点的轨迹周长即为的周长， 因为四边形是边长为的菱形且，所以，则， 又，所以，,则 所以的周长为. 故选：A. 【变式2】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．是平行四边形，且周长为 B．是平行四边形，且周长为 C．是等腰梯形，且周长为 D．是等腰梯形，且周长为 【答案】D 【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长. 【详解】分别取的中点，连接， 则∥∥，∴四点共面 若为面上的动点， 由正方体易得，平面 平面，且平面 平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段； 若为面上的动点， 由正方体易得，平面 平面，且平面 平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段； 所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形. 因为正方体的棱长为2，所以. 所以曲线为等腰梯形，且周长为. 故选：D. 【典例3】（求面积）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到与BD1垂直的平面，从而得到点P的轨迹即为该面与长方体的交线，即可由三角形面积公式求解. 【详解】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段 ，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 故选：C. 【变式3】棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】找出与垂直的平面与正方体的截面即为所求. 【详解】 在正方体，显然平面. 证明如下： 在上底面中，又 平面， 平面，又平面， 同理可证：又，平面， 平面. 故的轨迹为， 所以 故选：C 角度2：轨迹问题与复数的小综合 【典例】已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再求轨迹方程. 【详解】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为 . 故选：C． 【点睛】利用复数减法的几何意义，可以表示以下曲线： ①表示以点Z0为圆心，1为半径的圆； ②表示以Z1、Z2为焦点的椭圆； ③表示以Z1、Z2为焦点的双曲线. 【变式】 已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由复数满足，可得 根据复数的几何意义，方程表示复数对应的点到点和间的距离之差的绝对值为定值， 由双曲线的定义，可得复数所对应轨迹为以和为焦点的双曲线 且，可得，则， 所以复数所对应的点的轨迹方程为. 故答案为：. 角度3：轨迹问题与平面向量的小综合 【典例】是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可. 【详解】如图所示，过点作，垂足为点． 则， 同理， 动点满足，． ，． ， ， 因此的轨迹一定通过的垂心． 故选：D． 【变式】已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为__________；的最小值为__________. 【答案】 【分析】第一空，建立坐标系，利用向量的坐标表示计算即可；第二空利用动点到直线的距离公式计算求最值即可. 【详解】根据题意不妨设，， 则，， 由可得； 而，由题意得， 如图所示，设则，问题式即求抛物线上一点到直线距离最小值，由对称性不妨求到直线距离最小值即. 即的最小值为. 【巩固训练】 1．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：C 3．已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由题意可知，，，即①， ，即②， ①②得，整理可得，即，其中， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 4．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由已知得，，则，即， 所以， 设，因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以，因此，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 5．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，曲线上任意一点满足， 该点关于直线的对称点有，满足曲线方程， 即曲线上任意一点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确； 对于选项B，因为点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称， 当时，曲线的方程可变形为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 根据曲线的对称性，可画出如下图象, 所以曲线围成的图形面积是，B正确； 对于选项C，曲线上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，C错误； 对于选项D，点在曲线上，则，变形得 则有，即，解得，而，D正确. 6．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 7．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是______． 【答案】 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 8．点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】 因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 因为，故点不能在平面和平面内； 若点在平面内，则点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，作平面于点，如图所示， 因为，所以，又因为，则，故， 所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆， 此时点的轨迹长度为， 综上，点的轨迹的总长度为. 9．（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 10．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】(1) (2) (3)；轨迹是一个以为圆心，半径为的圆 【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由于圆经过点， 故， 解得，即圆的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得到和， 此时弦长为，不满足条件， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 又由勾股定理可得， 即，解得，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为． （3）设点坐标为，点坐标为， 则，， 故，，解得，， 又点在圆上，则， 化简得， 因此点的轨迹方程为，该轨迹是一个以为圆心，半径为的圆． 【强化训练】 1．平面上的动点到定点的距离比到轴距离大1．则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】由题意，设，由到定点的距离为到轴的距离为. 当时，的轨迹为； 当时，又动点到定点的距离比到轴的距离大1， 列出等式：，化简得， 为焦点为的抛物线． 则动点P的轨迹方程为和，故ABD错误，C正确. 故选： C． 2．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆 外切，同时与圆 内切， 则，又 ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 3．已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：设，若为原点，由，得， 因为在圆上，所以，连接，    由，得， 故，故动点的轨迹方程为． 法二：设，则由，得，得， ①②同时平方并相加，得． 又在圆上，， 所以，得， 故动点的轨迹方程为． 故选：A 4．已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入得，， 因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得；令，得， 则，，则，所以，， 代入得，即， 5．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 6．（多选）若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】化简，得动点的轨迹方程，由此得动点的轨迹，判断A，B ，C，根据的几何意义，可求得其取值范围，判断D. 【详解】由方程，得， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在第一、三象限的部分. 所以曲线C关于原点成中心对称图形，所以①正确； 所以曲线C与两坐标轴围成的面积为，所以②正确； 所以曲线C总长为，所以③正确； 令，则为点与点连线的斜率， 直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 又， 所以的取值范围是， 所以④错误． 7．设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 8．已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为_____，的取值范围为_____． 【答案】 【详解】由为中点，则，故， 故动点的轨迹为以为原点，半径为的圆，即为； 对，令，解得，故过定点， 对，令，解得，故过定点， 又，故，故， 故点在以为直径的圆上，又中点为， ，且直线斜率存在， 则点的轨迹方程为（除点）， 由为中点，则，则， 又，，， ，则， 由，点在直线上， 故， 即，则.    故答案为：；. 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线：，直线与抛物线交于两点，点到直线的距离的最大值为． (1)求抛物线的方程； (2)若线段的中点为，求； (3)若抛物线在点，处的切线相交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）抛物线的焦点， 因为直线过定点，设点到直线的距离为，所以， 当且仅当时等号成立，即点到直线的距离的最大值为， 又因为点到直线的距离的最大值为，即， 所以，解得或， 又因为，所以， 则抛物线的方程为：； （2）将直线的方程：，与抛物线的方程为：联立， 得：，即0， 设，则， 因为线段的中点为， 所以， 所以，即，即， 则， 所以； （3）    因为点在抛物线上，所以，即， 因为抛物线在点处的切线的斜率一定存在， 所以设抛物线在点处的切线为：， 将其与抛物线的方程：联立，得：， 因为相切，所以， 化简得：，即，解得， 所以抛物线在点处的切线为：，即， 同理，抛物线在点处的切线为：， 联立，得， 又因为， 所以，即， 设，则，消去得：， 所以点的轨迹方程为：. 10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于点，，当直线垂直轴时，点的坐标为. (1)求的方程； (2)求的最小值； (3)若点在抛物线外，线段的垂直平分线与相切，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知：，直线垂直轴时，点的坐标为 则，解得，所以的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与抛物线方程联立得，，消去并化简得： 设，，且，则，因为， 所以，当且仅当取得等号. 当直线的斜率不存在时，，所以. 综上，的最小值为9. （3）设，则中点坐标为， 当时，的垂直平分线平行轴，不会与抛物线相切，所以 所以存在斜率为， ①当时， 的垂直平分线方程为，即， 与抛物线方程联立得，，消去并化简得： 因为线段的垂直平分线与相切 所以 ， ， 所以或（舍） ②当时，点坐标为，线段的垂直平分线与相切，满足条件. 所以点的轨迹方程为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 圆锥曲线的轨迹问题 重点目标： 1. 掌握直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法五种求轨迹方程的基本思路与操作步骤. 2. 能够根据题目条件.快速识别轨迹类型.选择合适方法求解动点的轨迹方程. 3. 牢记轨迹方程求解的检验要点.会判断并剔除不符合题意的点、线段或部分曲线. 4. 能利用圆锥曲线定义.简化轨迹方程运算.识别椭圆、双曲线、抛物线的轨迹模型. 5. 掌握轨迹方程在距离、最值、定点定值基础题型中的简单应用. 难点目标： 1. 区分“求轨迹方程”与“求轨迹”两个概念.完整说明轨迹对应的曲线形状、范围. 2. 处理含约束条件下的轨迹问题.准确挖掘隐藏限制条件.做好去点、去支、去段. 3. 灵活运用相关点法、交轨法.处理双动点、动直线交点类复杂轨迹问题. 4. 合理引入参数.完成参数方程消参.并且控制消参过程中不扩大、不缩小变量范围. 5. 解决轨迹问题与向量、垂直、角度、面积等条件结合的综合题型.转化几何条件为代数等式. 6. 辨析轨迹中的增根、漏解问题.规范轨迹题的答题书写格式.适配高考阅卷要求. 1、 重点知识 · 轨迹问题核心逻辑：动点满足的几何条件翻译成关于的等式.即轨迹方程；轨迹是方程对应的图形. 1. 直接法（直译法）：设动点.翻译几何等量关系.化简得到方程；步骤：建系、设点、列式、化简、检验.适合等量关系直白的题目. 2. 定义法：梳理动点满足圆锥曲线第一定义.直接写出曲线标准方程.再求范围.优先使用.大幅减少计算量.是期中期末、高考高频方法. 3. 相关点法（代入法）：一个动点随已知曲线上动点运动.设主动点、从动点坐标.建立坐标关系.反代回已知曲线方程. 4. 参数法：选取合适参数（角度、斜率、时间、线段长等）.写出, .消去参数得到普通方程. 5. 交轨法：两条含参动曲线的交点为动点.联立动曲线方程.消去参数得到交点轨迹方程.多用于两条动直线相交模型. 6. 基础检验原则：化简变形为等价变形；注意题目中点的可达性、分母不为0、根号非负等限制. 7. 基础综合模型：轨迹求出后.再研究曲线上动点的距离、最值问题.属于轨迹方程常规应用. 2、 难点知识 1. 几何条件转化难点：垂直、角平分线、距离之比、面积、向量数量积等几何条件.转化时容易出现坐标列式错误. 2. 范围控制问题：五大方法都极易忽略范围.比如双曲线定义中差的绝对值、直线斜率不存在、动点不能与定点重合.需要单独标注. 3. 交轨法易错点：联立消参容易产生增根；两条动直线本身存在限制.最终轨迹往往只是圆锥曲线的一部分. 4. 参数法深层拓展：参数选择的优劣直接决定运算难度；消参方式多样.三角消参、代数消参.消参前后变量范围要保持一致. 5. 轨迹的完备性与纯粹性：完备性—所有满足条件的点都在方程上；纯粹性—方程上所有点都满足条件.高考轨迹大题核心采分点. 6. 综合融合拓展：轨迹和定点、定值、存在性问题融合；轨迹与平面几何、圆、向量综合；动圆、动弦衍生的轨迹.属于压轴常考方向. 7. 逆向题型：已知轨迹方程.反推动点满足的几何条件；判断轨迹形状.属于新考法. 8. 拓展深化：部分复杂轨迹不是圆锥曲线（三次曲线、分段轨迹）.这类问题一般不要求记忆曲线名称.只需要写出方程和范围. 题型01 圆锥曲线的轨迹求法问题 角度1：直接法 【典例】在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【变式】已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，记两条切线的斜率分别为，若，则动点的轨迹方程为__________． 角度2：定义法 【典例】已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 角度3：相关点法 【典例】点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是___________. 【变式】在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 角度4：参数法 【典例】设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同的两点，线段的中点为，则点的轨迹方程为________. 【变式】单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 角度5：交轨法 【典例】在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（在一三象限部分） 【变式】已知椭圆的左、右焦点是、，、是椭圆上两点，且在轴同侧. 若， 为与的交点. 设，直线，则__（用表示），的轨迹方程为_________（用表示）． 题型03 圆锥曲线轨迹的应用问题 【典例】若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【变式】若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 题型04圆锥曲线轨迹问题与其他板块的小综合问题 角度1：轨迹问题与立体几何的小综合 【典例1】（求长度）已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（求周长）四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，且，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持平面，则动点的轨迹周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．是平行四边形，且周长为 B．是平行四边形，且周长为 C．是等腰梯形，且周长为 D．是等腰梯形，且周长为 【典例3】（求面积）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 【变式3】棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A． B． C． D．1 角度2：轨迹问题与复数的小综合 【典例】已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】 已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为__________. 角度3：轨迹问题与平面向量的小综合 【典例】是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式】已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为__________；的最小值为__________. 【巩固训练】 1．在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线围成的图形面积为 C．若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D．若点在曲线上，则 6．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________. 7．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是______． 8．点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 9．（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 10．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【强化训练】 1．平面上的动点到定点的距离比到轴距离大1．则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．和 D．和 2．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知动直线与圆相交于，两点，若线段上一点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）若动点在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（     ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 7．设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 8．已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为_____，的取值范围为_____． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线：，直线与抛物线交于两点，点到直线的距离的最大值为． (1)求抛物线的方程； (2)若线段的中点为，求； (3)若抛物线在点，处的切线相交于点，求点的轨迹方程． 10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于点，，当直线垂直轴时，点的坐标为. (1)求的方程； (2)求的最小值； (3)若点在抛物线外，线段的垂直平分线与相切，求点的轨迹方程. / 学科网（北京）股份有限公司 $