椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题讲义 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的中点弦问题 椭圆中面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 一、核心原理 将直线方程与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，弦的两个端点对应方程的两根；通过韦达定理得到两根之和、两根之积，直接代入弦长公式计算，无需解出具体交点坐标。 直线与椭圆相交的前提：。 二、 通用弦长公式 设直线 ，椭圆 （），两交点为 、。 联立消去 ，整理得关于 的一元二次方程： 由韦达定理得： 弦长公式 · 用横坐标计算（最常用）： · 用纵坐标计算（消去 时）： 斜率不存在的特殊情况 直线为竖直直线 时，直接代入椭圆方程得 ，弦长为纵坐标差： 三、特殊弦：通径 · 定义：过焦点且垂直于长轴的弦，是椭圆中最短的焦点弦。 · 长度（定值）： · 推导：将 代入椭圆方程，解得 ，由上下对称性直接得弦长，无需联立计算。 四、解题步骤 1. 设直线方程，分斜率存在、斜率不存在两种情况； 1. 联立椭圆方程，消元得一元二次方程，验证 ； 1. 写出韦达定理（两根之和、两根之积）； 1. 代入弦长公式计算结果。 例1．（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 例2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 例3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 变式1．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知椭圆，左焦点为，且 (1)求M的方程； (2)若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，是其上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求． 变式3．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知椭圆的离心率为，上的点与其中一个焦点的距离的最小值为． (1)求的方程； (2)设直线与相交于不同的两点，． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）当时，求的值． 考点二 椭圆中的中点弦问题 一、核心本质 已知弦的中点坐标，求弦所在直线的斜率或方程，核心方法是点差法，比联立韦达法更简便。本质是利用端点在椭圆上的条件，作差后直接关联中点坐标与弦的斜率，实现“设而不求”。 二、点差法推导（焦点在 轴） 设椭圆 ，弦 的端点为 、，中点为 。 两点均在椭圆上： 两式作差，因式分解得： 代入 ，，弦的斜率 ，整理得核心结论： 其中 为中点 与原点连线的斜率。 补充：若椭圆焦点在 轴上，对应结论为 。 三、常见题型 1. 已知中点求直线方程：代入中点坐标得 ，直接求出弦的斜率 ，用点斜式写出直线方程； 1. 已知斜率求中点轨迹：设中点坐标 ，代入斜率关系，得到中点的轨迹方程，需注意轨迹必须在椭圆内部。 四、关键注意事项 点差法仅能快速推导斜率关系，必须验证直线与椭圆相交（）；当中点在椭圆外时，不存在满足条件的弦，此时点差法求出的直线无效。 五、解题步骤 1. 设弦的端点与中点坐标，分别代入椭圆方程； 1. 两式作差、因式分解，代入中点坐标与斜率关系； 1. 求出弦的斜率，用点斜式写出直线方程； 1. 联立直线与椭圆，验证 ，确认直线存在。 例1．（25-26高二上·山东青岛·期中）直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 变式1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 考点三 椭圆中面积问题 一、核心思路 将目标图形拆分为三角形、四边形等基础图形，结合弦长、点到直线距离、坐标差表示面积，最终转化为定值计算或函数最值问题。 二、 焦点三角形面积 椭圆上任意一点 与两焦点 构成的 ： · 角度型公式：（ 为顶角）； · 坐标型公式：（ 为点 的纵坐标）； · 最值：当 位于短轴端点时，顶角最大，面积同时取最大值 。 三、 单弦对应三角形的面积（最高频） 场景：一条动弦 + 一个定点 ，求三角形面积或面积最值。 核心公式 其中 为弦长， 为定点 到直线 的距离。 四、简化技巧：坐标轴拆分法 若定点在坐标轴上，可将三角形拆分为两个同底的小三角形，简化计算： 例：定点 在 轴上，坐标为 ，则 ，用纵坐标差计算更简便。 五、面积最值常用求法 1. 基本不等式法：将面积表示为斜率/参数的函数，用基本不等式求最值； 1. 参数方程法：设椭圆上点为 ，转化为三角函数求最值； 1. 切线平移法：定弦+动点时，平移直线至与椭圆相切，此时点到直线距离取极值，对应面积最值。 六、 四边形面积 1. 对角线垂直型：若四边形对角线互相垂直，面积为对角线乘积的一半：，分别计算两条对角线的弦长后代入； 1. 拆分法：沿对角线将四边形拆分为两个三角形，分别计算面积后求和，适用于任意四边形； 1. 椭圆内接矩形：边平行于坐标轴时，最大面积为 ，顶点为 。 七、解题步骤 1. 拆分图形，将目标面积转化为基础图形的和差； 1. 选择对应面积公式，结合弦长、点到直线距离或坐标差表示面积； 1. 定值问题直接代入计算，最值问题用基本不等式、函数单调性等求解； 1. 验证等号成立条件。 例1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 例2．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 例3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 例4．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 变式1．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 变式2．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 变式3．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 椭圆：椭圆中的弦长问题、椭圆中的中点弦问题、椭圆中面积问题讲义 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的中点弦问题 椭圆中面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 一、核心原理 将直线方程与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，弦的两个端点对应方程的两根；通过韦达定理得到两根之和、两根之积，直接代入弦长公式计算，无需解出具体交点坐标。 直线与椭圆相交的前提：。 二、 通用弦长公式 设直线 ，椭圆 （），两交点为 、。 联立消去 ，整理得关于 的一元二次方程： 由韦达定理得： 弦长公式 · 用横坐标计算（最常用）： · 用纵坐标计算（消去 时）： 斜率不存在的特殊情况 直线为竖直直线 时，直接代入椭圆方程得 ，弦长为纵坐标差： 三、特殊弦：通径 · 定义：过焦点且垂直于长轴的弦，是椭圆中最短的焦点弦。 · 长度（定值）： · 推导：将 代入椭圆方程，解得 ，由上下对称性直接得弦长，无需联立计算。 四、解题步骤 1. 设直线方程，分斜率存在、斜率不存在两种情况； 1. 联立椭圆方程，消元得一元二次方程，验证 ； 1. 写出韦达定理（两根之和、两根之积）； 1. 代入弦长公式计算结果。 例1．（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再根据公式求解即可. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 例2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 例3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】根据椭圆的定义求的值即可； （i）联立椭圆和直线，根据有两个交点，计算即可； （ii）将代入（i）中联立的式子，根据弦长公式即可. 【详解】（1）由椭圆的定义可知，即， 又椭圆过点，故 椭圆的方程为. （2）联立 得． 设. （i）易知， 解得 （ii）将代入（i）中联立后的式子得， ， 解得， ． 变式1．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知椭圆，左焦点为，且 (1)求M的方程； (2)若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件求出，进而得出，结合求出，即得椭圆方程； （2）求出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式求解即可． 【详解】（1）椭圆的左焦点为，，故， 又，联立解得，， 椭圆的方程为：． （2） 过点且斜率为的直线l的方程为， 联立椭圆方程得，整理得， 设，由韦达定理得， ． 变式2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，是其上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求． 【答案】(1)椭圆的标准方程为 (2) 【分析】（1）依题意列出关于的方程，求解即得椭圆标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，结合条件求出，再由弦长公式计算即得. 【详解】（1）由椭圆焦点，，得半焦距，故. 椭圆方程为，将点代入得： 化简得，即， 因，解得，则. 故椭圆的标准方程为. （2）联立直线与椭圆方程： 消去得. 显然，由韦达定理，，(*). 由，得， 将(*)代入上式，可得， 化简得，解得，则，， 于是， 故. 变式3．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知椭圆的离心率为，上的点与其中一个焦点的距离的最小值为． (1)求的方程； (2)设直线与相交于不同的两点，． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）当时，求的值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）由得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，即（*）， 设，，,则， 所以， 故， 因此为定值， （ⅱ） 【分析】（1）根据离心率以及椭圆的性质即可求解得解， （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率公式即可求解为定值，（ⅱ）根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）依题意得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ），因此， 化简可得，即， 解得，均满足（*）， 故 考点二 椭圆中的中点弦问题 一、核心本质 已知弦的中点坐标，求弦所在直线的斜率或方程，核心方法是点差法，比联立韦达法更简便。本质是利用端点在椭圆上的条件，作差后直接关联中点坐标与弦的斜率，实现“设而不求”。 二、点差法推导（焦点在 轴） 设椭圆 ，弦 的端点为 、，中点为 。 两点均在椭圆上： 两式作差，因式分解得： 代入 ，，弦的斜率 ，整理得核心结论： 其中 为中点 与原点连线的斜率。 补充：若椭圆焦点在 轴上，对应结论为 。 三、常见题型 1. 已知中点求直线方程：代入中点坐标得 ，直接求出弦的斜率 ，用点斜式写出直线方程； 1. 已知斜率求中点轨迹：设中点坐标 ，代入斜率关系，得到中点的轨迹方程，需注意轨迹必须在椭圆内部。 四、关键注意事项 点差法仅能快速推导斜率关系，必须验证直线与椭圆相交（）；当中点在椭圆外时，不存在满足条件的弦，此时点差法求出的直线无效。 五、解题步骤 1. 设弦的端点与中点坐标，分别代入椭圆方程； 1. 两式作差、因式分解，代入中点坐标与斜率关系； 1. 求出弦的斜率，用点斜式写出直线方程； 1. 联立直线与椭圆，验证 ，确认直线存在。 例1．（25-26高二上·山东青岛·期中）直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在椭圆上， 所以有，两式相减可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率k，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在曲线上， 所以有，用（1）式减去（2）式可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线l的斜率k，所以直线l的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D． 例3．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据距离公式可得出关于x、y所满足的等式，化简可得点M的轨迹方程； （2）设点、，由点差法求出直线斜率即可由点斜式方程得解. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即.    变式1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 考点三 椭圆中面积问题 一、核心思路 将目标图形拆分为三角形、四边形等基础图形，结合弦长、点到直线距离、坐标差表示面积，最终转化为定值计算或函数最值问题。 二、 焦点三角形面积 椭圆上任意一点 与两焦点 构成的 ： · 角度型公式：（ 为顶角）； · 坐标型公式：（ 为点 的纵坐标）； · 最值：当 位于短轴端点时，顶角最大，面积同时取最大值 。 三、 单弦对应三角形的面积（最高频） 场景：一条动弦 + 一个定点 ，求三角形面积或面积最值。 核心公式 其中 为弦长， 为定点 到直线 的距离。 四、简化技巧：坐标轴拆分法 若定点在坐标轴上，可将三角形拆分为两个同底的小三角形，简化计算： 例：定点 在 轴上，坐标为 ，则 ，用纵坐标差计算更简便。 五、面积最值常用求法 1. 基本不等式法：将面积表示为斜率/参数的函数，用基本不等式求最值； 1. 参数方程法：设椭圆上点为 ，转化为三角函数求最值； 1. 切线平移法：定弦+动点时，平移直线至与椭圆相切，此时点到直线距离取极值，对应面积最值。 六、 四边形面积 1. 对角线垂直型：若四边形对角线互相垂直，面积为对角线乘积的一半：，分别计算两条对角线的弦长后代入； 1. 拆分法：沿对角线将四边形拆分为两个三角形，分别计算面积后求和，适用于任意四边形； 1. 椭圆内接矩形：边平行于坐标轴时，最大面积为 ，顶点为 。 七、解题步骤 1. 拆分图形，将目标面积转化为基础图形的和差； 1. 选择对应面积公式，结合弦长、点到直线距离或坐标差表示面积； 1. 定值问题直接代入计算，最值问题用基本不等式、函数单调性等求解； 1. 验证等号成立条件。 例1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积. 【详解】（1）依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 例2．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    例3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 例4．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ，     令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 变式1．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入得到关于的方程组，解出即可得的方程，再求离心率即可； （2）易得直线方程为，求出交点坐标，再求面积即可. 【详解】（1）由题意得解得 所以的方程为． 的离心率为． （2）由题意知直线的方程为， 联立得得或所以 观察可知是等腰三角形，且与轴平行， 所以． 变式2．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 变式3．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $