高二数学上学期期中模拟卷（沪教版必修第三册+选择性必修第一册第3章，高效培优·提升卷）

2026-2027学年高二数学上学期期中考卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知向量平行于向量，则__________． 【答案】 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 【答案】 【分析】先根据空间中点关于平面对称的坐标特征求出点的坐标，再结合空间向量数量积的坐标运算公式计算结果。 【详解】已知点 ，则其关于平面的对称点的坐标为 ， 因此 ， ， 3．总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27  48  61  98  71  64  41  48  70  86  28  88  85  19  16  20 74  77  01  11  16  30  24  04  29  79  79  91  96  83  51  25 32  11  49  19  73  06  49  16  76  77  87  33  99  74  67  32 26  35  79  00  33  70  91  60  16  20  38  82  77  57  49  50 【答案】 16 【分析】依据随机数表法抽取样本的规则，从指定起始位置依次选取范围内的不重复编号，计数到第5个有效编号即可. 【详解】首先确定起始位置：随机数表第6行的第3列和第4列组成两位数字48，属于的编号范围，记为第1个有效编号； 从左到右依次选取后续两位数字，仅保留编号在范围内且不重复的结果： 1.选取61，数值大于49，舍去； 2.选取98，数值大于49，舍去； 3.选取71，数值大于49，舍去； 4.选取64，数值大于49，舍去； 5.选取41，符合要求，记为第2个有效编号； 6.选取48，与已选编号重复，舍去； 7.选取70，数值大于49，舍去； 8.选取86，数值大于49，舍去； 9.选取28，符合要求，记为第3个有效编号； 10.选取88，数值大于49，舍去； 11.选取85，数值大于49，舍去； 12.选取19，符合要求，记为第4个有效编号； 13.选取16，符合要求，记为第5个有效编号， 故第5个个体的编号为16. 4．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 【答案】 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则， 所以，则． 故与事件至少有一个发生的概率为. 5．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则__________.    【答案】 【分析】根据茎叶图，以及极差和众数的定义，即可求解. 【详解】由茎叶图可知，甲的最低得分为6分，由甲得分的极差为32，可知，甲的最高得分为，所以的值为8， 乙得分的众数为26，所以的值为6， 所以. 故答案为： 6．设、是一个试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】 【分析】由，结合互斥事件的概率加法公式可求得的值. 【详解】因为，，且与互斥， 所以 . 7．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 8．已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 【答案】 【分析】先用余弦定理求，再由正弦定理求外接圆的半径，最后利用"平面时"求出外接球半径，代入球的表面积公式. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得外接圆的半径满足，即. 因为平面，所以外接球的球心在过外心且垂直于平面的直线上； 又球心到、的距离相等，故球心到平面的距离为. 设外接球半径为，则，即， 所以外接球的表面积为. 9．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 【答案】①④ 【分析】根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别判断计算各个选项即可. 【详解】①由于中位数为，众数为，故出现两次，又中位数为，则数据从小到大为，一定没有； ②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现； ③中位数为，平均数为，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6； ④平均数为，方差为，则设满足要求且含的数据从小到大为， 故且， 那么且，， 平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有. 综上，①④一定没有. 10．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为___________． 【答案】 【分析】利用几何关系得到等腰梯形所在平面与平面的夹角为，等腰三角形所在平面与平面的夹角为，再结合，利用平面几何及三角函数的定义得到，再运用勾股定理得到，，.最终得到该五面体的所有棱长之和为 【详解】分别过点在平面的射影点为，连接并延长， 与分别交于，过作，垂足为， 则分别为的中点， 等腰梯形所在平面与平面的夹角为，等腰三角形所在平面与平面的夹角为， 因为，所以， 设，则. 又因为， 于是有，解得. 由等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为， 可得，于是，， 所以 于是该五面体的所有棱长之和为 11．球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先建立坐标系与几何模型，根据题给条件分析和的表达式，根据数量积的运算律计算出和，再根据半角公式算出结果. 【详解】设球心O为坐标原点，正二十四边形所在平面为平面， 点都在单位圆上，即 . 点A是球面上一点，所以,点B是正二十四边形上一点，所以 . 已知，, 则， 故，故， 又因为是正二十四边形且内接于以O为圆心的圆，其顶点的向量和为零向量， 即 ，故， 即. ， 故，同理，即， 故. 当点位于正二十四边形边上（非顶点）时，最小值为中心到边的距离， 趋近于顶点时，最大值趋近于1. 故，则， ， 由半角公式可得 则. 12．若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为_________． 【答案】 【分析】根据所给图象观察可知多面体为正二十面体，根据矩形为黄金矩形可得正多面体每个三角形面的边长，利用正三角形面积公式求解即可. 【详解】由图可得：该多面体上部分有5个面，对应的下部分也有5个面，中间部分的前半部有5个面，对应的后半部分也有5个面， 所以该多面体为正二十面体. ∵，若，则， ∵该多面体为正二十面体，∴每面为正三角形，其边长为， ∴. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】由事件互斥与对立的定义可判断A、C；由古典概型的概率计算可判断B；由事件相互独立的定义可判断D. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 对于A、C：事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，故A、C错误； 对于B：，故B错误； 对于D：，故与相互独立，故D正确. 故选：D. 14．一只充满气的游泳圈可由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的游泳圈. 15．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（    ）. ①前4天的极差大于后4天的极差；           ②前4天的方差小于后4天的方差； ③这组数据的中位数为31或33；             ④这组数据的第60百分位数与众数相同； A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】分别求出前4天的极差和后4天的极差，判断①；分别计算前4天的方差和后4天的方差判断 ②；将所有数据从小到大排列，求出其中位数，判断③；分别求出这组数据的第60百分位数与众数判断④. 【详解】前4天的极差，后4天的极差，所以①正确； 前4天的平均数为，所以其方差为 后4天的平均数为，所以其方差为， 所以前4天的方差大于后4天的方差，所以②错误； 数据从小到大排列， 这组数据的中位数为所以③错误； 这组数据的第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，与众数33相同，所以④正确. 故选：C． 16．已知菱形，，点为边上的点（不包括点，）．现将沿对角线翻折至点与点重合，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为．则（   ） A．，均与位置有关 B．与位置有关，与位置无关 C．与位置无关，与位置有关 D．，均与位置无关 【答案】C 【分析】先作，且交于点，分别取的中点，连接，再利用线面垂直的性质得到，即确定为直线与所成的角，再根据三角函数的性质得到，进而通过讨论点位置即可得到答案． 【详解】作，且交于点，分别取的中点， 连接，如下图， 由翻折前该四边形为菱形，且，所以，均为等边三角形， 同时点在上， 由，，，平面，所以平面， 又//，所以 平面， 又平面，所以， 所以直线与所成角即直线与所成角，即为， 在中，有， 又点不与重合， 所以当点翻折到与点重合时，最小，为最小，即与位置无关； 当没有翻折时，最大，最大，则最大，即与位置有关． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取B品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【详解】（1）采取分层抽样的方法抽取，分别抽取三种苹果树的数量比为 ， 则抽取品种的数量占比为， ，即应抽取品种苹果树3棵. （7分） （2）先将这10个数从小到大排列：20，25，25，26，26，28，30，30，31，32， ，则这10个数的第80百分位数为 ， 根据频率接近于概率的性质，果树产量不小于的概率约为. （7分） 18．（14分）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （7分） （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. （7分） 19．（14分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【详解】（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数， 由图可知，众数为75． 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分． （4分） （2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为， 则第分位数落在第5组，设为， 则，解得． “防溺水达人”的成绩至少为84分． （5分） （3）的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为． 的频率与的频率之比为． 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有． ， 所以内的平均成绩为71，方差为． （5分） 20．（18分）在棱长为2的正方体中， 分别是，上的动点，    (1)若正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为______，并画出此时与正方体的截面； (2)求的最小值； (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置． 【详解】（1）由正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 等价于同一顶点的三条棱与平面所成的角都相等， 再根据正方体的性质可知：三条棱与平面所成的角都相等， 作与平面平行的平面，截正方体的六条棱中点时的正六边形截面积最大，如图：    此时正六边形的边长为，所以最大截面面积为； （4分） （2）是上的动点，由题意知，面是上的动点，面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面，       如图，当时最小，为等腰直角三角形，，其中， 则，则， 可得， 则， 故的最小值为． （7分） （3）连接交于点，连接交于点， 平面，得，平面， 得平面，又因为平面，可得平面平面， 平面平面，过点作交于， 则平面，又因为平面，所以，    连接，可得平面平面， 又因为平面，所以，， 由二面角的定义可得为平面与平面所成的二面角，为平面与平面所成的二面角， 设，则， 当时，有 所以 而当时，， 上式仍然成立，类似的可以验证当时，上式也成立， 于是，当时，即点位于的中点时，取最小值为， 又，所以. （7分） 21．（18分）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为线段的中点. (1)证明：. (2)若，求二面角的余弦值. (3)若，点在线段上（不含端点），平面与平面所成锐二面角为.若，求的取值范围. 【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴正方向， 建立空间直角坐标系， 设，底面是边长为2的正方形， 则， ， 因为为中点，所以， 因为，， ， 所以，即. （4分） （2）因为，所以，底面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 令，则，，则， 设二面角的平面角为，由题意为锐角， 所以， 则二面角的余弦值为. （6分） （3）因为，所以，则，， 点在线段上（不含端点），设，不含端点，则，， 设，，， 因为，所以， 解得，则， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 令，则，，则， 底面的法向量为， 平面与平面所成锐二面角为， 则， 因为，所以， 则，解得，又， 则， 则的取值范围为. （8分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中考卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 3 16.4. .5. 6. 7. 8. 9. ①④ 10 11. 12.. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13.D 14. C 15.C 16 C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）采取分层抽样的方法抽取，分别抽取三种苹果树的数量比为 ， 则抽取品种的数量占比为， ，即应抽取品种苹果树3棵. （7分） （2）先将这10个数从小到大排列：20，25，25，26，26，28，30，30，31，32， ，则这10个数的第80百分位数为 ， 根据频率接近于概率的性质，果树产量不小于的概率约为. （7分） 18．（14分）【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （7分） （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. （7分） 19．（14分）【详解】（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数， 由图可知，众数为75． 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分． （4分） （2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为， 则第分位数落在第5组，设为， 则，解得． “防溺水达人”的成绩至少为84分． （5分） （3）的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为． 的频率与的频率之比为． 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有． ， 所以内的平均成绩为71，方差为． （5分） 20．（18分）【详解】（1）由正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 等价于同一顶点的三条棱与平面所成的角都相等， 再根据正方体的性质可知：三条棱与平面所成的角都相等， 作与平面平行的平面，截正方体的六条棱中点时的正六边形截面积最大，如图：    此时正六边形的边长为，所以最大截面面积为； （4分） （2）是上的动点，由题意知，面是上的动点，面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面，       如图，当时最小，为等腰直角三角形，，其中， 则，则， 可得， 则， 故的最小值为． （7分） （3）连接交于点，连接交于点， 平面，得，平面， 得平面，又因为平面，可得平面平面， 平面平面，过点作交于， 则平面，又因为平面，所以，    连接，可得平面平面， 又因为平面，所以，， 由二面角的定义可得为平面与平面所成的二面角，为平面与平面所成的二面角， 设，则， 当时，有 所以 而当时，， 上式仍然成立，类似的可以验证当时，上式也成立， 于是，当时，即点位于的中点时，取最小值为， 又，所以. （7分） 21．（18分）【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴正方向， 建立空间直角坐标系， 设，底面是边长为2的正方形， 则， ， 因为为中点，所以， 因为，， ， 所以，即. （4分） （2）因为，所以，底面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 令，则，，则， 设二面角的平面角为，由题意为锐角， 所以， 则二面角的余弦值为. （6分） （3）因为，所以，则，， 点在线段上（不含端点），设，不含端点，则，， 设，，， 因为，所以， 解得，则， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 令，则，，则， 底面的法向量为， 平面与平面所成锐二面角为， 则， 因为，所以， 则，解得，又， 则， 则的取值范围为. （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中考卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知向量平行于向量，则__________． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________． 3．总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27  48  61  98  71  64  41  48  70  86  28  88  85  19  16  20 74  77  01  11  16  30  24  04  29  79  79  91  96  83  51  25 32  11  49  19  73  06  49  16  76  77  87  33  99  74  67  32 26  35  79  00  33  70  91  60  16  20  38  82  77  57  49  50 4．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 5．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则__________.    6．设、是一个试验中的两个事件，且，，，则______. 7．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 8．已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 9．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 10．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为___________． 11．球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 12．若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 14．一只充满气的游泳圈可由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图像是（   ） A． B． C． D． 15．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（    ）. ①前4天的极差大于后4天的极差；           ②前4天的方差小于后4天的方差； ③这组数据的中位数为31或33；             ④这组数据的第60百分位数与众数相同； A．4 B．1 C．2 D．3 16．已知菱形，，点为边上的点（不包括点，）．现将沿对角线翻折至点与点重合，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为．则（   ） A．，均与位置有关 B．与位置有关，与位置无关 C．与位置无关，与位置有关 D．，均与位置无关 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． (1)应抽取B品种苹果树多少棵？ (2)若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 18．（14分）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 19．（14分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 20．（18分）在棱长为2的正方体中， 分别是，上的动点，    (1)若正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为______，并画出此时与正方体的截面； (2)求的最小值； (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置． 21．（18分）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为线段的中点. (1)证明：. (2)若，求二面角的余弦值. (3)若，点在线段上（不含端点），平面与平面所成锐二面角为.若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $